专题03 锐角三角函数（压轴题专项训练）数学苏科版九年级下册

专题03 锐角三角函数 目录 典例详解 类型一、网格中的三角函数 类型二、胡不归模型 类型三、12345模型 类型四、三角函数的应用 类型五、三角函数与圆 类型六、三角函数与相似 类型七、三角函数与二次函数 类型八、三角函数与特殊三角形 类型九、三角函数与特殊四边形 类型十、三角函数的新定义 类型一、网格中的三角函数 一、核心知识点 网格特征：由边长为1的小正方形组成，顶点称为格点，网格线形成直角坐标系。 三角函数定义：在直角三角形中，sinθ=对边/斜边，cosθ=邻边/斜边，tanθ=对边/邻边。 关键难点：网格中常无现成直角三角形，需通过构造或转化求解。 二、构造直角三角形法 垂直构造法： 操作步骤： 选点定位：确定目标角顶点及两边端点。 垂直投影：过顶点向网格线作垂线。 计算三边：利用网格单位长度计算直角三角形边长。 案例：在网格中，点B(2,3)，BA向东北延伸至A(4,5)，BC向东南延伸至C(5,1)。 过B作y轴垂线交BA于D(2,5)、BC于E(5,3)。 △BDE中，DE=3，BE=2，tan∠ABC=3/2。 平移构造法： 适用场景：关键点分布松散或跨象限时。 操作步骤： 平移选定：沿网格线平移图形。 坐标重置：更新所有点坐标。 逆向还原：将结果还原至原坐标系。 案例：网格中A(1,1)、B(4,5)、C(7,2)。 将△ABC向左平移1格，向下平移1格，得A'(0,0)、B'(3,4)、C'(6,1)。 过A'作x轴垂线交B'C'于D'(3,0)，计算得A'D'=3，AD'=5，sin∠BAC=3/5。 三、等角转化法 平行线转化： 原理：利用平行线性质将目标角转化为等角。 案例：在边长为1的网格中，AB、CD相交于点P。 连接BE使CD∥BE，则∠APD=∠B。 在Rt△ABE中，AE=2，BE=1，tan∠B=2。 对称转化： 原理：利用图形对称性转化角度。 案例：在菱形网格中，∠O=60°。 连接DA、DC，得∠ADB=90°，AD=√3，DB=2，tan∠ABC=√3/2。 四、面积法与勾股定理法 面积法： 操作步骤： 作高线：过顶点作对边垂线。 等积计算：利用三角形面积公式S=1/2×底×高。 求解边长：通过面积相等关系求出高。 案例：在△ABC中，AB=5，BC=4，面积S=6。 由S=1/2×BC×AD=6，得AD=3。 由勾股定理，BD=4，cos∠ABC=4/5。 勾股定理法： 操作步骤： 设未知数：假设相关线段长度为x。 建立方程：根据勾股定理建立方程。 求解边长：解方程得到所需边长。 案例：在△ABC中，AC=√13，BC=2，AB=3。 过C作CD⊥AB于D，设AD=x，则BD=3-x。 由AC²-AD²=BC²-BD²，得13-x²=4-(3-x)²，解得x=2，CD=√=3，sin∠BAC=3/√13。 五、高频易错点 坐标平移遗漏：平移后未同步更新所有点坐标，导致构造错误。 网格单位混淆：将1格长度误认为1单位，实际可能需计算对角线长度√2。 锐角钝角误判：未通过构造后的直角三角形边长关系判断角度性质。 例1．如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．3 变式1-1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上（网格线的交点），则的值为（　　） A． B． C． D． 变式1-2.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点，，均在网格线的交点上，则的值是 ． 变式1-3.如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是 ． 类型二、胡不归模型 锐角三角函数的胡不归模型知识点与方法 一、模型核心本质 胡不归模型通过构造特殊角，将含系数的线段和转化为垂线段最短问题。其数学本质是利用三角函数关系实现线段加权和的降维求解，典型形式为求“PA + k·PB”（k < 1）的最小值。当系数k > 1时，需提取系数转化为k的标准形式。 二、模型识别特征 题干标志：出现两段速度差异表述（如v₁ ≠ v₂）、表达式含“PA + k·PB”或时间=距离/速度的复合形式。 几何特征：存在动点P在定直线运动，两定点A、B构成三角构造框架，系数k与速度比直接相关。 动态特征：通过线段长度变化（折叠、平移、旋转）引发三角函数值变动，形成动态最值问题。 三、解题三阶方法论 （一）速度比转化阶段 建立速度比k = v₁/v₂（k < 1），将k·PB转化为PB·sinθ（θ为构造角）。核心公式为最短时间=AP + (v₁/v₂)BP，当k = √2/2时对应45°角，k = 1/2时对应30°角。 典型应用：在△ABC中，∠A=15°，AB=10，P为AC边上的动点，求√2/2AP + PB的最小值。通过构造等腰直角三角形，将√2/2AP转化为PD，最终解得BE=10×√3/2=5√3。 （二）构造转化阶段 特殊角构造：优先采用30°、45°、60°特殊角简化运算。当k = 1/2时构造30°角，k = √2/2时构造45°角，通过直角三角形边长比例强化系数转化逻辑。 轨迹验证：通过特殊位置法三步验证极值：标轨迹→算端点/中点/极值点→数值反推规律。例如在平行四边形中求(1/2)BP + PD最小值时，需验证动点P在直线上的多个位置。 （三）极值求解阶段 垂线段最短原理：当A、P、H（垂足）共线且PH垂直构造边时，PA + PH取得最小值。最终解为点A到构造边的垂直距离。 典型案例：在平面直角坐标系中，一次函数y=-√3x+3与坐标轴交于A、B两点，C为y轴上一动点，求2AC + BC的最小值。通过构造30°角，将1/2BC转化为CD，最终解得2AC + BC的最小值为6。 四、避坑指南与高阶策略 系数处理陷阱：当k > 1时必须提取系数转化。例如3PA + 2PB应转化为3(PA + 2/3PB)，避免直接构造导致的几何错误。 角度优选原则：优先匹配系数与特殊角三角函数值。如系数为√3/2时构造60°角，系数为1/2时构造30°角，确保构造的准确性。 模型区分要点：与阿氏圆模型的关键区别在于动点轨迹。胡不归模型动点在直线运动，而阿氏圆模型动点在圆周运动，二者最值原理完全不同。 例2．如图，为正方形内一点，且，过作于，为线段上的一动点，若正方形的边长为4，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 变式2-1．如图，是的直径，切于点交的延长线于点．设点是弦上任意一点（不含端点），若，，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 变式2-2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴分别交于点和点，过顶点的直线轴于点，点为线段上一点，点在线段上，且，当取最小值时，则 ． 变式2-3.综合与探究 已知抛物线与轴交于两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连接，其中点，，，如图所示． (1)求抛物线的解析式； (2)设是抛物线上位于线段上方的一个动点，求的面积的最大值； (3)是对称轴上一点，连接，求的最小值． 类型三、12345模型 一、核心知识点 模型定义：由两个锐角α和β组成，满足以下条件之一： 角度和为45°：α + β = 45° 正切值特殊：tanα = 1/2且tanβ = 1/3，或tanα = 1/3且tanβ = 1/2 数学本质：基于两角和的正切公式tan = / ，当α + β = 45°时，tan = 1，推导出tanα与tanβ的倒数关系。 扩展规律：若tanα = b/a，则tanβ = (a - b)/(a + b)（α + β = 45°时）；若α + 45° = β，则tanβ = (a + b)/(a - b)。 二、核心方法 知二推一法 应用场景：已知两角中一角的正切值及两角和为45°，求另一角的正切值。 操作步骤： 设tanα = 1/2，代入公式tan(45°) = / = 1，解得tanβ = 1/3。 反之，已知tanβ = 1/3，可反推tanα = 1/2。 优势：快速验证角度关系，避免复杂计算。 构造法 网格构造： 在正方形网格中，连接“日”字形对角线构造tanα = 1/2的角。 连接相邻对角线构造tanβ = 1/3的角，组合后验证α + β = 45°。 特殊三角形构造： 在等腰直角三角形中，取直角边中点与斜边顶点相连，构造tanα = 1/2和tanβ = 1/3的角。 原理：利用相似三角形对应边成比例的性质。 一线三垂直法 操作步骤： 画一条直线，选取三个点A、B、C。 过A、B、C分别作垂线，形成两个直角三角形。 利用角互余关系证明三角形相似，推导出tanα = 1/2和tanβ = 1/3时，α + β = 45°。 优势：从几何角度直观解释模型原理。 三、典型应用场景 网格题：在正方形网格中构造直角三角形，利用网格线计算角度。 折叠问题：正方形纸张折叠后，通过正切值推导线段比例。 直角三角形构造：涉及45°角或正切值为1/2、1/3的角时，直接应用模型简化计算。 坐标系解析：设定直角坐标系，用斜率表示正切值，通过坐标变换验证角度和。 四、解题技巧 识别条件：题目中出现45°角或正切值1/2、1/3时，优先考虑模型。 逆向思维：已知两角和为45°，反推两角正切值。 变式应用：如计算tan2α = 4/3（对应3:4:5三角形）时，利用模型扩展规律。 五、注意事项 限制条件：模型适用于快速解题，解答题中需完整证明过程。 扩展应用：若两角之和仍为45°，但正切值不同（如1/4与3/5），可用类似思路构造新模型。 例3．如图，在正方形中，点分别在边上，且交于点，交于点．若F是的中点，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 变式3-1．如图，二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点从点出发向点运动，点在上，且，则图中阴影部分面积的最小值是（　　） A． B． C．9 D． 变式3-2.正方形边长为6，点E是边上的动点，连接，交于点P，过点A作，交于点，过点B作于点G，交于点H，连接．以下说法：①当时，点F为的中点；②当时，；③；④点E运动过程中，有最小值6．其中结论正确的有 变式3-3.【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．易证，此时的值是___________； 【拓展延伸】     （2）如图2，在矩形中，，对角线，相交于点O，E、F分别是边和对角线上的点，连接，，，，求的长． 类型四、三角函数的应用 一、核心知识点 （一）基础定义 在直角三角形ABC中，∠C=90°，定义如下： 正弦（sinA）=∠A对边/斜边=a/c 余弦（cosA）=∠A邻边/斜边=b/c 正切（tanA）=∠A对边/邻边=a/b 余切（cotA）=∠A邻边/对边=b/a （二）特殊角函数值 30°：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3 45°：sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1 60°：sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3 （三）函数关系 平方关系：sin²α+cos²α=1 商数关系：tanα=sinα/cosα 互余关系：sinα=cos，tanα=cot （四）应用术语 仰角：视线在水平线上方的夹角 俯角：视线在水平线下方的夹角 坡度：垂直高度与水平距离的比值（i=tanα） 二、典型解题方法 （一）构造直角三角形法 适用于非直角三角形问题，通过作高线转化为直角三角形。例如： 已知三角形ABC中，∠A=30°，BC=√10，tanB=1/3。作CD⊥AB于D，在Rt△BCD中，CD=BD×tanB；在Rt△ACD中，AC=2CD。联立方程可求AB长度。 （二）方程建模法 适用于多条件关联问题。例如： 直升机在跨江大桥AB上方P点，两端仰角分别为37°和45°。设PD=x，则AD=x/tan37°≈4x/3，BD=x。由AB=400米得方程：4x/3 + x = 400，解得x≈171米。 （三）等角替代法 利用等角或互余角转换。例如： 在△ABC中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB。已知sinA=3/5，可直接得cosB=3/5。 （四）比例估计法 适用于范围估算问题。例如： 树影长10米，太阳角37°。因tan30°<tan37°<tan45°，即√3/3<tan37°<1，故树高h范围：10×√3/3≈5.77米 < h < 10米。 三、实际应用步骤 （一）问题转化 将实际问题抽象为几何模型。例如测量旗杆高度： 观测点距旗杆底部10米，仰角45°，测角仪高1.5米。构造Rt△AEB，AE=BD×tan45°=10米，旗杆总高=AE+CD=11.5米。 （二）元素对应 明确已知条件与三角函数元素的对应关系： 已知两边→勾股定理 已知一边一角→三角函数定义 已知两角→三角形内角和定理 （三）计算验证 例如热气球测高楼问题： 水平距离120米，顶部仰角30°，底部俯角60°。作AD⊥BC于D，BD=120×tan30°=40√3米，CD=120×tan60°=120√3米，总高=BD+CD=160√3≈277米。 四、常见题型 （一）测量类 包括高度测量（旗杆、建筑物）、距离测量（河宽、航程） （二）工程类 坡度计算（大坝横断面）、角度设计（桥梁拱架） （三）航海类 方位角计算（船只定位）、航向调整（风向修正） 例4．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，， ，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)求广告牌的高度． 变式4-1．印江文昌阁，始建于明代嘉靖十年，阁建不久，因故被毁，崇祯二年，由时任印江知县史谏重修之，始名文昌阁，小亮和小刚想利用自己所学知识来测量文昌阁的高度，如图，小亮的目高为米，他站在处测得塔顶的仰角为，小刚的目高EF为米，他站在距离塔底中心点米远的处，测得塔顶的仰角为．（点在同一水平线上）．（参考数据：，，） (1)求小亮与塔底中心的距离；（用含的式子表示） (2)若小亮与小刚相距米，求文昌阁的高度． 变式4-2.如图，某船向正东方向航行，在A处望见某岛C在北偏东方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东方向，已知该岛周围8海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．（参考数据） 变式4-3.为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具．如图1所示的是一辆自行车的实物图，车架档与垂直且，，座杆的长为，点A、C、E在同一条直线上，且，，如图2． (1)求车架档的长； (2)求车座点E到车架档的距离．（结果保留根号，参考数据：，，） 类型五、三角函数与圆 一、锐角三角函数核心概念 （一）定义与表达式 在直角三角形ABC中，∠C=90°时： 正弦（sinA）= 对边BC/斜边AB 余弦（cosA）= 邻边AC/斜边AB 正切（tanA）= 对边BC/邻边AC （二）特殊角函数值 30°：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3 45°：sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1 60°：sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3 记忆口诀：分子"123,321"，分母"二三九" （三）函数性质 增减性：正弦、正切随角度增大而增大（0°<α<90°），余弦随角度增大而减小 互余关系：sinα=cos，cosα=sin 二、圆的相关知识体系 （一）基础概念 圆的定义：到定点距离等于定长的点的集合 核心要素：圆心（O）、半径（r）、直径（d=2r） 对称性：圆是轴对称图形（直径为对称轴），中心对称图形（圆心为对称中心） （二）垂径定理应用 定理内容：垂直于弦的直径平分弦及所对弧 推论应用：平分非直径弦的直径垂直于弦 典型场景：求弦长、弧长、圆心角 （三）圆心角与圆周角 圆心角定理：同圆中相等圆心角对应相等弧和弦 圆周角定理：同弧所对圆周角=圆心角/2 直径圆周角：直径所对圆周角恒为90° 三、三角函数与圆的深度关联 （一）单位圆模型 坐标定义：角α终边与单位圆交点P(x,y)时，sinα=y，cosα=x，tanα=y/x 三角函数线：正弦线（MP）、余弦线（OM）、正切线（AT） （二）圆中三角函数计算 构造方法： 通过直径构造直角三角形 利用切线性质转化角度 应用同弧圆周角相等原理 典型例题： 已知圆半径r和弦长l，求弦所对圆周角的正弦值 通过切线长定理求圆外一点到圆的距离 （三）几何推导应用 圆面积公式推导： 通过三角函数代换X=rcosθ，Y=rsinθ 将面积积分∫√dx转化为∫r²sinθdθ 计算得S=πr² 四、解题方法论 （一）直角三角形构造策略 已知条件处理： 有边求边：直接应用三角函数定义 无边设参：设未知数表示边长 关键步骤： 标注已知元素（边、角） 确定求解顺序（先角后边） 应用勾股定理校验结果 （二）圆问题转化技巧 切线问题处理： 判定定理：过半径外端且垂直半径的直线为切线 性质应用：切线长定理求距离 综合问题解决： 将圆周角转化为圆心角计算 利用垂径定理求弦长 （三）实际应用模型 仰角俯角问题： 构建直角三角形模型 应用tanα=高度/水平距离 坡度问题处理： 坡度i=h/l=tanα 通过坡角求高度或水平距离 例5．如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且． (1)求证：为圆的切线； (2)若，求的长． 变式5-1．如图，以点为圆心的圆与轴、轴分别交于点，与相切于点的直线交坐标轴分别于点、． (1)求的半径； (2)如图，连接，弦交轴于点，若，求的值． (3)如图，点为上一个动点，连接，求的最小值． 变式5-2.如图，为圆的直径，、为圆上不同于、的两点，过点作圆的切线交直线于点，直线于点． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 变式5-3.如图，已知是的外接圆，，是圆上一点，是延长线上一点，连结，，且，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，的半径为5，求的长． 类型六、三角函数与相似 二、相似三角形判定体系 （一）判定定理 1、AA判定：两角对应相等的三角形相似 2、SAS判定：两边成比例且夹角相等的三角形相似 3、SSS判定：三边成比例的三角形相似 4、特殊判定：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似 （二）性质特征 1、对应角相等：∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C' 2、对应边成比例：AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'=k（相似比） 3、周长比等于相似比：C/C'=k 4、面积比等于相似比平方：S/S'=k² 三、核心解题方法 （一）三角函数解法 1、构造直角三角形：在非直角三角形中，通过作高线构造直角三角形 例：在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=10，求AC长度 解：作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，BD=AD=x 在Rt△ACD中，tan60°=AD/CD=√3 → x/(10-x)=√3 → x=15-5√3 AC=2x=30-10√3 2、特殊角应用：利用30°-45°-60°三角板边长比例 例：等腰三角形顶角30°，腰长2，求底边长 解：作底边高，得两个含30°的直角三角形 底边一半=腰长×sin15°=2×(√6-√2)/4=√6-√2 底边长=2(√6-√2) （二）相似三角形解法 1、比例线段转换：通过中间比建立等式 例：在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，DE=4，求BC 解：AD/AB=DE/BC → 2/5=4/BC → BC=10 2、动态问题处理：设未知数建立方程 例：点P在AB上从A向B运动，速度2cm/s，点Q在AC上从A向C运动，速度3cm/s，AB=10，AC=15，求何时△APQ∽△ABC 解：设运动时间t秒，AP=2t，AQ=3t 当∠A为公共角时，AP/AB=AQ/AC → 2t/10=3t/15 → t∈R（恒成立） 当∠A为对应角时，AP/AC=AQ/AB → 2t/15=3t/10 → 无解 故任意时刻都相似 四、综合应用策略 （一）测量问题建模 例：测楼高问题，在距楼底30米处测楼顶仰角30°，求楼高 解：tan30°=h/30 → h=30×√3/3=10√3米 （二）几何变换处理 1、位似变换：通过相似中心进行图形缩放 例：将△ABC以A为位似中心，放大2倍得△A'B'C'，若B(1,2)，求B'坐标 解：B'(2×1,2×2)=(2,4) 2、旋转变换：利用旋转相似构造全等 例：将△ABC绕A旋转60°得△AB'C'，求证△ABB'∽△ACC' 证明：AB=AB'，AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'=60° 由SAS判定得△ABB'≌△ACC'（实际为相似特例） 例6．如图，在中，，，，过点的圆与斜边相切于点，与，边分别交于点，（异于的交点）． (1)求的值； (2)的长是否有最小值？如果有，请求出该值；如果没有，请说明理由； (3)若与相似，连接，求的面积． 变式6-1．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线的对称轴是直线，该抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），，与轴交于点，顶点为点，把抛物线沿轴向下平移得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，记新抛物线的顶点为点，直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平移过程中，与之间是否存在确定的数量关系，若存在，请求出它们之间的数量关系，若不存在，请说明你的理由； (3)连接，若与相似，求此时新抛物线的表达式． 变式6-2.综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形相似的证明”开展主题学习活动． 【特例探究】 已知：在中，点为边的中点，点是边上一点，点在线段的延长线上，，点在线段上，． （1）如图1，当时，求证：； 【变式思考】 （2）如图2，当时，则线段、之间的数量关系为：______． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下延长到，使，连接，若，，求的值． 变式6-3.如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，于点H，，． (1)求的值； (2)设，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）； (3)当时，判断与是否相似并说明理由． 类型七、三角函数与二次函数 二次函数知识点与方法 定义与表达式 一般式：y = ax² + bx + c（a ≠ 0），a决定开口方向与大小，b、c影响对称轴与顶点位置。 顶点式：y = a(x-h)² + k，顶点为(h,k)，对称轴为x=h。 交点式：y = a(x-x₁)(x-x₂)，与x轴交点为(x₁,0)和(x₂,0)。 图像性质 开口方向：a > 0时向上，a < 0时向下。 对称轴：x = -b/2a。 顶点坐标：。 最值：a > 0时，顶点为最小值点；a < 0时，顶点为最大值点。 表达式转换 配方法：将一般式转为顶点式，便于分析图像性质。 例如：y = x² + 4x + 3 配方后为 y = (x+2)² -1。 实际应用 利润最大化问题：构建二次函数模型，通过求顶点确定最优解。 抛物线运动问题：如投掷物体轨迹，利用二次函数描述高度与时间关系。 与一元二次方程的关系 根的判别式：Δ = b² - 4ac > 0时，与x轴有两个交点；Δ = 0时，有一个交点；Δ < 0时，无交点。 根与系数关系：x₁ + x₂ = -b/a，x₁x₂ = c/a。 三、综合应用方法 数形结合 利用图像直观分析函数性质，如开口方向、对称轴、最值等。 在解直角三角形时，通过画图明确已知与未知元素关系。 分类讨论 在解复杂问题时，根据条件变化（如角度大小、函数类型）进行分类讨论。 例如，在解直角三角形时，根据仰角或俯角的不同情况分别求解。 方程思想 通过建立方程（组）求解未知数，如利用三角函数关系式或二次函数表达式建立方程。 特殊值法 在选择题或填空题中，利用特殊值（如特殊角的三角函数值）快速求解。 例7．二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 变式7-1．已知在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于点，B，与y轴交于点C，连接，则． (1)试求抛物线解析式； (2)连接，若在直线上方的抛物线上有一动点P，连接交于点Q，试求的最大值． 变式7-2.如图，二次函数的图象与轴交于A，两点，与轴交于点，且． (1)求的值； (2)若是二次函数图象在第一象限内的一个动点，作轴于点，与轴交于点． 连接，，当时，求的面积； 判断与的数量关系，并说明理由． 变式7-3.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，． (1)求二次函数的解析式． (2)如图，是抛物线上点与点之间的动点不包括点，点，连接，，，若，求的值． 类型八、三角函数与特殊三角形 特殊三角形三角函数值 （一）30°-60°-90°三角形 边长比例：1（短直角边）:√3（长直角边）:2（斜边） 关键函数值： sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3 sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3 （二）45°-45°-90°三角形 边长比例：1:1:√2 关键函数值： sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1 （三）记忆技巧 1、对称性记忆：sin30°=cos60°，sin45°=cos45° 2、递增规律：0°→90°过程中，sin值从0增至1，cos值从1减至0 3、特殊值关联：tan30°=1/√3，tan60°=√3，二者互为倒数 三、解直角三角形方法体系 （一）基础解法 1、已知两边时： 应用勾股定理求第三边 通过三角函数求角度（如已知a、c，则sinA=a/c，A=arcsin(a/c)） 2、已知一边一角时： 应用tanA=a/b求另一边 应用sinA=a/c或cosA=b/c求斜边 （二）典型应用场景 1、坡度问题：坡比i=tanα（α为坡角） 2、仰俯角问题：视线与水平线夹角计算 3、方向角问题：目标方向与基准方向夹角计算 （三）解题步骤规范 1、构建几何模型：将实际问题转化为直角三角形 2、标注已知元素：明确边长、角度等已知条件 3、选择函数关系：根据已知条件选择sin、cos、tan等函数 4、实施逆向验证：通过反推验证计算结果的合理性 例8．【操作发现】（1）如图1，在和中，，，求的值； 【问题解决】（2）如图2，在和中，，，点在内部，延长交直线于点，求的值； 【灵活应用】（3）如图3，已知中，，以为底边在外作等腰三角形，且，连接，则的长为___________． 、 变式8-1．综合实践课上，数学兴趣小组以三角形为研究对象进行了数学探究活动． 初步探究： （1）如图①，在中，，．以为斜边作等腰直角，其中．分别过点，作于点，于点．则与的数量关系为__________． 拓展延伸： （2）如图②，将图①中的绕点沿顺时针方向旋转得到，射线与直线交于点． ①当时，四边形的形状为__________； ②当时，请你写出，，的数量关系，并证明你的结论． 综合运用： （3）在旋转的过程中，若，当，时，请直接写出的长度． 变式8-2.综合与实践 【初步感知】 如图1，在边长为4的菱形中， ，E，F分别是的中点，连接，将绕点A顺时针旋转 （1）的长为 ； 【知识应用】 （2）如图2，当 时，设与的交点为H，的长为x， 的面积为y．求y与x的函数表达式； 【知识应用】 （3）如图3，连接． ①求的最大值； ②当点B，D，E构成的三角形是直角三角形时，直接写出的长． 变式8-3.某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：    【初探猜想】如图1，在正方形中，点E，F分别是、上的两点，连接，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，点E、F分别是边上一点，点G、H分别是边上一点，连接，若，则=______； 【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段上， 且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中， E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，求的最小值． 类型九、三角函数与特殊四边形 一、锐角三角函数基础 定义：在直角三角形中，锐角∠A的对边与邻边的比称为正切(tanA)，对边与斜边的比称为正弦(sinA)，邻边与斜边的比称为余弦(cosA)。 特殊角函数值：30°、45°、60°的三角函数值需熟记，例如sin30°=1/2，cos45°=√2/2，tan60°=√3。 变化规律：角度在0°至90°间变化时，正弦值与正切值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小。 二、特殊四边形分类与性质 矩形：对边相等且平行，四个角均为直角，对角线相等且互相平分。 菱形：四条边相等，对角线互相垂直平分且平分每组对角。 正方形：兼具矩形与菱形性质，四条边相等，四个角均为直角，对角线相等且互相垂直平分。 三、锐角三角函数在特殊四边形中的应用 矩形问题：折叠矩形时，利用三角函数可计算折叠后线段长度或角度变化。例如，折叠矩形ABCD使点D落在BC边F处，通过三角函数可求出BF或CF的长度。 菱形问题：在由菱形组成的网格中，利用三角函数可计算格点间角度或距离。例如，已知菱形的一个角为60°，A、B、C为格点，通过tan∠ABC可求出特定角度值。 正方形问题：结合对称性与三角函数可解决正方形中的几何变换问题。例如，在正方形ABCD中，通过旋转或翻折构造直角三角形，利用三角函数求出变换后的线段长度或角度。 四、解题方法与技巧 构造直角三角形：在非直角三角形图形中，通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为三角函数计算。例如，在四边形中作高线，形成直角三角形后利用三角函数求解。 利用对称性简化计算：特殊四边形具有轴对称或中心对称性质，通过对称变换可简化计算过程。例如，在矩形折叠问题中，利用对称性确定折叠后点的位置。 综合应用几何定理：结合勾股定理、相似三角形判定等几何知识，与三角函数形成解题体系。例如，在正方形中通过证明三角形相似，结合三角函数值求出未知边长。 五、典型题型解析 已知边角关系求长度：在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，∠DAE=30°，利用sin30°=1/2可求出DE的长度。 动态几何中的最值问题：在菱形ABCD中，点E沿边BC移动，通过三角函数表达AE长度与∠BAE的关系，利用函数性质求出AE的最小值。 几何变换中的角度计算：在正方形ABCD中，将△ABE绕点B旋转90°至△CBF，通过三角函数计算旋转后∠BCF的度数。 例9．如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为，，，点D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标； (3)连接，点M是抛物线上的动点且在直线上方，求点到直线距离最大时，点的坐标及最大距离值． 变式9-1．在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O和点，点是抛物线上的点，且在对称轴右侧，连接，点C为抛物线顶点． (1)求m，n，t的值； (2)点C坐标为______，______； (3)过点C作轴于点D，交于点E，连接，求的面积； (4)点M是射线上一点，点N是平面内一点，存在以O、A、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标． 变式9-2.如图，在中，，，，点D为的中点，点Q从点C出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动，点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度，沿折线向终点C运动，Q，P两点同时出发，当点Q 停止时，点P也随之停止．设点Q运动的时间为t秒． (1)求当时t的值； (2)过点P作于点E，以为邻边作矩形，设矩形与重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 变式9-3.如图，正方形的一边在直线l上，直线交直线l于点D，，点F在直线l上，连接，过点F作交直线于点E．          (1)如图1，当点为线段的中点时，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点F在线段上运动时，判断（1）中的数量关系是否依然成立，并说明理由； (3)若，连接，交正方形一边于点M，直接写出的值． 类型十、三角函数的新定义 锐角三角函数的性质 值域特性：由于直角三角形斜边大于直角边，且边长均为正数，故0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0。 增减性规律： 正弦值与正切值随角度增大而增大； 余弦值随角度增大而减小。 互余关系：若两角互余（A+B=90°），则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1。 平方关系：sin²A+cos²A=1，此公式可用于边长计算或角度推导。 特殊角的三角函数值 常见角度值： 30°：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3； 45°：sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1； 60°：sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3。 记忆技巧：通过单位圆或等腰直角三角形、含30°角的直角三角形边长关系辅助记忆。 解直角三角形的方法 已知条件分类： 已知两边：利用勾股定理求第三边，再通过三角函数求角度； 已知一边一角：通过三角函数求其他边，利用互余关系求另一角。 解题步骤： 构造直角三角形：若原图形非直角三角形，需通过作高线等方式构造； 确定锐角：利用已知角或互余关系确定待求角； 边角关系应用：根据sinA=对边/斜边、cosA=邻边/斜边、tanA=对边/邻边列方程求解。 实际应用中的方法 实际问题转化：将测量高度、坡度计算等问题转化为解直角三角形问题，例如： 测量树高：已知水平距离d和仰角θ，则树高h=d·tanθ； 坡度计算：坡度i=垂直高度/水平距离=tanα（α为坡角）。 示意图绘制：通过画图明确已知条件与未知量的位置关系，辅助建立数学模型。 例10．定义：与三角形的一个内角相邻的外角平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角，我们称之为该三角形第三个内角的对望角． (1)如图1，是中的对望角，若，请用含α的代数式表示； (2)如图2，在四边形中，，垂直平分，延长交的外角平分线于点F，求证：是中的对望角； (3)如图3，在中，，，交的外角平分线于点E，连接，的外接圆交于F、交于D，连接、、，，当时，求的面积． 变式10-1．我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是_______． A．        B．        C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且点是的相似心，． ①求的度数． ②直接写出的值． 变式10-2.新定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“射影点”． (1)如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用无刻度的直尺画出边上的一个“射影点”． (2)中，，点D是边上的“射影点”，求线段的长． (3)如图3，是的内接三角形，于点H，连接并延长交于点D． ①求证：点H是中边上的“射影点”． ②若的半径为9，，请直接写出的值． 变式10-3.综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“双直四边形”进行研究． 定义：在四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做双直四边形． (1)观察思考 如图，在双直四边形中，，若，则的值为________． (2)初步探究 如图，在双直四边形中，，过点作交于点．若，请猜想和之间的数量关系，并说明理由． (3)类比探究 如图，在（）的基础上，若、、，求的长（用含，，的代数式表示）． (4)拓展应用 如图，在双直四边形中，．，，为线段上一动点，且（，连接，作点关于直线的对称点，连接．若，请直接写出的长． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 锐角三角函数 目录 典例详解 类型一、网格中的三角函数 类型二、胡不归模型 类型三、12345模型 类型四、三角函数的应用 类型五、三角函数与圆 类型六、三角函数与相似 类型七、三角函数与二次函数 类型八、三角函数与特殊三角形 类型九、三角函数与特殊四边形 类型十、三角函数的新定义 类型一、网格中的三角函数 一、核心知识点 网格特征：由边长为1的小正方形组成，顶点称为格点，网格线形成直角坐标系。 三角函数定义：在直角三角形中，sinθ=对边/斜边，cosθ=邻边/斜边，tanθ=对边/邻边。 关键难点：网格中常无现成直角三角形，需通过构造或转化求解。 二、构造直角三角形法 垂直构造法： 操作步骤： 选点定位：确定目标角顶点及两边端点。 垂直投影：过顶点向网格线作垂线。 计算三边：利用网格单位长度计算直角三角形边长。 案例：在网格中，点B(2,3)，BA向东北延伸至A(4,5)，BC向东南延伸至C(5,1)。 过B作y轴垂线交BA于D(2,5)、BC于E(5,3)。 △BDE中，DE=3，BE=2，tan∠ABC=3/2。 平移构造法： 适用场景：关键点分布松散或跨象限时。 操作步骤： 平移选定：沿网格线平移图形。 坐标重置：更新所有点坐标。 逆向还原：将结果还原至原坐标系。 案例：网格中A(1,1)、B(4,5)、C(7,2)。 将△ABC向左平移1格，向下平移1格，得A'(0,0)、B'(3,4)、C'(6,1)。 过A'作x轴垂线交B'C'于D'(3,0)，计算得A'D'=3，AD'=5，sin∠BAC=3/5。 三、等角转化法 平行线转化： 原理：利用平行线性质将目标角转化为等角。 案例：在边长为1的网格中，AB、CD相交于点P。 连接BE使CD∥BE，则∠APD=∠B。 在Rt△ABE中，AE=2，BE=1，tan∠B=2。 对称转化： 原理：利用图形对称性转化角度。 案例：在菱形网格中，∠O=60°。 连接DA、DC，得∠ADB=90°，AD=√3，DB=2，tan∠ABC=√3/2。 四、面积法与勾股定理法 面积法： 操作步骤： 作高线：过顶点作对边垂线。 等积计算：利用三角形面积公式S=1/2×底×高。 求解边长：通过面积相等关系求出高。 案例：在△ABC中，AB=5，BC=4，面积S=6。 由S=1/2×BC×AD=6，得AD=3。 由勾股定理，BD=4，cos∠ABC=4/5。 勾股定理法： 操作步骤： 设未知数：假设相关线段长度为x。 建立方程：根据勾股定理建立方程。 求解边长：解方程得到所需边长。 案例：在△ABC中，AC=√13，BC=2，AB=3。 过C作CD⊥AB于D，设AD=x，则BD=3-x。 由AC²-AD²=BC²-BD²，得13-x²=4-(3-x)²，解得x=2，CD=√=3，sin∠BAC=3/√13。 五、高频易错点 坐标平移遗漏：平移后未同步更新所有点坐标，导致构造错误。 网格单位混淆：将1格长度误认为1单位，实际可能需计算对角线长度√2。 锐角钝角误判：未通过构造后的直角三角形边长关系判断角度性质。 例1．如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．取格点，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由题意得：， ， ， ，， 即， 是直角三角形， ， ． 故选：C． 变式1-1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上（网格线的交点），则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，求角的正弦值，取格点，连接，由网格线的特征易得共线，根据勾股定理得到，然后利用勾股定理求出，，然后利用代入求解即可．解题的关键是正确作出辅助线． 【详解】解：如图所示，连接， 由网格线的特征得共线， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 变式1-2.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点，，均在网格线的交点上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，圆周角定理，求余弦，熟练掌握以上知识是解题的关键．连接并延长交于点，连接，则，，利用勾股定理求解的长，再根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1-3.如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题． 如图，连接，，证明，、C、B共线，再根据解题即可． 【详解】解：如图，连接，， 设菱形的边长为，由题意得，，，， ∴， 则， ∵， ∴， ∴、、共线， 在中， ． 故答案为：． 类型二、胡不归模型 锐角三角函数的胡不归模型知识点与方法 一、模型核心本质 胡不归模型通过构造特殊角，将含系数的线段和转化为垂线段最短问题。其数学本质是利用三角函数关系实现线段加权和的降维求解，典型形式为求“PA + k·PB”（k < 1）的最小值。当系数k > 1时，需提取系数转化为k的标准形式。 二、模型识别特征 题干标志：出现两段速度差异表述（如v₁ ≠ v₂）、表达式含“PA + k·PB”或时间=距离/速度的复合形式。 几何特征：存在动点P在定直线运动，两定点A、B构成三角构造框架，系数k与速度比直接相关。 动态特征：通过线段长度变化（折叠、平移、旋转）引发三角函数值变动，形成动态最值问题。 三、解题三阶方法论 （一）速度比转化阶段 建立速度比k = v₁/v₂（k < 1），将k·PB转化为PB·sinθ（θ为构造角）。核心公式为最短时间=AP + (v₁/v₂)BP，当k = √2/2时对应45°角，k = 1/2时对应30°角。 典型应用：在△ABC中，∠A=15°，AB=10，P为AC边上的动点，求√2/2AP + PB的最小值。通过构造等腰直角三角形，将√2/2AP转化为PD，最终解得BE=10×√3/2=5√3。 （二）构造转化阶段 特殊角构造：优先采用30°、45°、60°特殊角简化运算。当k = 1/2时构造30°角，k = √2/2时构造45°角，通过直角三角形边长比例强化系数转化逻辑。 轨迹验证：通过特殊位置法三步验证极值：标轨迹→算端点/中点/极值点→数值反推规律。例如在平行四边形中求(1/2)BP + PD最小值时，需验证动点P在直线上的多个位置。 （三）极值求解阶段 垂线段最短原理：当A、P、H（垂足）共线且PH垂直构造边时，PA + PH取得最小值。最终解为点A到构造边的垂直距离。 典型案例：在平面直角坐标系中，一次函数y=-√3x+3与坐标轴交于A、B两点，C为y轴上一动点，求2AC + BC的最小值。通过构造30°角，将1/2BC转化为CD，最终解得2AC + BC的最小值为6。 四、避坑指南与高阶策略 系数处理陷阱：当k > 1时必须提取系数转化。例如3PA + 2PB应转化为3(PA + 2/3PB)，避免直接构造导致的几何错误。 角度优选原则：优先匹配系数与特殊角三角函数值。如系数为√3/2时构造60°角，系数为1/2时构造30°角，确保构造的准确性。 模型区分要点：与阿氏圆模型的关键区别在于动点轨迹。胡不归模型动点在直线运动，而阿氏圆模型动点在圆周运动，二者最值原理完全不同。 例2．如图，为正方形内一点，且，过作于，为线段上的一动点，若正方形的边长为4，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质和正方形的性质及应用，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键，等腰三角形的性质可得，从而得到，，，，过点A作交于点E，在上取点F，使得，并连接，可证明，则，是等边三角形，则是的垂直平分线，从而证得是等边三角形，过点P作交于点M，并连接，则，当三点共线时，最小，且最小值为，此时，即可求解. 【详解】解：∵为正方形内一点，， ∴， ∴点在边的中垂线上， 又∵， ∴是边的中垂线， ∴，，， 过点A作交于点E，则，在上取点F，使得，并连接， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点P作交于点M，并连接， ∴， ∴， 当三点共线时，最小，且最小值为，此时， ∴， 故选：B． 变式2-1．如图，是的直径，切于点交的延长线于点．设点是弦上任意一点（不含端点），若，，则的最小值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作平分，交于，连接、、，过点作于，根据切线的性质和三角形内角和定理可得，求得，根据角平分线的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得，求得，根据等边三角形的判定和性质可得，根据菱形的判定和性质可得平分，根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质可得，根据等边对等角和三角形内角和定理求得，根据特殊角的锐角三角函数可求得，推得，根据垂线段最短可得，当、、三点共线时，的值最小，即时，的值最小，根据特殊角的锐角三角函数可求得，即可求解． 【详解】解：作的角平分线，交于，连接、、，过点作于，如图：    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， 则， ∵，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即圆的半径为， ∵，， ∴、是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 若使的值最小，即的值最小， 当、、三点共线时，，此时的值最小， 即时，的值最小， 此时，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，特殊角的锐角三角函数，垂线段最短，解题的关键是明确当、、三点共线时， 的值最小，即的值最小． 变式2-2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴分别交于点和点，过顶点的直线轴于点，点为线段上一点，点在线段上，且，当取最小值时，则 ． 【答案】 【分析】由函数解析式求得，，进而可得，，则，可知，分别取，的中点，，连接，则，，是的中位线，得，，过点作，且，则，证明，得，可知，当在上时取等号，此时，过点作，解直角三角形得，可得，则，可知此时，即可求解． 【详解】解：∵， 当时，即，可得，， ∴，， 则，， ∴，则， 分别取，的中点，，连接，则，，是的中位线， ∴， ∵， ∴， 过点作，且，则， ∴，， ∴， ∴， ∴，当在上时取等号， 即：当取最小值时，在上， 此时，过点作，则，， 又∵， ∴，则， 可得，则 ∴此时， 即：当取最小值时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解直角三角形等知识点，添加辅助线构造全等三角形，得到是解决问题的关键． 变式2-3.综合与探究 已知抛物线与轴交于两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连接，其中点，，，如图所示． (1)求抛物线的解析式； (2)设是抛物线上位于线段上方的一个动点，求的面积的最大值； (3)是对称轴上一点，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点B的坐标，可设抛物线的解析式为，再求出点坐标为，然后代入抛物线的解析式，即可求解； （2）过点作轴的平行线交于点，先求出直线的解析式为，设点坐标为，则点坐标为，用t表示出的长，然后三角形的面积公式可用t表示出，结合二次函数的性质即可解答； （3）过点作于，过点作于点，再求，可得当三点共线时，的值最小，即线段的长，然后求出，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，点坐标为，， ∴点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵是抛物线的对称轴， ∴点坐标为， ∵， ∴点坐标为， 代入抛物线的解析式，得：， 解得， ∴二次函数的解析式为，即． （2）解：如图1，过点作轴的平行线交于点． 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 设点坐标为，则点坐标为， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，且最大值为． （3）解：如图2，过点作于，过点作于点， 根据题意得：，， ∴，． 在中，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，且最小值为线段的长， ∵，又， ∴，即， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数、三角形面积、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，属于中考常考题型． 类型三、12345模型 一、核心知识点 模型定义：由两个锐角α和β组成，满足以下条件之一： 角度和为45°：α + β = 45° 正切值特殊：tanα = 1/2且tanβ = 1/3，或tanα = 1/3且tanβ = 1/2 数学本质：基于两角和的正切公式tan = / ，当α + β = 45°时，tan = 1，推导出tanα与tanβ的倒数关系。 扩展规律：若tanα = b/a，则tanβ = (a - b)/(a + b)（α + β = 45°时）；若α + 45° = β，则tanβ = (a + b)/(a - b)。 二、核心方法 知二推一法 应用场景：已知两角中一角的正切值及两角和为45°，求另一角的正切值。 操作步骤： 设tanα = 1/2，代入公式tan(45°) = / = 1，解得tanβ = 1/3。 反之，已知tanβ = 1/3，可反推tanα = 1/2。 优势：快速验证角度关系，避免复杂计算。 构造法 网格构造： 在正方形网格中，连接“日”字形对角线构造tanα = 1/2的角。 连接相邻对角线构造tanβ = 1/3的角，组合后验证α + β = 45°。 特殊三角形构造： 在等腰直角三角形中，取直角边中点与斜边顶点相连，构造tanα = 1/2和tanβ = 1/3的角。 原理：利用相似三角形对应边成比例的性质。 一线三垂直法 操作步骤： 画一条直线，选取三个点A、B、C。 过A、B、C分别作垂线，形成两个直角三角形。 利用角互余关系证明三角形相似，推导出tanα = 1/2和tanβ = 1/3时，α + β = 45°。 优势：从几何角度直观解释模型原理。 三、典型应用场景 网格题：在正方形网格中构造直角三角形，利用网格线计算角度。 折叠问题：正方形纸张折叠后，通过正切值推导线段比例。 直角三角形构造：涉及45°角或正切值为1/2、1/3的角时，直接应用模型简化计算。 坐标系解析：设定直角坐标系，用斜率表示正切值，通过坐标变换验证角度和。 四、解题技巧 识别条件：题目中出现45°角或正切值1/2、1/3时，优先考虑模型。 逆向思维：已知两角和为45°，反推两角正切值。 变式应用：如计算tan2α = 4/3（对应3:4:5三角形）时，利用模型扩展规律。 五、注意事项 限制条件：模型适用于快速解题，解答题中需完整证明过程。 扩展应用：若两角之和仍为45°，但正切值不同（如1/4与3/5），可用类似思路构造新模型。 例3．如图，在正方形中，点分别在边上，且交于点，交于点．若F是的中点，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形，全等三角形，解直角三角形，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形是解题的关键． 过A作，交延长线于G，根据题意可证，，可得，设，则，在中，根据勾股定理，可得，继而可由求解． 【详解】解：如图所示，过A作，交延长线于G， ，， ， 即， ， ，， ， ， ， ，， 设，则， 点 F是的中点， ， ， 在中，， 即， 解得或(舍去)， ， ， 故选：D． 变式3-1．如图，二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点从点出发向点运动，点在上，且，则图中阴影部分面积的最小值是（　　） A． B． C．9 D． 【答案】A 【分析】先证明四边形是正方形，将绕点顺时针旋转，得到进而证得，当最短时，的面积最小，进而即可求得阴影部分的面积最小值． 【详解】解：如图， 由题意，令，解得， ∴， 令，解得， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴、、共线， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，作于， 设， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴≥， ∴ ∴， 故选：A． 变式3-2.正方形边长为6，点E是边上的动点，连接，交于点P，过点A作，交于点，过点B作于点G，交于点H，连接．以下说法：①当时，点F为的中点；②当时，；③；④点E运动过程中，有最小值6．其中结论正确的有 【答案】①②③④ 【详解】延长到点，使得，先证明得到，再证明，得到，即可得到，设则在中，由勾股定理得，解得，则，当时，点为的中点，故①正确；连接，由，得到B、C、F、G四点共圆，则，则，故②正确；连接，证明，得到，即，故③正确；取中点，连接，在上截取，连接，，，过点作于，证明，得到， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设则 ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴当时，点为的中点，故①正确； 如图2所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴B、C、F、G四点共圆， ∴， ∴， ∵当时，， ∴，故②正确； 如图1所示，∵，， ∴； 如图2所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如图2所示，取中点，连接，在上截取，连接，，，过点作于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，有最小值，即有最小值， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为6，故④正确； 综上所述，结论正确的有①②③④； 故选：①②③④． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，圆周角定理，解直角三角形，正方形的性质勾股定理等，正确作出辅助线构造全等三角形，相似三角形是解题的关键． 变式3-3.【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．易证，此时的值是___________； 【拓展延伸】     （2）如图2，在矩形中，，对角线，相交于点O，E、F分别是边和对角线上的点，连接，，，，求的长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质． （1）先求出，根据正方形的性质证明，根据正方形的性质和相似三角形的性质计算即可； （2）连接交于点O，先证，再通过计算得到求出证出，再利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵四边形为正方形，为对角线， ， ， ∵四边形为正方形，为对角线， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：连接交于点O， ， ， ∵在矩形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 类型四、三角函数的应用 一、核心知识点 （一）基础定义 在直角三角形ABC中，∠C=90°，定义如下： 正弦（sinA）=∠A对边/斜边=a/c 余弦（cosA）=∠A邻边/斜边=b/c 正切（tanA）=∠A对边/邻边=a/b 余切（cotA）=∠A邻边/对边=b/a （二）特殊角函数值 30°：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3 45°：sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1 60°：sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3 （三）函数关系 平方关系：sin²α+cos²α=1 商数关系：tanα=sinα/cosα 互余关系：sinα=cos，tanα=cot （四）应用术语 仰角：视线在水平线上方的夹角 俯角：视线在水平线下方的夹角 坡度：垂直高度与水平距离的比值（i=tanα） 二、典型解题方法 （一）构造直角三角形法 适用于非直角三角形问题，通过作高线转化为直角三角形。例如： 已知三角形ABC中，∠A=30°，BC=√10，tanB=1/3。作CD⊥AB于D，在Rt△BCD中，CD=BD×tanB；在Rt△ACD中，AC=2CD。联立方程可求AB长度。 （二）方程建模法 适用于多条件关联问题。例如： 直升机在跨江大桥AB上方P点，两端仰角分别为37°和45°。设PD=x，则AD=x/tan37°≈4x/3，BD=x。由AB=400米得方程：4x/3 + x = 400，解得x≈171米。 （三）等角替代法 利用等角或互余角转换。例如： 在△ABC中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB。已知sinA=3/5，可直接得cosB=3/5。 （四）比例估计法 适用于范围估算问题。例如： 树影长10米，太阳角37°。因tan30°<tan37°<tan45°，即√3/3<tan37°<1，故树高h范围：10×√3/3≈5.77米 < h < 10米。 三、实际应用步骤 （一）问题转化 将实际问题抽象为几何模型。例如测量旗杆高度： 观测点距旗杆底部10米，仰角45°，测角仪高1.5米。构造Rt△AEB，AE=BD×tan45°=10米，旗杆总高=AE+CD=11.5米。 （二）元素对应 明确已知条件与三角函数元素的对应关系： 已知两边→勾股定理 已知一边一角→三角函数定义 已知两角→三角形内角和定理 （三）计算验证 例如热气球测高楼问题： 水平距离120米，顶部仰角30°，底部俯角60°。作AD⊥BC于D，BD=120×tan30°=40√3米，CD=120×tan60°=120√3米，总高=BD+CD=160√3≈277米。 四、常见题型 （一）测量类 包括高度测量（旗杆、建筑物）、距离测量（河宽、航程） （二）工程类 坡度计算（大坝横断面）、角度设计（桥梁拱架） （三）航海类 方位角计算（船只定位）、航向调整（风向修正） 例4．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，， ，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)求广告牌的高度． 【答案】(1)6米 (2)米 【分析】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段． （1）过点B作，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果； （2）先推导出，在中可求得的长，从而可得；再由，可得，进而得的长；在中由三角函数知识可求得，根据即可求得的长． 【详解】（1）解：如图，过点作，，垂足分别为， ∴， ∵， ∴， ∴米， 即点距水平地面的高度为6米； （2）由（1）及题意，得， ∴四边形是矩形， ∴米， （米）， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， 在中，，米， ∴（米）， ∴ （米） 答：广告牌的高约8.4米． 变式4-1．印江文昌阁，始建于明代嘉靖十年，阁建不久，因故被毁，崇祯二年，由时任印江知县史谏重修之，始名文昌阁，小亮和小刚想利用自己所学知识来测量文昌阁的高度，如图，小亮的目高为米，他站在处测得塔顶的仰角为，小刚的目高EF为米，他站在距离塔底中心点米远的处，测得塔顶的仰角为．（点在同一水平线上）．（参考数据：，，） (1)求小亮与塔底中心的距离；（用含的式子表示） (2)若小亮与小刚相距米，求文昌阁的高度． 【答案】(1)小亮与塔底中心的距离约为米； (2)文昌阁的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，一元一次方程的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （）根据题意可得米，，米，米，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （） 根据已知易得，再利用（）的结论从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得米，，米，米， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴小亮与塔底中心的距离约为米； （2）解：∵米， ∴（米）， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴（米）， ∴文昌阁的高度约为米． 变式4-2.如图，某船向正东方向航行，在A处望见某岛C在北偏东方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东方向，已知该岛周围8海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．（参考数据） 【答案】继续向东行驶没有有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题． 作于点D，求出C到航线的最近的距离的长，与8海里比较大小即可． 【详解】解：继续向东行驶没有触礁的危险， 过点C作的延长线于D, ∵ ∴ 设的长为x，则， ∴ ∴． ∴． ∵， ∴继续向东行驶没有有触礁的危险． 变式4-3.为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具．如图1所示的是一辆自行车的实物图，车架档与垂直且，，座杆的长为，点A、C、E在同一条直线上，且，，如图2． (1)求车架档的长； (2)求车座点E到车架档的距离．（结果保留根号，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与三角函数的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． （1）在中，根据，可得，再利用勾股定理解答即可； （2）过E作于点F，在中，利用锐角三角函数解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即车架档的长为． （2）解：过E作于点F，如图． 在中，，，， ∴， ∴车座点E到车架档的距离为． 类型五、三角函数与圆 一、锐角三角函数核心概念 （一）定义与表达式 在直角三角形ABC中，∠C=90°时： 正弦（sinA）= 对边BC/斜边AB 余弦（cosA）= 邻边AC/斜边AB 正切（tanA）= 对边BC/邻边AC （二）特殊角函数值 30°：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3 45°：sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1 60°：sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3 记忆口诀：分子"123,321"，分母"二三九" （三）函数性质 增减性：正弦、正切随角度增大而增大（0°<α<90°），余弦随角度增大而减小 互余关系：sinα=cos，cosα=sin 二、圆的相关知识体系 （一）基础概念 圆的定义：到定点距离等于定长的点的集合 核心要素：圆心（O）、半径（r）、直径（d=2r） 对称性：圆是轴对称图形（直径为对称轴），中心对称图形（圆心为对称中心） （二）垂径定理应用 定理内容：垂直于弦的直径平分弦及所对弧 推论应用：平分非直径弦的直径垂直于弦 典型场景：求弦长、弧长、圆心角 （三）圆心角与圆周角 圆心角定理：同圆中相等圆心角对应相等弧和弦 圆周角定理：同弧所对圆周角=圆心角/2 直径圆周角：直径所对圆周角恒为90° 三、三角函数与圆的深度关联 （一）单位圆模型 坐标定义：角α终边与单位圆交点P(x,y)时，sinα=y，cosα=x，tanα=y/x 三角函数线：正弦线（MP）、余弦线（OM）、正切线（AT） （二）圆中三角函数计算 构造方法： 通过直径构造直角三角形 利用切线性质转化角度 应用同弧圆周角相等原理 典型例题： 已知圆半径r和弦长l，求弦所对圆周角的正弦值 通过切线长定理求圆外一点到圆的距离 （三）几何推导应用 圆面积公式推导： 通过三角函数代换X=rcosθ，Y=rsinθ 将面积积分∫√dx转化为∫r²sinθdθ 计算得S=πr² 四、解题方法论 （一）直角三角形构造策略 已知条件处理： 有边求边：直接应用三角函数定义 无边设参：设未知数表示边长 关键步骤： 标注已知元素（边、角） 确定求解顺序（先角后边） 应用勾股定理校验结果 （二）圆问题转化技巧 切线问题处理： 判定定理：过半径外端且垂直半径的直线为切线 性质应用：切线长定理求距离 综合问题解决： 将圆周角转化为圆心角计算 利用垂径定理求弦长 （三）实际应用模型 仰角俯角问题： 构建直角三角形模型 应用tanα=高度/水平距离 坡度问题处理： 坡度i=h/l=tanα 通过坡角求高度或水平距离 例5．如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且． (1)求证：为圆的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、圆的切线、正切、三角形相似的判定与性质、勾股定理： （1）过点作于点，证明得到是圆的半径即可； （2）在直角三角形中，根据正切值和勾股定理求出，根据（1）中三角形全等，求出，利用勾股定理求出，证明再根据边长比例即可求出． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵于点， ∴， ∴， ∵， 又∵为的切线， ∴， ∵， 在和中， ∵， ∴， 即是圆的半径， ∴是的切线； （2）解： 则 由（1）知， 即 ． 变式5-1．如图，以点为圆心的圆与轴、轴分别交于点，与相切于点的直线交坐标轴分别于点、． (1)求的半径； (2)如图，连接，弦交轴于点，若，求的值． (3)如图，点为上一个动点，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）连接，由锐角三角函数可得，进而根据直角三角形的性质即可求解； （）连接，由圆周角定理可得，即得，设，，利用勾股定理可得，即得，又由直角三角形的性质可得，再由得到，代入计算即可求解； （）在轴上取一点，使，可得，得到，即得，得到求的最小值，即是求的最小值，当在同一直线上时，有最小值，最小值为的长度，进而利用勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵直线与相切于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的半径； （2）解：如图，连接，则， ∴， 设，， ∵， ∴在，由勾股定理可得， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是的中点， ∴， ∴ ； （3）解：如图，在轴上取一点，使， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴求的最小值，即是求的最小值，当在同一直线上时，有最小值，最小值为的长度， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，直角三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 变式5-2.如图，为圆的直径，、为圆上不同于、的两点，过点作圆的切线交直线于点，直线于点． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连接，根据等腰三角形性质和外角的性质得出，根据切线的性质得出，即可证得，根据平行线的性质得出，即可证得； （2）连接，根据圆周角定理得出，求出，利用写出比例，列出方程即可求解． 本题考查了圆切线的性质，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）连接， ∵切于是的半径， （2）∵为所对圆周角， ∴， ∴． 连接， ∵为的直径， ， ， ， ， ， ∴设则 ， ∴， ， ， ， ． 变式5-3.如图，已知是的外接圆，，是圆上一点，是延长线上一点，连结，，且，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，的半径为5，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，的圆周角所对的弦是直径，勾股定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定以及的圆周角所对的弦是直径是解题的关键． （1）由，得是的直径，再根据等腰三角形的性质证明，从而得，根据切线的判定即可得证； （2）作于点，则，由三角形函数的定义得，从而求得，，再利用勾股定理及等腰三角形的性质求得，即可得解； 【详解】（1）证明：∵， ∴是的直径， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． （2）解：作于点， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长是． 类型六、三角函数与相似 二、相似三角形判定体系 （一）判定定理 1、AA判定：两角对应相等的三角形相似 2、SAS判定：两边成比例且夹角相等的三角形相似 3、SSS判定：三边成比例的三角形相似 4、特殊判定：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似 （二）性质特征 1、对应角相等：∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C' 2、对应边成比例：AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'=k（相似比） 3、周长比等于相似比：C/C'=k 4、面积比等于相似比平方：S/S'=k² 三、核心解题方法 （一）三角函数解法 1、构造直角三角形：在非直角三角形中，通过作高线构造直角三角形 例：在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=10，求AC长度 解：作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，BD=AD=x 在Rt△ACD中，tan60°=AD/CD=√3 → x/(10-x)=√3 → x=15-5√3 AC=2x=30-10√3 2、特殊角应用：利用30°-45°-60°三角板边长比例 例：等腰三角形顶角30°，腰长2，求底边长 解：作底边高，得两个含30°的直角三角形 底边一半=腰长×sin15°=2×(√6-√2)/4=√6-√2 底边长=2(√6-√2) （二）相似三角形解法 1、比例线段转换：通过中间比建立等式 例：在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，DE=4，求BC 解：AD/AB=DE/BC → 2/5=4/BC → BC=10 2、动态问题处理：设未知数建立方程 例：点P在AB上从A向B运动，速度2cm/s，点Q在AC上从A向C运动，速度3cm/s，AB=10，AC=15，求何时△APQ∽△ABC 解：设运动时间t秒，AP=2t，AQ=3t 当∠A为公共角时，AP/AB=AQ/AC → 2t/10=3t/15 → t∈R（恒成立） 当∠A为对应角时，AP/AC=AQ/AB → 2t/15=3t/10 → 无解 故任意时刻都相似 四、综合应用策略 （一）测量问题建模 例：测楼高问题，在距楼底30米处测楼顶仰角30°，求楼高 解：tan30°=h/30 → h=30×√3/3=10√3米 （二）几何变换处理 1、位似变换：通过相似中心进行图形缩放 例：将△ABC以A为位似中心，放大2倍得△A'B'C'，若B(1,2)，求B'坐标 解：B'(2×1,2×2)=(2,4) 2、旋转变换：利用旋转相似构造全等 例：将△ABC绕A旋转60°得△AB'C'，求证△ABB'∽△ACC' 证明：AB=AB'，AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'=60° 由SAS判定得△ABB'≌△ACC'（实际为相似特例） 例6．如图，在中，，，，过点的圆与斜边相切于点，与，边分别交于点，（异于的交点）． (1)求的值； (2)的长是否有最小值？如果有，请求出该值；如果没有，请说明理由； (3)若与相似，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)的长有最小值， (3)的面积为或 【分析】（1）先利用勾股定理可得，再根据正弦三角函数的定义即可得； （2）如图（见解析），先确定圆心的位置，从而可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据圆的切线的性质可得，最后利用三角形的面积公式即可得； （3）分和两种情况，先根据相似三角形的性质得出对应角相等，再利用圆的切线的性质、解直角三角形求解即可得． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ； （2）解：如图，设的中点为点，连接， ， 是圆的直径，点是圆心， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取最小值，最小值为， 是的切线， ， ，即， 解得：， 则的最小值为； （3）解：由题意，分以下两种情况： ①当时，则， 如图，设的中点为点，连接，并延长交于点，连接， ， ， ， ， ， ，即， 是的切线， ， 点与点重合， 为的直径， ， 由（2）已得：当时，， ， 在中，，即， 解得， 在中，， 在中，，即， 解得， 则的面积为； ②当时，则， ，， 如图，设的中点为点，过点作于点，连接， 则四边形是正方形， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ， 在中，，， 解得，， ， 又， ， 解得， ，， 则的面积为， 综上，的面积为或． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、相似三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 变式6-1．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线的对称轴是直线，该抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），，与轴交于点，顶点为点，把抛物线沿轴向下平移得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，记新抛物线的顶点为点，直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平移过程中，与之间是否存在确定的数量关系，若存在，请求出它们之间的数量关系，若不存在，请说明你的理由； (3)连接，若与相似，求此时新抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，相似三角形的性质与判定，二次函数的平移； （1）根据题意得出点，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设抛物线沿轴向下平移个单位得到抛物线，则，．根据题意求得直线直线的表达式为．进而分别求得与的正切值，即可求解； （3）根据（2）可得，，，勾股定理分别求得的长，进而分点点在轴上方时，当在轴下方时，根据相似三角形的性质，结合图象分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵对称轴是直线，该抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），， 点 把点代入，得： ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：设抛物线沿轴向下平移个单位得到抛物线，则，． 设直线的表达式为，把， 代入得， 解得， 所以直线的表达式为． 令，则， 解得， 所以． ∵；当时， ∴ ∴ 在中，， 在中，， 所以． （3）解：∵，， ∴， ， ． 当时，即，点在轴上方时，如图 因为与相似，， 当时， ∴，即． ， ∵，则 解得：（舍去）或或（舍去）或（舍去） ∴ 当时，则新抛物线的表达式为 当在轴下方时，如图 与相似， 当时， ∴， 又因为，， ∴ 解得：（舍去）或 当时，则新抛物线的表达式为 综上，或 变式6-2.综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形相似的证明”开展主题学习活动． 【特例探究】 已知：在中，点为边的中点，点是边上一点，点在线段的延长线上，，点在线段上，． （1）如图1，当时，求证：； 【变式思考】 （2）如图2，当时，则线段、之间的数量关系为：______． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下延长到，使，连接，若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】(1）由题意知，，故有，则，而，则，则有； （2）由于，相似比为，进而确定出与的关系； （3）由题意知得为等边三角形，有，，在中求得、、的值，由为中点，为中点，得，求得的值，在和中，由锐角三角函数的定义求得、的值，进而求得的值． 【详解】解：（1）证明：如图1 连接， ，， ， 又， ，即． ，， ， ， ； （2）， 如图2，连接，，过作，垂足为，连接， ，， 是等边三角形， 又为的中点， ，，， ，， ， ，即；； （3）解：如图2， 由（2）得， ，， ， 又， ， 又， 为等边三角形， ， ， ， 在中，，， ， 为中点，为中点， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 过作，垂足为， 在中，，， ， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，通过作辅助线使线段与线段的关系得到明确． 变式6-3.如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，于点H，，． (1)求的值； (2)设，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）； (3)当时，判断与是否相似并说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)当时，，理由见解析 【分析】（1）过点作于点，由正方形的性质求出，由直角三角形的性质求出和的长，则可得出答案； （2）证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案； （3）由锐角三角函数的定义得出，求出，，证明和都是等腰直角三角形，则可得出答案． 【详解】（1）解：过点作于点， ， 四边形是正方形，，， ，， ，， ， ； （2）解：四边形是边长为3的正方形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：当时，， 理由：， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 类型七、三角函数与二次函数 二次函数知识点与方法 定义与表达式 一般式：y = ax² + bx + c（a ≠ 0），a决定开口方向与大小，b、c影响对称轴与顶点位置。 顶点式：y = a(x-h)² + k，顶点为(h,k)，对称轴为x=h。 交点式：y = a(x-x₁)(x-x₂)，与x轴交点为(x₁,0)和(x₂,0)。 图像性质 开口方向：a > 0时向上，a < 0时向下。 对称轴：x = -b/2a。 顶点坐标：。 最值：a > 0时，顶点为最小值点；a < 0时，顶点为最大值点。 表达式转换 配方法：将一般式转为顶点式，便于分析图像性质。 例如：y = x² + 4x + 3 配方后为 y = (x+2)² -1。 实际应用 利润最大化问题：构建二次函数模型，通过求顶点确定最优解。 抛物线运动问题：如投掷物体轨迹，利用二次函数描述高度与时间关系。 与一元二次方程的关系 根的判别式：Δ = b² - 4ac > 0时，与x轴有两个交点；Δ = 0时，有一个交点；Δ < 0时，无交点。 根与系数关系：x₁ + x₂ = -b/a，x₁x₂ = c/a。 三、综合应用方法 数形结合 利用图像直观分析函数性质，如开口方向、对称轴、最值等。 在解直角三角形时，通过画图明确已知与未知元素关系。 分类讨论 在解复杂问题时，根据条件变化（如角度大小、函数类型）进行分类讨论。 例如，在解直角三角形时，根据仰角或俯角的不同情况分别求解。 方程思想 通过建立方程（组）求解未知数，如利用三角函数关系式或二次函数表达式建立方程。 特殊值法 在选择题或填空题中，利用特殊值（如特殊角的三角函数值）快速求解。 例7．二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，顶点G的坐标为 (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，将二次函数一般式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）分两种情况进行讨论，抛物线向左平移或者向右平移，根据平移规律可得新抛物线解析式为：或，根据对称轴与区间范围的中轴线之间的关系分类讨论即可； （3）分成两种情况进行讨论，抛物线沿射线方向或射线方向平移．沿射线方向平移，求出直线的解析式为，由直线性质可知图象沿上下方向与左右方向平移相同的单位，设向上、向右平移了m个单位，可得，，由平移性质可证四边形是平行四边形，推出交点M坐标为，可证明为直角三角形且，根据，可得四点共圆，是在以为直径的圆上，可求中点，根据列方程即可求得的值，则题目可解； 抛物线沿射线方向，作关于点对称点，方法同上． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， ， ， 当时，取最小值，最小值为， 顶点G的坐标为． （2）解：Ⅰ、当抛物线向右平移时： 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点M纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点N纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； ，符合题意； Ⅱ、当抛物线向左平移时， 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， ∴当时，y取最大值8，代入解析式得： ， 解得：，（舍）， 综上可知，或； （3）解： 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 令，则, ∴直线与轴交于， 直线与坐标轴围成的是一个等腰直角三角形， ∴图象沿直线平移时，上下方向与左右方向平移的距离相等， 设向上、向右平移了m个单位， ，， 由平移得，， 四边形是平行四边形， 线段与交于点M， ∴为线段的中点， ， Ⅰ、如图，抛物线沿射线平移， ∵，，G， ∴由勾股定理可得， ， ，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，是在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； Ⅱ、如图，抛物线沿射线平移， 作关于点对称点， 则可同理证明，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，二次函数图象的平移，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求一次函数解析式，平行四边形的判定和性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，正确作出辅助线． 变式7-1．已知在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于点，B，与y轴交于点C，连接，则． (1)试求抛物线解析式； (2)连接，若在直线上方的抛物线上有一动点P，连接交于点Q，试求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据，，得出，将和代入，利用待定系数法求解析式； （2）设点P的坐标为，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立得出点Q的横坐标，作轴于点M，轴于点N，则，由平行线分线段成比例定理得，将所得二次函数解析式变形为顶点式，即可求出的最值． 【详解】（1）解：二次函数，与x轴有两个交点， 抛物线开口向下， ， ，点C在y轴的正半轴， ， ， ， ， 将和代入， 得：， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：抛物线 的对称轴为直线：， ， B点的横坐标为， ， 设点P的坐标为， 设直线的解析式为：， 将和代入，得：， 解得， 直线的解析式为：， 同理可得，直线的解析式为：， 将直线和直线的解析式联立，得：， 解得， 点Q的横坐标为， 作轴于点M，轴于点N， 则，，， ，， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，求两条直线的交点坐标，平行线分线段成比例定理，二次的最值等，将进行转换，表示出点Q的横坐标是解题的关键． 变式7-2.如图，二次函数的图象与轴交于A，两点，与轴交于点，且． (1)求的值； (2)若是二次函数图象在第一象限内的一个动点，作轴于点，与轴交于点． 连接，，当时，求的面积； 判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何图形结合的综合运用等知识点．利用点的坐标的意义表示线段的长度、从而求出线段之间的关系成为解题的关键． （1）当时，，即，再结合得到即可解答； （2）①点A、的坐标分别为：、，即，再根据可得直线的表达式为：，易得；再联立求得，再根据的面积求解即可； 设点，则，由点A、的坐标得，直线的表达式为：，则点，则即可求解． 【详解】（1）解：当时，，即， ∵， ∴，即； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 当时，，解得：或5， ∴点A、的坐标分别为：、，即， 当时， ∴直线的表达式为：， 当时，，即， 联立可得：， 解得：舍去或，即点， 则的面积． ②，理由如下： 设点，则， 由点A、的坐标运用待定系数法可得：直线的表达式为：，则点，则， ∴． 变式7-3.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，． (1)求二次函数的解析式． (2)如图，是抛物线上点与点之间的动点不包括点，点，连接，，，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数与几何图图形的综合，正切值的计算，掌握待定系数法，正切值的计算方法是关键． （1）根据题意得到，把，分别代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到，设，由面积的计算得到，过点作于点，如图，则，，根据正切值的计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 把，分别代入得， 解得， 二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， 当时，， 解得，， ， 设， ， ， 整理得， 解得舍去，， ， 过点作于点，如图，则，， 在中，， 即的值为． 类型八、三角函数与特殊三角形 特殊三角形三角函数值 （一）30°-60°-90°三角形 边长比例：1（短直角边）:√3（长直角边）:2（斜边） 关键函数值： sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3 sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3 （二）45°-45°-90°三角形 边长比例：1:1:√2 关键函数值： sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1 （三）记忆技巧 1、对称性记忆：sin30°=cos60°，sin45°=cos45° 2、递增规律：0°→90°过程中，sin值从0增至1，cos值从1减至0 3、特殊值关联：tan30°=1/√3，tan60°=√3，二者互为倒数 三、解直角三角形方法体系 （一）基础解法 1、已知两边时： 应用勾股定理求第三边 通过三角函数求角度（如已知a、c，则sinA=a/c，A=arcsin(a/c)） 2、已知一边一角时： 应用tanA=a/b求另一边 应用sinA=a/c或cosA=b/c求斜边 （二）典型应用场景 1、坡度问题：坡比i=tanα（α为坡角） 2、仰俯角问题：视线与水平线夹角计算 3、方向角问题：目标方向与基准方向夹角计算 （三）解题步骤规范 1、构建几何模型：将实际问题转化为直角三角形 2、标注已知元素：明确边长、角度等已知条件 3、选择函数关系：根据已知条件选择sin、cos、tan等函数 4、实施逆向验证：通过反推验证计算结果的合理性 例8．【操作发现】（1）如图1，在和中，，，求的值； 【问题解决】（2）如图2，在和中，，，点在内部，延长交直线于点，求的值； 【灵活应用】（3）如图3，已知中，，以为底边在外作等腰三角形，且，连接，则的长为___________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）证明，即可得到； （2）过点B作交延长线于G，设交于H，由正弦的定义可得，设，则，同理可设，则；设，求出，得到，证明，可得，则；证明，可得，则； （3）以为腰构造等腰，且，连接，过点作延长线的垂线，垂足为，过点作垂线，垂足为，易得，即有，，进而确定，在中，可得，，进而确定，再在中，由勾股定理可得，然后在为等腰三角形中计算的长度． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）如图所示，过点B作交延长线于G，设交于H， 在中，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 设，则； 设， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）如图，以为腰构造等腰，且， 连接，过点作延长线的垂线，垂足为，过点作垂线，垂足为，    ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴在中，， ∵为等腰三角形，，且， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 变式8-1．综合实践课上，数学兴趣小组以三角形为研究对象进行了数学探究活动． 初步探究： （1）如图①，在中，，．以为斜边作等腰直角，其中．分别过点，作于点，于点．则与的数量关系为__________． 拓展延伸： （2）如图②，将图①中的绕点沿顺时针方向旋转得到，射线与直线交于点． ①当时，四边形的形状为__________； ②当时，请你写出，，的数量关系，并证明你的结论． 综合运用： （3）在旋转的过程中，若，当，时，请直接写出的长度． 【答案】（1）；（2）①正方形；②，证明见解析；（3）或 【分析】（1）利用等腰直角三角形与含30度角的直角三角形的性质可得结论； （2）①根据旋转的性质得出，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，得出，则，根据，进而得出，即可证明四边形是矩形，根据即可证明四边形是正方形； ②连接，证明，结合，则，，根据，即可得出结论； （3）根据（2）②的结论，直接可得当，，进而求得当时，，代入数据，即可求解． 【详解】（1）解：∵等腰直角，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵将图①中的绕点沿顺时针方向旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方形． ②连接， 为等腰直角三角形，， 为的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ． （3）当，由（2）可得：， ∵，， ∴； 如图，当时，连接， 同（2）可得， ， ， ，，， ， ， ∵，， ∴， 综上所述，的长为或 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，正方形的判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 变式8-2.综合与实践 【初步感知】 如图1，在边长为4的菱形中， ，E，F分别是的中点，连接，将绕点A顺时针旋转 （1）的长为 ； 【知识应用】 （2）如图2，当 时，设与的交点为H，的长为x， 的面积为y．求y与x的函数表达式； 【知识应用】 （3）如图3，连接． ①求的最大值； ②当点B，D，E构成的三角形是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）①6；②或2 【分析】（1）过点A作于点G，由菱形的性质得，由，利用锐角三角函数求得，由即可求解； （2）过点H作于点M，则可求得，由即可求解； （3）①连接．由题意得 是等边三角形，由，则当C，A，F三点共线，且点A在上时，有最大值，即可求得其最大值； ②分两种情况考虑即可求解． 【详解】解：（1）如图1，过点A作于点G． ∵在边长为4的菱形中，， ∴，， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， ， ， 故答案为： （2）如图2，过点H作于点M． ∵E，F 分别是的中点， ， （3）①如图3，连接． 由题意得 是等边三角形， ∴当C，A，F三点共线，且点A在上时，有最大值， ∴的最大值为6； 或2． 分类讨论：(i)如图4，当，时， 连接，过点F作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，， (ii)如图5，当时，， ∴ 点 F 为 的中点， ∴点 F为的中点， 综上所述，符合题意的的长为 或2． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，求函数关系式等知识，掌握这些性质是关键． 变式8-3.某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：    【初探猜想】如图1，在正方形中，点E，F分别是、上的两点，连接，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，点E、F分别是边上一点，点G、H分别是边上一点，连接，若，则=______； 【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段上， 且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中， E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，求的最小值． 【答案】初探猜想：，理由见解析；类比探究：；知识迁移：；拓展应用： 【分析】初探猜想：可证得，再由全等三角形的性质可得； 类比探究：作，交于Z，作，交于X，可证得，从而，进而得出结果； 知识迁移：作，交的延长线于点V，作直线点W，由（2）知：，进一步得出结果； 拓展应用：以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H，先根据勾股定理求出的长，再证和全等，得出，求的最小值转化为求的最小值，当A、G、N在一条直线上时最小，即为的长，在等腰直角中求出的长即可． 【详解】解：初探猜想：，理由如下： 如图1，设交于点O，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 类比探究：在矩形中，点E、F分别是边上一点，点G、H分别是边上一点，如图2，    作，交于Z，作，交于X， ∴， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理（1）可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 知识迁移：如图3，    作，交的延长线于点V，作直线于点W， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴由（2）知：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 拓展应用：以为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H，    ∵四边形是正方形， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当A、G、N在一条直线上时最小，即最小，此时最小值是的长，其长度为． 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了矩形和正方形的性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作根据轴对称的性质转化线段． 类型九、三角函数与特殊四边形 一、锐角三角函数基础 定义：在直角三角形中，锐角∠A的对边与邻边的比称为正切(tanA)，对边与斜边的比称为正弦(sinA)，邻边与斜边的比称为余弦(cosA)。 特殊角函数值：30°、45°、60°的三角函数值需熟记，例如sin30°=1/2，cos45°=√2/2，tan60°=√3。 变化规律：角度在0°至90°间变化时，正弦值与正切值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小。 二、特殊四边形分类与性质 矩形：对边相等且平行，四个角均为直角，对角线相等且互相平分。 菱形：四条边相等，对角线互相垂直平分且平分每组对角。 正方形：兼具矩形与菱形性质，四条边相等，四个角均为直角，对角线相等且互相垂直平分。 三、锐角三角函数在特殊四边形中的应用 矩形问题：折叠矩形时，利用三角函数可计算折叠后线段长度或角度变化。例如，折叠矩形ABCD使点D落在BC边F处，通过三角函数可求出BF或CF的长度。 菱形问题：在由菱形组成的网格中，利用三角函数可计算格点间角度或距离。例如，已知菱形的一个角为60°，A、B、C为格点，通过tan∠ABC可求出特定角度值。 正方形问题：结合对称性与三角函数可解决正方形中的几何变换问题。例如，在正方形ABCD中，通过旋转或翻折构造直角三角形，利用三角函数求出变换后的线段长度或角度。 四、解题方法与技巧 构造直角三角形：在非直角三角形图形中，通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为三角函数计算。例如，在四边形中作高线，形成直角三角形后利用三角函数求解。 利用对称性简化计算：特殊四边形具有轴对称或中心对称性质，通过对称变换可简化计算过程。例如，在矩形折叠问题中，利用对称性确定折叠后点的位置。 综合应用几何定理：结合勾股定理、相似三角形判定等几何知识，与三角函数形成解题体系。例如，在正方形中通过证明三角形相似，结合三角函数值求出未知边长。 五、典型题型解析 已知边角关系求长度：在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，∠DAE=30°，利用sin30°=1/2可求出DE的长度。 动态几何中的最值问题：在菱形ABCD中，点E沿边BC移动，通过三角函数表达AE长度与∠BAE的关系，利用函数性质求出AE的最小值。 几何变换中的角度计算：在正方形ABCD中，将△ABE绕点B旋转90°至△CBF，通过三角函数计算旋转后∠BCF的度数。 例9．如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为，，，点D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标； (3)连接，点M是抛物线上的动点且在直线上方，求点到直线距离最大时，点的坐标及最大距离值． 【答案】(1) (2)或或 (3)点的坐标为，最大距离值为 【分析】（1）先求出，再设抛物线的解析式为，将点代入求解即可得； （2）先求出顶点坐标为，再设点的坐标为，分三种情况：①当点组成的四边形是平行四边形时，②当点组成的四边形是平行四边形时，③当点组成的四边形是平行四边形时，根据平行四边形的对角线互相平分求解即可得； （3）连接，过点作，交轴于点，先求出直线的解析式为，设直线的解析式为，与二次函数的解析式联立，利用一元二次方程根的判别式求出的值，则可得点的坐标，再过点作于点，解直角三角形可得的值，则可得，然后在中，解直角三角形可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴， 即抛物线的解析式为． （2）解：由（1）已得：， ∴抛物线的顶点坐标为， 设点的坐标为， ①当点组成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴此时点的坐标为； ②当点组成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴此时点的坐标为； ③当点组成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． （3）解：如图，连接，过点作，交轴于点， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∴可设与直线平行的直线的解析式为， 联立得：， 要使点到直线距离最大，则关于的方程只有一个实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， ∴方程为，直线的解析式为， 解得， 将代入直线得：， ∴当点到直线距离最大时，点的坐标为； 如图，过点作于点， ∵， ∴即为点到直线最大距离， 将代入直线得：， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 综上，点到直线距离最大时，点的坐标，最大距离值为． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、一次函数的几何应用、平行四边形的性质、勾股定理、解直角三角形、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 变式9-1．在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O和点，点是抛物线上的点，且在对称轴右侧，连接，点C为抛物线顶点． (1)求m，n，t的值； (2)点C坐标为______，______； (3)过点C作轴于点D，交于点E，连接，求的面积； (4)点M是射线上一点，点N是平面内一点，存在以O、A、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1)，， (2)， (3) (4)或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，三角函数，菱形的性质等： （1）待定系数法求出m、n，确定了抛物线解析式后，将B的坐标代入即可求出t； （2）将抛物线配方即可得其顶点坐标；过点作轴于，； （3）； （4）分，，三种情况进行讨论即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点是抛物线上的点，且点在对称轴的右侧， ∴，解得（舍去），， ∴； （2）解：∵， ∴； 过点作轴于，如图： 由（1）可知， 在中，， 即； 故答案为：； （3）解：过点作轴于，如图： 由（2）可知：， ∵轴于， ∴， ∵轴于轴于， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （4）解：设射线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴射线的解析式为， ∵是射线上的点， ∴设， 又∵， ， ∵以为顶点的四边形为菱形， ∴是等腰三角形， ①当时，，即，解得， ∴， 此时点的位置如图： 由图可知关于轴对称， ∴； ②当时，，即，解得（舍去）， ∴， 此时点的位置如图： ∵， ∴； ③当时，，即，解得（舍去）， ∴， 此时点的位置如图： 综上所述，点的坐标为或或． 变式9-2.如图，在中，，，，点D为的中点，点Q从点C出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动，点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度，沿折线向终点C运动，Q，P两点同时出发，当点Q 停止时，点P也随之停止．设点Q运动的时间为t秒． (1)求当时t的值； (2)过点P作于点E，以为邻边作矩形，设矩形与重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先结合勾股定理算出，再根据点Q从点C出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动，点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度运动，得出，又因为，故，则，即可作答． （2）要结合题意，进行逐个情况作图，运用数形结合思想以及面积计算方式进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ， ∵点Q从点C出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动，点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度， ∴， ， 当时， 则 ∴， ∴， ， ∴ （2）解：由（1）得，当时，， ∴①当时，如图1，重叠部分是四边形． ∵在中，，，， ∴， 则， ∴， 则． ∵点P从点A出发以每秒5个单位长度的速度，沿折线向终点C运动，Q，P两点同时出发，当点Q 停止时，点P也随之停止．设点Q运动的时间为t秒． ∴， ②当时，如图2， ， 则 ∴ ； 当时， 则， 则； ③、当时，如图3，重叠部分是五边形． 则， 则 ∴ ∴ 则 ∴ ∵点D为的中点，点Q从点C出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点D运动， ∴ ④、当时，如图4， 则 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解直角三角形的相关运算，勾股定理，二次函数的几何综合，矩形的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 变式9-3.如图，正方形的一边在直线l上，直线交直线l于点D，，点F在直线l上，连接，过点F作交直线于点E．          (1)如图1，当点为线段的中点时，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点F在线段上运动时，判断（1）中的数量关系是否依然成立，并说明理由； (3)若，连接，交正方形一边于点M，直接写出的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)依然成立，理由见解析 (3)或2 【分析】 （1）取的中点，连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可得； （2）在上截取一点，使得，连接，先证出，，，再证出，根据全等三角形的性质即可得； （3）分三种情况：①当点在上时，过点作于点，作，交延长线于点，设，则，，，再证出，根据相似三角形的性质可得，则可得的长，然后根据正切的定义求解即可得；②当点在延长线上时，延长至点，使得，过点作于点，连接，先证出，设，则，，，再证出，根据相似三角形的性质可得，则可得，然后根据正切的定义求解即可得；③当点在延长线上时，过点作，交延长线于点，求出，则可得此时与正方形的边没有交点，由此即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，取的中点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点为线段的中点，点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （2）解：依然成立，理由如下： 如图，在上截取一点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）解：①如图，当点在上时，过点作于点，作，交延长线于点， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 由上已证：， 设，则， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点在延长线上时，延长至点，使得，过点作于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，； ③当点在延长线上时，过点作，交延长线于点， 同理可得：， ∴， ∴此时与正方形的边没有交点，舍去； 综上，的值为或2． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正切等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 类型十、三角函数的新定义 锐角三角函数的性质 值域特性：由于直角三角形斜边大于直角边，且边长均为正数，故0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0。 增减性规律： 正弦值与正切值随角度增大而增大； 余弦值随角度增大而减小。 互余关系：若两角互余（A+B=90°），则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1。 平方关系：sin²A+cos²A=1，此公式可用于边长计算或角度推导。 特殊角的三角函数值 常见角度值： 30°：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3； 45°：sin45°=cos45°=√2/2，tan45°=1； 60°：sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3。 记忆技巧：通过单位圆或等腰直角三角形、含30°角的直角三角形边长关系辅助记忆。 解直角三角形的方法 已知条件分类： 已知两边：利用勾股定理求第三边，再通过三角函数求角度； 已知一边一角：通过三角函数求其他边，利用互余关系求另一角。 解题步骤： 构造直角三角形：若原图形非直角三角形，需通过作高线等方式构造； 确定锐角：利用已知角或互余关系确定待求角； 边角关系应用：根据sinA=对边/斜边、cosA=邻边/斜边、tanA=对边/邻边列方程求解。 实际应用中的方法 实际问题转化：将测量高度、坡度计算等问题转化为解直角三角形问题，例如： 测量树高：已知水平距离d和仰角θ，则树高h=d·tanθ； 坡度计算：坡度i=垂直高度/水平距离=tanα（α为坡角）。 示意图绘制：通过画图明确已知条件与未知量的位置关系，辅助建立数学模型。 例10．定义：与三角形的一个内角相邻的外角平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角，我们称之为该三角形第三个内角的对望角． (1)如图1，是中的对望角，若，请用含α的代数式表示； (2)如图2，在四边形中，，垂直平分，延长交的外角平分线于点F，求证：是中的对望角； (3)如图3，在中，，，交的外角平分线于点E，连接，的外接圆交于F、交于D，连接、、，，当时，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，根据是中的对望角，得出，，求出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）连接，延长，根据垂直平分线性质得出，根据等腰三角形的性质得出，证明A、B、C、D四点共圆，得出，，证明，得出平分，即可证明结论； （3）设交的外接圆于点G，连接、、、，则与交于点H，证明，是圆的直径，设，则，求出，得出，，解直角三角形得出，求出，根据垂径定理逆定理得出，求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ， ∵是中的对望角， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：连接，延长，如图所示： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵是的外角平分线， ∴是的对望角． （3）解：设交的外接圆于点G，连接、、、，则与交于点H，如图所示： ∵，， ∴平分， ∴为的垂直平分线， ∴，是圆的直径， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵是外角的平分线，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴，， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，三角形面积计算，四点共圆，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 变式10-1．我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是_______． A．        B．        C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且点是的相似心，． ①求的度数． ②直接写出的值． 【答案】(1)A (2)①；② 【分析】（1）取格点、，连接、、、，，，，由勾股定理求得，，则，而，即可证明，求得，由，，可知与不相似，与不相似，于是得到问题的答案． （2）①由题意得，由得，，，结合三角形的内角和定理即可求解；②由可得，由相似三角形的性质得，则，，进而得到，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，取格点、，连接、、、， 在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， ，，， ，，， ，，， ， ， ， 与中的最大角，与中的最大角， 与不相似，与不相似， 故答案为：A； （2）解：①在中，，， ， 点是的相似心，， ，，， ， ； ②， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，新定义问题，三角函数，灵活运用相关知识是解题的关键． 变式10-2.新定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“射影点”． (1)如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用无刻度的直尺画出边上的一个“射影点”． (2)中，，点D是边上的“射影点”，求线段的长． (3)如图3，是的内接三角形，于点H，连接并延长交于点D． ①求证：点H是中边上的“射影点”． ②若的半径为9，，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)①见解析；② 【分析】本题考查的圆中的新定义问题，考查了圆的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定及性质是关键． （1）根据相似三角形的判定和性质进行作图即可； （2）分两种情况进行解答即可； （3）①连接，证明，得到，证明，即可得到结论；②求出．，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，当时，； （2）作于点E，由 可设， 则 ， ， 设， ①如图2，若点D在点E左侧， 由点D是边上的“射影点”知，， ， 即， 解得（舍去） ． ②如图3，若点D在点E右侧， 由点D是边上的“射影点”知，， ， 即， 解得（舍去） ． 或5． （3）①如图4，连接， ， ，即， ， ， ∴点H是中边上的“射影点”． ②． 理由如下：如图4， ， 是直径， ． 又， ． ∵点O是线段的中点， 是的中位线， ． 在直角中，由勾股定理知：． ∴由垂径定理得到：． 在直角中，由勾股定理知：． 又由①知，，即，则． ， 即． 变式10-3.综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“双直四边形”进行研究． 定义：在四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做双直四边形． (1)观察思考 如图，在双直四边形中，，若，则的值为________． (2)初步探究 如图，在双直四边形中，，过点作交于点．若，请猜想和之间的数量关系，并说明理由． (3)类比探究 如图，在（）的基础上，若、、，求的长（用含，，的代数式表示）． (4)拓展应用 如图，在双直四边形中，．，，为线段上一动点，且（，连接，作点关于直线的对称点，连接．若，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4)或 【分析】（）由已知可得，进而根据锐角三角函数即可求解； （）证明即可求解； （）证明，可得，即得，进而根据线段的和差关系即可求解； （）分点的对应点在的下方和上方两种情况，分别画出图形，利用正方形和相似三角形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：分两种情况：①如图，当点的对应点在的下方时， 如图，过点作于点， 由（）知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理（）可得，， ∴， 由折叠的性质可知四边形为正方形， 连接，则，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当点的对应点在的上方时， 同理可得； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质等，运用分类讨论思想并正确作出辅助线解答是解题的关键． 1 / 117 学科网（北京）股份有限公司 $