精品解析：上海市浦东模范中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷

2025学年度第一学期10月阶段练习 九年级数学试卷 （满分150分，完卷时间100分钟） 2025.10 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 若ac=bd（ac≠0），则下列比例式中不成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、由得，ac=bd，故本选项错误； B、由得，ac=bd，故本选项错误； C、由 得，ad=bc，故本选项正确； D、由 得，ac=bd，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积的性质，熟记性质是解题的关键． 2. 如图,已知AB∥CD,AD与CD相交于点O,AO:DO=1:2,则下列式子错误的为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据AB∥CD，易证△AOB∽△DOC，利用对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴△AOB∽△DOC ∴， 故A、D选项正确； B、∵， ∴ ∴，故本选项错误． C、∵， ∴，故本选项正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考相似三角形对应边比例，需要熟练运用比例的性质． 3. 在中，点、分别在边、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，分别求得各对应线段的比，比相等，即可判定DE与BC平行．注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：A、由AD＝6，BD＝4，可以得出 ，AE＝2.4，CE＝1.6，得出，就有 ，可以得出 DE∥BC； B、由DB＝2，AB＝6，可以得出，CE＝1，AC＝3得出，就有，可以得出DE∥BC； C、由AD＝4，AB＝6，可以得出，AE＝2，AC＝3得出，就有，可以得出DE∥BC； D、由AD＝4，AB＝6，可以得出，DE＝2，BC＝3得出，但是DE与BC不是被截线，故平行结论不成立． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意比例线段的对应关系． 4. 已知线段a、b、c，作线段x，使，则正确的作法是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键． 根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、由平行线分线段成比例可得，故A选项错误； B、由平行线分线段成比例可得，故B选项正确； C、由平行线分线段成比例可得，故C选项错误； D、由平行线分线段成比例可得，故D选项错误； 故选：B． 5. 下列命题一定正确的是（ ） A. 两个等边三角形一定相似 B. 两个等腰三角形一定相似 C. 两个直角三角形一定相似 D. 两个含有角的等腰三角形一定相似 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形相似的判定方法逐个分析，确定正确答案即可． 【详解】解：A、两个等边三角形的各角度都为60°，所以两个三角形相似，故A正确； B、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故B不正确； C、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故C不正确； C、两个含30°角的等腰三角形只有一对30°角可以确定相等，其他两个角度未知故D不正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形形相似的判定方法，常见的判断方法有如下几个：①两角对应相等两三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；③三边对应成比例，两个三角形相似． 6. 已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列三角形中与一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用角平分线的性质结合相似三角形的判定方法得出,进而得出，即可得出． 【详解】∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选: ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是要识别两三角形相似，掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 在比例尺为1﹕的地图上量出、两地的距离是，那么A、B两地的实际距离是_______________千米． 【答案】6 【解析】 【分析】设A、B两地间的实际距离是xcm，根据比例尺的定义列式计算即可得解，然后再进行单位换算化为千米即可． 【详解】解：设A、B两地间的实际距离是xcm，根据题意得： 12：x=1：50000， 解得：x=600000， ∵1km=1000m=1000×100cm=100000cm ∴600000cm÷100000=6km． 故答案为6． 【点睛】本题考查了比例线段，主要利用了比例尺的定义，计算时要注意单位之间的换算． 8. 若线段b是线段a和c的比例中项，且a=1cm，c=9cm，则b=_______cm． 【答案】3 【解析】 【详解】根据题意可得b2=ac，代入数值，解答出即可，注意线段为正值． 解：由题意得，b2=ac， ∵a=1cm，c=9cm， ∴b2=1×9 =9， b=3，b=-3（负值舍去）； 故答案为3cm． 9. 已知点是线段上的一个黄金分割点，且，，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫作黄金分割，他们的比值叫作黄金比．本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：点是线段上的一个黄金分割点，且，， ． ∴ 故答案为：． 10. 在中，点、分别在边、上，且，，，，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 11. 如图，，，，那么______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据，得出，结合，，可知，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：4 ． 12. 已知点G是△ABC的重心，AG＝4，那么点G与边BC中点之间的距离是 ___． 【答案】2 【解析】 【分析】三角形重心是三角形三条中线的交点，根据三角形重心的性质进行求解． 【详解】解：如图，D是BC边的中点； ∵G是△ABC的重心， ∴AG=2GD=4，即GD=2； 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查的是三角形重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 13. 已知△ABC与ΔA'B'C'相似，并且点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'是对应顶点，其中∠A＝80°，∠B'＝60°，则∠C＝___度． 【答案】40 【解析】 【分析】根据点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'是对应顶点，可得△ABC∽ΔA'B'C'，可求∠B=∠B′=60°，利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵△ABC∽ΔA'B'C'， ∴∠B=∠B′=60°， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=180°-∠A-∠B-=180°-80°-60°=40°， 故答案为40． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和，掌握相似三角形的性质，三角形内角和是解题关键． 14. 如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，如果，那么的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到，根据比例的性质可得，再根据，即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线截线段对应成比例，解题的关键是根据比例性质求得． 15. 已知在中，，点D、E分别在边、上，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的面积比为相似比的平方是解题关键．由题意可得出．又易证，即可推出，再将代入，即可求出的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，正方形的边在的边上，顶点、分别在、上，，如果，，那么正方形的边长等于________. 【答案】； 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到△ADE∽△GBF，得到,代入即可求解. 【详解】∵四边形是正方形， ∴DE=GF,∠AED=∠GFB=90°， ∴∠A+∠ADE=90°， ∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠B=∠ADE ∴△ADE∽△GBF ∴ ∵，， ∴ ∴DE2=6 ∴DE=（-舍去） 即正方形的边长等于， 故填：. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知正方形的性质及相似三角形的判定. 17. 如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积为9．如果AA'＝1，那么A'D的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】由S△ABC＝16、S△A′EF＝9，且AD为BC边的中线知S△A′DE＝S△A′EF＝4.5，S△ABD＝S△ABC＝8，根据△DA′E∽△DAB，知，据此求解可得． 【详解】解：如图， ∵S△ABC＝16、S△A′EF＝9，且AD为BC边的中线， ∴S△A′DE＝S△A′EF＝4.5，S△ABD＝S△ABC＝8， ∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'， ∴A′E∥AB， ∴△DA′E∽△DAB， 则， 即， 解得A′D＝3或A′D＝﹣（舍）， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平移的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质． 18. 如图，在中，，，如果点P在的内部，且满足，那么的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理；通过证明，可得，，由勾股定理可求解． 【详解】解：，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，19题～22题每题10分，23题～24题每题12分，25题14分，满分78分） 19. 已知线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设代入计算即可； （2）由（1）中的结论构建方程求出k即可． 【小问1详解】 解：设 则： 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出进而得出k的值是解题关键． 20. 如图，在△ABC中，DE∥BC，=． （1）如果AD=4，求BD的长度； （2）如果S△ADE=2，求S四边形DBCE的值． 【答案】（1）BD=6；（2）S四边形DBCE=． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可； （2）根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可． 【详解】（1）∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴=， ∵=，AD=4， ∴=， ∴BD=6； （2）∵△ADE∽△ABC，=， ∴=（）2， ∵S△ADE=2， ∴=（）2， 解得：S四边形DBCE=． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，能推出△ADE∽△ABC是解此题的关键，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方． 21. 如图，已知． （1）若，，，求的长； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）13.5 （2）14 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质．熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例，得到，进行求解即可； （2）过点作，交于点，交于，可知，，再证，得，由，得，进而求得，． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴，即：， ∴， ∴； 【小问2详解】 过点作，交于点，交于， 则四边形，四边形，四边形，都是平行四边形， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴． 22. 已知，，点、分别在边、上，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）； （2） ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质可得结论； （1）先证明，进而可得，再利用相似三角形的对应边成比例计算即可； （2）根据线段长计算可得，进而可证明，由此可得，根据同位角相等两直线平行可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 23. 如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF． 求证：（1）∠ADC＝∠BEC； （2）AF•CD＝EF•AC． 【答案】 证明：（1）， ， 在和中，， ， ， ， 即； （2）由（1）已证：， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）已证：， ， 在和中，， ， ，即， 又， ． 【解析】 【分析】（1）先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，由此即可得证； （2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，，然后根据相似三角形的判定可得，最后根据相似三角形的性质、等量代换即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确找出两组相似三角形是解题关键． 24. 在平面直角坐标系中（如图），点、、，联结、． （1）求、的解析式： （2）点D是线段上的一点，联结，如果，求点D的坐标； （3）如果点E在直线上，当平分时，求点E的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为：；直线的解析式为： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，相似三角形的判定及性质，解题关键是能够由题意作出适当的辅助线构造相似三角形． （1）设直线的解析式为​，直线的解析式为，代入点、、，利用待定系数法即可求解； （2）点在线段上，设，，可求得，，结合，可知，列出方程即可求解； （3）由题意可知，，，过点作直线，交于点，则，，，再证，得，即可求得，进而求得，即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：直线经过点和， 设直线的解析式为​， 代入点和的坐标：，解得：， 因此，直线的解析式为：； 直线  经过点和， 设直线的解析式为， 代入点和的坐标：，解得： 因此，直线的解析式为：． 【小问2详解】 点在线段上，设，， ∵点、、，，则， ∴，， ∵， ∴，则， 解得：，则， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 ∵点、、， ∴，， ∴， 过点作直线，交于点，则，，， ∴， ∵平分， ∴，则， ∴， ∴，即， ∴，则， ∴点的坐标为． 25. 已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． （1）求的长； （2）如图，如果，求的值； （3）如果是以为腰的等腰三角形，求长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义以及和的关系，可以得出，，据此求出的长即可； （2）根据和相似，可以求出和的长，过作交于，根据和可求出的值； （3）分情况讨论：当时；当时，即可解答． 【小问1详解】 解：，平分， ， ， 又， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， 过作交于，如图：     ， ， ， 又， ， ， ； 【小问3详解】 解：当时， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，在上截取点，使，如图所示： 则， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、等角的补角相等、相似三角形的判定和性质、平行线的判定及性质、等腰三角形的判定与性质、外角的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确判断相似条件与全等是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年度第一学期10月阶段练习 九年级数学试卷 （满分150分，完卷时间100分钟） 2025.10 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 若ac=bd（ac≠0），则下列比例式中不成立的是( ) A. B. C. D. 2. 如图,已知AB∥CD,AD与CD相交于点O,AO:DO=1:2,则下列式子错误的为( ) A. B. C. D. 3. 在中，点、分别在边、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，， D. ，，， 4. 已知线段a、b、c，作线段x，使，则正确的作法是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题一定正确的是（ ） A. 两个等边三角形一定相似 B. 两个等腰三角形一定相似 C. 两个直角三角形一定相似 D. 两个含有角的等腰三角形一定相似 6. 已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列三角形中与一定相似的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 在比例尺为1﹕的地图上量出、两地的距离是，那么A、B两地的实际距离是_______________千米． 8. 若线段b是线段a和c的比例中项，且a=1cm，c=9cm，则b=_______cm． 9. 已知点是线段上的一个黄金分割点，且，，那么______． 10. 在中，点、分别在边、上，且，，，，那么________． 11. 如图，，，，那么______． 12. 已知点G是△ABC的重心，AG＝4，那么点G与边BC中点之间的距离是 ___． 13. 已知△ABC与ΔA'B'C'相似，并且点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'是对应顶点，其中∠A＝80°，∠B'＝60°，则∠C＝___度． 14. 如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，如果，那么的值是____________． 15. 已知在中，，点D、E分别在边、上，，且，则______． 16. 如图，正方形的边在的边上，顶点、分别在、上，，如果，，那么正方形的边长等于________. 17. 如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积为9．如果AA'＝1，那么A'D的长为_____． 18. 如图，在中，，，如果点P在的内部，且满足，那么的长是______． 三、解答题：（本大题共7题，19题～22题每题10分，23题～24题每题12分，25题14分，满分78分） 19. 已知线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 20. 如图，在△ABC中，DE∥BC，=． （1）如果AD=4，求BD的长度； （2）如果S△ADE=2，求S四边形DBCE的值． 21. 如图，已知． （1）若，，，求的长； （2）若，，，求的长． 22. 已知，，点、分别在边、上，，． （1）求的长； （2）求证：． 23. 如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF． 求证：（1）∠ADC＝∠BEC； （2）AF•CD＝EF•AC． 24. 在平面直角坐标系中（如图），点、、，联结、． （1）求、的解析式： （2）点D是线段上的一点，联结，如果，求点D的坐标； （3）如果点E在直线上，当平分时，求点E的坐标． 25. 已知中，，平分，，．点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、相交于点． （1）求的长； （2）如图，如果，求的值； （3）如果是以为腰的等腰三角形，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $