第5章 一元一次方程（复习讲义）数学浙教版2024七年级上册

第5章 一元一次方程（复习讲义） 从生活实例（如行程问题、购物付费）中抽象出一元一次方程的模型，理解其是解决实际问题的有效数学工具。通过等式的性质，掌握方程的同解原理，并运用它求出未知数的值，培养建模思想和应用意识。 基础题 ：直接解方程，或解简单的应用题（如和差倍分问题）。 中档题 ：含参数方程的解的讨论，与代数式求值结合，或涉及比例、分配等复杂情境的应用题。 压轴题 ：一元一次方程在动态几何、方案设计与决策等综合性问题中的应用。 ✅ 概念零混淆（区分“方程的解”与“解方程”，等式性质2中除数不能为0）； ✅ 计算严步骤（严格遵循去分母、去括号、移项、合并、系数化1五步法，避免跳步）； ✅ 应用重审题（从实际问题中准确提炼等量关系是列方程的关键）。 层级 目标要求 典型实例 基础目标 1. 熟练解一元一次方程。 2. 判断一个数是否是方程的解。 3. 解决简单的和差倍分应用题。 1. 解方程：2x−5=3(x+1) 2.x=2是否是方程3x−1=5的解？ 3. 一个数的3倍比它的2倍多10，求这个数。 进阶目标 1. 解含分母、括号的复杂一元一次方程。 2. 解决行程问题、工程问题、利润问题等典型应用题。 3. 根据方程的解求参数的值。 1. 解方程： 2. 某商品按标价8折出售，利润率为10%，已知进价为1600元，求标价。 3. 若x=1是方程2x−a=3的解，求a的值。 拓展目标 1. 解决含参数方程的讨论问题（如解的情况判断）。 2. 一元一次方程在方案选择与优化问题中的应用。 3. 与图形、图表信息结合的综合性问题。 1. 解关于x的方程x=b，并讨论解的情况。 2. 某中学组织初一年级师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用60座客车，则可少租1辆，且余15个座位。求参加春游的人数。 3. (方案选择) 某移动公司开设两种业务：“全球通”月租费50元，通话费0.4元/分钟；“神州行”无月租，通话费0.6元/分钟。某人估计一月通话300分钟，应选择哪种更划算？ 知识点 重点归纳 常见易错点 方程的基本概念 1. 定义：含有未知数的等式。 2. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。 3. 解方程：求方程的解的过程。 1. 概念混淆：混淆“方程的解”和“解方程”两个概念。 2. 解的判断错误：检验一个数是否是方程的解时，代入计算错误。 等式的性质 1. 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 2. 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 性质应用错误：等式两边除以同一个数时，忽略了这个数不能为0的前提条件。 解一元一次方程 一般步骤： 1. 去分母 2. 去括号 3. 移项 4. 合并同类项 5. 系数化为1 核心思想：通过恒等变形，将方程化为 x = a 的形式。 1. 去分母漏乘：方程两边每一项都要乘以最简公分母，常数项不要漏乘。 2. 去括号错误：括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要变号。 3. 移项不变号：项从一边移到另一边，其符号必须改变。 4. 系数化为1时计算错误：尤其是当未知数的系数是分数时。 一元一次方程的实际应用 1. 一般步骤： - 审题：找出已知量、未知量和等量关系。 - 设元：设未知数（直接设或间接设）。 - 列方程：用含未知数的代数式表示其他量，并列出方程。 - 解方程 - 检验并作答：检验解是否符合方程和实际意义。 2. 常见题型：行程问题、工程问题、利润问题、配套问题、等积变形问题等。 1. 找不到等量关系：无法从题目中准确提炼出核心的等量关系。 2. 单位不统一：列方程前未将各物理量的单位统一，如速度是km/h，时间是分钟。 3. 忽略实际意义：解出方程后，未检验答案是否符合实际情况（如人数不能为负数、分数）。 含参数的一元一次方程 1. 定义：方程中除未知数外，还含有其他表示常数的字母。 2. 常见问题： - 已知方程的解，求参数的值。 - 已知方程解的情况（如解是正整数），求参数的取值范围。 - 解两个含相同参数的方程。 1. 讨论不全面：在求解含参数的方程时，未对参数的取值进行分类讨论（例如，参数出现在分母时，需讨论其为0的情况）。 2. 混淆未知数与参数：将参数当作未知数来解，导致解题方向错误。 题型一 正数负数 【例1】下面式子中，不是方程的是（　　） A．x﹣5＝1 B．4+2y＝16 C．3x﹣2＞7 D．y+1＝3 【考点】方程的定义．版权所有 【分析】根据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，逐一分析各选项是否符合条件． 【解答】解：根据方程的概念逐项分析判断如下： 因为x﹣5＝1，含有未知数x，且是等式，属于方程，所以A不符合题意； 因为4+2y＝16，含有未知数y，且是等式，属于方程，所以B不符合题意； 因为3x﹣2＞7，虽然含有未知数x，但为不等式，不符合方程的定义，所以C符合题意； 因为y+1＝3，含有未知数y，且是等式，属于方程，所以D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了方程的定义，熟练掌握概念是关键． 【变式1-1】下列方程中，是方程的是（　　） A．2x﹣3 B．3+5＝8 C．x2+2x+1＞0 D． 【考点】方程的定义．版权所有 【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式，进行判断即可． 【解答】解：A、不是方程，不符合题意； B、不含未知数，不符合题意； C、是不等式，不是方程，不符合题意； D、，是方程，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查方程的定义．熟练掌握定义是关键． 【变式1-2】下列各式中．哪些是方程？如果是方程．指出方程中的未知数． （1）3x＝4； （2）4； （3）1﹣x； （4）1﹣a2＝0； （5）5﹣3m＝m； （6）3x﹣2y＝1． 【考点】方程的定义．版权所有 【分析】根据方程的定义含有未知数的等式叫方程判定即可． 【解答】解：（1）3x＝4，是方程，未知数是x； （2）4，是方程，未知数是y； （3）1﹣x；不是方程， （4）1﹣a2＝0，是方程，未知数是a； （5）5﹣3m＝m，是方程，未知数是m； （6）3x﹣2y＝1，是方程，未知数是x、y． 【点评】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程定义是关键． 【变式1-3】方程17+15x＝245，，2（x+1.5x）＝24都只含有一个未知数，未知数的指数都是1，它们是一元一次方程，方程x2+3＝4，x2+2x+1＝0，x+y＝5是一元一次方程吗？若不是，它们各是几元几次方程？ 【考点】方程的定义．版权所有 【分析】根据一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，二元一次方程的定义进行求解． 【解答】解：方程x2+3＝4，x2+2x+1＝0，x+y＝5不是一元一次方程； x2+3＝4和x2+2x+1＝0是一元二次方程； x+y＝5是二元一次方程． 【点评】本题考查了方程的定义．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程． 只含有一个未知数，未知项的次数为2的整式方程，叫一元二次方程． 含有2个未知数，最高次项的次数是1的方程叫做二元一次方程． 题型二 方程的解 【例2】已知x＝1是方程3x﹣m＝x+2n的一个解，则整式m+2n+2023的值为 　2025　 ． 【考点】方程的解．版权所有 【分析】将x＝1代入3x﹣m＝x+2n，得到m和n的数量关系并代入m+2n+2023计算即可． 【解答】解：将x＝1代入3x﹣m＝x+2n， 得3﹣m＝1+2n， 经整理，得m+2n＝2， 则m+2n+2023 ＝2+2023 ＝2025． 故答案为：2025． 【点评】本题方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 【变式2-1】整式ax+b的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值： x ﹣1 0 1 2 3 ax+b ﹣8 ﹣4 0 4 8 则关于x的方程﹣ax﹣b＝﹣4的解是　x＝2　 ． 【考点】方程的解．版权所有 【分析】将﹣ax﹣b＝﹣4变形为ax+b＝4，观察表格数据可得答案． 【解答】解：由条件可得ax+b＝4， 由表可知，当x＝2时，ax+b＝4， 因此关于x的方程﹣ax﹣b＝﹣4的解是x＝2， 故答案为：x＝2． 【点评】本题考查方程的解，熟练掌握该概念是根关键． 【变式2-2】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则关于x的方程（a+b）x2+3cd（x+1）3的解为多少？ 【考点】方程的解．版权所有 【分析】根据题意得：a+b＝0，cd＝1，代入原方程，解出即可． 【解答】解：根据题意得：a+b＝0，cd＝1， 原方程化为：3（x+1）3， 12（x+1）﹣（7x﹣5）＝12， 12x+12﹣7x+5＝12， 12x﹣7x＝12﹣12﹣5， 5x＝﹣5， x＝﹣1． 【点评】本题考查了方程的解，相反数，倒数知识点的综合运用，掌握解方程的方法，根据题意列等式及整体代入原方程是解题关键． 【变式2-3】a是最大的负整数，且a+b＝3，则方程的解是多少？ 【考点】方程的解．版权所有 【分析】先求出a，b的值，然后代入方程求解即可． 【解答】解：∵a是最大的负整数， ∴a＝﹣1． ∵a+b＝3， ∴b＝3﹣a＝4． 当a＝﹣1，b＝4时， 原方程为：， 2（x﹣1）﹣10＝5（x﹣4）， 2x﹣2﹣10＝5x﹣20， 2x﹣5x＝﹣20+2+10， ﹣3x＝﹣8， ， ∴的解为． 【点评】本题考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． 题型三 一元一次方程 【例3】已知（m﹣3）x|m|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程，则m＝ 　﹣3　 ． 【考点】一元一次方程的定义；绝对值．版权所有 【分析】根据未知数的次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【解答】解：由条件可知：|m|﹣2＝1且m﹣3≠0， 解得m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是关键． 【变式3-1】如果方程（k+1）x|k|﹣5＝0是关于x的一元一次方程，那么k 　＝1　 ． 【考点】一元一次方程的定义．版权所有 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）． 【解答】解：方程（k+1）x|k|﹣5＝0是关于x的一元一次方程，得： ， 解得k＝1． 故答案为：＝1． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 【变式3-2】已知关于x的方程（m﹣3）xm+4+18＝0是一元一次方程． 试求：（1）m的值及方程的解； （2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值． 【考点】一元一次方程的定义；代数式求值．版权所有 【分析】（1）根据未知数的指数为1，系数不为0进行求解． （2）将（1）求得的m的值代入即可． 【解答】解：（1）由一元一次方程的特点得m+4＝1，解得：m＝﹣3． 故原方程可化为﹣6x+18＝0， 解得：x＝3； （2）把m＝﹣3代入上式 原式＝﹣6m+7＝18+7＝25． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不是0，特别容易忽视的一点就是系数不是0的条件，这是这类题目考查的重点． 【变式3-3】已知关于x、y的代数式：A＝ax2﹣3xy+9x，B＝﹣2x2﹣bxy+4，且代数式M＝2A﹣3B． （1）若a＝﹣3，b＝1时，化简代数式M； （2）若代数式M是关于x、y的一次多项式，求ab的值； （3）当（a﹣1）x2+xb﹣1+2＝0是关于x的一元一次方程时，求代数式M的值． 【考点】一元一次方程的定义．版权所有 【分析】（1）先化简代数式M，再把a＝﹣3，b＝1代入即可； （2）依据一次多项式指的是最高次为一次的多项式求解可得a，b值，代入ab即可即可； （3）依据一元一次方程是只含一个未知数并且未知数的次数为1的方程可得a，b值代入M即可． 【解答】解：（1）∵A＝ax2﹣3xy+9x，B＝﹣2x2﹣bxy+4，M＝2A﹣3B， ∴M＝2A﹣3B ＝2（ax2﹣3xy+9x）﹣3（﹣2x2﹣bxy+4） ＝2ax2﹣6xy+18x﹣（﹣6x2﹣3bxy+12） ＝2ax2﹣6xy+18x+6x2+3bxy﹣12 ＝（2a+6）x2+（3b﹣6）xy+18x﹣12 把a＝﹣3，b＝1代入上式得： （2a+6）x2+（3b﹣6）xy+18x﹣12 ＝（﹣6+6）x2+（3﹣6）xy+18x﹣12 ＝﹣3xy+18x﹣12． 故答案为：﹣3xy+18x﹣12． （2）由（1）可知：M＝（2a+6）x2+（3b﹣6）xy+18x﹣12， 由题意M是关于x、y的一次多项式得：2a+6＝0，3b﹣6＝0， 解得：a＝﹣3，b＝2，将a＝﹣3，b＝2代入ab＝（﹣3）2＝9， 故答案为：9； （3）∵（a﹣1）x2+xb﹣1+2＝0是关于x的一元一次方程， ∴a﹣1＝0，b﹣1＝1， 解得：a＝1，b＝2，x＝﹣2， 将a＝1，b＝2代入M＝（2a+6）x2+（3b﹣6）xy+18x﹣12＝8x2+18x﹣12， 把x＝﹣2代入M＝8x2+18x﹣12＝8×（﹣2）2+18×（﹣2）﹣12＝32﹣36﹣12＝﹣16． 故答案为：﹣16． 【点评】本题综合考查了代数式求值及解一元一次方程，掌握整式的混合运算法则是关键． 题型四 等式的性质 【例4】如图，标有相同字母的物体的质量相同，若A的质量为20克，则当B的质量为　10　 克时，天平处于平衡． 【考点】等式的性质．版权所有 【分析】由题意得，2A+B＝A+3B，则A＝2B，据此可得答案． 【解答】解：由条件可知A＝2B， ∵A的质量为20克， ∴B的质量为10克， 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是关键． 【变式4-1】如果3a＝﹣2a+5，则3a+　2a　 ＝5． 【考点】等式的性质．版权所有 【分析】性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等．据此解答即可． 【解答】解：根据等式的性质可得：3a+2a＝5． 故答案为：2a． 【点评】本题考查等式的性质，解题的关键掌握等式的性质． 【变式4-2】已知方程3x+2y＝8，用含x的式子表示y为 　　 ． 【考点】等式的性质．版权所有 【分析】将x看作已知数，y看作未知数，求出y即可． 【解答】解：∵3x+2y＝8， ∴2y＝8﹣3x， ∴， 故答案为：． 【点评】此题考查了等式性质进行变形，解题的关键是将x看作已知数，y看作未知数． 【变式4-3】已知二元一次方程3x﹣y＝1，用含x的代数式表示y＝　3x﹣1　 ． 【考点】等式的性质．版权所有 【分析】根据等式的性质表示即可． 【解答】解：∵3x﹣y＝1， 根据等式的性质可得 y＝3x﹣1． 故答案为：3x﹣1． 【点评】本题考查等式的性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 题型五 一元一次方程解法 【例5】已知x＝2是关于x的一元一次方程ax﹣6＝0的解，则a的值 　3　 ． 【考点】一元一次方程的解．版权所有 【分析】根据一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把x＝2代入原方程中求解即可． 【解答】解：∵x＝2是关于x的一元一次方程ax﹣6＝0的解， ∴2a﹣6＝0， ∴a＝3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，熟练掌握以上知识点是关键． 【变式5-1】若x＝6是关于x的方程ax+b＝0的解，则关于x的方程a（x+8）﹣b＝0的解是 　x＝﹣14　 ． 【考点】一元一次方程的解．版权所有 【分析】把x＝6代入方程ax+b＝0，解得6a+b＝0，得到b＝﹣6a，把b＝﹣6a代入方程a（x+8）﹣b＝0即可解题． 【解答】解：由条件可得6a+b＝0， ∴b＝﹣6a， ∴a（x+8）+6a＝0， ∴a（x+8）＝﹣6a， ∴x+8＝﹣6， ∴x＝﹣14， 故答案为：x＝﹣14． 【点评】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式5-2】解方程： （1）3（x﹣1）﹣2（x+10）＝﹣6； （2）． 【考点】解一元一次方程．版权所有 【分析】（1）根据解一元一次方程的方法：有分母先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得到答案； （2）根据解一元一次方程的方法：有分母先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化为1即可得到答案． 【解答】解：（1）去括号得，3x﹣3﹣2x﹣20＝﹣6， 移项得，3x﹣2x＝﹣6+3+20， 合并同类项得，x＝17； （2）去分母得，4（2x﹣6）﹣3（x+18）＝12， 去括号得，8x﹣24﹣3x﹣54＝12， 移项得，8x﹣3x＝12+24+54， 合并同类项得，5x＝90， 系数化为1得，x＝18． 【点评】本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键． 【变式5-3】解下列方程： （1）8﹣3（2x﹣4）＝2（x+2）； （2）． 【考点】解一元一次方程．版权所有 【分析】（1）通过移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【解答】解：（1）8﹣3（2x﹣4）＝2（x+2）， 8﹣6x+12＝2x+4， ﹣6x﹣2x＝4﹣8﹣12， ﹣8x＝﹣16， x＝2； （2）， 3（3y﹣1）﹣12＝2（5y﹣7）， 9y﹣3﹣12＝10y﹣14， 9y﹣10y＝﹣14+12+3， y＝﹣1． 【点评】题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 题型六 同解问题 【例6】已知方程与关于x的方程3a﹣8＝2（x+a）﹣a的解相同． （1）求方程的解； （2）求a的值． 【考点】同解方程．版权所有 【分析】（1）根据一元一次方程的求解步骤计算即可； （2）将（1）中求得的x的值代入关于x的方程3a﹣8＝2（x+a）﹣a，得到关于a的一元一次方程并求解即可． 【解答】解：（1）x+7， 去分母，得2（3x﹣1）＝15x+70， 去括号，得6x﹣2＝15x+70， 移项、合并同类项，得﹣9x＝72， x的系数化1，得x＝﹣8． （2）将x＝﹣8代入关于x的方程3a﹣8＝2（x+a）﹣a， 得3a﹣8＝2（﹣8+a）﹣a， 去括号，得3a﹣8＝﹣16+2a﹣a， 移项、合并同类项，得2a＝﹣8， a的系数化1，得a＝﹣4． 【点评】本题考查同解方程，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【变式6-1】已知k是常数，如果方程2x﹣3＝1﹣2x与关于x的方程的解相同，求k的值． 【考点】同解方程．版权所有 【分析】先解出2x﹣3＝1﹣2x，再把方程的解代入，即可求出k的值． 【解答】解：解方程2x﹣3＝1﹣2x，得x＝1． ∵方程2x﹣3＝1﹣2x与关于x的方程的解相同， 将x＝1代入中，得 ， 解得， ∴k的值是． 【点评】本题考查了一元一次方程的解法和解的定义，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键． 【变式6-2】已知关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+2m﹣2＝0是一元一次方程． （1）求k的值． （2）若关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+2m﹣2＝0与方程2x＝6﹣x的解相同，求m的值． 【考点】同解方程；绝对值；一元一次方程的定义．版权所有 【分析】（1）根据一元一次方程的定义计算即可； （2）解方程2x＝6﹣x并将其解代入一元一次方程（k﹣2）x|k|﹣1+2m﹣2＝0的具体形式，得到关于m的一元一次方程并求解即可． 【解答】解：（1）∵关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+2m﹣2＝0是一元一次方程， ∴|k|﹣1＝1， ∴k＝±2， ∵k﹣2≠0， ∴k≠2， ∴k＝﹣2． （2）关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+2m﹣2＝0是一元一次方程﹣4x+2m﹣2＝0， 解方程2x＝6﹣x，得x＝2， 将x＝2代入﹣4x+2m﹣2＝0，得﹣8+2m﹣2＝0， 解得m＝5． 【点评】本题考查同解方程、绝对值、一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义及一元一次方程的解法是解题的关键． 【变式6-3】已知方程x+3＝0与关于x的方程5x﹣3（x+k）＝﹣12的解相同． （1）求k的值； （2）若|m﹣5|+（n﹣1）k＝0，求m+n的值． 【考点】同解方程；绝对值．版权所有 【分析】（1）先解方程x+3＝0得：x＝﹣3，再把x＝﹣3代入方程5x﹣3（x+k）＝﹣12中求出k的值即可； （2）根据（1）所求可得|m﹣5|+（n﹣1）2＝0，则由非负数的性质得到m﹣5＝0，n﹣1＝0，即m＝5，n＝1，据此代值计算即可． 【解答】解：（1）解方程x+3＝0得：x＝﹣3， 由条件可知x＝﹣3是关于x的方程5x﹣3（x+k）＝﹣12的解， ∴5×（﹣3）﹣3（﹣3+k）＝﹣12， 解得k＝2； （2）∵|m﹣5|+（n﹣1）k＝0，即|m﹣5|+（n﹣1）2＝0， ∴m﹣5＝0，n﹣1＝0， ∴m＝5，n＝1， ∴m+n＝5+1＝6． 【点评】本题主要考查了非负数的性质，解一元一次方程，一元一次方程解的定义，熟练掌握以上知识点是关键． 题型七 一元一次方程应用 【例7】国庆期间，某商场柜组进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照20%的利润定价，然后又打九折出售．（成本价×利润率＝利润，成本价+利润＝定价，售价﹣成本价＝利润） （1）商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？ （2）商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？ 【考点】一元一次方程的应用．版权所有 【分析】（1）利用售价＝成本价×（1+利润率）×折扣率，即可求出结论； （2）设商品B的成本是x元，利用利润＝售价﹣成本价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：120×（1+20%）×0.9 ＝120×1.2×0.9 ＝129.6（元）． 答：商品A最后应卖129.6元； （2）设商品B的成本是x元， 根据题意得：0.9×（1+20%）x﹣x＝68， 解得：x＝850． 答：商品B的成本是850元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式7-1】问题：某商店在“双十二购物节”活动中将某种服装按成本价提高30%后标价，又以九折优惠卖出，结果每件仍获利17元，这种服装每件的成本价是多少元？ 小宇同学在小组讨论以上问题时，想采用直观分析策略给同伴讲解．为此拟定了如下计划： （1）用示意图直观地表示商店从进货、标价到销售获利的过程； （2）设这种服装每件的成本为x元，用含x的代数式分别表示其标价和利润； （3）根据示意图用方程解决问题． 请你完成小宇拟定的计划． 【考点】一元一次方程的应用．版权所有 【分析】（1）根据成本价、标价、售价间的关系，画出过程即可； （2）根据“某种服装按成本价提高30%后标价”可得标价，根据“以九折优惠卖出”可得售价，再根据利润＝售价﹣成本价可得利润； （3）根据利润＝售价﹣成本价，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）如下： （2）标价为：（1+30%）x； 利润为：（1+30%）x•90%﹣x； （3）∵（1+30%）x•90%﹣x＝17． ∴x＝100． ∴成本价是100元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式7-2】【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 贵州省遵义市湄潭县是“中国名茶之乡”，湄潭茶叶形如眉、色如翠、香如兰、味甘醇，富含茶多酚、氨基酸、维生素等营养成分，品质卓越．近年来，湄潭县积极拓展茶产品深加工，生产绿茶、红茶等成品茶． 素材1 小红家茶行用5850元进购绿茶，用4800元进购红茶． 素材2 绿茶的总重量是红茶总重量的1.5倍，每千克绿茶的进价比每千克红茶的进价少30元． 素材3 每千克绿茶的售价比每千克红茶的售价少40元，全部售出后，小红家茶行获利不少于7425元． 问题解决 任务1 确定产品重量 请运用所学知识，求出小红家茶行绿茶和红茶各自采购多少千克． 任务2 探究限定售价 按素材要求确定每千克绿茶的售价至少为多少元？ 【考点】一元一次方程的应用．版权所有 【分析】任务1：设小红家茶行红茶采购x千克，则绿茶采购1.5x千克，根据素材1，素材2，列出方程，即可求解； 设每千克绿茶的售价为m元，则每千克红茶的售价为（m+40）元，根据素材3列出不等式，即可求解． 【解答】解：任务1：设小红家茶行红茶采购x千克，则绿茶采购1.5x千克，根据题意得： ， 解得：x＝30， 经检验，x＝30是原方程的解， 1.5x＝45， 答：小红家茶行红茶采购30千克，绿茶采购45千克； 任务2：由任务1得：每千克绿茶的进价为（元），每千克红茶的进价为160﹣30＝130（元）， 设每千克绿茶的售价为m元， 45（m﹣160）+30（m+40﹣130）≥7425， ∴m≥231， 答：每千克绿茶的售价至少为231元． 【点评】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，正确进行计算是解题关键． 【变式7-3】在“生命，幸“盔”，有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高，某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： 店经理：你好！请问安全头盔和手套的批发价分别是多少元？ 批发商：你好！头盔100元/个，手套30元/副，现在正值安全教育宣传期，有以下两种优惠方案： 方案一：整体打九折； 方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套． （1）电行动自车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案二共需花费　5550　 元； （2）电动自行车店计划购买30个安全头盔和a副乎套（a＞15）． 若选择方案一购买，需要花费　（2700+27a）　 元（用含a的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费　（2550+30a）　 元（用含a的代数式表示）； （3）经理想购买30个安全头盔和a副手套，应该如何选择购买方案能更省钱？ 【考点】一元一次方程的应用；列代数式．版权所有 【分析】（1）方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套，依此可得购买30个安全头盔和100副手套共需要花费[100×30+30×（100）]（元）． （2）购买30个安全头盔需3000元，a副手套需30a元，若选择方案一购买需90%（3000+30a）＝（2700+27a）元．若选择方案二购买需3000+30（a）＝（2550+30a）元． （3）当2700+27a＞2550+30a时，即15＜a＜50，此时选择方案二购买更省钱．当2700+27a＝2550+30a时，即a＝50，此时两种方案购买价格一样．当2700+27a＜2550+30a时，即a＞50，此时选择方案一购买更省钱． 【解答】解：（1）100×30+30×（100） ＝3000+2550 ＝5550（元）． 故选择方案二共需花费5550元． 故答案为：5550元； （2）购买30个安全头盔需3000元， a副手套需30a元， 若选择方案一购买需90%（3000+30a）＝（2700+27a）元． 若选择方案二购买需3000+30（a）＝（2550+30a）元． 故答案为：（2700+27a），（2550+30a）； （3）当2700+27a＞2550+30a时，a＜50， ∴15＜a＜50， 此时选择方案二购买更省钱． 当2700+27a＝2550+30a时，a＝50， 此时两种方案购买价格一样． 当2700+27a＜2550+30a时， 即a＞50， 此时选择方案一购买更省钱． 答：a＜50，选择方案二购买更省钱；a＝50，两种方案购买价格一样；a＞50，选择方案一购买更省钱． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式的知识，找到等量关系是解题关键． 题型八 一元一次方程综合 【例8】某水果基地为提高效益，对甲、乙、丙三种水果品种进行种植对比研究．去年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为5：3：2，甲、乙、丙三种水果的平均亩产量之比为6：3：5．今年重新规划三种水果的种植面积，三种水果的平均亩产量和总产量都有所变化．甲品种水果的平均亩产量在去年的基础上提高了50%，乙品种水果的平均亩产量在去年的基础上提高了20%，丙品种的平均亩产量不变．其中甲、乙两种品种水果的产量之比为3：1，乙、丙两种品种水果的产量之比为6：5，丙品种水果增加的产量占今年水果总产量的，则三种水果去年的种植总面积与今年的种植总面积之比为 　5：7　 ． 【考点】一元一次方程的应用．版权所有 【分析】根据可得去年的甲的种植面积为5a，则乙的种植面积为3a，丙的种植面积为2a．去年甲种水果的平均亩产量为6b，则乙种水果的平均亩产量为3b，丙种水果的平均亩产量为5b，再根据今年水果总产量的关系可得今年种植面积的比为6：5：3，最后根据丙种水果的总产量与今年水果总产量的关系可得答案． 【解答】解：∵去年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为5：3：2，甲、乙、丙三种水果的平均亩产量之比为6：3：5． ∴设去年的甲的种植面积为5a，则乙的种植面积为3a，丙的种植面积为2a． 设去年甲种水果的平均亩产量为6b，则乙种水果的平均亩产量为3b，丙种水果的平均亩产量为5b． ∴今年甲种水果的平均亩产量为6b（1+50%）＝9b，则乙种水果的平均亩产量为3b（1+20%）＝3.6b，丙种水果的平均亩产量为5b． 设今年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为x：y：z， ∴今年甲种水果的总产量为9bx，乙种水果的总产量为3.6by，丙种水果的总产量为5bz， 依题意得，9bx＝3×3.6by①，5×3.6by＝6×5bz②， 分别整理①、②得，x＝1.2y，z＝0.6y， ∴x：y：z＝6：5：3， ∴可设今年甲的种植面积为6c，乙的种植面积为5c，丙的种植面积为3c， 今年水果总产量为54bc+18bbc+15bc，丙水果增加的总产量为（54bc+18bbc+15bc）5bc， 依题意得，5b•2a+5bc＝5b•3c， 整理得，a＝c， ∴三种水果去年的种植总面积5a+3a+2a＝10a，今年的种植总面积为6c+5c+3c＝14c＝14a， 10a：14a＝5：7． 故答案为：5：7． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，根据等量关系整理出去年三种水果的总面积和今年三种水果的总面积是解题关键． 【变式8-1】【教材呈现】2024年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点A，B表示的数分别是a，b． （1）当a，b分别取下列值时，求A，B两点间的距离． a＝3，b＝6；a＝﹣3，b＝6；a＝﹣3，b＝﹣6． （2）用a，b表示A，B两点间的距离． 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是　3　 ，数轴上表示数﹣3与6的两点之间的距离是　9　 ； （2）用a，b表示A，B两点之间的距离是　|a﹣b|　 ； 【解决问题】 （3）|x﹣3|的含义是数轴上表示数x与　3　 的两点之间的距离，|x+4|的含义是数轴上表示数x与　﹣4　 的两点之间的距离； （4）请你在以下的数轴上表示﹣4和3两数的位置，当表示数x的点在﹣4与3之间移动时，可以发现|x+4|+|x﹣3|的值总是一个固定的值，这个值是　7　 ； （5）若动点P，Q分别从﹣4和3同时出发，沿数轴向左运动，已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为t秒（t＞0）． ①用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为　﹣4﹣t　 ，点Q表示的数为　3﹣2t　 ； ②当t为何值时，P，Q两点之间的距离为3？ 【考点】一元一次方程的应用；数轴；绝对值；列代数式．版权所有 【分析】[归纳概括]（1）根据数轴两点距离，用较大的数减去较小的数，即可解答； （2）根据绝对值的意义，即可求解； [解决问题]（3）根据绝对值的意义，即可求解； （4）根据|x+4|+|x﹣3|表示x到﹣4与3的距离和，即可求解； （5）①根据题意列出代数式即可求解； ③根据题意列出绝对值方程即可求解． 【解答】解：[归纳概括] （1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是3，数轴上表示数﹣3与6的两点之间的距离是9； 故答案为：3，9． （2）用a，b表示A，B两点之间的距离是|a﹣b|， 故答案为：|a﹣b|． [解决问题]（3）含义是数轴上表示数x与3的两点之间的距离，数轴上表示数x与﹣3的两点之间的距离； 故答案为：3，﹣4． （4）|x+4|+|x﹣3|表示x到﹣4与3的距离和，数x的点在﹣4与3之间移动时， |x+4|+|x﹣3|＝7， 故答案为：7． （5）①依题意，t秒时，点P表示的数为﹣4﹣t；点Q表示的数为3﹣2t， 故答案为：﹣4﹣t；3﹣2t． ②P，Q两点之间的距离为|﹣4﹣t﹣（3﹣2t）|＝|﹣7+t|， 依题意，|﹣7+t|＝3， 解得：t＝4或t＝10． 【点评】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，绝对值的意义，列代数式，一元一次方程的应用．用有理数表示数轴上的点．利用分类讨论和数形结合的思想是解答本题的关键． 【变式8-2】随着智能手机的普及，网购已经成为人们的一种生活方式，快递业也随之发展壮大．某快递公司每件普通物品的收费标准如表： 寄往市内 寄往市外 首重 续重 首重 续重 10元/千克 3元/千克 12元/千克 8元/千克 说明：①每件快递按送达地（市内，市外）分别计算运费． ②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费． 首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以0.5千克为计重单位（不足0.5千克按0.5千克计算） 例如：寄往市内一件1.8千克的物品，运费总额为：10+3×（0.5+0.5）＝13元．寄往市外一件3.4千克的物品，运费总额为：12+8×（2+0.5）＝32元． （1）小崔同时寄往市内一件3千克的物品和市外一件3.9千克的物品，各需付运费多少元？ （2）小翠同时寄往市内和市外各一件同等b千克重的物品．已知b超过2，且b的整数部分是m，小数部分小于0.5，请用含字母的代数式表示市外与市内这两笔运费的差； （3）某日小崔和小翠同时在该快递公司寄物品，小崔寄往市外，小翠寄往市内，小翠所寄物品的重量不是整数，小崔的运费比小翠的运费多57元，物品的重量比小翠多2.5千克，则小崔和小翠共需付运费多少元？ 提示：设小翠所寄的物品的重量为（x+a）（x为正整数，a为小数部分）千克． 【考点】一元一次方程的应用；列代数式；整式的加减．版权所有 【分析】（1）根据运费＝首重价格+续重×续重运费，结合续重以0.5千克为计重单位（不足0.5千克按0.5千克计算），即可求出结论； （2）根据运费＝首重价格+续重×续重运费，结合续重以0.5千克为计重单位（不足0.5千克按0.5千克计算），可用含m的代数式表示出寄往市外及寄往市内所需运费，作差后即可得出结论； （3）设小翠所寄物品的重量为（x+a）（x为正整数，a为小数部分）千克，则小崔所寄物品的重量为（x+a+2.5）千克，分0＜a≤0.5及0.5＜a＜1两种情况考虑，根据小崔的运费比小翠的运费多57元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入小崔和小翠所需运费之和中，即可求出结论． 【解答】解：（1）根据题意首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以0.5千克为计重单位（不足0.5千克按0.5千克计算）可知：寄往市内一件3千克的物品需付运费10+3×2＝16（元），寄往市外一件3.9千克的物品需付运费12+8×（2+0.5+0.5）＝36（元）， 答：各需付运费16元，36元； （2）根据题意可知：寄往市内需付运费10+3（m﹣1+0.5）＝（3m+8.5）元， 寄往市外需付运费12+8（m﹣1+0.5）＝（8m+8）元， ∴8m+8﹣（3m+8.5）＝（5m﹣0.5）（元）， 答：市外与市内这两笔运费的差为（5m﹣0.5）元； （3）设小翠所寄物品的重量为（x+a）（x为正整数，a为小数部分）千克， 则小崔所寄物品的重量为（x+a+2.5）千克， ①当0＜a≤0.5时，小彤的运费为10+3（x﹣1）+0.5×3＝（3x+8.5）元， 小崔的运费为12+8（x﹣1）+3×8＝（8x+28）元， 根据题意得：8x+28﹣（3x+8.5）＝57， 解得：x＝7.5（不符合题意，舍去）； ②当0.5＜a＜1时，小翠的运费为10+3（x﹣1）+1×3＝（3x+10）元， 小崔的运费为12+8（x﹣1）+3.5×8＝（8x+32）元， 根据题意得：8x+32﹣（3x+10）＝57， 解得：x＝7， ∴3x+10+8x+32＝3×7+10+8×7+32＝119（元）， 答：小崔和小翠共需付运费119元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式、整式的加减以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出寄往市外及寄往市内所需运费；（3）分0＜a≤0.5及0.5＜a＜1两种情况，列出关于x的一元一次方程． 【变式8-3】某地天然气收费方案如下： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 0～400m3（含400）的部分 3元/m3 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加100m3150m3，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变. 第二阶梯 400～800m3（含800）的部分 4元/m3 第三阶梯 800m3以上的部分 5元/m3 （1）某家庭当年用气量为 500m3．若该家庭人口为3人，则需缴纳燃气费用 　1600　 元；若该家庭人口为4人，则需缴纳燃气费用 　1500　 元． （2）甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为 1000m3，甲户年用气量大于乙户年用气量．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，求甲、乙两户年用气量分别是多少？ （3）某公司共有22名员工，员工宿舍有3人间和4人间两种类型的房间可供选择，且员工所选择的房间必须住满．结算天然气费用时，将每间宿舍视作一户家庭，收费标准按上表进行收费．假定每位员工的年用气量为 250m3，要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为 　6　 间． 【考点】一元一次方程的应用．版权所有 【分析】（1）若该家庭人口为3人，需要缴纳费用为：3×400+4×超过400立方米的立方数；若该家庭人口为4人，需要缴纳费用为：3×500； （2）设甲户年用气量为x m3，则乙户年用气量为（1000﹣x）m3，根据甲户年用气量大于乙户年用气量可得甲户年用气量超过500m3，那么乙户年用气量不足500m3，进而根据甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，列出方程求解即可； （3）设3人间有a间，则4人间有间．根据为正整数，可得a可能的整数值，那么可得3人间房间数和4人间的房间数，根据用气标准得到3人间的年用气量和4人间的年用气量，进而判断出不同情况下的付费情况，比较后可得费用最低的宿舍分配方案． 【解答】解：（1）∵某家庭当年用气量为 500m3．该家庭人口为3人， ∴需缴纳燃气费用：3×400+4×（500﹣400）＝1600（元）． ∵某家庭当年用气量为 500m3．该家庭人口为4人， ∴需缴纳燃气费用：3×500＝1500（元）． 故答案为：1600，1500； （2）设甲用户的用气量为x m3，则乙用户的用气量为（1000﹣x）m3． ∵甲户年用气量大于乙户年用气量， ∴x＞1000﹣x． 解得：x＞500． ∴1000﹣x＜500． ∴3×400+4×（x﹣400）+3×（1000﹣x）＝3200． 解得：x＝600． ∴1000﹣x＝400． 答：甲、乙两户年用气量分别是600m3，400m3； （3）设3人间有a间，则4人间有间． ∵为正整数， ∴a＝2或a＝6． ∴4人间有4间或1间． 3人间煤气用量为：3×250＝750m3， 4人间煤气用量为：4×250＝1000m3． ①3人间2间，4人间4间． 需缴纳燃气费用：2×[3×400+4×（750﹣400）]+4[3×500+4×（950﹣500）+5×（1000﹣950）]＝19400（元）． ②3人间6间，4人间1间． 需缴纳燃气费用：6×[3×400+4×（750﹣400）]+[3×500+4×（950﹣500）+5×（1000﹣950）]＝19150（元）． ∵19400＞19150， ∴要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为6间． 故答案为：6． 【点评】本题考查一元一次方程的应用．理解阶梯收费的计算方法是解决本题的关键． 基础巩固通关测 1．已知a＝b，则下列等式不一定成立的是（　　） A．a+1＝b+1 B．a﹣3＝b﹣3 C．ac＝bc D． 【考点】等式的性质．版权所有 【分析】根据等式的基本性质逐项判断即可． 【解答】解：A、如果a＝b，那么a+1＝b+1，故A正确，不符合题意； B、如果a＝b，那么a﹣3＝b﹣3，故B正确，不符合题意； C、如果a＝b，那么ac＝bc，故C正确，不符合题意； D、如果a＝b，当c＝0时，无意义，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是正确理解等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 2．方程（a﹣2）x|a|﹣1+3＝0是关于x的一元一次方程，则a＝（　　） A．2 B．﹣2 C．±1 D．±2 【考点】一元一次方程的定义．版权所有 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）． 【解答】解：由题意，得 |a|﹣1＝1，且a﹣2≠0， 解得a＝﹣2， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 3．下列变形正确的是（　　） A．由5x＝2x﹣3，移项得5x﹣2x＝3 B．由，去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3） C．由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1，去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1 D．把中的分母化为整数得 【考点】解一元一次方程；等式的性质．版权所有 【分析】根据等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A．5x＝2x﹣3， 移项，得5x﹣2x＝﹣3，故本选项不符合题意； B．1， 去分母，得2（2x﹣1）＝6+3（x﹣3），故本选项不符合题意； C．2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1， 去括号，得4x﹣2﹣3x+9＝1，故本选项不符合题意； D．1， 1，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次方程和等式的性质，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 4．若方程和2x﹣m＝3m+1的解相同，则m的值为（　　） A．2 B．3 C． D．1 【考点】同解方程．版权所有 【分析】分别求出两个方程的解，根据它们的解相同列出关于m的方程，求解即可． 【解答】解：解第一个方程得x＝3， 解第二个方程得， 根据它们的解相同可知， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查方程的解，解一元一次方程．熟练掌握以上知识点是关键． 5．解关于x的一元一次方程a（2x﹣1）＝4x+m时，不论a为何值，x的解都相同，则m的值为（　　） A．﹣2 B．0 C． D．2 【考点】同解方程．版权所有 【分析】根据已知可得a的系数为0，即2x+1＝0，方程的解为：x，代入原方程可得m的值． 【解答】解：a（2x﹣1）＝4x+m， ∵不论a为何值，x的解都相同， ∴2x﹣1＝0， ∴x， 把x代入4x+m＝0中，得：4m＝0， ∴m＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义：能使一元一次方程左右两边成立的未知数的值是方程的解． 二．填空题（共5小题） 6．爬楼梯是一项有氧运动，能增强心肺功能，深受大家的喜爱．李明和爸爸坚持每天通过爬楼梯来锻炼身体．当李明从1楼爬到4楼时，爸爸从1楼爬到3楼，按照这样的速度，当李明爬到16楼时，爸爸爬到了　11　 楼． 【考点】一元一次方程的应用．版权所有 【分析】设爸爸爬到了x楼．根据李明爬到4楼时，爸爸正好爬到3楼；李明爬到16 楼时，爸爸爬到x楼，列方程解答． 【解答】解：设爸爸爬到了x楼， 则， ∴x＝11． 则爸爸爬到11楼， 故答案为：11． 【点评】本题考查了植树问题与比例的综合应用．解答此题的关键熟练掌握是植树问题，李明和爸爸的速度比不变． 7．幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 　4　 ． 【考点】一元一次方程的应用；整式的加减．版权所有 【分析】根据图像可得a﹣6＝3﹣5，计算求出结果即可． 【解答】解：根据图可知，a﹣6＝3﹣5， 解得：a＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了整式的加减，有理数的加减运算，解一元一次方程，解题的关键是理解题意和掌握有理数加减运算的法则． 8．若式子4x+8与3x﹣10的值是互为相反数，则x＝　　 ． 【考点】解一元一次方程；相反数．版权所有 【分析】根据题意列出方程4x+8+3x﹣10＝0，直接解出x的值． 【解答】解：由题意得：4x+8+3x﹣10＝0 移项、合并得：7x＝2 系数化为1得：x． 故本题答案为：． 【点评】本题比较简单，只是考查一元一次方程的解法．注意互为相反数的两个数的和为0． 9．若关于x的一元一次方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的和为 　﹣3　 ． 【考点】一元一次方程的解．版权所有 【分析】将原方程去分母并整理，根据其解为正整数确定整数a的值，将它们相加并计算即可． 【解答】解：已知关于x的一元一次方程， 去分母得：15﹣3ax＝7x+7， 整理得：（7+3a）x＝8， ∵方程的解为正整数，a为整数， ∴a＝﹣2或﹣1， 则﹣2﹣1＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 10．对于代数式ax2+6x+c，当x＝0时，值为1；当x＝2时，值为﹣3．这个代数式是 　﹣4x2+6x+1　 ． 【考点】解一元一次方程；代数式求值．版权所有 【分析】先将x的值代入代数式中求出c，再把x和c的值代入代数式，得到关于a的方程，解一元一次方程即可． 【解答】解：将x＝0代入ax2+6x+c得：c＝1， 再将x＝2，c＝1代入ax2+6x+c得： 22a+6×2+1＝﹣3， 4a+12+1＝﹣3， 4a+13＝﹣3， 4a＝﹣16， a＝﹣4， ∴这个代数式是﹣4x2+6x+1， 故答案为：﹣4x2+6x+1． 【点评】本题主要考查了代数式求值，解题关键是熟练掌握解一元一次方程． 三．解答题（共5小题） 11．某水利工程，甲工程队单独施工需要40天可以完成，乙工程队单独施工需要60天可以完成． （1）现在乙工程队施工10天后，为了加快进度，甲工程队加入，两队合作完成余下的工程，问完成此项水利工程一共用了多少天？ （2）完成此项水利工程，甲、乙二队共得到施工费68万元，如果按每队完成的工作量计算施工费，那么甲工程队可以得到多少万元？ 【考点】一元一次方程的应用．版权所有 【分析】（1）设完成此项水利工程一共用了x天，则甲工程队施工（x﹣10）天，乙工程队施工x天，利用甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量＝整个工程量（单位“1”），可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用甲工程队得到的施工费＝总施工费×甲工程队完成的工程量占整个工程量的比例，即可求出结论． 【解答】解：（1）设完成此项水利工程一共用了x天，则甲工程队施工（x﹣10）天，乙工程队施工x天， 根据题意得：1， 解得：x＝30． 答：完成此项水利工程一共用了30天； （2）根据题意得：68＝34（万元）． 答：甲工程队可以得到34万元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 12．解方程： （1）3（2x+3）+x＝2x﹣4； （2）． 【考点】解一元一次方程．版权所有 【分析】（1）将方程去括号，移项，合并同类项，把系数化为1，即可求解； （2）将方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1，即可求解； 【解答】解：（1）3（2x+3）+x＝2x﹣4， 6x+9+x＝2x﹣4， 6x+x﹣2x＝﹣4﹣9， 5x＝﹣13， 解得：； （2）， 3（3x+1）﹣5＝2（x﹣1）， 9x+3﹣5＝2x﹣2， 9x﹣2x＝﹣2﹣3+5， 7x＝0， 解得：x＝0． 【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键． 13．王叔叔在一家游泳馆游泳健身，该游泳馆推出两种收费方式供健身用户选择： 方式一：单次卡，每次收费30元； 方式二：办理会员年卡，一次性缴纳会员费360元，每次游泳另收费18元（一年内有效）． （1）若一年内王叔叔游泳x次，采用方式二付费，共需付费 　（360+18x）　 元（用含x的代数式表示）； （2）若两种付费方式所需费用相等，求王叔叔一年的游泳次数； （3）已知去年王叔叔共付费1512元，求王叔叔去年的游泳次数，并说明王叔叔的付费方式． 【考点】一元一次方程的应用；列代数式．版权所有 【分析】（1）根据题意，可以用含x的代数式表示出方式二的总费用； （2）设王叔叔游泳x次，分别用含x的代数式表示出两种方式的总费用，列方程求解即可； （3）根据共付费1512元，求出两种方式的相应的x的值，即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得， 选择方式二的总费用为（360+18x）元， 故答案为：（360+18x）； （2）设王叔叔游泳x次，由题意可得， 360+18x＝30x，解得：x＝30， 答：若两种付费方式所需费用相等，王叔叔一年的游泳次数为30； （3）当付费1512元时，设王叔叔游泳x次， 按方式一：1512＝30x，得x＝50.4（不合题意，舍去）， 按方式二：1512＝360+18x，得x＝64， ∴王叔叔的付费方式为方式二． 【点评】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系． 14．已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含10人）没有优惠：团购：超过10人，其中10人按原价售票，超出部分每张票打八折． （1）若有6名学生乘客买票，则总票款为 　270　 元； （2）若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 　1050　 元； （3）一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 【考点】一元一次方程的应用；有理数的混合运算．版权所有 【分析】（1）根据题意，列出算式计算即可； （2）根据题意，列出算式计算即可； （3）设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客（50﹣x）人．分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数和②非学生乘客若未达到团购人数，分别列出关于x的方程，求解即可． 【解答】解：（1）6×75×0.6＝270元． 答：若有6名学生乘客买票，则总票款为270元； （2）10×75+（15﹣10）×75×0.8＝1050元． 答：若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为1050元； （3）设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客（50﹣x）人．根据题意x＞10，则： 0.6×75（50﹣x）+10×75+（x﹣10）×75×0.8＝3000， 解得：x＝40，符合题意， 所以此时车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． 【点评】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用．理解题意，正确列出算式或等式是解题关键． 15．综合试一试 （1）数轴上有三个点A，B，C表示的数分别为﹣2，4，c，已知A，B，C中，其中有一点恰好在另外两点的正中间，则c可能的值为　﹣8，10，1　 ． （2）的算术平方根是　　 ． （3）若a，b是正整数，且满足ab＝64，则ab的值为　12或16或64　 ． （4）某快餐店的价目表如下： 菜品 价格 汉堡（个） 21元 薯条（份） 9元 汽水（杯） 12元 1个汉堡+1份薯条（A套餐） 28元 1个汉堡+1杯汽水（B套餐） 30元 1个汉堡+1份薯条+1杯汽水（C套餐） 38元 小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要　300　 元． 【考点】一元一次方程的应用；算术平方根；实数与数轴．版权所有 【分析】（1）用分类讨论思想分析问题，即当A，B，C分别在另外两点的正中间时，再求出c的值即可． （2）根据算术平方根的定义求解即可； （3）利用有理数的乘方法则推断出a和b的值，再进行分类讨论计算ab的值即可． （4）买套餐最省钱，即分别讨论方案一：买5份C套餐，1份B套餐，4份汉堡花的钱，方案二：买5份A套餐，5份B套餐，1杯汽水花的钱，方案三：1份C套餐，5份B套餐，4份A套餐花的钱，结果要最少的钱即可． 【解答】解：（1）①当点A在正中间时，可得一元一次方程， ﹣2﹣c＝4﹣（﹣2）， 整理得，﹣c＝8， 解得c＝﹣8； ②当点B在正中间时，可得一元一次方程， c﹣4＝4﹣（﹣2）， c＝4+4+2， 解得c＝10， ③当点C在正中间时，可得一元一次方程，c﹣（﹣2）＝4﹣c， 解得c＝1， ∴c可能的值为﹣8，10，1． 故答案为：﹣8，10，1． （2）∵，7的算术平方根为， ∴的算术平方根是， 故答案为：； （3）∵ab＝64， 当a＝8，b＝2，ab＝16， 当a＝2，b＝6，ab＝12， 当a＝4，b＝3，ab＝12， 当a＝64，b＝1，ab＝64， 故答案为：12或16或64． （4）A套餐便宜21+9﹣28＝30﹣28＝2（元）， B套餐便宜21+12﹣30＝33﹣30＝3（元）， C套餐便宜21+9+12﹣38＝30+12﹣38＝4（元）， 方案一：买5份C套餐，1份B套餐，4份汉堡， 总共花：5×38+1×30+4×21＝190+30+84＝304（元）， 方案二：买5份A套餐，5份B套餐，1杯汽水， 总共花：5×28+5×30+12＝140+150+12＝302（元）， 方案三：买1份C套餐，5份B套餐，4份A套餐， 总共花：1×38+5×30+28×4＝38+150+112＝300（元）， 即最低需要300元， 故答案为：300． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，算术平方根，实数与数轴，正确理解题意是解答本题的关键． 能力提升进阶练 1．已知x＝2是方程2x+k＝x﹣1的解，则k的值是（　　） A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2 【考点】一元一次方程的解．版权所有 【分析】把x＝2代入得到4+k＝2﹣1，解方程即可． 【解答】解：由条件可知4+k＝2﹣1， 解得k＝﹣3， 故选：C． 【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 2．某车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺丝和螺母按1：2配套，则可列方程为（　　） A．1200x＝1800（28﹣x） B．2×1200x＝1800（28﹣x） C．2×1800＝1200（28﹣x） D．2×1200＝1800（28﹣x） 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．版权所有 【分析】根据生产螺丝和螺母人数间的关系，可得出有（28﹣x）个工人生产螺母，再利用生产螺母的总数是生产螺丝的总数的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：该车间有28名工人生产螺丝和螺母，且有x个工人生产螺丝，则有（28﹣x）个工人生产螺母， 又∵每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，且恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套， ∴2×1200x＝1800（28﹣x）， 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意是关键． 3．为了解和宣传山西深厚的历史文化底蕴，某班开展了主题为“书香山西”的阅读活动，将一批“晋版好书”分发给同学们．若每人分2本，则剩余16本；若每人分3本，则还缺24本．设该班共有x名学生，则下面所列方程正确的是（　　） A．2x﹣16＝3x+24 B．2x﹣16＝3x﹣24 C．2x+16＝3x﹣24 D．2x+16＝3x+24 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．版权所有 【分析】设该班共有x名学生，根据书的总本数相同，列出方程即可． 【解答】解：设该班共有x名学生，根据题意得： 2x+16＝3x﹣24， 故选：C． 【点评】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是找出题目中的等量关系． 4．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a，b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”．例如：方程2x+4＝0的解恰好为x＝﹣2＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．若关于x的一元一次方程6x﹣k＝0是“恰解方程”，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】一元一次方程的解．版权所有 【分析】求出关于x的一元一次方程6x﹣k＝0的解，根据此方程是“恰解方程”，得关于k的方程，解方程即可求得k的值． 【解答】解：由条件可知6x＝k， ∴， 由条件可知x＝6﹣（﹣k）＝6+k， ∴， 解得． 故选：A． 【点评】本题考查了新定义，解一元一次方程；熟练掌握以上知识点是关键． 5．方程的解是x＝（　　） A． B． C． D． 【考点】解一元一次方程．版权所有 【分析】这是一个比较复杂的方程，解答此题的关键是将方程变形为x[（1）（）（）（）]＝1，然后提取公因式，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 【解答】解：， 提取公因式，得 x （）＝1， 将方程变形，得 x[（1）（）（）（）]＝1， 提取公因式，得 （1）＝1， 移项，合并同类项，得 （1）＝1， 系数化为1，得 x． 故选：C． 【点评】此题主要考查学生对解一元一次方程的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，是道难题． 二．填空题（共5小题） 6．已知：（a+2b）y2﹣ya﹣1＝3是关于y的一元一次方程，则a+b的值为 　1　 ． 【考点】一元一次方程的定义．版权所有 【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可列出关于a和b的方程组，继而可求出a+b． 【解答】解：由一元一次方程的特点得， 解得， 故a+b＝2﹣1＝1． 故填：1． 【点评】解题的关键是根据一元一次方程的定义，未知数x的次数是1这个条件，此类题目可严格按照定义解题． 7．已知0是关于x的方程（m+3）x2﹣x+9﹣m2＝0的根，则m＝　﹣3或3　 ． 【考点】方程的解．版权所有 【分析】根据方程的根的定义求解．把x＝0代入方程求出m的值． 【解答】解：∵x＝0是方程的根， ∴9﹣m2＝0， ∴m＝3或﹣3， 当m＝﹣3时，方程是一元一次方程， 当m＝3时，方程是一元二次方程， 故答案为：﹣3或3． 【点评】此题主要考查了方程的解，逆向利用方程的根的定义，代入求值是解题关键． 8．用⊕表示一种运算，它的含义是：A⊕B．如果，那么3⊕4＝　　 ． 【考点】解一元一次方程．版权所有 【分析】根据题中的新定义化简已知等式求出x的值，所求式子利用新定义化简后，将x的值代入计算即可求出值． 【解答】解：根据题中的新定义得：2⊕1， 去分母得：2+x＝10，即x＝8， 则3⊕4． 故答案为： 【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解． 9．有下列方程：①x＝1；②2x﹣3＝1；③x；④（x+1）（x+2）＝12；⑤2x3；⑥2[3x﹣（x﹣3）]﹣3＝11．其中，x＝2是其解的方程有 　②④⑤⑥　 ．（填序号） 【考点】方程的解．版权所有 【分析】根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【解答】解：当x＝2时，①的左边，右边＝1，左边≠右边，所以x＝2不是①的解； 当x＝2时，②的左边＝2×2﹣3＝1，右边＝1，左边＝右边，所以x＝2是②的解； 当x＝2时，③的左边，右边，左边≠右边，所以x＝2不是③的解； 当x＝2时，④的左边＝3×4＝12，右边＝12，左边＝右边，所以x＝2是④的解； 当x＝2时，⑤的左边＝2×2﹣1＝3，右边＝3，左边＝右边，所以x＝2是⑤的解； 当x＝2时，⑥的左边＝2[3×2﹣（2﹣3）]﹣3＝11，左边＝右边，所以x＝2是⑥的解； 故答案为：②④⑤⑥． 【点评】本题考查了方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 10．小丁今年5岁，妈妈30岁，几年后，妈妈的年龄是小丁的2倍？ 设x年后，妈妈的年龄是小丁的2倍． x年后小丁年龄为 　5+x　 岁，妈妈的年龄为 　30+x　 岁． 根据题意列出方程为 　30+x＝2（5+x）　 ，解这个方程得x＝　20　 ． ∴　20　 年后，妈妈的年龄是小丁的2倍． 【考点】一元一次方程的应用．版权所有 【分析】由题意先设x年后妈妈的年龄是小丁的2倍，再表示出x年后小丁的年龄和妈妈的年龄，等量关系为：x年后，妈妈的年龄是小丁的2倍，根据等量关系列方程，解方程求解． 【解答】解：设x年后，妈妈的年龄是小丁的2倍， 则x年后小丁年龄为（5+x）岁，妈妈的年龄为（30+x）岁， 根据题意得方程：30+x＝2（5+x）， 解方程得：x＝20． 故答案分别为：5+x，30+x，30+x＝2（5+x），20，20． 【点评】此题考查的知识点是年龄问题和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数列代数式找出等量关系，列方程求解． 三．解答题（共5小题） 11．按照“双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案： A方案：买一个篮球送一条跳绳； B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款． 已知要购买篮球50个，跳绳x条（x＞50）． （1）若按A方案购买，一共需付款 　（3000+10x）　 元（用含x的代数式表示）；若按B方案购买，一共需付款 　（3150+9x）　 元（用含x的代数式表示）； （2）购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？ （3）当x＝100时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 【考点】一元一次方程的应用；列代数式；代数式求值．版权所有 【分析】（1）由题意按A方案购买可列式：50×70+（x﹣50）×10，在按B方案购买可列式：（50×70+10x）×0.9； （2）由（1）列等式求解即可； （3）先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据A方案是买一个篮球送跳绳，B方案是篮球和跳绳都按定价的90%付款，考虑可以按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，计算出所需付款金额，进行比较即可． 【解答】解：（1）A方案购买可列式：50×70+（x﹣50）×10＝3000+10x元； 按B方案购买可列式：（50×70+10x）×0.9＝（3150+9x）元； 故答案为：（3000+10x），（3150+9x）； （2）由（1）可知， 当A、B两种方案所需要的钱数一样多时， 即3000+10x＝3150+9x 解得x＝150． 答：购买150根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多． （3）当x＝100时， 按A方案购买需付款：3000+10x＝3000+10×100＝4000（元）； 按B方案购买需付款：3150+9x＝3150+9×100＝4050（元）； 按A方案购买50个篮球配送50个跳绳，按B方案购买50个跳绳合计需付款： 50×70+10×50×90%＝3500+450＝3950（元）； ∵3950＜4000＜4050， ∴省钱的购买方案是： 按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款3950元． 【点评】此题考查的是列代数式并求值，也可作为一元一次方程来考查，因此做此类题需要掌握解应用题的能力． 12．如图A在数轴上对应的数为﹣2． （1）点B在点A右边距离A点4个单位长度，则点B所对应的数是 　2　 ； （2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒3个单位长度沿数轴向右运动．现两点同时运动，当点A运动到﹣6所在的点处时，求A、B两点间的距离； （3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点以原速沿数轴向左运动，经过多长时间A、B两点相距4个单位长度． 【考点】一元一次方程的应用；数轴；列代数式．版权所有 【分析】（1）根据左减右加可求点B所对应的数； （2）先根据时间＝路程÷速度，求出运动时间，再根据列出＝速度×时间求解即可； （3）分两种情况①运动后的B点在A点右边4个单位长度；②运动后的B点在A点左边4个单位长度；列出方程求解即可． 【解答】解：（1）﹣2+4＝2． 故点B所对应的数是2； 故答案为：2； （2）（﹣2+6）÷2＝2（秒）， 2+2+（2+3）×2＝14（个单位长度）． 答：A，B两点间距离是14个单位长度． （3）①运动后的B点在A点右边相距4个单位长度时， 设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度， 依题意得：3x＝14﹣4， 解得x； ②运动后的B点在A点左边相距4个单位长度时， 设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度， 依题意得：3x＝14+4， 解得x＝6． 答：经过秒或6秒时间A，B两点相距4个单位长度． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用；根据行程问题的数量关系建立方程是解题的关键． 13．芜湖市一商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为50%；B种商品每件进价50元，售价80元． （1）A种商品每件进价为 　40　 元，每件B种商品利润率为 　60%　 ． （2）若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件？ （3）在“春节”期间，该商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款522元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？ 【考点】一元一次方程的应用．版权所有 【分析】（1）设A种商品每件进价为x元，根据A的利润率为50%，求出x的值； （2）设购进A种商品x件，则购进B种商品（50﹣x）件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可． 【解答】解：（1）设A种商品每件进价为x元， 则（60﹣x）＝50%x， 解得：x＝40． 故A种商品每件进价为40元； 每件B种商品利润率为（80﹣50）÷50＝60%． 故答案为：40；60%； （2）设购进A种商品x件，则购进B种商品（50﹣x）件， 由题意得，40x+50（50﹣x）＝2100， 解得：x＝40． 即购进A种商品40件，B种商品10件． （3）设小华打折前应付款为y元， ①打折前购物金额超过450元，但不超过600元， 由题意得0.9y＝522， 解得：y＝580； ②打折前购物金额超过600元， 600×0.8+（y﹣600）×0.7＝522， 解得：y＝660． 综上可得，小华在该商场购买同样商品要付580元或660元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． 14．解方程： （1）1﹣2（2x+3）＝﹣3（2x+1）； （2）1． 【考点】解一元一次方程．版权所有 【分析】（1）方程去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：（1）去括号得：1﹣4x﹣6＝﹣6x﹣3， 移项合并得：2x＝2， 解得：x＝1； （2）去分母得：8x+4﹣5x+7＝10， 移项合并得：3x＝﹣1， 解得：x． 【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解． 15．【教材呈现】2024年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点A，B表示的数分别是a，b． （1）当a，b分别取下列值时，求A，B两点间的距离． a＝3，b＝6；a＝﹣3，b＝6；a＝﹣3，b＝﹣6． （2）用a，b表示A，B两点间的距离． 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是　3　 ，数轴上表示数﹣3与6的两点之间的距离是　9　 ； （2）用a，b表示A，B两点之间的距离是　|a﹣b|　 ； 【解决问题】 （3）|x﹣3|的含义是数轴上表示数x与　3　 的两点之间的距离，|x+4|的含义是数轴上表示数x与　﹣4　 的两点之间的距离； （4）请你在以下的数轴上表示﹣4和3两数的位置，当表示数x的点在﹣4与3之间移动时，可以发现|x+4|+|x﹣3|的值总是一个固定的值，这个值是　7　 ； （5）若动点P，Q分别从﹣4和3同时出发，沿数轴向左运动，已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为t秒（t＞0）． ①用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为　﹣4﹣t　 ，点Q表示的数为　3﹣2t　 ； ②当t为何值时，P，Q两点之间的距离为3？ 【考点】一元一次方程的应用；数轴；绝对值；列代数式．版权所有 【分析】[归纳概括]（1）根据数轴两点距离，用较大的数减去较小的数，即可解答； （2）根据绝对值的意义，即可求解； [解决问题]（3）根据绝对值的意义，即可求解； （4）根据|x+4|+|x﹣3|表示x到﹣4与3的距离和，即可求解； （5）①根据题意列出代数式即可求解； ③根据题意列出绝对值方程即可求解． 【解答】解：[归纳概括] （1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是3，数轴上表示数﹣3与6的两点之间的距离是9； 故答案为：3，9． （2）用a，b表示A，B两点之间的距离是|a﹣b|， 故答案为：|a﹣b|． [解决问题]（3）含义是数轴上表示数x与3的两点之间的距离，数轴上表示数x与﹣3的两点之间的距离； 故答案为：3，﹣4． （4）|x+4|+|x﹣3|表示x到﹣4与3的距离和，数x的点在﹣4与3之间移动时， |x+4|+|x﹣3|＝7， 故答案为：7． （5）①依题意，t秒时，点P表示的数为﹣4﹣t；点Q表示的数为3﹣2t， 故答案为：﹣4﹣t；3﹣2t． ②P，Q两点之间的距离为|﹣4﹣t﹣（3﹣2t）|＝|﹣7+t|， 依题意，|﹣7+t|＝3， 解得：t＝4或t＝10． 【点评】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，绝对值的意义，列代数式，一元一次方程的应用．用有理数表示数轴上的点．利用分类讨论和数形结合的思想是解答本题的关键． 44 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 一元一次方程（复习讲义） 从生活实例（如行程问题、购物付费）中抽象出一元一次方程的模型，理解其是解决实际问题的有效数学工具。通过等式的性质，掌握方程的同解原理，并运用它求出未知数的值，培养建模思想和应用意识。 基础题 ：直接解方程，或解简单的应用题（如和差倍分问题）。 中档题 ：含参数方程的解的讨论，与代数式求值结合，或涉及比例、分配等复杂情境的应用题。 压轴题 ：一元一次方程在动态几何、方案设计与决策等综合性问题中的应用。 ✅ 概念零混淆（区分“方程的解”与“解方程”，等式性质2中除数不能为0）； ✅ 计算严步骤（严格遵循去分母、去括号、移项、合并、系数化1五步法，避免跳步）； ✅ 应用重审题（从实际问题中准确提炼等量关系是列方程的关键）。 层级 目标要求 典型实例 基础目标 1. 熟练解一元一次方程。 2. 判断一个数是否是方程的解。 3. 解决简单的和差倍分应用题。 1. 解方程：2x−5=3(x+1) 2.x=2是否是方程3x−1=5的解？ 3. 一个数的3倍比它的2倍多10，求这个数。 进阶目标 1. 解含分母、括号的复杂一元一次方程。 2. 解决行程问题、工程问题、利润问题等典型应用题。 3. 根据方程的解求参数的值。 1. 解方程： 2. 某商品按标价8折出售，利润率为10%，已知进价为1600元，求标价。 3. 若x=1是方程2x−a=3的解，求a的值。 拓展目标 1. 解决含参数方程的讨论问题（如解的情况判断）。 2. 一元一次方程在方案选择与优化问题中的应用。 3. 与图形、图表信息结合的综合性问题。 1. 解关于x的方程x=b，并讨论解的情况。 2. 某中学组织初一年级师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用60座客车，则可少租1辆，且余15个座位。求参加春游的人数。 3. (方案选择) 某移动公司开设两种业务：“全球通”月租费50元，通话费0.4元/分钟；“神州行”无月租，通话费0.6元/分钟。某人估计一月通话300分钟，应选择哪种更划算？ 知识点 重点归纳 常见易错点 方程的基本概念 1. 定义：含有未知数的等式。 2. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。 3. 解方程：求方程的解的过程。 1. 概念混淆：混淆“方程的解”和“解方程”两个概念。 2. 解的判断错误：检验一个数是否是方程的解时，代入计算错误。 等式的性质 1. 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 2. 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 性质应用错误：等式两边除以同一个数时，忽略了这个数不能为0的前提条件。 解一元一次方程 一般步骤： 1. 去分母 2. 去括号 3. 移项 4. 合并同类项 5. 系数化为1 核心思想：通过恒等变形，将方程化为 x = a 的形式。 1. 去分母漏乘：方程两边每一项都要乘以最简公分母，常数项不要漏乘。 2. 去括号错误：括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要变号。 3. 移项不变号：项从一边移到另一边，其符号必须改变。 4. 系数化为1时计算错误：尤其是当未知数的系数是分数时。 一元一次方程的实际应用 1. 一般步骤： - 审题：找出已知量、未知量和等量关系。 - 设元：设未知数（直接设或间接设）。 - 列方程：用含未知数的代数式表示其他量，并列出方程。 - 解方程 - 检验并作答：检验解是否符合方程和实际意义。 2. 常见题型：行程问题、工程问题、利润问题、配套问题、等积变形问题等。 1. 找不到等量关系：无法从题目中准确提炼出核心的等量关系。 2. 单位不统一：列方程前未将各物理量的单位统一，如速度是km/h，时间是分钟。 3. 忽略实际意义：解出方程后，未检验答案是否符合实际情况（如人数不能为负数、分数）。 含参数的一元一次方程 1. 定义：方程中除未知数外，还含有其他表示常数的字母。 2. 常见问题： - 已知方程的解，求参数的值。 - 已知方程解的情况（如解是正整数），求参数的取值范围。 - 解两个含相同参数的方程。 1. 讨论不全面：在求解含参数的方程时，未对参数的取值进行分类讨论（例如，参数出现在分母时，需讨论其为0的情况）。 2. 混淆未知数与参数：将参数当作未知数来解，导致解题方向错误。 题型一 方程的定义 【例1】下面式子中，不是方程的是（　　） A．x﹣5＝1 B．4+2y＝16 C．3x﹣2＞7 D．y+1＝3 【变式1-1】下列方程中，是方程的是（　　） A．2x﹣3 B．3+5＝8 C．x2+2x+1＞0 D． 【变式1-2】下列各式中．哪些是方程？如果是方程．指出方程中的未知数． （1）3x＝4； （2）4； （3）1﹣x； （4）1﹣a2＝0； （5）5﹣3m＝m； （6）3x﹣2y＝1． 【变式1-3】方程17+15x＝245，，2（x+1.5x）＝24都只含有一个未知数，未知数的指数都是1，它们是一元一次方程，方程x2+3＝4，x2+2x+1＝0，x+y＝5是一元一次方程吗？若不是，它们各是几元几次方程？ 题型二 方程的解 【例2】已知x＝1是方程3x﹣m＝x+2n的一个解，则整式m+2n+2023的值为 　 　 ． 【变式2-1】整式ax+b的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值： x ﹣1 0 1 2 3 ax+b ﹣8 ﹣4 0 4 8 则关于x的方程﹣ax﹣b＝﹣4的解是　 　 ． 【变式2-2】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，则关于x的方程（a+b）x2+3cd（x+1）3的解为多少？ 【变式2-3】a是最大的负整数，且a+b＝3，则方程的解是多少？ 题型三 一元一次方程 【例3】已知（m﹣3）x|m|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程，则m＝ 　 　 ． 【变式3-1】如果方程（k+1）x|k|﹣5＝0是关于x的一元一次方程，那么k 　 　 ． 【变式3-2】已知关于x的方程（m﹣3）xm+4+18＝0是一元一次方程． 试求：（1）m的值及方程的解； （2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值． 【变式3-3】已知关于x、y的代数式：A＝ax2﹣3xy+9x，B＝﹣2x2﹣bxy+4，且代数式M＝2A﹣3B． （1）若a＝﹣3，b＝1时，化简代数式M； （2）若代数式M是关于x、y的一次多项式，求ab的值； （3）当（a﹣1）x2+xb﹣1+2＝0是关于x的一元一次方程时，求代数式M的值． 题型四 等式的性质 【例4】如图，标有相同字母的物体的质量相同，若A的质量为20克，则当B的质量为　 　 克时，天平处于平衡． 【变式4-1】如果3a＝﹣2a+5，则3a+　 　 ＝5． 【变式4-2】已知方程3x+2y＝8，用含x的式子表示y为 　 　 ． 【变式4-3】已知二元一次方程3x﹣y＝1，用含x的代数式表示y＝　 　 ． 题型五 一元一次方程的解法 【例5】已知x＝2是关于x的一元一次方程ax﹣6＝0的解，则a的值 　 　 ． 【变式5-1】若x＝6是关于x的方程ax+b＝0的解，则关于x的方程a（x+8）﹣b＝0的解是 　 　 ． 【变式5-2】解方程： （1）3（x﹣1）﹣2（x+10）＝﹣6； （2）． 【变式5-3】解下列方程： （1）8﹣3（2x﹣4）＝2（x+2）； （2）． 题型六 同解问题 【例6】已知方程与关于x的方程3a﹣8＝2（x+a）﹣a的解相同． （1）求方程的解； （2）求a的值． 【变式6-1】已知k是常数，如果方程2x﹣3＝1﹣2x与关于x的方程的解相同，求k的值． 【变式6-2】已知关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+2m﹣2＝0是一元一次方程． （1）求k的值． （2）若关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+2m﹣2＝0与方程2x＝6﹣x的解相同，求m的值． 【变式6-3】已知方程x+3＝0与关于x的方程5x﹣3（x+k）＝﹣12的解相同． （1）求k的值； （2）若|m﹣5|+（n﹣1）k＝0，求m+n的值． 题型七 一元一次方程应用 【例7】国庆期间，某商场柜组进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照20%的利润定价，然后又打九折出售．（成本价×利润率＝利润，成本价+利润＝定价，售价﹣成本价＝利润） （1）商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？ （2）商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？ 【变式7-1】问题：某商店在“双十二购物节”活动中将某种服装按成本价提高30%后标价，又以九折优惠卖出，结果每件仍获利17元，这种服装每件的成本价是多少元？ 小宇同学在小组讨论以上问题时，想采用直观分析策略给同伴讲解．为此拟定了如下计划： （1）用示意图直观地表示商店从进货、标价到销售获利的过程； （2）设这种服装每件的成本为x元，用含x的代数式分别表示其标价和利润； （3）根据示意图用方程解决问题． 请你完成小宇拟定的计划． 【变式7-2】【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 贵州省遵义市湄潭县是“中国名茶之乡”，湄潭茶叶形如眉、色如翠、香如兰、味甘醇，富含茶多酚、氨基酸、维生素等营养成分，品质卓越．近年来，湄潭县积极拓展茶产品深加工，生产绿茶、红茶等成品茶． 素材1 小红家茶行用5850元进购绿茶，用4800元进购红茶． 素材2 绿茶的总重量是红茶总重量的1.5倍，每千克绿茶的进价比每千克红茶的进价少30元． 素材3 每千克绿茶的售价比每千克红茶的售价少40元，全部售出后，小红家茶行获利不少于7425元． 问题解决 任务1 确定产品重量 请运用所学知识，求出小红家茶行绿茶和红茶各自采购多少千克． 任务2 探究限定售价 按素材要求确定每千克绿茶的售价至少为多少元？ 【变式7-3】在“生命，幸“盔”，有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高，某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： 店经理：你好！请问安全头盔和手套的批发价分别是多少元？ 批发商：你好！头盔100元/个，手套30元/副，现在正值安全教育宣传期，有以下两种优惠方案： 方案一：整体打九折； 方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套． （1）电行动自车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案二共需花费　 　 元； （2）电动自行车店计划购买30个安全头盔和a副乎套（a＞15）． 若选择方案一购买，需要花费　 　 元（用含a的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费　 　 元（用含a的代数式表示）； （3）经理想购买30个安全头盔和a副手套，应该如何选择购买方案能更省钱？ 题型八 一元一次方程综合 【例8】某水果基地为提高效益，对甲、乙、丙三种水果品种进行种植对比研究．去年甲、乙、丙三种水果的种植面积之比为5：3：2，甲、乙、丙三种水果的平均亩产量之比为6：3：5．今年重新规划三种水果的种植面积，三种水果的平均亩产量和总产量都有所变化．甲品种水果的平均亩产量在去年的基础上提高了50%，乙品种水果的平均亩产量在去年的基础上提高了20%，丙品种的平均亩产量不变．其中甲、乙两种品种水果的产量之比为3：1，乙、丙两种品种水果的产量之比为6：5，丙品种水果增加的产量占今年水果总产量的，则三种水果去年的种植总面积与今年的种植总面积之比为 　 　 ． 【变式8-1】【教材呈现】2024年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点A，B表示的数分别是a，b． （1）当a，b分别取下列值时，求A，B两点间的距离． a＝3，b＝6；a＝﹣3，b＝6；a＝﹣3，b＝﹣6． （2）用a，b表示A，B两点间的距离． 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是　 　 ，数轴上表示数﹣3与6的两点之间的距离是　 　 ； （2）用a，b表示A，B两点之间的距离是　 　 ； 【解决问题】 （3）|x﹣3|的含义是数轴上表示数x与　 　 的两点之间的距离，|x+4|的含义是数轴上表示数x与　 　 的两点之间的距离； （4）请你在以下的数轴上表示﹣4和3两数的位置，当表示数x的点在﹣4与3之间移动时，可以发现|x+4|+|x﹣3|的值总是一个固定的值，这个值是　 　 ； （5）若动点P，Q分别从﹣4和3同时出发，沿数轴向左运动，已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为t秒（t＞0）． ①用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为　 　 ，点Q表示的数为　 　 ； ②当t为何值时，P，Q两点之间的距离为3？ 【变式8-2】随着智能手机的普及，网购已经成为人们的一种生活方式，快递业也随之发展壮大．某快递公司每件普通物品的收费标准如表： 寄往市内 寄往市外 首重 续重 首重 续重 10元/千克 3元/千克 12元/千克 8元/千克 说明：①每件快递按送达地（市内，市外）分别计算运费． ②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费． 首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以0.5千克为计重单位（不足0.5千克按0.5千克计算） 例如：寄往市内一件1.8千克的物品，运费总额为：10+3×（0.5+0.5）＝13元．寄往市外一件3.4千克的物品，运费总额为：12+8×（2+0.5）＝32元． （1）小崔同时寄往市内一件3千克的物品和市外一件3.9千克的物品，各需付运费多少元？ （2）小翠同时寄往市内和市外各一件同等b千克重的物品．已知b超过2，且b的整数部分是m，小数部分小于0.5，请用含字母的代数式表示市外与市内这两笔运费的差； （3）某日小崔和小翠同时在该快递公司寄物品，小崔寄往市外，小翠寄往市内，小翠所寄物品的重量不是整数，小崔的运费比小翠的运费多57元，物品的重量比小翠多2.5千克，则小崔和小翠共需付运费多少元？ 提示：设小翠所寄的物品的重量为（x+a）（x为正整数，a为小数部分）千克． 【变式8-3】某地天然气收费方案如下： 阶梯 年用气量 价格 补充说明 第一阶梯 0～400m3（含400）的部分 3元/m3 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加100m3150m3，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变. 第二阶梯 400～800m3（含800）的部分 4元/m3 第三阶梯 800m3以上的部分 5元/m3 （1）某家庭当年用气量为 500m3．若该家庭人口为3人，则需缴纳燃气费用 　 　 元；若该家庭人口为4人，则需缴纳燃气费用 　 　 元． （2）甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为 1000m3，甲户年用气量大于乙户年用气量．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用3200元，求甲、乙两户年用气量分别是多少？ （3）某公司共有22名员工，员工宿舍有3人间和4人间两种类型的房间可供选择，且员工所选择的房间必须住满．结算天然气费用时，将每间宿舍视作一户家庭，收费标准按上表进行收费．假定每位员工的年用气量为 250m3，要使该公司员工宿舍当年总天然气费最低，则3人间的房间数为 　 　 间． 基础巩固通关测 1．已知a＝b，则下列等式不一定成立的是（　　） A．a+1＝b+1 B．a﹣3＝b﹣3 C．ac＝bc D． 2．方程（a﹣2）x|a|﹣1+3＝0是关于x的一元一次方程，则a＝（　　） A．2 B．﹣2 C．±1 D．±2 3．下列变形正确的是（　　） A．由5x＝2x﹣3，移项得5x﹣2x＝3 B．由，去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3） C．由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1，去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1 D．把中的分母化为整数得 4．若方程和2x﹣m＝3m+1的解相同，则m的值为（　　） A．2 B．3 C． D．1 5．解关于x的一元一次方程a（2x﹣1）＝4x+m时，不论a为何值，x的解都相同，则m的值为（　　） A．﹣2 B．0 C． D．2 6．爬楼梯是一项有氧运动，能增强心肺功能，深受大家的喜爱．李明和爸爸坚持每天通过爬楼梯来锻炼身体．当李明从1楼爬到4楼时，爸爸从1楼爬到3楼，按照这样的速度，当李明爬到16楼时，爸爸爬到了　 　 楼． 7．幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 　 　 ． 8．若式子4x+8与3x﹣10的值是互为相反数，则x＝　 　 ． 9．若关于x的一元一次方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的和为 　 　 ． 10．对于代数式ax2+6x+c，当x＝0时，值为1；当x＝2时，值为﹣3．这个代数式是 　 　 ． 11．某水利工程，甲工程队单独施工需要40天可以完成，乙工程队单独施工需要60天可以完成． （1）现在乙工程队施工10天后，为了加快进度，甲工程队加入，两队合作完成余下的工程，问完成此项水利工程一共用了多少天？ （2）完成此项水利工程，甲、乙二队共得到施工费68万元，如果按每队完成的工作量计算施工费，那么甲工程队可以得到多少万元？ 12．解方程： （1）3（2x+3）+x＝2x﹣4； （2）． 13．王叔叔在一家游泳馆游泳健身，该游泳馆推出两种收费方式供健身用户选择： 方式一：单次卡，每次收费30元； 方式二：办理会员年卡，一次性缴纳会员费360元，每次游泳另收费18元（一年内有效）． （1）若一年内王叔叔游泳x次，采用方式二付费，共需付费 　 　 元（用含x的代数式表示）； （2）若两种付费方式所需费用相等，求王叔叔一年的游泳次数； （3）已知去年王叔叔共付费1512元，求王叔叔去年的游泳次数，并说明王叔叔的付费方式． 14．已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含10人）没有优惠：团购：超过10人，其中10人按原价售票，超出部分每张票打八折． （1）若有6名学生乘客买票，则总票款为 　 　 元； （2）若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 　 　 元； （3）一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 15．综合试一试 （1）数轴上有三个点A，B，C表示的数分别为﹣2，4，c，已知A，B，C中，其中有一点恰好在另外两点的正中间，则c可能的值为　 　 ． （2）的算术平方根是　 　 ． （3）若a，b是正整数，且满足ab＝64，则ab的值为　 　 ． （4）某快餐店的价目表如下： 菜品 价格 汉堡（个） 21元 薯条（份） 9元 汽水（杯） 12元 1个汉堡+1份薯条（A套餐） 28元 1个汉堡+1杯汽水（B套餐） 30元 1个汉堡+1份薯条+1杯汽水（C套餐） 38元 小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要　 　 元． 能力提升进阶练 1．已知x＝2是方程2x+k＝x﹣1的解，则k的值是（　　） A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2 2．某车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺丝和螺母按1：2配套，则可列方程为（　　） A．1200x＝1800（28﹣x） B．2×1200x＝1800（28﹣x） C．2×1800＝1200（28﹣x） D．2×1200＝1800（28﹣x） 3．为了解和宣传山西深厚的历史文化底蕴，某班开展了主题为“书香山西”的阅读活动，将一批“晋版好书”分发给同学们．若每人分2本，则剩余16本；若每人分3本，则还缺24本．设该班共有x名学生，则下面所列方程正确的是（　　） A．2x﹣16＝3x+24 B．2x﹣16＝3x﹣24 C．2x+16＝3x﹣24 D．2x+16＝3x+24 4．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a，b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”．例如：方程2x+4＝0的解恰好为x＝﹣2＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．若关于x的一元一次方程6x﹣k＝0是“恰解方程”，则k的值为（　　） A． B． C． D． 5．方程的解是x＝（　　） A． B． C． D． 6．已知：（a+2b）y2﹣ya﹣1＝3是关于y的一元一次方程，则a+b的值为 　 　 ． 7．已知0是关于x的方程（m+3）x2﹣x+9﹣m2＝0的根，则m＝　 　 ． 8．用⊕表示一种运算，它的含义是：A⊕B．如果，那么3⊕4＝　 　 ． 9．有下列方程：①x＝1；②2x﹣3＝1；③x；④（x+1）（x+2）＝12；⑤2x3；⑥2[3x﹣（x﹣3）]﹣3＝11．其中，x＝2是其解的方程有 　 　 ．（填序号） 10．小丁今年5岁，妈妈30岁，几年后，妈妈的年龄是小丁的2倍？ 设x年后，妈妈的年龄是小丁的2倍． x年后小丁年龄为 　 　 岁，妈妈的年龄为 　 　 岁． 根据题意列出方程为 　 　 ，解这个方程得x＝　 　 ． ∴　 　 年后，妈妈的年龄是小丁的2倍． 11．按照“双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案： A方案：买一个篮球送一条跳绳； B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款． 已知要购买篮球50个，跳绳x条（x＞50）． （1）若按A方案购买，一共需付款 　 　 元（用含x的代数式表示）；若按B方案购买，一共需付款 　 　 元（用含x的代数式表示）； （2）购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？ （3）当x＝100时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 12．如图A在数轴上对应的数为﹣2． （1）点B在点A右边距离A点4个单位长度，则点B所对应的数是 　 　 ； （2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒3个单位长度沿数轴向右运动．现两点同时运动，当点A运动到﹣6所在的点处时，求A、B两点间的距离； （3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点以原速沿数轴向左运动，经过多长时间A、B两点相距4个单位长度． 13．芜湖市一商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为50%；B种商品每件进价50元，售价80元． （1）A种商品每件进价为 　 　 元，每件B种商品利润率为 　 　 ． （2）若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件？ （3）在“春节”期间，该商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款522元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？ 14．解方程： （1）1﹣2（2x+3）＝﹣3（2x+1）； （2）1． 15．【教材呈现】2024年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点A，B表示的数分别是a，b． （1）当a，b分别取下列值时，求A，B两点间的距离． a＝3，b＝6；a＝﹣3，b＝6；a＝﹣3，b＝﹣6． （2）用a，b表示A，B两点间的距离． 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是　 　 ，数轴上表示数﹣3与6的两点之间的距离是　 　 ； （2）用a，b表示A，B两点之间的距离是　 　 ； 【解决问题】 （3）|x﹣3|的含义是数轴上表示数x与　 　 的两点之间的距离，|x+4|的含义是数轴上表示数x与　 　 的两点之间的距离； （4）请你在以下的数轴上表示﹣4和3两数的位置，当表示数x的点在﹣4与3之间移动时，可以发现|x+4|+|x﹣3|的值总是一个固定的值，这个值是　 　 ； （5）若动点P，Q分别从﹣4和3同时出发，沿数轴向左运动，已知点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为t秒（t＞0）． ①用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为　 　 ，点Q表示的数为　 　 ； ②当t为何值时，P，Q两点之间的距离为3？ 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $