第6章 图形的初步认识（复习讲义）数学浙教版2024七年级上册

第6章 图形的初步认识（复习讲义） 从生活实例（如建筑、包装盒）中抽象出立体图形和平面图形的模型，理解几何图形的基本构成要素（点、线、面、体）。通过观察、操作与推理，掌握直线、线段、角等基本图形的性质与运算，初步建立空间观念和几何直觉。 基础题 ：直接运用性质进行角度计算、线段长度计算与比较、立体图形的视图判断。 中档题：与代数式结合的求值问题、角的和差倍分关系、简单推理说明。 压轴题 ：动点问题中的线段或角度关系探究、分类讨论思想在几何中的应用。 ✅ 概念零混淆（区分“直线、射线、线段”，理解“距离”是点与直线或两点之间的垂线段/线段长度）； ✅ 语言严规范（几何表述需精准，如“连接AB”、“延长线段AB”、“过点X作XX的平行/垂线”）； ✅ 作图保精确（尺规作图是理解性质的重要手段，需保留作图痕迹）。 层级 目标要求 典型实例 基础目标 1. 识别立体图形的三视图及展开图。 2. 进行线段与角度的简单计算（中点、角平分线）。 3. 理解并应用“两点之间，线段最短”等基本事实。 1. 下列哪个图形是正方体的展开图？ 2. 若点C是线段AB的中点，AB=8cm，求AC的长。 3. 若OB是∠AOC的平分线，∠AOC=80°，求∠BOC的度数。 进阶目标 1. 进行线段、角的和差倍分综合计算。 2. 运用“同（等）角的余角（补角）相等”进行简单推理。 3. 解决与方位角、钟面角相关的实际问题。 1. 线段AB=12，点C在AB上，且AC:CB=2:1，点D是AC中点，求DB长。 2. 已知∠α与∠β互余，且∠α=2∠β，求∠α的补角是多少度？ 3. 在3点整时，时针与分针的夹角是______度。 拓展目标 1. 进行线段、角的和差倍分综合计算。 2. 运用“同（等）角的余角（补角）相等”进行简单推理。 3. 解决与方位角、钟面角相关的实际问题。 1. (动点问题) 已知数轴上点A、B对应的数分别为-2，4，点P从A出发以每秒2个单位长度运动，当PA=2PB时，求运动时间t。 2. (规律探究) 平面内n条直线两两相交，最多有多少个交点？ 3. (逻辑推理) 如图，∠1=∠2，能判定AB∥CD吗？请说明理由。 知识点 重点归纳 常见易错点 几何图形 1. 分类： - 立体图形：各部分不都在同一平面内（如长方体、球）。 - 平面图形：各部分都在同一平面内（如三角形、圆）。 2. 构成：点动成线，线动成面，面动成体。 1. 分类混淆：误将立体图形（如圆柱）的某个面（圆形）当作平面图形独立出来时，仍认为是立体图形。 2. 概念理解不清：对“点、线、面、体”之间的动态关系理解模糊。 直线、射线、线段 1. 区别： - 直线：无端点，向两方无限延伸。 - 射线：一个端点，向一方无限延伸。 - 线段：两个端点，长度可度量。 2. 性质： - 公理：两点确定一条直线。 - 公理：两点之间，线段最短。 1. 概念混淆：表述时混淆三者，如说“延长直线”（直线本身无限长，不可延长）。 2. 作图不规范：画线段时未画出端点，或画射线时端点不明确。 线段的计算与中点 1. 中点：将线段分成两条相等线段的点。 2. 线段的和差倍分：结合图形进行代数运算。 1. 无图题漏解：当点的位置关系不明确时（如点C在线段AB上或AB的延长线上），未分类讨论导致漏解。 2. 几何语言与代数式转化错误：如将“AC是BC的2倍”错误表示为 AC=2BC 或 BC=2AC。 角的概念与表示 1. 定义：有公共端点的两条射线组成的图形。 2. 表示方法：∠AOB（顶点字母在中间）、∠O、∠α、∠1。 3. 单位换算：1° = 60‘， 1’ = 60‘‘。 1. 表示方法错误：当以某点为顶点的角不止一个时，误用单个顶点字母表示（如∠O）。 2. 单位换算错误：度、分、秒之间是60进制，与常用的10进制混淆。 角的计算与角平分线 1. 分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。 2. 角平分线：从一个顶点出发，将角分成两个相等的角的射线。 3. 余角和补角： - 两角和为90°则互余。 - 两角和为180°则互补。 - 性质：同（等）角的余（补）角相等。 1. 忽略角的范围：求钝角的补角时得到负值等计算错误。 2. 对角平分线性质理解不透：误认为角平分线上的点到角两边任意点的距离相等（实际是“垂直距离”）。 3. 余角补角概念应用错误：误认为只要互余或互补，角就必须相邻。 平行与垂直 1. 平行：在同一平面内，不相交的两条直线。 2. 垂直：两条直线相交成90°角。 3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 1. 定义理解错误：忽略平行定义中“在同一平面内”的前提。 2. 混淆“垂线段”与“距离”：误认为点到直线的距离是任意斜线段的长度。 3. 作图错误：用三角尺和直尺画平行线时操作步骤错误。 题型一 几何图形 【例1】电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”（金箍棒看成一条线）飞速旋转，形成一圆面，这说明了（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【变式1-1】如图为小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（　　） A．棱柱 B．球 C．圆柱 D．棱锥 【变式1-2】一个圆柱形容器的底面半径为10cm，高20cm，其中盛有一定量的水，液面高度为8cm．现有一个圆柱形铁块，其底面半径为2cm，高为10cm．如图（1），将其水平放置于容器底部，发现铁块被完全淹没；如图（2）将其竖直放置于容器底部，发现铁块没有被完全淹没．则上述两种放置方法的液面高度差为　 　 cm． 【变式1-3】把一个长为4cm、宽3cm的长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周后，得到的圆柱体的体积是　 　 cm3（结果保留π）． 题型二 线段、射线、直线 【例2】下列三种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等，反映了直线的一个基本事实是：　 　 ． 【变式2-1】墨斗是中国传统木工行业中画直的线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，会在木板上弹出一条直的墨线，其中的数学道理是　 　 ． 【变式2-2】火车往返于AB两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有不同的车票 　 　 种． 【变式2-3】已知，如图在平面内有A、B、C、D四点，根据下列语句画出图形． （1）画直线AB、线段BC、射线CD； （2）在线段BC上任取一点E（不同于点B，C）连接DE，AE； （3）数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 题型三 线段计算 【例3】如图所示，点C、D为线段AB的三等分点，点E为线段AC的中点，若ED＝9，求线段AB的长度． 【变式3-1】如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝24cm，CB＝16cm，D、E分别是AC、AB的中点．求： （1）AD的长度为 　 　 ； （2）DE的长度为 　 　 ； （3）若M在直线AB上，且MB＝12cm，求AM的长度． 【变式3-2】如图，线段AB＝24．C是线段AB的中点，D是线段BC的中点． （1）求线段AD的长； （2）在线段AD上有一点E，满足，求AE的长． 【变式3-3】如图，点C，D在线段AB上，AB＝12，AC＝2，D为线段BC的中点． （1）求线段CD的长； （2）若E是直线AB上一点，且AE＝CD，求线段EB的长． 题型四 角度概念 【例4】用一个能放大100倍的放大镜看一个60°的角，这个角的度数是（　　） A．60° B．6000° C．120° D．600° 【变式4-1】用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为（　　） A．150° B．105° C．30° D．15° 【变式4-2】计算： ①180°﹣18°15'×6； ②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）． 【变式4-3】如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线． （1）射线OC的方向是 　 　 ； （2）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数． 题型五 角度计算 【例5】如图所示，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，求∠MON的度数． 【变式5-1】已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°． （1）如图1，当∠COD在∠AOB的内部时，若∠AOD＝95°，求∠BOC的度数； （2）如图2，当射线OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，试探索∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当∠COD在∠AOB的外部时，分别在∠AOC内部和∠BOD内部画射线OE，OF，使∠AOE∠AOC，∠DOF∠BOD，求∠EOF的度数． 【变式5-2】如图，点O在直线AB上，∠COD＝2∠BOC，∠AOE∠DOA． （1）求∠COE的度数； （2）若∠COD＝50°，求∠BOE的度数． 【变式5-3】如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠COD绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°） （1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝ 　 　 °； （2）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜60），求∠MOC、∠NOD的度数．（用含n的代数式表示） （3）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数． 题型六 余角和补角 【例6】已知一个角的度数是67°52'，则它的补角的度数是 　 　 ． 【变式6-1】已知∠1＝25°，∠1+∠2＝90°，∠2与∠3互余，则∠3的度数为 　 　 ． 【变式6-2】如图，将一副三角尺按以下四种位置摆放，请回答下列问题并说明理由． （1）哪种摆放方式∠α与∠β互余？ （2）哪种摆放方式∠α与∠β互补？ （3）哪种摆放方式∠α与∠β相等？ 【变式6-3】已知OA⊥OB，OC⊥OD． （1）如图，若∠BOC＝50°，求∠AOD的度数； （2）∠AOB绕点O旋转，猜想∠AOD与∠BOC有怎样的数量关系？并说明理由； （3）若∠BOC：∠AOD＝7：29，利用（2）的结果求∠BOC的度数． 题型七 直线相交 【例7】如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠AOC：∠COB＝2：7，求∠EOD的度数． 【变式7-1】在图中，∠1＝30°，那么∠2、∠3和∠4各等于多少度？图中存在哪些相等关系？ 【变式7-2】如图，直线a，b，c两两相交，∠1＝2∠3，∠2＝80°．求∠4的度数． 【变式7-3】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥OC． （1）直接写出图中∠AOC的对顶角为　 　 ，∠AOE的邻补角为　 　 ； （2）若∠AOE＝115°，求∠BOD的度数． 题型八 线段角度计算综合 【例8】如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠． 若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'，B'处． （1）如图2，若A'，B'恰好重合于点O处，MN＝　 　 cm； （2）如图3，若点A'落在B'的左侧，且A'B'＝20cm，求MN的长度； （3）若A'B'＝n cm，求MN的长度．（用含n的代数式表示） 【变式8-1】已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） （1）若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． （2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　 　 BM． （3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【变式8-2】如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝2：1，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方． （1）在图1中，∠AOC＝　 　 ，∠BOC＝　 　 ． （2）将图1中的三角板按图2的位置放置，使得OM在射线OA上，则∠CON＝　 　 ； （3）将上述直角三角板按图3的位置放置，使得OM在∠BOC的内部，求∠BON﹣∠COM的度数． 【变式8-3】如图，有一副三角板△ABC和△ADE，它们的斜边AB和AD按图1所示摆放在直线MN上，∠BAC＝30°，∠DAE＝45°，已知AP平分∠CAD，AQ平分∠CAE． （1）求初始位置∠PAE的度数． （2）若将三角板ADE绕点A转到如图2位置，使∠DAN＝α，且0°＜α＜45°，求∠PAQ的度数． （3）在（2）的基础上，若继续将三角板ABC绕点A转动到图3位置，使，求∠PAD与∠BAN存在的等量关系． 基础巩固通关测 1．如图，线段AB＝15cm，且C点在AB上，BCAC，D为BC的中点，则线段AD的长为（　　） A．10cm B．13cm C．12cm D．9cm 2．下列说法正确的是（　　） A．联结两点的线段，叫做两点间的距离 B．将一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点 C．两条射线组成的图形叫做角 D．若AO＝BO，则O是AB的中点 3．如图，直线a，b相交于点O，∠2+∠3＝60°，则∠1＝（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 4．如图，将一副三角尺按不同方式摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，则图中∠1，∠2，∠3三个角的数量关系为（　　） A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90° C．2∠1﹣∠2+∠3＝90° D．∠1+2∠2﹣∠3＝90° 6．已知直线AB和CD相交于O点，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠BOF＝25°，则∠AOC﹣∠EOD＝ 　 　 ． 7．如图，已知线段AB＝16，点C、D是线段AB上两点，，BC＝2CD，则段AD的长为　 　 ． 8．如图，点D在线段AC上，点C是线段AB的中点．若AB＝8，CD＝3，则BD的长是 　 　 ． 9．如图（射线OD在∠AOC内部），∠AOC与∠BOD都是直角，则下列说法正确的是 　 　 ．（填序号） ①若∠COD＝30°，则∠AOB＝150°． ②图中共有5个角． ③∠AOD＝∠BOC． ④∠AOB与∠DOC的和不变． ⑤∠AOD＝45°时，OC平分∠BOD． 10．若∠α＝15°35'，∠β＝10°15'，则∠α+∠β＝　 　 ． 11．如图，已知点B、C、E都是线段AD上的点，，BD＝6，点E是AB的中点． （1）求AE的长； （2）若点F是CD的中点，求EF的长． 12．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2． （1）求∠AOC的度数； （2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数． 13．如图所示，点C在线段AB上，AB＝30，AC＝12，点M，N分别是AB，BC的中点． （1）求CN的长度； （2）求MN的长度． 14．如图，∠AOC与∠BOD都是直角，如果∠COD＝30°，那么∠AOB的度数是多少？ 15．综合与探究 如图1所示，在△OMN中，∠OMN＝90°，∠MON＝45°，射线OC平分∠AON． （1）在图1中，若∠MOC＝20°，则∠BON＝ 　 　 ；若∠MOC＝15°，则∠BON＝ 　 　 ． （2）在图1中，若∠MOC＝m，求∠BON的度数？（用含m的式子表示） （3）将△OMN绕点O旋转到图2所示的位置，其余条件均不变，试问若∠MOC＝n，则∠BON的度数为 　 　 ．（用含n的式子表示） 能力提升进阶练 1．如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm，若APPB，则这条绳子的原长为（　　） A．100cm B．150cm C．100cm或150cm D．120cm或150cm 2．已知一个角的度数是50°38'，则这个角的补角的度数是（　　） A．39°22' B．49°22' C．130°22' D．129°22' 3．如图，点B在线段AC上，点M，N分别为线段AB，BC的中点，点O是线段AC的中点，给出下列结论：①MN＝CO；②2MO＝AO﹣BO；③AM＝BN；④2NO＝CO+BO．其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 4．下列说法中，正确的个数有（　　） ①射线AB和射线BA是同一条射线； ②若AB＝BC，则点B为线段AC的中点； ③线段AB的长度就是点A与点B之间的距离； ④若点C是线段AB的三等分点，AC＝3，则AB＝9． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列说法：①直线AB与直线BA是同一条直线；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③若线段AB＝5，BC＝6，则线段AC＝11；④两点之间，线段最短；⑤若AB＝BC，则点B是线段AC的中点．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．三点半的时候，钟表的时针和分针夹角的度数是　 　 ． 7．如图，P、Q两点将线段AB分成了1：2：6的三个部分，点G是线段AB的中点，QG＝3，则线段AB的长为 　 　 ． 8．如图，两个直角三角尺的直角顶点重合，那么∠AOB与∠COD的数量关系是 　 　 ，如果∠AOD＝128°，那么∠BOC＝ 　 　 ． 9．已知C、D是线段AB上两点，且，，若点M、N分别是线段AC、BD的中点，MN＝20，则线段AB的长是 　 　 ． 10．定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足CB＝2CA，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝10cm，则PM＝ 　 　 cm． 11．如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝24cm，CB＝16cm，D、E分别是AC、AB的中点．求： （1）AD的长度为 　 　 ； （2）DE的长度为 　 　 ； （3）若M在直线AB上，且MB＝12cm，求AM的长度． 12．综合与探究 特例感知：（1）如图1．线段AB＝16cm，C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC，BC的中点． ①若AC＝4cm，则线段DE的长为 　 　 cm． ②设AC＝a cm，则线段DE的长为 　 　 cm． 知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数． 拓展探究：（3）如图3，若∠AOB＝120°，∠COD＝60°，当∠COD在∠AOB的外部时，分别在∠AOC内部和∠BOD内部画射线OE，OF，使，，求∠EOF的度数． 13．如图，已知B、C在线段AD上． （1）图中共有　 　 条线段； （2）若AB＝CD． ①比较线段的长短：AC　 　 BD（填“＞”、“＝”或“＜”）； ②若AB：BD＝1：4，BC＝12，求AC的长度； （3）在（2）的条件下，点M是线段AB的中点，点N是线段BC的三分点，求线段MN的长度． 14．综合与实践 特例感知： （1）如图①，已知线段AB＝14cm，点C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点． ①若AC＝4cm，则线段DE＝　 　 cm； ②若AC＝a cm（a＜14），则线段DE＝　 　 cm． 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数． 拓展探究： （3）已知∠COD在∠AOB内部的位置如图③所示，∠AOB＝α（α＜180°），∠COD＝30°，且∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，请直接写出∠MON＝　 　 °．（用含α的式子表示） 15．已知∠BOD在∠AOC的内部． （1）如图1，若∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOD＝40°，求∠AOC的度数； （2）如图2，若∠AOB＝82°，∠COD＝110°，∠AOC＝2∠BOD，求∠BOD的度数； （3）如图3，若∠AOB＝α，∠COD＝β，∠AOC＝n∠BOD（n＞1），求∠BOD的度数（用含α、β、n的代数式表示）． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 图形的初步认识（复习讲义） 从生活实例（如建筑、包装盒）中抽象出立体图形和平面图形的模型，理解几何图形的基本构成要素（点、线、面、体）。通过观察、操作与推理，掌握直线、线段、角等基本图形的性质与运算，初步建立空间观念和几何直觉。 基础题 ：直接运用性质进行角度计算、线段长度计算与比较、立体图形的视图判断。 中档题：与代数式结合的求值问题、角的和差倍分关系、简单推理说明。 压轴题 ：动点问题中的线段或角度关系探究、分类讨论思想在几何中的应用。 ✅ 概念零混淆（区分“直线、射线、线段”，理解“距离”是点与直线或两点之间的垂线段/线段长度）； ✅ 语言严规范（几何表述需精准，如“连接AB”、“延长线段AB”、“过点X作XX的平行/垂线”）； ✅ 作图保精确（尺规作图是理解性质的重要手段，需保留作图痕迹）。 层级 目标要求 典型实例 基础目标 1. 识别立体图形的三视图及展开图。 2. 进行线段与角度的简单计算（中点、角平分线）。 3. 理解并应用“两点之间，线段最短”等基本事实。 1. 下列哪个图形是正方体的展开图？ 2. 若点C是线段AB的中点，AB=8cm，求AC的长。 3. 若OB是∠AOC的平分线，∠AOC=80°，求∠BOC的度数。 进阶目标 1. 进行线段、角的和差倍分综合计算。 2. 运用“同（等）角的余角（补角）相等”进行简单推理。 3. 解决与方位角、钟面角相关的实际问题。 1. 线段AB=12，点C在AB上，且AC:CB=2:1，点D是AC中点，求DB长。 2. 已知∠α与∠β互余，且∠α=2∠β，求∠α的补角是多少度？ 3. 在3点整时，时针与分针的夹角是______度。 拓展目标 1. 进行线段、角的和差倍分综合计算。 2. 运用“同（等）角的余角（补角）相等”进行简单推理。 3. 解决与方位角、钟面角相关的实际问题。 1. (动点问题) 已知数轴上点A、B对应的数分别为-2，4，点P从A出发以每秒2个单位长度运动，当PA=2PB时，求运动时间t。 2. (规律探究) 平面内n条直线两两相交，最多有多少个交点？ 3. (逻辑推理) 如图，∠1=∠2，能判定AB∥CD吗？请说明理由。 知识点 重点归纳 常见易错点 几何图形 1. 分类： - 立体图形：各部分不都在同一平面内（如长方体、球）。 - 平面图形：各部分都在同一平面内（如三角形、圆）。 2. 构成：点动成线，线动成面，面动成体。 1. 分类混淆：误将立体图形（如圆柱）的某个面（圆形）当作平面图形独立出来时，仍认为是立体图形。 2. 概念理解不清：对“点、线、面、体”之间的动态关系理解模糊。 直线、射线、线段 1. 区别： - 直线：无端点，向两方无限延伸。 - 射线：一个端点，向一方无限延伸。 - 线段：两个端点，长度可度量。 2. 性质： - 公理：两点确定一条直线。 - 公理：两点之间，线段最短。 1. 概念混淆：表述时混淆三者，如说“延长直线”（直线本身无限长，不可延长）。 2. 作图不规范：画线段时未画出端点，或画射线时端点不明确。 线段的计算与中点 1. 中点：将线段分成两条相等线段的点。 2. 线段的和差倍分：结合图形进行代数运算。 1. 无图题漏解：当点的位置关系不明确时（如点C在线段AB上或AB的延长线上），未分类讨论导致漏解。 2. 几何语言与代数式转化错误：如将“AC是BC的2倍”错误表示为 AC=2BC 或 BC=2AC。 角的概念与表示 1. 定义：有公共端点的两条射线组成的图形。 2. 表示方法：∠AOB（顶点字母在中间）、∠O、∠α、∠1。 3. 单位换算：1° = 60‘， 1’ = 60‘‘。 1. 表示方法错误：当以某点为顶点的角不止一个时，误用单个顶点字母表示（如∠O）。 2. 单位换算错误：度、分、秒之间是60进制，与常用的10进制混淆。 角的计算与角平分线 1. 分类：锐角、直角、钝角、平角、周角。 2. 角平分线：从一个顶点出发，将角分成两个相等的角的射线。 3. 余角和补角： - 两角和为90°则互余。 - 两角和为180°则互补。 - 性质：同（等）角的余（补）角相等。 1. 忽略角的范围：求钝角的补角时得到负值等计算错误。 2. 对角平分线性质理解不透：误认为角平分线上的点到角两边任意点的距离相等（实际是“垂直距离”）。 3. 余角补角概念应用错误：误认为只要互余或互补，角就必须相邻。 平行与垂直 1. 平行：在同一平面内，不相交的两条直线。 2. 垂直：两条直线相交成90°角。 3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 1. 定义理解错误：忽略平行定义中“在同一平面内”的前提。 2. 混淆“垂线段”与“距离”：误认为点到直线的距离是任意斜线段的长度。 3. 作图错误：用三角尺和直尺画平行线时操作步骤错误。 题型一 几何图形 【例1】电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”（金箍棒看成一条线）飞速旋转，形成一圆面，这说明了（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【考点】点、线、面、体 【分析】根据“线动成面”的意义得出答案． 【解答】解：说明了线动成面， 故选：B． 【点评】本题考查点、线、面、体之间的关系，理解“点动成线、线动成面，面动成体”是解决问题的关键． 【变式1-1】如图为小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（　　） A．棱柱 B．球 C．圆柱 D．棱锥 【考点】认识立体图形 【分析】根据棱柱，球，圆锥的特点分析即可． 【解答】解：由题意可得：小文同学的几何体素描作品中有圆锥，棱柱，球，圆柱，没有棱锥， 故选：D． 【点评】本题考查认识立体图形，熟练掌握几何体的特征是解题的关键． 【变式1-2】一个圆柱形容器的底面半径为10cm，高20cm，其中盛有一定量的水，液面高度为8cm．现有一个圆柱形铁块，其底面半径为2cm，高为10cm．如图（1），将其水平放置于容器底部，发现铁块被完全淹没；如图（2）将其竖直放置于容器底部，发现铁块没有被完全淹没．则上述两种放置方法的液面高度差为　　 cm． 【考点】认识立体图形；有理数的减法 【分析】先分别求出当圆柱水平放置于容器底部，发现铁块被完全淹没时，液面高度，竖直放置于容器底部，铁块没有被完全淹没是，液面高度，然后相减即可． 【解答】解：容器内液体的体积为：102×8π＝800π（cm3）， 圆柱体的体积为：22×10π＝40π（cm3）， 铁块被完全淹没时，液面的高度为： ， 设竖直放置于容器底部，铁块没有被完全淹没是，液面高度为x cm， 102πx＝800π+22πx， 解得：， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，圆柱体积的计算，熟练掌握以上知识点是关键． 【变式1-3】把一个长为4cm、宽3cm的长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周后，得到的圆柱体的体积是　36π或48π　 cm3（结果保留π）． 【考点】点、线、面、体 【分析】以不同的边为轴旋转，可得到不同的圆柱体，再根据圆柱体体积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：以4cm长的边为轴旋转一周，可得到底面半径为3cm，高为4cm的圆柱体，因此体积为π×32×4＝36π（cm3）， 以3cm长的边为轴旋转一周，可得到底面半径为4cm，高为3cm的圆柱体，因此体积为π×42×3＝48π（cm3）． 故答案为：36π或48π． 【点评】本题考查点、线、面、体，理解“面动成体”是正确解答的前提． 题型二 线段、射线、直线 【例2】下列三种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等，反映了直线的一个基本事实是：　两点确定一条直线　 ． 【考点】直线的性质：两点确定一条直线 【分析】根据直线的性质即可解答． 【解答】解：木匠弹墨线确定直线、打靶瞄准确定直线、拉绳插秧确定直线，他们所反映的直线的基本事实是：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 【点评】本题考查了直线的性质，解题的关键是掌握直线的性质． 【变式2-1】墨斗是中国传统木工行业中画直的线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一点，绷紧并提起墨线中段，会在木板上弹出一条直的墨线，其中的数学道理是　两点确定一条直线　 ． 【考点】直线的性质：两点确定一条直线 【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线可得答案． 【解答】解：这其中包含的数学道理是两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 【点评】本题考查了直线的性质，解题的关键是掌握直线的性质． 【变式2-2】火车往返于AB两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有不同的车票 　30　 种． 【考点】直线、射线、线段 【分析】根据每条线段就有两种车票，每两点就是一条线段，可得答案． 【解答】解：如图： ， 车票：AC、CD、DE、EF、FB、AD、AE、AF、AB、CE、CF、CB、DF、DB、EB，BE、BD、FD、BC、FC、EC、BA、FA、EA、DA、BF、FE、ED、DC、CA． 火车往返于A、B两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有30种不同的车票． 故答案为：30． 【点评】本题考查了直线、射线、线段，车票AC、CD、DE、EF、FB、AD、AE、AF、AB、CE、CF、CB、DF、DB、EB，BE、BD、FD、BC、FC、EC、BA、FA、EA、DA、BF、FE、ED、DC、CA． 【变式2-3】已知，如图在平面内有A、B、C、D四点，根据下列语句画出图形． （1）画直线AB、线段BC、射线CD； （2）在线段BC上任取一点E（不同于点B，C）连接DE，AE； （3）数一数此时图中共有几条线段，几条射线？ 【考点】直线、射线、线段 【分析】（1）利用直线、线段、射线的定义作图即可； （2）依据在线段BC上任取一点E，连接线段即可； （3）根据线段和射线的定义即可求解． 【解答】解：（1）如图： （2）如图： （3）根据题意可知，线段有AB，AE，BE，BC，ED，EC，DC；图中共有7条线段， 共有6条射线； 【点评】本题考查直线、线段、射线的定义，熟练掌握直线、线段、射线的定义作图是解题的关键． 题型三 线段计算 【例3】如图所示，点C、D为线段AB的三等分点，点E为线段AC的中点，若ED＝9，求线段AB的长度． 【考点】两点间的距离 【分析】根据三等分点的性质、线段中点的性质，可得EC与CD的关系，由线段的和差，可得CD的长，再根据三等分点可得答案． 【解答】解：因为C、D为线段AB的三等分点， 所以AC＝CD＝DB， 因为点E为AC的中点， 则AE＝ECAC， 所以CD+EC＝DB+AE， 因为ED＝EC+CD＝9， 所以DB+AE＝EC+CD＝ED＝9， 则AB＝2ED＝18． 【点评】本题考查了两点间的距离，利用三等分点的性质、线段中点的性质得出EC与CD的关系是解题关键． 【变式3-1】如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝24cm，CB＝16cm，D、E分别是AC、AB的中点．求： （1）AD的长度为 　12cm　 ； （2）DE的长度为 　8cm　 ； （3）若M在直线AB上，且MB＝12cm，求AM的长度． 【考点】两点间的距离 【分析】（1）直接根据D是AC的中点可得答案； （2）先求出AB的长，然后根据E是AB的中点求出AE，做好应AE﹣AD即为DE的长； （3）分M在点B的右侧、M在点B的左侧两种情况进行计算即可． 【解答】解：（1）由线段中点的性质，ADAC＝12（cm）， 故答案为：12cm； （2）由线段的和差，得AB＝AC+BC＝24+16＝40（cm）， 由线段中点的性质，得AE20（cm）， 由线段的和差，得DE＝AE﹣AD＝20﹣12＝8（cm）， 故答案为：8cm； （3）当M在点B的右侧时，AM＝AB+MB＝40+12＝52（cm）， 当M在点B的左侧时，AM＝AB﹣MB＝40﹣12＝28（cm）， ∴AM的长度为52cm或28cm． 【点评】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键． 【变式3-2】如图，线段AB＝24．C是线段AB的中点，D是线段BC的中点． （1）求线段AD的长； （2）在线段AD上有一点E，满足，求AE的长． 【考点】两点间的距离 【分析】（1）根据线段的中点先算出AC，CD的长，再根据线段的和差即可求解； （2）根据题意可算出CE的长，分类讨论，当点E在AC之间时；当点E在CD之间时；由此即可求解． 【解答】解：（1）∵点C是线段AB的中点， ∴， ∵点D是线段BC的中点， ∴， ∴AD＝AC+CD＝12+6＝18， ∴线段AD的长为18； （2）∵AC＝BC＝12， ∴， 当点E在AC之间时，AE＝AC﹣CE＝12﹣2＝10； 当点E在CD之间时，AE＝AC+CE＝12+2＝14； 综上所述，AE的长为10或14． 【点评】本题主要考查线段的和差运算，掌握中点的运算是解题的关键． 【变式3-3】如图，点C，D在线段AB上，AB＝12，AC＝2，D为线段BC的中点． （1）求线段CD的长； （2）若E是直线AB上一点，且AE＝CD，求线段EB的长． 【考点】两点间的距离 【分析】（1）先求BC，因D为线段BC的中点，可得线段CD； （2）分情况讨论． 【解答】解：（1）BC＝AB﹣AC＝10， ∵D为线段BC的中点， ∴CD＝BDBC＝5； （2）∵AE＝CD， ∴AE＝5， 若E在A的左侧，则EB＝EA+AB＝17， 若E在A的右侧，则EB＝AB﹣AE＝7， ∴线段EB的长为17或7． 【点评】本题考查了两点间的距离，关键是计算正确． 题型四 角度概念 【例4】用一个能放大100倍的放大镜看一个60°的角，这个角的度数是（　　） A．60° B．6000° C．120° D．600° 【考点】角的概念 【分析】根据角的大小与角的两边的长短粗细无关，是定值，度数不变，解答即可． 【解答】解：用一个能放大100倍的放大镜看一个60°的角，这个角的度数仍然是60°． 故选：A． 【点评】本题考查了角的性质，熟练掌握角的性质是解题的关键． 【变式4-1】用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为（　　） A．150° B．105° C．30° D．15° 【考点】角的概念 【分析】把角按一定比例放大或缩小，角的度数不变． 【解答】解：放大镜看一个15°的角，角的两边的张开程度没变，即角的度数不变， 故选：D． 【点评】本题考查角的概念，关键是掌握图形的放大或缩小的性质． 【变式4-2】计算： ①180°﹣18°15'×6； ②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）． 【考点】度分秒的换算 【分析】①先计算乘法，再计算减法即可； ②先计算除法和括号内的减法，再计算减法即可． 【解答】解：①180°﹣18°15'×6 ＝180°﹣109°30' ＝70°30'； ②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4） ＝90°﹣（78°36'﹣3°17'30″） ＝90°﹣75°18'30″ ＝14°41'30″． 【点评】此类题考查了度、分、秒的换算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可． 【变式4-3】如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OD是OB的反向延长线． （1）射线OC的方向是 　北偏东70°　 ； （2）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数． 【考点】方向角 【分析】（1）先求出∠AOB＝55°，再求得∠NOC的度数，即可确定OC的方向； （2）根据∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB，得出∠BOC＝110°，进而求出∠COD的度数，根据射线OE平分∠COD，即可求出∠COE＝35°再利用∠AOC＝55°求出答案即可． 【解答】解：（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°， ∴∠NOB＝40°，∠NOA＝15°， ∴∠AOB＝∠NOB+∠NOA＝55°， ∵∠AOB＝∠AOC， ∴∠AOC＝55°， ∴∠NOC＝∠NOA+∠AOC＝70°， ∴OC的方向是北偏东70°； 故答案为：北偏东70°； （2）∵∠AOB＝55°，∠AOC＝∠AOB， ∴∠BOC＝110°． 又∵射线OD是OB的反向延长线， ∴∠BOD＝180°． ∴∠COD＝180°﹣110°＝70°． ∵∠COD＝70°，OE平分∠COD， ∴∠COE＝35°． ∵∠AOC＝55°． ∴∠AOE＝90°． 【点评】此题主要考查了方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度． 题型五 角度计算 【例5】如图所示，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，求∠MON的度数． 【考点】角的计算 【分析】根据条件可求出∠COD的度数，利用角平分线的性质可求出∠MOC与∠DON的度数，最后根据∠MON＝∠MOC+∠COD+∠DON即可求出答案． 【解答】解：∵∠AOC+∠COD+∠BOD＝180°， ∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝90°， ∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线， ∴∠MOC∠AOC＝15°，∠DON∠BOD＝30°， ∴∠MON＝∠MOC+∠COD+∠DON＝135° 【点评】本题考查角度计算，解题的关键是熟练利用角分线的性质，本题属于基础题型． 【变式5-1】已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°． （1）如图1，当∠COD在∠AOB的内部时，若∠AOD＝95°，求∠BOC的度数； （2）如图2，当射线OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，试探索∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当∠COD在∠AOB的外部时，分别在∠AOC内部和∠BOD内部画射线OE，OF，使∠AOE∠AOC，∠DOF∠BOD，求∠EOF的度数． 【考点】角的计算 【分析】（1）利用角的和差关系列式解答即可； （2）利用角的和差关系列式解答即可； （3）设∠BOC＝n°，利用已知条件和角的和差关系列式求得∠EOC与∠COF，则∠EOF＝∠EOC+∠COF． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，∠AOD＝95°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣95°＝25°， ∵∠COD＝60°， ∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝60°+25°＝85°； （2）∠AOD与∠BOC互补，理由： ∵∠AOB+∠COD＝120°+60°＝180°， ∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∠COD＝∠BOC+∠BOD， ∴∠AOB+∠COD＝∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD ＝∠AOD+∠BOC＝180°， ∴∠AOD与∠BOC互补； （3）设∠BOC＝n°， 则∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，∠BOD＝∠COD+∠BOC＝60°+n°， ∵∠AOE∠AOC， ∴∠EOC∠AOC＝40°n°． ∵∠DOF∠BOD， ∴∠DOF（60+n）＝20°n°， ∴∠COF＝∠COD﹣∠DOF＝40°n°， ∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝40°n°+40°n°＝80°． 【点评】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义和角的和差倍分关系是解题的关键． 【变式5-2】如图，点O在直线AB上，∠COD＝2∠BOC，∠AOE∠DOA． （1）求∠COE的度数； （2）若∠COD＝50°，求∠BOE的度数． 【考点】角的计算 【分析】（1）根据角的比例可得∠BOC+∠AOE＝120°，再根据角的和差可得答案； （2）首先得出∠BOC＝25°，再根据∠BOE＝∠BOC+∠COE可得答案． 【解答】解：（1）∵∠COD＝2∠BOC， ∴∠BOCBOD， ∵∠AOE∠DOA， ∴∠BOC+∠AOE∠BOD∠AOD∠AOB＝60°， ∴∠COE＝180°﹣（∠BOC+∠AOE）＝180°﹣60°＝120°； （2）∵∠COD＝2∠BOC， ∴∠BOCCOD＝25°， 由（1）得，∠COE＝120°， ∴∠BOE＝∠BOC+∠COE＝25°+120°＝145°． 【点评】本题考查角的计算，熟练掌握角的和差是解题关键． 【变式5-3】如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠COD绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°） （1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝ 　100　 °； （2）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜60），求∠MOC、∠NOD的度数．（用含n的代数式表示） （3）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数． 【考点】角的计算；列代数式 【分析】（1）根据∠MON＝∠AOB+∠BOD﹣∠AOM﹣∠DON可得答案； （2）先分别表示出∠AOC＝120°+n°，∠BOD＝60°+n°，然后根据，求解即可； （3）分二种情况：①当0＜n＜60时，②当60＜n＜120时，画出图形计算即可． 【解答】解（1）∵，， ∴∠DON＝60°﹣20°＝40°， ∴∠MON＝∠AOB+∠BOD﹣∠AOM﹣∠DON ＝120°+60°﹣40°﹣40° ＝100°； 故答案为：100； （2）如图， ∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，∠BOD＝∠COD+∠BOC＝60°+n°， ∵，， ∴，； （3）①当0＜n＜60时，如图， ∵∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣n°， ∵，， ∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON ＝100°； ②当60＜n＜120时，如图， ∵∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°， ∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝n°﹣60°， ∴∠MON＝∠MOC+∠BOC﹣∠BON ＝100°． 综上所述：∠MON的度数为100°． 【点评】本题考查了角的数量关系，数形结合是解答本题的关键． 题型六 余角和补角较 【例6】已知一个角的度数是67°52'，则它的补角的度数是 　112°8′　 ． 【考点】余角和补角；度分秒的换算 【分析】两个角的和为180°，称这两个角互为补角，用180°减去条件给出的度数即可． 【解答】解：∵一个角的度数是67°52'， ∴它的补角的度数180°﹣67°52′＝179°60′﹣67°52′＝112°8′． 故答案为：112°8′． 【点评】考查两角互补的计算，注意度分秒之间的转化． 【变式6-1】已知∠1＝25°，∠1+∠2＝90°，∠2与∠3互余，则∠3的度数为 　25°　 ． 【考点】余角和补角 【分析】根据∠1＝25°，∠1+∠2＝90°，算出∠2＝65°，再结合∠2与∠3互余，则∠3＝25° 【解答】解：由条件可知∠2＝90°﹣25°＝65°， ∵∠2与∠3互余， ∴∠2+∠3＝90°， 则∠3＝25°， 故答案为：25°． 【点评】本题考查了与余角、补角有关的计算，熟练掌握以上知识点是关键． 【变式6-2】如图，将一副三角尺按以下四种位置摆放，请回答下列问题并说明理由． （1）哪种摆放方式∠α与∠β互余？ （2）哪种摆放方式∠α与∠β互补？ （3）哪种摆放方式∠α与∠β相等？ 【考点】余角和补角 【分析】（1）根据图中的三角尺的摆放位置，找出∠α+∠β＝90°； （2）根据图中的三角尺的摆放位置，找出∠α+∠β＝180°； （3）根据图中的三角尺的摆放位置，找出∠α＝∠β． 【解答】解：（1）在图③中，由条件可得∠α+90°+∠β＝180°， ∴∠α+∠β＝90°， 即∠α与∠β互余； （2）在图④中，根据图形可知∠α与∠β是邻补角， ∴∠α+∠β＝180°； （3）在①②摆放方式中两角相等，理由如下： 在①中：由条件可知∠α＝∠β； 在②中：∵∠α＝180°﹣45°＝135°，∠β＝180°﹣45°＝135°， ∴∠α＝∠β． 【点评】本题考查了余角和补角的定义，仔细观察图形，弄清两个角的关系是解题的关键． 【变式6-3】已知OA⊥OB，OC⊥OD． （1）如图，若∠BOC＝50°，求∠AOD的度数； （2）∠AOB绕点O旋转，猜想∠AOD与∠BOC有怎样的数量关系？并说明理由； （3）若∠BOC：∠AOD＝7：29，利用（2）的结果求∠BOC的度数． 【考点】余角和补角 【分析】（1）利用垂直定义得到∠AOB＝∠COD＝90°，先求∠AOC，再求∠AOD． （2）分OB在∠COD内和外两种情况，根据角的和差及垂直定义推导∠AOD与∠BOC关系． （3）设未知数，结合（2）中∠AOD+∠BOC＝180°列方程求解． 【解答】解：（1）∵OA⊥OB，OC⊥OD， ∴∠AOB＝∠COD＝90°， ∵∠BOC＝50°，∠AOB＝90°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝40°， ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝130°； （2）∠AOD+∠BOC＝180°， 当OB在∠COD内部时： ∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC， ∴∠AOD＝180°﹣∠BOC， ∴∠AOD+∠BOC＝180°， 当OB在∠COD外部时： ∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD+∠AOB+∠BOC+∠COD＝360°， ∴∠AOD+∠BOC＝180°， 综上，∠AOD+∠BOC＝180°； （3）设∠BOC＝7x，∠AOD＝29x， 由（2）知∠AOD+∠BOC＝180°， ∴7x+29x＝180°， ∴x＝5°， ∴∠BOC＝7×5°＝35°． 【点评】本题主要考查了垂直的定义、角的和差运算，熟练掌握角的和差关系及垂直定义是解题的关键． 题型七 直线相交 【例7】如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠AOC：∠COB＝2：7，求∠EOD的度数． 【考点】垂线 【分析】先根据邻补角的性质设未知数求出∠AOC的度数，再利用对顶角相等得到∠BOD的度数，最后结合垂直的性质求出∠EOD的度数． 【解答】解：设∠AOC＝2x，则∠COB＝7x．2x+7x＝180° 解得x＝20°， ∴∠AOC＝2x＝40°， ∴∠BOD＝∠AOC＝40°， ∵OE⊥AB， ∴∠EOB＝90°， ∴∠EOD＝∠EOB﹣∠BOD＝90°﹣40°＝50°， 故∠EOD的度数为50°． 【点评】本题主要考查了邻补角、对顶角以及垂直的性质，熟练掌握邻补角互补、对顶角相等是解题的关键． 【变式7-1】在图中，∠1＝30°，那么∠2、∠3和∠4各等于多少度？图中存在哪些相等关系？ 【考点】对顶角、邻补角 【分析】根据对顶角、邻补角的性质解答即可． 【解答】解：∵∠1＝30°， ∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣30°＝150°， ∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣150°＝30°， ∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣30°＝150°． 由此，我们得到∠1＝∠3，∠2＝∠4． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角的性质，掌握对顶角、邻补角的性质是解题的关键． 【变式7-2】如图，直线a，b，c两两相交，∠1＝2∠3，∠2＝80°．求∠4的度数． 【考点】对顶角、邻补角 【分析】根据对顶角相等求出∠1，再求出∠3，然后根据对顶角相等解答即可． 【解答】解：∵∠1＝2∠3， ∴∠3＝40°， ∴∠4＝∠3＝40°（对顶角相等）． 【点评】本题主要考查了对顶角相等的性质，根据已知条件求出∠3是解题的关键． 【变式7-3】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥OC． （1）直接写出图中∠AOC的对顶角为　∠BOD　 ，∠AOE的邻补角为　∠BOE　 ； （2）若∠AOE＝115°，求∠BOD的度数． 【考点】垂线；对顶角、邻补角 【分析】（1）根据对顶角与邻补角的定义可得答案； （2）根据邻补角的定义得∠BOE＝180°﹣∠AOE＝65°，根据OE⊥OC得∠DOE＝90°，然后根据∠BOD＝90°﹣∠BOE可得答案． 【解答】解：（1）∠AOC的对顶角为∠BOD，∠AOE的邻补角为∠BOE， 故答案为：∠BOD，∠BOE； （2）由条件可知∠BOE＝180°﹣∠AOE＝65°， ∵OE⊥OC， ∴∠DOE＝90°， ∴∠BOD＝90°﹣∠BOE， ＝90°﹣65° ＝25°． 【点评】本题考查的是对顶角，邻补角的定义，角的和差运算，垂直的定义．熟练掌握以上知识点是关键． 题型八 线段角度计算综合 【例8】如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠． 若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'，B'处． （1）如图2，若A'，B'恰好重合于点O处，MN＝　30　 cm； （2）如图3，若点A'落在B'的左侧，且A'B'＝20cm，求MN的长度； （3）若A'B'＝n cm，求MN的长度．（用含n的代数式表示） 【考点】两点间的距离；列代数式 【分析】（1）由题意可得：AM＝MOAO，ON＝BNOB，再结合图形可求得答案； （2）先结合图形可求得AA′+BB′＝40cm，再根据中点性质和线段和差关系计算即可； （3）分两种情况分别计算即可：当点A′落在点B′的左侧时，当点A′落在点B′的右侧时． 【解答】解：（1）∵绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在A'、B'处，A'、B'恰好重合于点O处， ∴AM＝MOAO，ON＝BNOB， ∴MN＝MO+ON（AO+OB）AB＝30（cm）； 故答案为：30． （2）∵AB＝60 cm，A′B′＝20cm， ∴AA′+BB′＝AB﹣A′B′＝60﹣20＝40（cm）． 根据题意得，M、N分别为AA′、BB′的中点， ∴AMAA′，BNBB′， ∴AM+BNAA′BB′（AA′+BB′）40＝20cm， ∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝60﹣20＝40（cm）； （3）∵M、N分别为AA′、BB′的中点， ∴AM＝MA′AA′，BN＝B′NBB′． 当点A′落在点B′的左侧时， ∴MN＝MA′+A′B′+B′NAA′+A′B′B′B（AA′+A′B′+B′B）A′B′（AB+A′B′）＝（30n）（cm）； 当点A′落在点B′的右侧时， ∵AA′+BB′＝AB+A′B′＝（60+n）cm， ∴AM+BNAA′BB′（AA′+BB′）（60+n）＝（30n）cm． ∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝60﹣（30n）＝（30n）（cm）． 综上，MN的长度为（30）cm或（30）cm． 【点评】本题考查了中点定义，折叠性质，两点间距离，线段和差倍分计算，一元一次方程的应用和图形的剪拼等，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意分类思想的运用． 【变式8-1】已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） （1）若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． （2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　 BM． （3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【考点】两点间的距离 【分析】（1）计算出CM及BD的长，进而可得出答案； （2）根据图形即可直接解答； （3）分两种情况讨论，①当点N在线段AB上时，②当点N在线段AB的延长线上时，然后根据数量关系即可求解． 【解答】解：（1）当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm ∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm ∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm； （2）设运动时间为t， 则CM＝t，BD＝3t， ∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t， 又MD＝3AC， ∴BM﹣3t＝3AM﹣3t， 即BM＝3AM， ∴AMBM， 故答案为：； （3）当点N在线段AB上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN，AN﹣AM＝MN， ∴BN＝AMAB， ∴MNAB， 即． 当点N在线段AB的延长线上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN，AN﹣BN＝AB ∴MN＝AB， ∴1， 即． 综上所述或． 【点评】本题考查求线段的长短的知识，有一定难度，关键是细心阅读题目，理清题意后再解答． 【变式8-2】如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝2：1，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方． （1）在图1中，∠AOC＝　120°　 ，∠BOC＝　60°　 ． （2）将图1中的三角板按图2的位置放置，使得OM在射线OA上，则∠CON＝　30°　 ； （3）将上述直角三角板按图3的位置放置，使得OM在∠BOC的内部，求∠BON﹣∠COM的度数． 【考点】角的计算 【分析】（1）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝2：1，可以求得∠AOC和∠BOC的度数； （2）根据∠AOC的度数和∠MON的度数可以得到∠CON的度数； （3）根据∠BOC＝60°，∠MON＝90°，∠BON＝∠MON﹣∠BOM，∠COM＝∠BOC﹣∠BOM，可以得到∠BON﹣∠COM的度数． 【解答】解：（1）∵点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝2：1，∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝120°，∠BOC＝60° 故答案为：120°，60°； （2）∵由（1）可知：∠AOC＝120°，∠MON＝90°，∠AOC＝∠MON+∠CON， ∴∠CON＝∠AOC﹣∠MON＝120°﹣90°＝30°， 故答案为：30°； （3）由图可知：∠BOC＝60°，∠MON＝90°，∠BON＝∠MON﹣∠BOM，∠COM＝∠BOC﹣∠BOM， 则，∠BON﹣∠COM＝90°﹣∠BOM﹣（60°﹣∠BOM）＝30°， 即∠BON﹣∠COM的度数是30°． 【点评】本题考查角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，与已知条件建立关系，然后求出所求角的度数． 【变式8-3】如图，有一副三角板△ABC和△ADE，它们的斜边AB和AD按图1所示摆放在直线MN上，∠BAC＝30°，∠DAE＝45°，已知AP平分∠CAD，AQ平分∠CAE． （1）求初始位置∠PAE的度数． （2）若将三角板ADE绕点A转到如图2位置，使∠DAN＝α，且0°＜α＜45°，求∠PAQ的度数． （3）在（2）的基础上，若继续将三角板ABC绕点A转动到图3位置，使，求∠PAD与∠BAN存在的等量关系． 【考点】余角和补角；角的计算 【分析】（1）由补角的定义得到∠CAD＝150°，再根据角平分线的定义得到∠PAD∠CAD＝75°，然后利用角的和差求解即可； （2）同（1）思路一致，利用∠PAQ＝∠PAC﹣∠QAC，分别求出∠PAC和∠QAC即可得解； （3）由题易得∠BAN＝180°﹣∠MAB＝180°α，∠PADCAD＝75°α，要找二者的关系，需要消除α，则根据两式关系消去α即可的解． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝30°， ∴∠CAD＝150°， ∵AP平分∠CAD， ∴∠PAD∠CAD＝75°， ∵∠EAD＝45°， ∴∠PAE＝∠PAD﹣∠EAD＝30°； （2）∵∠BAC＝30°，∠DAN＝α，∠DAE＝45° ∴∠CAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAN＝150°﹣α，∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠DAN﹣∠DAE＝105°﹣α， ∵AP平分∠CAD，AQ平分∠CAE， ∴∠PACCAD＝75°α，∠CAE＝52.5°α， ∴∠PAQ＝∠PAC﹣∠QAC＝22.5°； （3）∵∠BAC＝30°，∠MAB， ∴∠CAM＝30°α，∠BAN＝180°﹣∠MAB＝180°α， ∴∠CAD＝180°﹣∠CAM﹣∠DAN＝180°﹣30°α＝150°α， ∵AP平分∠CAD， ∴∠PADCAD＝75°α， ∴4∠PAD＝300°α， ∴4∠PAD﹣∠BAN＝120°． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义、角的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 基础巩固通关测 1．如图，线段AB＝15cm，且C点在AB上，BCAC，D为BC的中点，则线段AD的长为（　　） A．10cm B．13cm C．12cm D．9cm 【考点】两点间的距离 【分析】直接根据题意表示出各线段长，进而得出答案． 【解答】解：∵BCAC， ∴设BC＝2x，则AC＝3x， ∵D为BC的中点， ∴CD＝BD＝x， ∵线段AB＝15cm， ∴AC+BC＝5x＝15， 解得：x＝3（cm）， ∴AD＝3x+x＝4x＝12（cm）． 故选：C． 【点评】此题主要考查了两点之间的距离，正确表示出各线段长是解题关键． 2．下列说法正确的是（　　） A．联结两点的线段，叫做两点间的距离 B．将一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点 C．两条射线组成的图形叫做角 D．若AO＝BO，则O是AB的中点 【考点】角的概念；两点间的距离 【分析】根据两点间距离的定义、角的定义、线段中点的定义解决此题． 【解答】解：A．联结两点的线段长度叫做两点间的距离，故A说法错误，那么A不符合题意． B．根据线段中点的定义，将一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点，故B正确，那么B符合题意． C．根据角的定义，两条具有公共顶点的射线组成的图形叫做角，故C错误，那么C不符合题意． D．根据线段中点的定义，只有当O在线段AB上时，O才是AB的中点，故D错误，那么D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查两点间距离、角的定义、线段中点，熟练掌握两点间距离的定义、角的定义、线段中点的定义是解决本题的关键． 3．如图，直线a，b相交于点O，∠2+∠3＝60°，则∠1＝（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 【考点】对顶角、邻补角 【分析】由对顶角相等求解∠2＝∠3＝30°，再利用邻补角互补可得答案． 【解答】解：∵∠2+∠3＝60°，∠2＝∠3， ∴∠2＝∠3＝30°， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝150°． 故选：A． 【点评】本题考查的是对顶角的性质，邻补角的性质，掌握“对顶角相等，邻补角互补”是解本题的关键． 4．如图，将一副三角尺按不同方式摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（　　） A． B． C． D． 【考点】余角和补角 【分析】根据同角的余角相等，平角的定义和三角板的度数对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：将一副三角尺按不同方式摆放， A、根据等角的余角相等可得∠α＝∠β，但∠α与∠β不一定互余，故选项A不符合题意； B、由图知∠α+∠β＝90°，即∠α与∠β一定互余，故选项B符合题意； C、由图知∠α＝∠β＝180°﹣45°＝135°，∠α与∠β不互余，故选项C不符合题意； D、由图知∠α+∠β＝180°，∠α与∠β互补，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查余角，补角及平角的定义，解决本题的关键是掌握余角和补角的性质． 5．如图，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，则图中∠1，∠2，∠3三个角的数量关系为（　　） A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90° C．2∠1﹣∠2+∠3＝90° D．∠1+2∠2﹣∠3＝90° 【考点】余角和补角 【分析】由∠COE+∠3+∠BOD＝∠3+∠BOD+∠2，得出∠COE＝∠2，再由∠1+∠COE+∠3＝90°，得出正确答案． 【解答】解：∵∠COD＝∠EOF＝90°， ∴∠COE+∠3+∠BOD＝∠3+∠BOD+∠2， ∴∠COE＝∠2， ∵∠AOB＝90°， ∴∠1+∠COE+∠3＝90°， ∴∠1+∠2+∠3＝90°． 故选：A． 【点评】本题主要考查互余的概念，关键是掌握余角的性质． 6．已知直线AB和CD相交于O点，射线OE⊥AB于O，射线OF⊥CD于O，且∠BOF＝25°，则∠AOC﹣∠EOD＝ 　90°　 ． 【考点】垂线；角的计算；对顶角、邻补角 【分析】根据题意可知，OE⊥AB，OF⊥CD，由垂线定义可得：∠BOE＝∠DOF＝90°，即∠BOF+∠EOF＝∠EOD+∠EOF，由此可得：∠BOF＝∠EOD＝25°．再根据对顶角定义可得：∠AOC＝∠BOD＝∠BOF+∠DOF，即可得出∠AOC的度数，最后再计算∠AOC﹣∠EOD即可得出答案． 【解答】解：∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴∠BOE＝∠DOF＝90°， 即∠BOF+∠EOF＝∠EOD+∠EOF， ∴∠BOF＝∠EOD， ∵∠BOF＝25°， ∴∠EOD＝25°． ∴∠AOC＝∠BOD＝∠BOF+∠DOF ＝25°+90° ＝115°， ∴∠AOC﹣∠EOD＝115°﹣25°＝90°． 故答案为：90°． 【点评】本题考查了角的计算，垂线，对顶角，掌握角的和差计算，垂线定义，对顶角定义是解题的关键． 7．如图，已知线段AB＝16，点C、D是线段AB上两点，，BC＝2CD，则段AD的长为　7　 ． 【考点】线段的和差 【分析】由AB＝16，可求出，根据BC＝2CD求出，进而可求出AD的长． 【解答】解：∵AB＝16，， ∴， ∵BC＝2CD， ∴， ∴AD＝AC﹣CD＝10﹣3＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了线段的数量关系，掌握其相关知识点是解题的关键． 8．如图，点D在线段AC上，点C是线段AB的中点．若AB＝8，CD＝3，则BD的长是 　7　 ． 【考点】线段的和差 【分析】根据题意得AC＝BC，结合BD＝DC+CB即可求得． 【解答】解：∵点C是线段AB的中点， ∴AC＝BC， ∵AB＝8， ∴AC＝BC＝4， ∵CD＝3， ∴BD＝DC+CB＝3+4＝7， 故答案为：7． 【点评】本题主要考查线段中点和和差关系，掌握其相关知识点是解题的关键． 9．如图（射线OD在∠AOC内部），∠AOC与∠BOD都是直角，则下列说法正确的是 　①③④⑤　 ．（填序号） ①若∠COD＝30°，则∠AOB＝150°． ②图中共有5个角． ③∠AOD＝∠BOC． ④∠AOB与∠DOC的和不变． ⑤∠AOD＝45°时，OC平分∠BOD． 【考点】余角和补角；角的概念 【分析】①先根据余角的定义求出∠AOD，再根据角的和差关系即可求解； ②根据图形即可系和等量关系即可求解； ③根据同角的余角相等即可求解； ④根据角的和差关系即可求解 ⑤根据角平分线的定义即可解答． 【解答】解：∵∠AOC与∠BOD都是直角， ∴①若∠COD＝30°， 则∠AOD＝60°， 则∠AOB＝150°， 故正确； ②根据图形图中共有6个角，分别为：∠AOD，∠DOC，∠COB，∠AOC，∠DOB，∠AOB， 故错误； ③∠AOD＝∠BOC， 故正确； ④∵∠AOB+∠DOC＝90°+90°＝180°， ∴∠AOB与∠DOC的和不变， 故正确； ⑤∵∠AOC与∠BOD都是直角，∠AOD＝45°， ∴∠DOC＝45°， ∴OC平分∠BOD， 故正确， 所以说法正确的是：①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 【点评】本题考查余角和补角，掌握余角和补角的定义是解题的关键． 10．若∠α＝15°35'，∠β＝10°15'，则∠α+∠β＝　25°50'　 ． 【考点】角的计算 【分析】将两个角的度数相加并计算即可． 【解答】解：∵∠α＝15°35'，∠β＝10°15'， ∴∠α+∠β＝15°35'+10°15'＝25°50'， 故答案为：25°50'． 【点评】本题考查角的计算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 11．如图，已知点B、C、E都是线段AD上的点，，BD＝6，点E是AB的中点． （1）求AE的长； （2）若点F是CD的中点，求EF的长． 【考点】线段的和差 【分析】（1）根据，BD＝6，求出AB，再根据中点的定义求出AE，即可； （2）首先求出CE，得到CD，根据中点的定义求出CF，即可． 【解答】解：（1）因为， 所以AD＝30． 因为BD＝6， 所以AB＝AD﹣BD＝24． 因为点E是AB的中点， 所以． （2）因为AE＝12，AC＝10， 所以CE＝2． 因为AD＝30，AC＝10， 所以CD＝20． 因为点F是CD的中点， 所以， 所以EF＝CF﹣CE＝8． 【点评】本题考查线段的和差运算，线段中点的含义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 12．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2． （1）求∠AOC的度数； （2）过点O作射线OD，若∠AOD∠AOB，求∠COD的度数． 【考点】角的计算 【分析】（1）根据∠AOC：∠BOC＝1：2，即可求解； （2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解． 【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°， ∴∠AOC∠AOB120°＝40°； （2）∵∠AOD∠AOB， ∴∠AOD＝60°， 当OD在∠AOB内时， ∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°， 当OD在∠AOB外时， ∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°． 故∠COD的度数为20°或100°． 【点评】本题考查了角的计算及角平分线，掌握角的特点及比例的意义是解决问题的关键． 13．如图所示，点C在线段AB上，AB＝30，AC＝12，点M，N分别是AB，BC的中点． （1）求CN的长度； （2）求MN的长度． 【考点】线段的和差 【分析】（1）已知AB＝15，AC＝6，可得BC的长度，又因点N是BC的中点，即CN＝BNBC，可得CN的长度； （2）因为点M是AB的中点，即BMAB，可得BM的长度，又因MN＝BM﹣BN，可得MN的长度． 【解答】解：（1）∵AB＝30，AC＝12， ∴BC＝18， ∵点N是BC的中点， ∴CN＝BNBC＝9； （2）∵点M是AB的中点， ∴BMAB＝15， ∵MN＝BM﹣BN， ∴MN＝6． 【点评】本题考查了两点间的距离，关键是掌握线段中点的定义． 14．如图，∠AOC与∠BOD都是直角，如果∠COD＝30°，那么∠AOB的度数是多少？ 【考点】余角和补角；角的计算 【分析】先根据角的和差可得∠BOC＝60°，再根据∠AOB＝∠AOC+∠BOC求解即可得． 【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∠COD＝30°， ∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝60°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°+60°＝150°． 【点评】本题考查了角的和差，熟练掌握角的和差运算法则是解题关键． 15．综合与探究 如图1所示，在△OMN中，∠OMN＝90°，∠MON＝45°，射线OC平分∠AON． （1）在图1中，若∠MOC＝20°，则∠BON＝ 　130°　 ；若∠MOC＝15°，则∠BON＝ 　120°　 ． （2）在图1中，若∠MOC＝m，求∠BON的度数？（用含m的式子表示） （3）将△OMN绕点O旋转到图2所示的位置，其余条件均不变，试问若∠MOC＝n，则∠BON的度数为 　90°﹣2n　 ．（用含n的式子表示） 【考点】角的计算；列代数式 【分析】（1）根据题意可得∠NOC＝∠MON﹣∠MOC＝45°﹣20°＝20°，由射线OC平分∠AON，得到∠AON＝2∠NOC＝50°，由∠BON＝180°﹣∠AON＝180°﹣50°＝130°，即可求解，同理可得若∠MOC＝15°，则∠AON＝60°，∠BON＝180°﹣∠AON＝180°﹣60°＝120°，即可求解； （2）根据（1）的计算可得∠BON＝180°﹣2（∠MON﹣∠MOC），由此即可求解； （3）根据题意可得，得∠BON＝180°﹣2（∠MON+∠MOC），由此即可求解． 【解答】解：（1）在△OMN中，∠OMN＝90°，∠MON＝45°，∠MOC＝20°， ∴∠NOC＝∠MON﹣∠MOC＝45°﹣20°＝20°， 由条件可知∠NOC＝∠AOC＝25°， ∴∠AON＝2∠NOC＝50°， ∴∠BON＝180°﹣∠AON＝180°﹣50°＝130°， 若∠MOC＝15°，则∠AON＝2∠NOC＝2（∠MON﹣∠MOC）＝2×（45°﹣15°）＝60°， ∴∠BON＝180°﹣∠AON＝180°﹣60°＝120°， 故答案为：130°，120°； （2）由条件可知∠BON＝180°﹣∠AON ＝180°﹣2∠NOC ＝180°﹣2（∠MON﹣∠MOC） ＝180°﹣90°+2m ＝90°+2m； （3）∠NOC＝∠MON+∠MOC＝45°+n， ∴∠AON＝2∠NOC＝2×（45°+n）＝90°+2n， ∴∠BON＝180°﹣∠AON＝90°﹣2n， 故答案为：90°﹣2n． 【点评】本题主要考查角平分线的定义，几何中角度的和差计算，理解图示，掌握角平分线的定义，角度和差计算方法是解题的关键． 能力提升进阶练 1．如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm，若APPB，则这条绳子的原长为（　　） A．100cm B．150cm C．100cm或150cm D．120cm或150cm 【考点】两点间的距离 【分析】根据绳子对折以后用线段AB表示，可得绳长是AB的2倍，分类讨论，PB的2倍最长，可得PB，AP的2倍最长，可得AP的长，再根据线段间的比例关系，可得答案． 【解答】解：当PB的2倍最长时，得 PB＝30cm， APPB＝20cm， AB＝AP+PB＝50cm， 这条绳子的原长为2AB＝100cm； 当AP的2倍最长时，得 AP＝30cm，APPB， PBAP＝45cm， AB＝AP+PB＝75cm， 这条绳子的原长为2AB＝150cm． 故选：C． 【点评】本题考查了两点间的距离，分类讨论是解题关键． 2．已知一个角的度数是50°38'，则这个角的补角的度数是（　　） A．39°22' B．49°22' C．130°22' D．129°22' 【考点】余角和补角；度分秒的换算 【分析】互补即两个角的和是180°，用180°﹣50°38′计算即可． 【解答】解：根据补角定义可知： 180°﹣50°38′＝129°22′． 故选：D． 【点评】本题考查了补解的定义，熟练掌握该知识点是关键． 3．如图，点B在线段AC上，点M，N分别为线段AB，BC的中点，点O是线段AC的中点，给出下列结论：①MN＝CO；②2MO＝AO﹣BO；③AM＝BN；④2NO＝CO+BO．其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【考点】两点间的距离；线段的和差 【分析】根据中点，得到各线段之间的数量关系，分别分析判断即可． 【解答】解：由题意可得：，，， ∵， ∴MN＝CO，①正确； ∵AO﹣BO＝AB﹣BO﹣BO＝2BM﹣2BO＝2（BM﹣BO）＝2MO， ∴②正确； ∵AM＝BM，BN＝CN，但不能保证AM＝BN， ∴③不正确； ∵CO+BO＝BC+BO+BO＝2BN+2BO＝2（BN+BO）＝2NO， ∴④正确． 故选：A． 【点评】本题考查两点间的距离，正确进行计算是解题关键． 4．下列说法中，正确的个数有（　　） ①射线AB和射线BA是同一条射线； ②若AB＝BC，则点B为线段AC的中点； ③线段AB的长度就是点A与点B之间的距离； ④若点C是线段AB的三等分点，AC＝3，则AB＝9． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】两点间的距离；直线、射线、线段 【分析】根据射线的定义判断①，AB、BC可能在等边三角形ABC中，由线段的定义判断③，计算若点C是线段AB的三等分点，AC＝3，则AB的值，判断④． 【解答】解：射线AB的端点是A，射线BA的端点是B，射线AB和射线BA不是同一条射线，故①不符合题意， 等边三角形ABC中，AB＝BC，故②不符合题意， 线段AB的长度就是点A与点B之间的距离，故③符合题意， 若点C是线段AB的三等分点，AC＝3，则AB＝9或4.5，故④不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了线段、射线、三等分点，关键是掌握线段、射线的定义． 5．下列说法：①直线AB与直线BA是同一条直线；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③若线段AB＝5，BC＝6，则线段AC＝11；④两点之间，线段最短；⑤若AB＝BC，则点B是线段AC的中点．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】两点间的距离；直线、射线、线段；线段的性质：两点之间线段最短 【分析】根据直线的定义对①进行判断；根据两点间的距离的定义对②进行判断；根据线段的和差对③进行判断；根据线段公理对④进行判断；根据线段中点的定义对⑤进行判断． 【解答】解：①直线AB与直线BA是同一条直线，结论正确正确； ②应为连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，结论错误； ③若线段AB＝5，BC＝6，则线段AC＝11或1，结论错误； ④两点之间，线段最短，结论正确； ⑤若AB＝BC，则点B是线段AC的中点，结论错误，因为A、B、C三点不一定共线； 综上所述，符合题意的是①④共2个； 故选：B． 【点评】本题主要考查了直线，线段，解题的关键是熟记直线，线段的联系与区别． 6．三点半的时候，钟表的时针和分针夹角的度数是　75°　 ． 【考点】钟面角 【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【解答】解：根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数可得： 三点半的时候，时针与分针相距的份数是份， 则钟表的时针和分针夹角的度数是， 故答案为：75°． 【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键． 7．如图，P、Q两点将线段AB分成了1：2：6的三个部分，点G是线段AB的中点，QG＝3，则线段AB的长为 　18　 ． 【考点】两点间的距离；线段的和差 【分析】根据题意得出，，计算即可得到答案． 【解答】解：∵P，Q两点将线段AB分成了1：2：6的三个部分， ∴， ∵点G是线段AB的中点， ∴， ∴QG＝BQ﹣BG， ∵QG＝3， ∴， ∴， 解得：AB＝18， 故答案为：18． 【点评】本题考查了两点间的距离，线段的和差，掌握两点间的距离，线段的和差计算是解题的关键． 8．如图，两个直角三角尺的直角顶点重合，那么∠AOB与∠COD的数量关系是 　∠AOB＝∠COD　 ，如果∠AOD＝128°，那么∠BOC＝ 　52°　 ． 【考点】余角和补角 【分析】根据题意得到∠AOC＝∠BOD＝90°，即可求出∠AOB＝∠COD；再根据∠AOD＝128°，再计算∠COD＝∠AOD﹣90°＝38°，然后根据∠BOC＝∠BOD﹣∠COD进行计算即可． 【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°， ∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣∠BOC，∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣∠BOC， ∴∠AOB＝∠COD； ∵∠AOD＝128°， ∴∠COD＝∠AOD﹣90°＝38°， ∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝90°﹣38°＝52°． 故答案为：∠AOB＝∠COD，52°． 【点评】本题考查了角的计算，关键是掌握角的和、差计算． 9．已知C、D是线段AB上两点，且，，若点M、N分别是线段AC、BD的中点，MN＝20，则线段AB的长是 　45或36　 ． 【考点】线段的和差 【分析】设AB＝x，分①当点D在点C的左边时，②当点D在点C的右边时，两种情况讨论，分别利用MN＝20建立方程求解即可． 【解答】解：设AB＝x，则AC，CDAC， ①当点D在点C的左边时， 则，， ∴，， ∴， 解得：AB＝x＝45， ②当点D在点C的右边时， 则，， ∴，， ∴， ∴AB＝x＝36， 故答案为：45或36． 【点评】本题考查了中点的定义及两点之间的距离的求法，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． 10．定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足CB＝2CA，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝10cm，则PM＝ 　或10　 cm． 【考点】线段的和差 【分析】对点P在线段MN之间和在MN的反向延长线上时的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【解答】解：由题知， 当点P在线段MN之间时，如图所示， 因为点P是点M关于点N的“半距点”， 所以P1N＝2P1M． 又因为MN＝10cm， 所以（cm）； 当点P在MN的反向延长线上时，如图所示， 因为点P是点M关于点N的“半距点”， 所以P2N＝2P2M． 又因为MN＝10cm， 所以P2M＝MN＝10（cm）， 综上所述，PM或10（cm）． 故答案为：或10． 【点评】本题主要考查了线段的和差，能根据题意画出示意图，并据此得出示意图中线段之间的和差关系是解题的关键． 11．如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝24cm，CB＝16cm，D、E分别是AC、AB的中点．求： （1）AD的长度为 　12cm　 ； （2）DE的长度为 　8cm　 ； （3）若M在直线AB上，且MB＝12cm，求AM的长度． 【考点】两点间的距离 【分析】（1）直接根据D是AC的中点可得答案； （2）先求出AB的长，然后根据E是AB的中点求出AE，做好应AE﹣AD即为DE的长； （3）分M在点B的右侧、M在点B的左侧两种情况进行计算即可． 【解答】解：（1）由线段中点的性质，ADAC＝12（cm）， 故答案为：12cm； （2）由线段的和差，得AB＝AC+BC＝24+16＝40（cm）， 由线段中点的性质，得AE20（cm）， 由线段的和差，得DE＝AE﹣AD＝20﹣12＝8（cm）， 故答案为：8cm； （3）当M在点B的右侧时，AM＝AB+MB＝40+12＝52（cm）， 当M在点B的左侧时，AM＝AB﹣MB＝40﹣12＝28（cm）， ∴AM的长度为52cm或28cm． 【点评】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键． 12．综合与探究 特例感知：（1）如图1．线段AB＝16cm，C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC，BC的中点． ①若AC＝4cm，则线段DE的长为 　8　 cm． ②设AC＝a cm，则线段DE的长为 　8　 cm． 知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数． 拓展探究：（3）如图3，若∠AOB＝120°，∠COD＝60°，当∠COD在∠AOB的外部时，分别在∠AOC内部和∠BOD内部画射线OE，OF，使，，求∠EOF的度数． 【考点】两点间的距离；角的计算 【分析】（1）①由AC＝4cm，AB＝16cm，即可推出BC＝12cm，然后根据点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出AD＝DC＝2cm，BE＝EC＝6cm，即可推出DE的长度； ②由AC＝a cm，AB＝16cm，即可推出BC＝（16﹣a）cm，然后通过点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出DE（AC+BC）（a+16﹣a）16＝8cm； （2）由射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，∠AOB＝120°，即可推出∠MON＝∠MOC+∠CON（∠AOC+∠COB）∠AOB＝60°； （3）∠BOC＝n° 则∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，∠BOD＝∠COD+∠BOC＝60°+n°，由题意得，解答即可． 【解答】解：（1）①∵AC＝4cm，AB＝16cm， ∴BC＝AB﹣AC＝16﹣4＝12（cm）， 又∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴CD＝2cm，CE＝6cm， ∴DE＝CD+CE＝2+6＝8（cm）； 故答案为：8cm； ②∵AC＝a cm，AB＝16cm， ∴BC＝AB﹣AC＝（16﹣a）cm， 又∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴CDa cm，CE（14﹣a）cm， ∴DE＝CD+CEa（16﹣a）＝8（cm）； 故答案为：8cm； （2）∵由射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC， ∴∠MOC∠AOC，∠CON∠COB， ∵∠AOB＝120°， ∴∠MON＝∠MOC+∠CON（∠AOC+∠COB）∠AOB＝60°， 即∠MON的度数为60°； （3）设∠BOC＝n° 则∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，∠BOD＝∠COD+∠BOC＝60°+n°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查角的计算、角平分线和线段的中点的定义，解题的关键在于认真的进行计算，熟练运用相关的定义和角之间的和差关系． 13．如图，已知B、C在线段AD上． （1）图中共有　6　 条线段； （2）若AB＝CD． ①比较线段的长短：AC　＝　 BD（填“＞”、“＝”或“＜”）； ②若AB：BD＝1：4，BC＝12，求AC的长度； （3）在（2）的条件下，点M是线段AB的中点，点N是线段BC的三分点，求线段MN的长度． 【考点】线段的和差；直线、射线、线段；比较线段的长短 【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可； （2）①根据等式的性质即可得到答案；②依据线段的和差关系进行计算，即可得出AC的长； （3）分类讨论，点N是靠近点B或者点C的三等分点，据此利用线段和差求解即可； 【解答】解：（1）图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条， 故答案为：6． （2）①∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD， 故答案为：＝． ②∴AB：BD＝1：4，AC＝BD， ∴AC＝4AB， ∴BC＝3AB， ∵BC＝12， ∴AB＝4， ∴AC＝AB+BC＝16． （3）∵点M为AB中点， ∴BM2， 当点N是靠近点B的三等分点时， 则BN4， ∴MN＝BM+BN＝6； 当点N是靠近点C的三等分点时， 则BNBC＝8， ∴MN＝BM+BN＝10； 综上，MN的长为6或10． 【点评】本题主要考查了线段的和差，比较线段的长短，关键是掌握线段的和差． 14．综合与实践 特例感知： （1）如图①，已知线段AB＝14cm，点C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点． ①若AC＝4cm，则线段DE＝　7　 cm； ②若AC＝a cm（a＜14），则线段DE＝　7　 cm． 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数． 拓展探究： （3）已知∠COD在∠AOB内部的位置如图③所示，∠AOB＝α（α＜180°），∠COD＝30°，且∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，请直接写出∠MON＝　（α+10）　 °．（用含α的式子表示） 【考点】两点间的距离；列代数式 【分析】（1）①已知AB＝14cm，AC＝4cm，可得BC的长，因为点D，E分别是AC和BC的中点，可得CD、CE的长，因为DE＝CD+CE，可得DE的长； ②已知AB＝14cm，AC＝a cm，可得BC的长，因为点D，E分别是AC和BC的中点，可得CD、CE的长，因为DE＝CD+CE，可得DE的长； （2）因为OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，所以∠CON∠BOC，∠COM∠AOC，已知∠AOB＝120°，∠MON＝∠CON+∠COM可得∠MON的度数； （3）已知∠AOB＝α，∠COD＝30°，可得∠BOC+∠AOD的度数，因为∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，可得∠DOM+∠CON的度数，因为∠MON＝∠COD+∠CON+∠DOM，可得∠MON的度数． 【解答】解：（1）①∵AB＝14cm，AC＝4cm， ∴BC＝10cm， ∵点D，E分别是AC和BC的中点， ∴CD＝2cm，CE＝5cm， ∴DE＝CD+CE＝7（cm）， 故答案为：7； ②∵AB＝14cm，AC＝a cm， ∴BC＝（14﹣a）cm， ∵点D，E分别是AC和BC的中点， ∴CDa cm，CE＝（7a）cm， ∴DE＝CD+CE＝7（cm）， 故答案为：7； （2）∵OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC， ∴∠CON∠BOC，∠COM∠AOC， ∵∠AOB＝120°， ∴∠MON＝∠CON+∠COM（∠BOC+∠AOC）∠AOB＝60°； （3）∵∠AOB＝α，∠COD＝30°， ∴∠BOC+∠AOD＝（α﹣30）°， ∵∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON， ∴∠DOM+∠CON（∠AOD+∠BOC）＝（α﹣20）°， ∴∠MON＝∠COD+∠CON+∠DOM＝（α+10）°， 故答案为：（α+10）． 【点评】本题考查了两点间的距离，代数式，角的计算，关键是掌握线段中点、角平分线的定义． 15．已知∠BOD在∠AOC的内部． （1）如图1，若∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOD＝40°，求∠AOC的度数； （2）如图2，若∠AOB＝82°，∠COD＝110°，∠AOC＝2∠BOD，求∠BOD的度数； （3）如图3，若∠AOB＝α，∠COD＝β，∠AOC＝n∠BOD（n＞1），求∠BOD的度数（用含α、β、n的代数式表示）． 【考点】余角和补角；列代数式 【分析】（1）根据∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOD＝40°得∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝50°，再根据∠AOC＝∠AOD+∠COD即可得出答案； （2）设∠BOD＝α，∠AOC＝2α，根据∠AOB＝82°得∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝82°﹣α，再根据∠COD＝110°得∠AOC＝∠AOD+∠COD＝192°﹣α，进而得2α＝192°﹣α，由此解出α即可得出，∠BOD的度数； （3）设∠BOD＝θ，∠AOC＝nθ，根据∠AOB＝α得∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝α﹣θ，再根据∠COD＝β得∠AOC＝∠AOD+∠COD＝α﹣θ+β，进而得nθ＝α﹣θ+β，由此解出θ即可得出∠BOD的度数． 【解答】（1）解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOD＝40°， ∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝90°﹣40°＝50°， ∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝50°+90°＝140°； （2）解：∵∠AOC＝2∠BOD， ∴设∠BOD＝α，∠AOC＝2α， ∵∠AOB＝82°， ∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝82°﹣α， 又∵∠COD＝110°， ∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝82°﹣α+110°＝192°﹣α， ∴2α＝192°﹣α， 解得：α＝64°， ∴∠BOD＝α＝64°； （3）解：∵∠AOC＝n∠BOD（n＞1）， ∴设∠BOD＝θ，∠AOC＝nθ， ∵∠AOB＝α， ∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝α﹣θ， ∵∠COD＝β， ∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝α﹣θ+β， ∴nθ＝α﹣θ+β， 解得：θ， ∴∠BOD＝θ． 【点评】此题主要考查了角的计算，列代数式，准确识图，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 50 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $