精品解析：江西省赣州市瑞金市第四集团2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年秋初中第四集团10月联考 九年级数学试卷 全卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项．） 1. 以下方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，掌握只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程是一元二次方程成为解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，最高次数为1，不符合条件； B．整理为是整式方程，且二次项系数为，符合定义； C． 中最高次数为3，属于三次方程，不符合条件； D．含分式项，不是整式方程，不符合条件． 故选B． 2. 通过一元二次方程配方后变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 故选：A． 3. 二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式直接说出对称轴即可，能根据顶点式说出对称轴是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为：， 故选：B． 4. 某班同学毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了张，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学， 每名同学要送出张； 又是互送照片，根据题意，列出方程为． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键． 5. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得，然后整体代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， ∴， ∴ ， 故选：C． 6. 如图，二次函数经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点，，则．其中，正确的结论有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征， ①根据图象与轴有两个交点，即可判断； ②根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断； ③根据抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为，可得抛物线与x轴的一个交点为，然后根据增减性得出当时对应的函数值，即可判断； ④根据图象可得，即可得出，再结合对称轴为，运用二次函数增减性即可判断； 掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 【详解】解：①∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与y轴交点在轴下方， ∴， ∴，故结论②正确； ③∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小， 又∵当时，， ∴当时，， 即，故结论③错误； ④∵， ∴， ∵抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大， ∴， ∴，故结论④正确； 综上所述，①②④正确，正确的结论有个． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 将方程化成一般式为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a、b、c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：将方程化成一般式为， 故答案为：． 8. 若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数 (a，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴． 故答案为：． 9. 若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，分别把点坐标代入进行求解即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象经过两点，， ∴，， ∴， 故答案为：． 10. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的函数表达式为：， 故答案为：． 11. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为______． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据定义列出一元二次方程，化为一般式，根据根的判别式作答即可. 【详解】解：∵ ∴ 即 ∴ ∴方程的根的情况为有两个不相等的实数根 故答案为：有两个不相等的实数根 12. 如图，平行四边形中，，，，点是边上一动点，连接，，若是直角三角形，则_____． 【答案】2或4或8 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得，依题意有以下两种情况①当时，过点作交延长线于，过点作于，设，则，在中，先求出，进而得，则，由勾股定理得，同理得，则，由勾股定理得，再由勾股定理得，则，由此解出，则或8；②当时，在中，先求出，则，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ， ， ， ∵点是边上一动点， ∴当是直角三角形时有以下两种情况： ①当时，过点作交延长线于点，过点作于点，如图1所示： 设，则， 在中，， ， 又∵， ， 由勾股定理得：， ， 在中， 由勾股定理得：， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， 在中， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得：， 或； ②当时，如图2所示： ， 在中，， ， 综上所述：若是直角三角形，则或8或． 故答案为：4或2或8． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用勾股定理及含有角的直角三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法； （1）根据配方法，得，从而完成求解； （2）先去括号，再根据因式分解法求解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 ∴ ∴ ∴ ． 14. 已知二次函数．求该二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标． 【答案】图象的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，将化为顶点式即可得解．解题的关键是掌握：二次函数的顶点式为：，其中顶点坐标为；当时，图象开口向上，当时，图象开口向下；对称轴为：，最值为．据此解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴该二次函数图象的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是． 15. 如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据图形即可求解； （2）求解方程即可． 【小问1详解】 由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为 故答案为：， 【小问2详解】 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴剪去的正方形边长为 16. 已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个函数的解析式； （2）试判断点是否在此函数图象上． 【答案】（1） （2）在此函数图象上 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式： （1）运用待定系数法求出的值即可求出二次函数的解析式； （2）将坐标代入抛物线的解析式即可知道它是否在该函数的图象上 【小问1详解】 解：由题意得，对称轴， 将点代入函数得 将点代入函数得， 解得，，． 这个函数的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，． 在此函数图象上 17. 关于的一元二次方程． （1）试判断该方程根的情况； （2）若，是该方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】（1）当时，，方程有两个相等的实数根； 当时，，方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式： （1）根据一元二次方程根的判别式判断即可； （2）根据求出即可． 【小问1详解】 解：， 当时，，方程有两个相等的实数根； 当时，，方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：由题意得， ， ， 解得：． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成．已知篱笆长80m．设垂直于墙的边长为． （1）则________m（用含的代数式表示），矩形的面积________（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，围成的矩形花圃的面积最大，并求出这个最大值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用： （1）根据可求出，由矩形的面积公式即可表示出面积； （2）根据求根据二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【小问1详解】 解：∵篱笆长， ∴米，米， ∴米． ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵且， ∴， ， 有最大值， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为． 19. 某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件． （1）若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率； （2）2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？ 【答案】（1）平均下降率为 （2）单价应降低27元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确列出方程是解题关键． （1）设平均下降率为x，然后根据题意可直接列方程求解； （2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，然后根据题意可列方程，求解即可． 【小问1详解】 设平均下降率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：平均下降率为； 【小问2详解】 设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵要减少库存， ∴． 答：单价应降低27元． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点． （1）求抛物线表示的函数解析式； （2）若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】本题考查函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，三角形的面积 （1）分别把，代入函数中，可求得点，，将点D坐标代入函数，求出k的值，即可解答； （2）由抛物线的函数解析式可得顶点P的坐标为，因此轴，，过点D作于点E，则，根据三角形的面积公式可求出；把代入函数中，求得，因此，再根据即可解答． 【小问1详解】 解：把代入函数中，得， 解得， ∴， 把代入函数中，得， ∴， ∵抛物线为常数）经过点， ∴，解得， ∴抛物线表示的函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的函数解析式为， ∴顶点P的坐标为， ∵， ∴轴，， 过点D作于点E，则， ∴； 把代入函数中，得， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是不是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值为： ________． 【答案】（1）是 （2）26或5 （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，代数式求值，一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．也考查了阅读理解能力． （1）利用因式分解法解方程得到，然后根据新定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到，再根据新定义解得或，然后把或代入所求的代数式中运算即可； （3）设方程的根的两根分别为，根据根与系数的关系得，然后求出α，再计算对应的m的值． 【小问1详解】 解：， ， 或， 所以， 则方程是“倍根方程”； 【小问2详解】 解：， 或， 解得， ∵是“倍根方程”， ∴或， 当时，； 当时，， 综上所述，代数式的值为26或5； 【小问3详解】 解：根据题意，设方程的根的两根分别为， 根据根与系数的关系得 ， 解得 或（舍去）， ∴m的值为； 故答案为：． 22. 阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以 根据上述材料解决以下问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________． （2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值． 【答案】（1）；； （2）； （3）-1 【解析】 【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得． 【小问1详解】 ，； 故答案为；； 【小问2详解】 ，，且， 、可看作方程， ，， ； 【小问3详解】 把变形为， 实数和可看作方程的两根， ，， ． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． 六、（本大题共12分） 23. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点是第一象限内抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当轴时，求的周长； （3）当的面积等于面积的时，求点D的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）1或3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、二次函数的对称性、一次函数解析式的求解、勾股定理的应用以及三角形面积的计算，解题的关键是熟练运用待定系数法求函数解析式，结合图形性质（如平行于x轴的点的对称性、垂直辅助线构造直角三角形）转化几何问题，利用面积割补法建立方程求解． （1）将抛物线与x轴交点A、B的坐标代入抛物线解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，进而确定抛物线解析式； （2）先由抛物线解析式确定C点坐标（与y轴交点）和对称轴；根据轴，利用抛物线对称性得D点坐标，计算长度；再用勾股定理分别求出的长度，三者相加得周长； （3）先用待定系数法求直线的解析式；设D点横坐标为m，结合抛物线和直线解析式表示出D、G（与交点）的纵坐标，计算长度；求出的面积，根据与的面积关系，利用“”列方程，求解得D点横坐标． 【小问1详解】 解：将代入， 得解得 ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图①，由抛物线的解析式可知抛物线对称轴为直线． ∵轴， ∴点D与点C关于直线对称， ∴， ∴． ∵， ∴， ， 过点D作轴于点E， ∵， ∴， ， ∴的周长为； 【小问3详解】 解：如图②，过点D作轴于点F，交于点G， 设所在直线的解析式为， 将代入得解得 ∴所在直线的解析式为， 设，则， ， ∵， ， ，， ，整理得，解得， ∴点D的横坐标为1或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋初中第四集团10月联考 九年级数学试卷 全卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项．） 1. 以下方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 通过一元二次方程配方后变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 某班同学毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了张，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为(　　) A. B. C. D. 5. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2021 C. 2020 D. 2019 6. 如图，二次函数经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点，，则．其中，正确的结论有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 将方程化成一般式为_________________． 8. 若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是______． 9. 若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 10. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为___________． 11. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为______． 12. 如图，平行四边形中，，，，点是边上一动点，连接，，若是直角三角形，则_____． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 14. 已知二次函数．求该二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标． 15. 如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． （1）无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． （2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 16. 已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个函数的解析式； （2）试判断点是否在此函数图象上． 17. 关于的一元二次方程． （1）试判断该方程根的情况； （2）若，是该方程的两个实数根，且，求的值． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成．已知篱笆长80m．设垂直于墙的边长为． （1）则________m（用含的代数式表示），矩形的面积________（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，围成的矩形花圃的面积最大，并求出这个最大值． 19. 某服装厂生产一批服装，2022年该服装的出厂价是300元/件，2023年、2024年连续两年改进技术降低成本，2024年该服装的出厂价调整为243元/件． （1）若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率； （2）2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元/件销售时，平均每天可销售10件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点． （1）求抛物线表示的函数解析式； （2）若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是不是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值为： ________． 22. 阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以 根据上述材料解决以下问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________． （2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值． 六、（本大题共12分） 23. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点是第一象限内抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当轴时，求的周长； （3）当的面积等于面积的时，求点D的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $