第4章 图形与坐标（复习讲义）数学浙教版2024八年级上册

第4章 图形与坐标（复习讲义） 课标要求：从生活实例（如电影院座位、地图导航）中抽象出平面直角坐标系的模型，通过坐标描述图形的位置与运动，掌握点平移、对称的坐标变化规律等核心性质；核心在于培养数形结合思想与空间观念 中考命题： 基础题 (占比约70%)：直接求点的坐标、点对称与平移后的坐标、图形面积的简单计算。 中档题 (占比约20%)：根据坐标特征确定点的位置（如象限内、坐标轴上），求满足条件的点坐标。 压轴题 (占比约10%)：坐标系中的动态几何问题（如动点构成等腰三角形、平行四边形存在性问题） 备考关键： ✅ 概念零混淆（区分点的坐标与点到坐标轴的距离）； ✅ 变换抓规律（牢记平移、对称的坐标变化口诀）； ✅  作图保规范（在坐标系中作图需精准，辅助线用虚线） 层级 训练重点 典型例题 基础层 1. 根据点的位置写坐标，根据坐标描点。 2. 求点平移、轴对称后的坐标。 3. 计算简单规则图形（如矩形、三角形）的面积。 1. 已知点A(2, -3)，求它关于x轴对称的点A'的坐标，再将它向上平移4个单位，求点A''的坐标。 2. 已知A(-1, 0), B(3, 0), C(0, 2)，求△ABC的面积。 进阶层 1. 探索并建立坐标系，用坐标表示地理位置。 2. 求坐标系中不规则图形的面积（常用割补法）。 3. 根据点的坐标特征（如到坐标轴距离相等）求参数。 1. 如图，建立一个平面直角坐标系，使“中心广场”的坐标为(0, 0)，写出“图书馆”和“科技馆”的坐标。 2. 已知点P(2a-1, a+3)到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，求点P的坐标。 拓展层 1. 坐标系中的动态问题与存在性问题。 2. 坐标系与函数、几何图形的综合应用。 1. (动态问题) 在平面直角坐标系中，点P从原点出发，每秒移动1个单位，沿x轴正方向运动。t秒后，是否存在t，使△OPA为等腰三角形？若存在，求出t值。 2. (存在性问题) 在平面直角坐标系中，已知A(1,1), B(4,2), C(2,4)，在坐标平面内是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标。 知识点 重点归纳 常见易错点 平面直角坐标系 1. 构成：两条互相垂直、原点重合的数轴（x轴-横轴，y轴-纵轴）。 2. 象限：由两轴分成四个象限，坐标符号规律： - 第一象限(+, +)；第二象限(-, +) - 第三象限(-, -)；第四象限(+, -) 3. 坐标轴上的点：x轴上(x, 0)；y轴上(0, y)。 1. 混淆坐标顺序：误将(y, x)作为点的坐标。 2. 记错象限符号：如误认为第二象限为(+, -)。 3. 忽略坐标轴：认为点一定在象限内，忽略在坐标轴上的情况。 点的坐标特征 1. 点到x轴的距离 = |纵坐标| 2. 点到y轴的距离 = |横坐标| 3. 角平分线上的点： - 一、三象限：横、纵坐标相等 (y=x) - 二、四象限：横、纵坐标互为相反数 (y=-x) 4. 平行于坐标轴的直线： - 平行于x轴：纵坐标相同 - 平行于y轴：横坐标相同 1. 混淆距离与坐标：将点到x轴的距离误认为是横坐标的绝对值。 2. 忽略绝对值：求距离时未加绝对值符号。 3. 角平分线性质记反：误以为二、四象限角平分线上点满足y=x。 图形变换与坐标 口诀： 1. 平移：左减右加（x），上加下减（y）。 2. 对称： - 关于x轴对称：横不变，纵相反 - 关于y轴对称：纵不变，横相反 - 关于原点对称：横纵皆相反 1. 平移方向混淆：将“左减右加”误用于y坐标。 2. 对称规律记错：如关于x轴对称时，误将横坐标取相反数。 3. 综合变换出错：进行多次变换时，顺序错误或规律应用混乱。 坐标与图形面积 1. 规则图形：利用公式直接计算。 2. 不规则图形：常用割补法（将图形补成规则图形或分割成几个规则图形）。 3. 关键：找出决定图形形状的关键点的坐标。 1. 坐标与长度转化错误：未将坐标差转化为线段的实际长度。 2. 割补法使用不当：分割或填补后，多算或漏算部分面积。 3. 找不到关键点：无法从复杂图形中提取出用于面积计算的关键坐标。 坐标系中的几何问题 1. 建立坐标系：为使计算简便，常将图形的一个顶点放在原点，一边放在坐标轴上。 2. 常见问题： - 求满足条件的点坐标（如构成等腰三角形、平行四边形）。 - 动态问题（动点运动形成的面积或特殊图形）。 1. 坐标系建立不当：导致后续计算复杂。 2. 分类讨论遗漏：如动点构成等腰三角形时，未分情况讨论哪两边相等。 3. 忽略实际意义：动点问题中，未考虑点运动范围或时间限制。 题型一 确定坐标方法 【例1】如图是某市部分区域平面示意图，若汽车站的坐标为（﹣1，0），图书馆的坐标为（5，﹣2），则公园的坐标为（　　） A．（﹣3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣1，3） D．（0，﹣2） 【考点】坐标确定位置 【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得到公园的坐标． 【解答】解：如图所示：公园的坐标为（0，﹣2）． 故选：D． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 【变式1-1】2025年第九届亚洲冬季运动会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，若建立适当的平面直角坐标系，点P的坐标为（2，0），点Q的坐标为（﹣1，2），则点M的坐标为 　（﹣3，﹣2）　 ． 【考点】坐标确定位置 【分析】根据点P，Q的坐标建立平面直角坐标系，再根据坐标系的特点写出点的坐标即可求解． 【解答】解：点P 的坐标为（2，0），点Q 的坐标为（﹣1，2）， ∴点M 的坐标为（﹣3，﹣2）， 故答案为：（﹣3，﹣2）． 【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． 【变式1-2】围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为A（﹣2，4），B（1，2）． （1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）分别写出C、D两颗棋子的坐标； （3）有一颗黑色棋子E的坐标为（3，﹣1），请在图中画出黑色棋子E． 【考点】坐标确定位置 【分析】（1）利用A、B点坐标画出对应的直角坐标系； （2）根据点的位置写出坐标即可； （3）根据点的坐标作出点E的位置即可． 【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系； （2）点C的坐标（2，1），点D的坐标（﹣2，﹣1）； （3）如图，点E即为所求． 【点评】本题考查坐标确定位置，解题关键是正确作出图形，属于中考常考题型． 【变式1-3】在网格中，每个小方格边长为1cm，请完成下列各个问题． （1）已知用数对表示C点的位置为（5，1），那么用数对表示A点的位置：A（　3　 ，　4　 ） （2）已知D点的位置是（7，4），请标出D点的位置； （3）顺次连结A、B、C、D四个点，得到四边形ABCD，请在网格中画出四边形ABCD． ①四边形ABCD的面积是　12　 平方厘米； ②请在网格中画一个与四边形ABCD面积相等的三角形． 【考点】坐标确定位置 【分析】（1）观察图中的点A的位置，即可作答； （2）根据D点的位置是（7，4），进行作图，即可作答； （3）①根据平行四边形的面积等于底乘高进行列式计算，即可作答； ②画出底为8，高为3的三角形，即可作答． 【解答】解：（1）观察图中的点A的位置可知：A（3，4）； 故答案为：3，4； （2）D点的位置如图所示： （3）①根据平行四边形的面积等于底乘高进行列式计算可得4×3＝12（平方厘米）， 故答案为：12； ∴四边形ABCD的面积是12平方厘米； ②△EFN如图所示． 【点评】本题考查了用有序数对表示位置，利用网格求三角形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型二 点的坐标 【例2】在平面直角坐标系中，点P（﹣2024，2025）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】点的坐标 【分析】直接利用第二象限内的点：横坐标小于0，纵坐标大于0，即可得出答案． 【解答】解：根据第二象限内的点的坐标特征可得：点P在第二象限． 故选：B． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题的关键． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，点P（﹣2，a）在第二象限，则a的值可能为（　　） A．﹣2 B．3 C．0 D． 【考点】点的坐标 【分析】直接根据第二象限的点的坐标特征：横坐标为负，纵坐标为正，即可得到答案． 【解答】解：∵点P（﹣2，a）在第二象限，第二象限点的坐标特征是（﹣，+）， ∴a的值可能为3， 故选：B． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+），第二象限（﹣，+），第三象限（﹣，﹣），第四象限（+，﹣），熟练掌握各象限内点的坐标的符号特征是解题的关键． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，已知点P（a﹣2，a）． （1）若点P在y轴上，求点P的坐标； （2）若点P在第三象限，且点P到x轴的距离是9，求点P的坐标． 【考点】点的坐标 【分析】（1）根据点P（a﹣2，a）在y轴上，可得a﹣2＝0，求解即可； （2）根据点P在第三象限，点P到x轴的距离是9，可得a＝﹣9，可得a﹣2＝﹣11，即可求解； 【解答】解：（1）由点P（a﹣2，a）在y轴上可知a﹣2＝0， 解得：a＝2， ∴a﹣2＝0， 解得：a＝2． ∴P（0，2）； （2）由条件可知a＝﹣9， 则a﹣2＝﹣11， ∴点P的坐标为（﹣11，﹣9）； 【点评】本题考查不同象限内点的坐标和点到坐标轴的距离．理解点到x轴距离等于纵坐标绝对值是解题关键． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，有一点P（2x﹣1，3x）． （1）若点P在y轴上，求x的值； （2）若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标． 【考点】点的坐标 【分析】（1）根据y轴上的点横坐标为0，计算即可； （2）坐标系中点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值结合第一象限内的点横纵坐标都为正得到3x+2x﹣1＝9，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）∵点P（2x﹣1，3x）在y轴上， ∴2x﹣1＝0， ∴x； （2）∵P（2x﹣1，3x）在第一象限， ∴点P到x轴的距离为3x，到y轴的距离为2x﹣1， ∵点P到两坐标轴的距离之和为9， ∴3x+2x﹣1＝9， ∴x＝2， ∴2x﹣1＝3，3x＝6， ∴点P的坐标为（3，6）． 【点评】本题主要考查了点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 题型三 点的坐标规律性问题 【例3】在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示． （1）填写下列各点的坐标：A20（　10　 ，　0　 ）； （2）写出点A4n的坐标（n是正整数）A4n（　2n　 ，　0　 ）； （3）求出A2025的坐标． 【考点】规律型：点的坐标 【分析】（1）观察图形，发现规律：A4n（2n，0），A4n+1（2n，1），A4n+2（2n+1，1），即可求解； （2）观察图形，由（1）发现规律，即可求解； （3）由（1）发现规律：A4n（2n，0），A4n+1（2n，1），A4n+2（2n+1，1），即可求解． 【解答】解：（1）观察图形得得A4n（2n，0），A4n+1（2n，1），A4n+2（2n+1，1）， 则4n＝20， ∴n＝5， ∴2×5＝10， 故A20（10，0）， 故答案为：10，0； （2）由（1）发现规律：A4n（2n，0）， 故答案为：2n，0； （3）由（1）发现规律：A4n（2n，0），A4n+1（2n，1），A4n+2（2n+1，1）， ∵2025＝4×506+1， ∴n＝506， 则2×506＝1012， ∴A2025的坐标为A2025（1012，1）． 【点评】本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题的关键． 【变式3-1】探索规律：点P1（1，1），P2（2，4），P3（3，9），P4（4，16），…，按此规律，求： （1）点P5的坐标； （2）点Pₙ的坐标（n为正整数）； （3）若点Pₙ到x轴的距离为625，求n的值． 【考点】规律型：点的坐标 【分析】（1）根据题意即可得出结论； （2）根据题意得出规律（n，n2）即可； （3）根据题意得∴|n2|＝625，即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意可知，点P5的坐标为（5，52）， 即点P5的坐标为（5，25）； （2）点Pₙ的坐标（n为正整数）为（n，n2）； （3）∵点Pₙ到x轴的距离为625， ∴|n2|＝625， ∵n为正整数， ∴n25． 【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标，找出规律是解题的关键． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点A0（0，1）出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点A1（2，0），第2次移动到点A2（3，2），第3次移动到点A3（5，1），第4次移动到点A4（6，3），…． （1）第5次移动到点A5的坐标为　（8，2）　 ；第12次移动到点A12的坐标为　（18，7）　 ； （2）第2n次移动到点A2n的坐标为　（3n，n+1）　 ，第2n+1次移动到点A2n+1的坐标为　（3n+2，n）　 ；（用含自然数n的代数式表示） （3）若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母A及下标表示出该点，并写出其坐标． 【考点】规律型：点的坐标 【分析】（1）根据第1次移动到点A1（2，0），第2次移动到点A2（3，2），第3次移动到点A3（5，1），第4次移动到点A4（6，3），…．即可得到结论； （2）根据第1次移动到点A1（2，0），第2次移动到点A2（3，2），第3次移动到点A3（5，1），第4次移动到点A4（6，3），…．找出规律为第2n次运动到点点A2n的坐标为（3n，n+1），第2n+1次运动到点A2n+1的坐标为（3n+2，n）； （3）根据（2）中的规律列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）第5次移动到点A5的坐标为（8，2）；第12次移动到点A12的坐标为（18，7）； 故答案为：（8，2）；（18，7）； （2）∵第1次移动到点A1（2，0），第2次移动到点A2（3，2），第3次移动到点A3（5，1），第4次移动到点A4（6，3），…， ∴第2n次运动到点点A2n的坐标为（3n，n+1），第2n+1次运动到点A2n+1的坐标为（3n+2，n）， 故答案为：（3n，n+1）；（3n+2，n）； （3）由（2）知A2n（3n，n+1），A2n+1（3n+2，n）， 当3n＝3038 时， 解得（不是自然数，舍去）， 当3n+2＝3038 时， 解得n＝1012，符合题意， 此时下标为2n+1＝2×1012+1＝2025， 所以该点及坐标可记作A2025（3038，1012）． 【点评】本题主要考查规律型：点的坐标，解题关键是找到规律并正确应用． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右…的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示． （1）填写下列各点的坐标：A4（　2　 ，　0　 ），A8（　4　 ，　0　 ），A18（　9　 ，　1　 ）； （2）写出点A4n的坐标（n为正整数）； （3）指出蚂蚁从点A2023到点A2024的移动方向． 【考点】规律型：点的坐标 【分析】（1）由题意和图得出A4n（n为整数）在x轴上，横坐标为2n，纵坐标为0；A4n﹣1在x轴上，横坐标为2n﹣1，纵坐标为0；A4n﹣2与A4n﹣1的横坐标相同为2n﹣1，纵坐标为1，即可求解； （2）根据（1）可得出答案； （3）由2023÷4＝505…3，知道蚂蚁从点A2023到点A2024的移动方向与点A3到A4的移动方向一致，即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意和图可知，A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1）⋯⋯， ∴A4n（n为整数）在x轴上，横坐标为2n，纵坐标为0， A4n﹣1在x轴上，横坐标为2n﹣1，纵坐标为0， A4n﹣2与A4n﹣1的横坐标相同为2n﹣1，纵坐标为1， ∴A4（2，0），A8（4，0）， 当n＝5时，即A18的横坐标相同为2×5﹣1＝9，纵坐标为1， ∴A18（9，1）， 故答案为：2，0；4，0；9，1； （2）由（1）可知，点A4n的坐标为（2n，0）； （3）∵2023÷4＝505…3， ∴蚂蚁从点A2023到点A2024的移动方向与点A3到A4的移动方向一致为：向右． 【点评】本题考查了规律型﹣点的坐标，找到规律是解题的关键． 题型四 坐标与图形性质 【例4】已知平面直角坐标系中有A（﹣3，a）和B（b，﹣2）两点，且点B位于第三象限，AB＝4且直线AB∥x轴，则2a﹣b＝（　　） A．3 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣5或3 【考点】坐标与图形性质；代数式求值 【分析】根据直线AB∥x轴，得出A、B两点的纵坐标相等，进而得出a的值，再根据点B位于第三象限，AB＝4，得出b的值，代入即可得出答案． 【解答】解：由条件可知A、B两点的纵坐标相等， ∴a＝﹣2， 由条件可知b＝﹣7或1， ∵点B位于第三象限， ∴b＝﹣7， ∴2a﹣b＝3． 故选：A． 【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式4-1】在平面直角坐标系中点M（﹣3，1），N（﹣1，4），直线MN与x轴交于点P，则点P坐标为 　（，0）　 ． 【考点】坐标与图形性质 【分析】本题可先求出直线MN的解析式，再令y＝0，求出x的值，即可得到点P的坐标． 【解答】解：设直线MN的解析式为y＝kx+b，（k，b为常数，k≠0）， 把点M（﹣3，1），N（﹣1，4）代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴直线MN的解析式为y， 又∵直线MN与x轴交于点P， 把y＝0代入，得x， ∴P点的坐标为（，0）， 故答案为：（，0）． 【点评】本题考查函数的解析式，解题的关键是用待定系数法求解析式． 【变式4-2】已知点M（3a﹣2，a+6），分别根据下列条件求出点M的坐标． （1）点M在y轴上； （2）点N的坐标为（3，6），直线MN∥y轴； （3）点M到x轴、y轴的距离相等． 【考点】坐标与图形性质 【分析】（1）根据y轴上点的横坐标为0列式计算即可得解； （2）根据平行于y轴的点的横坐标相同列出方程求出a的值，然后即可得解． （3）根据点到坐标轴的距离相等列式计算即可得解． 【解答】解：（1）∵点M（3a﹣2，a+6）在y轴上， ∴3a﹣2＝0，解得． ∴． ∴点M的坐标为； （2）∵MN∥y轴， ∴点M，N的横坐标相同， ∵点M（3a﹣2，a+6），点N的坐标为（3，6）， ∴3a﹣2＝3，解得． ∴． ∴点M的坐标为； （3）∵点M（3a﹣2，a+6）到x轴、y轴的距离相等， ∴|3a﹣2|＝|a+6|． ∴3a﹣2＝a+6或3a﹣2＝﹣a﹣6， 解得a＝4或a＝﹣1． 当a＝4时，3a﹣2＝10，a+6＝10， ∴点M的坐标为（10，10）； 当a＝﹣1时，3a﹣2＝﹣5，a+6＝5， ∴点M的坐标为（﹣5，5）． 综上所述，点M的坐标为（10，10）或（﹣5，5）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，主要利用了y轴上的点的坐标特征，平行于y轴的直线上点的坐标特征，熟练掌握点到坐标轴的距离特点是解题的关键． 【变式4-3】已知点P（2m﹣6，m+2）是平面直角坐标系中的点． （1）若点P在y轴上，则点P的坐标为 　（0，5）　 ； （2）若点P在第一、三象限的角平分线上，则点P的坐标为 　（10，10）　 ； （3）已知点Q（5，3），且PQ∥x轴，求点P的坐标． 【考点】坐标与图形性质 【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征即可解决问题． （2）根据第一、三象限的角平分线上点的坐标特征即可解决问题． （3）根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【解答】解：（1）因为点P在y轴上， 所以2m﹣6＝0， 解得m＝3， 所以m+2＝5， 所以点P的坐标为（0，5）． 故答案为：（0，5）． （2）因为点P在第一、三象限的角平分线上， 所以2m﹣6＝m+2， 解得m＝8， 所以2m﹣6＝10，m+2＝10， 所以点P的坐标为（10，10）． 故答案为：（10，10）． （3）因为PQ∥x轴，且点Q坐标为（5，3）， 所以m+2＝3， 解得m＝1， 所以2m﹣6＝﹣4， 所以点P的坐标为（﹣4，3）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知坐标轴上、第一、三象限的角平分线上及平行于x轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 题型五 两点之间距离公式 【例5】已知A（6，﹣3），B（﹣2，4），C（2，﹣1），，则　3　 ． 【考点】两点间的距离公式 【分析】分别根据勾股定理求出AB，CD，再求出结果即可． 【解答】解：根据两点间距离公式可得： ，， 故． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点之间的距离公式，熟练掌握该知识点是关键． 【变式5-1】线段AB的长为5，点A在平面直角坐标系中的坐标为（3，﹣2），点B的坐标为（3，y），则y＝　3或﹣7　 ． 【考点】两点间的距离公式 【分析】由题意可知，则线段AB的长度为|y﹣（﹣2）|＝5，解方程求解即可． 【解答】解：∵点A的坐标为（3，﹣2），点B的坐标为（3，y）， ∴点A的横坐标＝点B的横坐标， ∴AB∥y轴， ∵线段AB的长为5， ∴|y﹣（﹣2）|＝5， ∴y＝3或﹣7， 故答案为：3或﹣7． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，坐标的距离，解题关键是掌握当两个坐标点的横坐标相等． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+1），B（a﹣1，4），C（b﹣2，b）三点． （1）当点C在y轴上时，求点C的坐标； （2）当AB∥x轴时，求A，B两点间的距离． 【考点】两点间的距离公式；坐标与图形性质 【分析】（1）根据y轴点的坐标特征得到b﹣2＝0，然后求出b，从而得到点C的坐标； （2）先根据关于与x轴平行的直线上点的坐标特征得到a+1＝4，再求出a得到点A、B的坐标，然后利用两点间的距离公式求出点A、B之间的距离． 【解答】解：（1）∵点C在y轴上， ∴b﹣2＝0， 解得b＝2， ∴点C的坐标为（0，2）； （2）∵AB∥x轴， ∴a+1＝4， 解得a＝3， ∴A（﹣2，4），B（2，4）， ∴AB4， 即A，B两点间的距离为4． 【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB． 【变式5-3】阅读材料： 两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离，则． 例如： 若点A（4，1），B（3，2），则， 若点A（a，1），B（3，2），且，则． 根据实数章节所学的开方运算即可求出满足条件的a的值． 根据上面材料完成下列各题： （1）若点A（﹣2，3），B（m，2） ①若m＝1，则A、B两点间的距离是 　　 ． ②若AB∥y轴，则A、B两点间得距离是 　1　 ． （2）若点A（﹣2，3），点B在x轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标． 【考点】两点间的距离公式；实数的运算 【分析】（1）①根据题目所给两点间的距离公式求解即可． ②根据AB∥y轴，得出B（﹣2，2），即可求解； （2）设B（m，n），根据点B的位置和题目所给点的两点间距离公式列出方程，再根据开方运算求解即可． 【解答】解：（1）①∵A（﹣2，3），B（1，2）， ∴AB， 故答案为：； ②∵AB平行y轴， ∴B（﹣2，2）， 则AB＝1； 故答案为：1； （2）解：设B（m，n）， ∵点B在轴上， ∴n＝0， ∴B（m，0）， ∵A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5， ∴52＝（﹣2﹣m）2+（3﹣0）2， 整理得（﹣2﹣m）2＝16， ∵， ∴﹣2﹣m＝4或﹣2﹣m＝﹣4， ∴m＝﹣6或m＝2， ∴B（﹣6，0）或B（2，0）． 【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，利用平方根解方程，实数的混合运算，正确理解题意是解题关键． 题型六 关于坐标轴对称问题 【例6】在平面直角坐标系中，点P（﹣2，a）与点Q（b，3）关于x轴对称，则﹣a+b的值为 　1　 ． 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标 【分析】根据“点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）”，进而得出答案． 【解答】解：∵点P（﹣2，a）与点Q（b，3）关于x轴对称， ∴b＝﹣2，a＝﹣3， ∴﹣a+b＝﹣（﹣3）+（﹣2）＝3﹣2＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟记关于x轴、y轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【变式6-1】在平面直角坐标系中，点（﹣4，﹣1）关于y轴的对称点的坐标为　（4，﹣1）　 ． 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标 【分析】根据关于y轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，进行求解即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点（﹣4，﹣1）关于y轴的对称点的坐标为：（4，﹣1）． 故答案为：（4，﹣1）． 【点评】本题考查坐标与轴对称，掌握坐标变换规律是解题的关键． 【变式6-2】已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）． （1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； （2）若点A，B关于y轴对称，求（4a+b）2022的值． 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标 【分析】（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b），点A、B关于x轴对称， ∴2a﹣b＝2b﹣1，5+a＝﹣（﹣a+b）， 解得， ∴a＝﹣8，b＝﹣5； （2）∵点A、B关于y轴对称， ∴2a﹣b＝﹣（2b﹣1），5+a＝﹣a+b， 解得， ∴（4a+b）2022＝（﹣4+3）2022＝1． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，代数式求值，解决本题的关键是掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标． 【变式6-3】已知点A（a，3）、B（﹣4，b），试根据下列条件求出a、b的值． （1）A、B两点关于y轴对称； （2）A、B两点关于x轴对称； （3）AB∥x轴； （4）A、B两点在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上． 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形性质 【分析】（1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数． （2）关于x轴对称，x不变，y变为相反数． （3）AB∥x轴，即两点的纵坐标不变即可． （4）在二、四象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标互为相反数，即分别令点A，点B的横纵坐标之和为0，列出方程并解之，即可得出a，b． 【解答】解：（1）A、B两点关于y轴对称， 故有b＝3，a＝4； （2）A、B两点关于x轴对称； 所以有a＝﹣4，b＝﹣3； （3）AB∥x轴， 即b＝3，a为≠﹣4的任意实数． （4）如图， 根据题意，a+3＝0； b﹣4＝0； 所以a＝﹣3，b＝4． 【点评】本题主要考查学生对点在坐标系中的对称问题的掌握； 在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数． 题型七 关于原点对称问题 【例7】在平面直角坐标系中，点A（﹣5，b）关于原点对称的点为B（a，6），则（a+b）2024＝ 　1　 ． 【考点】关于原点对称的点的坐标 【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，进而得出a，b的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【解答】解：∵点A（﹣5，b）关于原点对称的点为B（a，6）， ∴a＝5，b＝﹣6， 则（a+b）2024＝（5﹣6）2024＝1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键． 【变式7-1】已知点P（a+1，1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是　a＜﹣1　 ． 【考点】关于原点对称的点的坐标；解一元一次不等式 【分析】首先根据题意判断出P点在第二象限，再根据第二象限内点的坐标符号（﹣，+），可得到不等式a+1＜0，然后解出a的范围即可． 【解答】解：∵P（a+1，1）关于原点对称的点在第四象限， ∴P点在第二象限， ∴a+1＜0， 解得：a＜﹣1， 故答案为：a＜﹣1． 【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，以及各象限内点的坐标符号，关键是判断出P点所在象限． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为，现有A（3，8），B（1，4），C（﹣1，6）三点，点D为线段AB的中点，点C′为点C关于原点对称的点，求线段DC′的中点坐标． 【考点】关于原点对称的点的坐标 【分析】根据中点坐标公式求出D（2，6），根据关于原点对称求出C′（1，﹣6），最后利用中点坐标公式即可求解． 【解答】解：由中点可知，即D（2，6）， 根据关于原点对称求出C′（1，﹣6）， ∴线段DC′的中点坐标， ∴线段DC′的中点坐标． 【点评】本题考查了坐标与图形，线段中点坐标，两点关于原点对称的坐标关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式7-3】如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣3，0）． （1）图中B点的坐标是 　（﹣4，5）　 ； （2）点B关于原点对称的点C的坐标是 　（4，﹣5）　 ；点B关于y轴对称的点D的坐标是 　（4，﹣5）　 ； （3）△ABC的面积是 　15　 ； （4）在x轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABC，那么点F的所有可能位置是 　（﹣9，0）或（3，0）　 .（用坐标表示） 【考点】关于原点对称的点的坐标；三角形的面积；关于x轴、y轴对称的点的坐标 【分析】（1）根据坐标的意义即可得出点B的坐标； （2）根据关于原点对称的两个点坐标之间的关系可得出点B关于原点对称的点C的坐标，同理根据关于y轴对称的两个点坐标之间的关系得出点B关于y对称点D的坐标； （3）三角形ABC的面积等于三角形ABO面积的2倍即可，根据坐标可求出三角形ABC的面积； （4）三角形ABC的面积等于15，根据面积公式求出AF的长在计算F点坐标即可． 【解答】解：如图， （1）过点B作x轴的垂线，垂足所对应的数为﹣4，因此点B的横坐标为﹣4， 过点B作y轴的垂线，垂足所对应的数为5，因此点B的纵坐标为5， 所以点B（﹣4，5）； 故答案为：（﹣4，5）； （2）由于关于原点对称的两个点坐标纵横坐标均为互为相反数， 所以点B（﹣4，5）关于原点对称点C（4，﹣5）， 由于关于y轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，其纵坐标不变， 所以点B（﹣4，5）关于y轴对称点D（4，5）， 故答案为：（4，﹣5），（4，5）； （3）S△ABC＝2S△ABO＝23×5＝15， 故答案为：15； （4）因为S△ABC＝15， 所以AF•5＝15， ∴AF＝6， 又∵点F在x轴上，A（﹣3，0） ∴点F（﹣9，0）或（3，0）， 故答案为：（﹣9，0）或（3，0）． 【点评】本题考查点的坐标，关于x轴、y轴、原点对称的点坐标的关系，以及利用坐标求相应图形的面积，将坐标转化为线段的长是解决问题的关键． 题型八 坐标图形平移 【例8】坐标平面上的点C（x，y）向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，点C的坐标变为（2，﹣1），则原来的点C坐标为 　（3，﹣3）　 ． 【考点】坐标与图形变化﹣平移 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【解答】解：∵点C（x，y）向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，点C的坐标变为（2，﹣1）， ∴x﹣1＝2，y+2＝﹣1， ∴x＝3，y＝﹣3， ∴原来的点C坐标为（3，﹣3）． 故答案为：（3，﹣3）． 【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，正确记忆平移规律是解题关键． 【变式8-1】在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标是　（2，2）　 ． 【考点】坐标与图形变化﹣平移 【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可． 【解答】解：由题知， 将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B的坐标为（2，2）． 故答案为：（2，2）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 【变式8-2】△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出下列各点的坐标：A　（1，3）　 ，A′　（﹣3，1）　 ； （2）△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移得到的？ （3）求出△ABC的面积． 【考点】坐标与图形变化﹣平移；三角形的面积 【分析】（1）直接根据图象写成坐标即可； （2）直接根据图象写出平移方式即可； （3）利用割补法求面积即可． 【解答】解：（1）观察图形，则A（1，3），A′（﹣3，1）； 故答案为：（1，3），（﹣3，1）； （2）△A′B′C′是由△ABC经过向左平移4个单位，向下平移2个单位得到的； （3）． 故△ABC的面积为2． 【点评】本题考查了平面直角坐标系内的图形的平移与面积求解，解题关键是理解平面直角坐标系的概念，能准确观察图形的坐标变化． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（﹣1，1）．将三角形ABC平移，使点B与点O重合，得到三角形A′OC′，其中A，C的对应点分别为A′，C′． （1）画出三角形A′OC′； （2）在三角形ABC中，点P（a，b）经过平移后的对应点为P′，P′的坐标为　（a+4，b+1）　 ； （3）求在平移过程中，线段AC扫过的图形的面积． 【考点】坐标与图形变化﹣平移 【分析】（1）根据题意，画出图形即可． （2）根据（1）得出平移的方向和距离，据此表示出点P′的坐标即可． （3）利用“割补法”求出线段AC扫过的面积即可． 【解答】解：（1）如图所示， △A′OC′即为所求作的三角形． （2）由（1）知， 因为﹣4+4＝0，﹣1+1＝0， 所以向右平移了4个单位长度，向上平移了1个单位长度， 所以点P′的坐标为（a+4，b+1）． 故答案为：（a+4，b+1）． （3）由（1）中所画图形可知， 平移过程中，线段AC扫过的图形的面积为：3×59． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． 题型九 坐标图形对称 【例9】剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点A（﹣2，1）关于对称轴对称的点的坐标为（　　） A．（1，2） B．（2，1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣1） 【考点】坐标与图形变化﹣对称；坐标确定位置；关于x轴、y轴对称的点的坐标 【分析】根据所给图形得出图形的对称轴为y轴，再据此求出点A对称点的坐标即可． 【解答】解：由所给图形可知， 图中剪纸的对称轴为y轴， 因为点A坐标为（﹣2，1）， 所以点A关于对称轴对称点的坐标为（2，1）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣对称、坐标确定位置及关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟知关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【变式9-1】直角坐标系中，直线l是经过（0，1）且平行于x轴的直线，那么点（2，﹣3）关于直线l的对称点的坐标是 　（2，5）　 ． 【考点】坐标与图形变化﹣对称 【分析】先确定直线l的方程，再根据关于平行于x轴的直线对称的点的坐标特点求出对称点坐标． 【解答】解：∵直线l与x轴平行， ∴对称点的横坐标是2，纵坐标为1+[1﹣（﹣3）]＝5， ∴点（2，﹣3）关于直线l的对称点的坐标是（2，5）， 故答案为：（2，5）． 【点评】本题考查了平面直角坐标系中关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标特征知识点，解题的关键是掌握关于平行于x轴的直线对称的点的坐标变化规律． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣3，﹣3），B（﹣1，﹣2），C（﹣2，﹣1）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1． （2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2． （3）若△ABC内部一点P（m，n）在△A1B1C1中的对称点为P1，在△A2B2C2中的对称点为P2，请直接写出点P1，P2的坐标． 【考点】坐标与图形变化﹣对称 【分析】（1）分别作出△ABC三个顶点关于x轴的对称点，再顺次连接即可； （2）分别作出△ABC三个顶点关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （3）根据关于坐标轴对称的点的坐标特征求解． 【解答】解：（1）如图△A1B1C1为所求作； （2）如图△A2B2C2为所求作； （3）由（1）（2）可知：P1（m，﹣n），P2（﹣m，n）． 【点评】本题考查坐标与图形——轴对称变换，解题的关键是掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征． 【变式9-3】在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A（﹣4，5），C（﹣1，3），A1（4，5），B1（2，1），△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称． （1）在网格内完善平面直角坐标系； （2）点B坐标是 　（﹣2，1）　 ，点C1坐标是 　（1，3）　 ； （3）求△A1B1C1的面积． 【考点】坐标与图形变化﹣对称；三角形的面积；关于x轴、y轴对称的点的坐标 【分析】（1）根据A（﹣4，5），C（﹣1，3）确定原点位置，然后作出坐标系即可； （2）根据点B的位置写出点B的坐标即可，根据图形可知△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，即可得到点C1坐标； （3）割补法求出△A1B1C1的面积即可． 【解答】解：（1）如图所示：建立直角坐标系如下， 点A（﹣4，5），C（﹣1，3），A1（4，5），B1（2，1）， （2）由图可知，B（﹣2，1）， ∵A（﹣4，5），A1（4，5），B1（2，1）， ∴△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，如图， ∴C1（1，3）； 故答案为：（﹣2，1），（1，3）； （3）△A1B1C1的面积为． 【点评】本题考查的是坐标与图形变化﹣对称，三角形的面积，关于y轴对称的点的坐标，能根据已知点的坐标，确定原点的位置是解题的关键． 题型十 坐标图形旋转 【例10】如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1……依此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形OA2025B2025C2025，那么点A2025的坐标是　　 ． 【考点】坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标 【分析】根据旋转的性质，可得点A的运动轨迹，发现规律：即点A的位置每旋转8次一个循环，然后找到正方形OABC旋转2025次后点A的位置，再结合勾股定理即可求解． 【解答】解：∵360°÷45°＝8， ∴每旋转八次，点A的坐标循环出现． 因为2025÷8＝253⋯1， 所以点A2025的坐标与点A1的坐标相同． 如图：过点A1作A1D⊥x轴，交于点D， ∵正方形的边长为1，∠A1OD＝45°， 故， 故点A2025的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，点坐标的规律，勾股定理等，解题的关键是找到点A坐标的变化规律． 【变式10-1】如图，点A的坐标为（﹣4，4），点C的坐标为（﹣2，0），将线段CA绕点C逆时针旋转90°至CB，则点B的坐标是 　（﹣6，﹣2）　 ． 【考点】坐标与图形变化﹣旋转；全等三角形的判定与性质 【分析】分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，D，证明△ACE≌△CDB（AAS），得出DB＝EC＝2，DC＝AE＝4，求出DO＝DC+CO＝4+2＝6，即可得出点B的坐标． 【解答】解：如图，分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，D，则∠AEC＝∠CDB＝90°． 由条件可知CE＝2，AE＝4， 根据旋转可知：AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠BCD＝∠ACE+∠CAE＝90°， ∴∠BCD＝∠CAE， ∴△ACE≌△CDB（AAS）， ∴DB＝EC＝2，DC＝AE＝4， ∴DO＝DC+CO＝4+2＝6， ∴B（﹣6，﹣2）． 故答案为：（﹣6，﹣2）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，4），B（﹣2，0），将△OAB绕原点O顺时针旋转90°得到△OA'B'（A'，B'分别是A，B的对应点）． （1）点A′的坐标是　（4，2）　 ，点B′的坐标是　（0，2）　 ； （2）若点M（m，2）位于△OAB内（不含边界），点M′为点M绕原点O顺时针旋转90°的对应点，直接写出M′的纵坐标n的取值范围． 【考点】坐标与图形变化﹣旋转 【分析】（1）根据旋转的性质解答即可； （2）由旋转的性质可确定点M旋转后对应点M′在线段CD上，且不与点C，D重合，如图，然后作答即可． 【解答】解：（1）由旋转作图可知，点A′的坐标为（4，2），点B′的坐标是（0，2）， 故答案为：（4，2），（0，2）； （2）∵M（m，2），﹣2＜m＜﹣1， ∴旋转后对应点M′在线段CD上，且不与点C，D重合，如图， ∴1＜n＜2． 【点评】本题考查了旋转作图，旋转的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式10-3】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）． （1）将△ABC关于x轴作轴对称变换得△A1B1C1，则点C1的坐标为 　（3，﹣1）　 ． （2）将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°得△A2B2C2，则点C2的坐标为 　（﹣1，3）　 ． （3）求△CC1C2的面积为 　4　 ． 【考点】坐标与图形变化﹣旋转；坐标与图形变化﹣对称 【分析】（1）根据网格结构找出点A、C关于x轴的对称点A1、C1的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出点C1的坐标即可； （2）根据网格结构找出点A、B、C绕原点O逆时针旋转90°的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出点C2的坐标即可； （3）根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；点C1的坐标为（3，﹣1）； （2）△A2B2C2如图所示，点C2的坐标为（﹣1，3）； （3）△CC1C2的面积2×4＝4． 故答案为：（1）（3，﹣1）；（2）（﹣1，3）；（3）4． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转与对称，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 基础巩固通关测 1．如果点P（m+2，m﹣1）在直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为（　　） A．（3，0） B．（0，﹣2） C．（﹣3，0） D．（0，﹣3） 【考点】点的坐标 【分析】由y轴上点的坐标特点，横坐标为0，求出m的值，即可求点P的坐标． 【解答】解：∵点P（m+2，m﹣1）在y轴上， ∴m+2＝0， 解得m＝﹣2， ∴P的坐标为（0，﹣3）． 故选：D． 【点评】本题考查平面上点的坐标特点，熟练掌握y轴上点的坐标特点是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，点P（a，b）满足ab＝0，则P的位置是（　　） A．x轴 B．原点 C．y轴 D．坐标轴 【考点】点的坐标 【分析】根据ab＝0，得出a、b的值，分类讨论得出结果． 【解答】解：∵点P（a，b）且ab＝0， ∴a＝0或b＝0， 如果a＝0，点P在y轴上； 如果b＝0，点P在x轴上； 如果a＝0，b＝0，则点在坐标原点． 所以点P在坐标轴上． 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标．解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中坐标轴上的点的表示，x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0． 3．如图，在平面直角坐标系中，A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）……根据这个规律，探究可得点A2024的坐标是（　　） A．（2024，0） B．（2024，2） C．（2024，﹣2） D．（2024，1） 【考点】规律型：点的坐标 【分析】由图和已知点的坐标得到An的横坐标为n，纵坐标以2，0，﹣2，0四个为一组进行循环，进行求解即可． 【解答】解：由图和已知点的坐标得到An的横坐标为n，纵坐标以2，0，﹣2，0四个为一组进行循环， ∴A2024的横坐标为2024， ∵2024÷4＝506， ∴A2024的纵坐标为0， ∴A2024（2024，0）； 故选：A． 【点评】本题考查规律型：点的坐标，正确地找出规律是解题的关键． 4．点P在第四象限，点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（　　） A．（5，﹣2） B．（﹣2，5） C．（﹣5，2） D．（2，﹣5） 【考点】点的坐标 【分析】根据第四象限点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【解答】解：∵点P在第四象限内，P到x轴的距离是5，到y轴的距离是2， ∴点P的横坐标为2，纵坐标为﹣5， ∴点P的坐标为（2，﹣5）． 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标，掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 5．若点A（2，m）在x轴上，则点B（m﹣1，m﹣4）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】点的坐标 【分析】直接利用x轴上点的坐标性质得出m的值，进而得出B点坐标，再判断所在象限． 【解答】解：∵点A（2，m）在x轴上， ∴m＝0， ∴m﹣1＝﹣1，m﹣4＝﹣4， 故B（﹣1，﹣4），在第三象限． 故选：C． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键． 6．已知点P（2a﹣3，a+1）关于y轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是 　﹣1＜a　 ． 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；解一元一次不等式组 【分析】根据关于y轴对称的点确定出点P在第二象限，然后根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列不等式组求出a的取值范围． 【解答】解：∵点P（2a﹣3，a+1）关于y轴的对称点在第一象限， ∴点P在第二象限， ∴， 解得﹣1＜a． 故答案为：﹣1＜a． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 7．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（﹣2，0），线段BC是由线段BA绕点B逆时针旋转90°而得到的，则点C的坐标是 　（﹣6，2）　 ． 【考点】坐标与图形变化﹣旋转 【分析】过点C作CM⊥x轴于M，根据旋转变换的性质可得△ABO与△BCM全等，再根据全等三角形对应边相等求出OB、CM的长度，然后根据点C在第二象限即可得出结论． 【解答】解：过点C作CM⊥x轴于M，则∠CMB＝90°， 解：∵A（0，4），B（﹣2，0） ∴OB＝2，OA＝4； ∵线段BC是由线段BA绕点B逆时针旋转90°而得到， ∴∠CMB＝∠ABC＝∠AOB＝90°，BC＝BA ∴∠ABO+∠OAB＝90°，∠ABO+∠CBM＝90° ∴∠OAB＝∠CBM ∴△BCM≌△ABO， ∴BM＝AO＝4，CM＝OB＝2 ∴OM＝BM+OB＝6 ∵点C在第二象限， ∴C（﹣6，2） 故答案是：（﹣6，2）． 【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，利用全等三角形对应边相等求出点C到坐标轴的距离是解题的关键． 8．已知点P（3x﹣1，4﹣2x）在第一象限，且到坐标轴的距离和为4，则点P的坐标为 　（2，2）　 ． 【考点】点的坐标 【分析】根据点P（3x﹣1，4﹣2x）在第一象限内，且到两坐标轴的距离之和为4列方程求解即可． 【解答】解：∵点P（3x﹣1，4﹣2x）在第一象限内，且到两坐标轴的距离之和为4， ∴3x﹣1+4﹣2x＝4， 解得x＝1． 故点P的坐标为（2，2）． 故答案为：（2，2）． 【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 9．在电影票上，将“7排6号”表示为（7，6），那么“5排4号”应该表示为 　（5，4）　 ． 【考点】坐标确定位置 【分析】根据第一个数表示排数，第二个数表示号数解答． 【解答】解：∵“7排6号”表示为（7，6）， ∴“5排4号”应该表示为（5，4）． 故答案为：（5，4）． 【点评】本题考查了坐标确定位置，理解有序数对的两个数的实际意义是解题的关键． 10．已知点A（﹣1，3），AB∥y轴，线段AB＝5，则B点坐标为　（﹣1，8）或（﹣1，﹣2）　 ． 【考点】坐标与图形性质 【分析】AB与y轴平行，可知A、B两点的横坐标相同，又AB＝5，于是得到其纵坐标，即可求解． 【解答】解：∵AB与y轴平行， ∴A、B两点的横坐标相同， 又AB＝5， ∴A点纵坐标为：3+5＝8，或3﹣5＝﹣2， ∴A点的坐标为：（﹣1，8）或（﹣1，﹣2）． 故答案为：（﹣1，8）或（﹣1，﹣2）． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，掌握坐标与图形性质是解题的关键． 11．在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C'，位置如图所示． （1）分别写出点A，A'的坐标：A 　（1，0）　 ，A'　（﹣4，4）　 ． （2）请说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的． （3）若点M（m，4﹣n）是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M'的坐标为（2m﹣8，n﹣4），求m和n的值． 【考点】坐标与图形变化﹣平移 【分析】（1）根据已知图形可得答案； （2）由A（1，0）的对应点A′（﹣4，4）得平移规律，即可得到答案； （3）由（2）平移规律得出m、n的方程． 【解答】解：（1）由图知A（1，0），A'（﹣4，4）， 故答案为：（1，0），（﹣4，4）； （2）A（1，0）对应点的对应点A′（﹣4，4）得A向左平移5个单位，向上平移4个单位得到A′， 三角形A'B'C'是由三角形ABC向左平移5个单位，向上平移4个单位得到． （3）△ABC内M（m，4﹣n）平移后对应点M'的坐标为（m﹣5，4﹣n+4）， ∵M'的坐标为（2m﹣8，n﹣4）， ∴m﹣5＝2m﹣8，4﹣n+4＝n﹣4， ∴m＝3，n＝6． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，三角形面积公式，得出对应点位置是解题关键． 12．在平面直角坐标系中，点M（a﹣3，a+4），点N（，9）． （1）若点M在x轴上，求点M的坐标； （2）若MN∥y轴，求a的值． 【考点】坐标与图形性质 【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为零解答即可． （2）根据平行于y轴的线上的点的坐标横坐标相同解答即可． 【解答】解：（1）∵点M在x轴上， ∴a+4＝0， ∴a＝﹣4， ∴点M坐标（﹣4﹣3，0），即（﹣7，0）． （2）∵MN∥y轴， ∴a﹣3， ∴a3． 【点评】本题考查了点的坐标的性质，掌握坐标系中的各位置的点的坐标的特点是解题关键． 13．如图，有三个点A（﹣3，2）、B（﹣5，1）、C（﹣2，0），P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+5，b+2）． （1）写出点A1、B1、C1的坐标． （2）写出A点关于x轴对称的点的坐标 　（﹣3，﹣2）　 ；写出B点关于y轴对称的点的坐标 　（5，1）　 ． （3）求三角形ABC的面积． 【考点】坐标与图形变化﹣平移；三角形的面积；关于x轴、y轴对称的点的坐标 【分析】（1）由平移之后点P的对应点为P1的坐标即可知平移的方式，即可得出点A1、B1、C1的坐标； （2）根据关于坐标轴对称的点的坐标特征即可解答； （3）利用矩形面积减去三个三角形的面积进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由平移之后点P的对应点为P1的坐标即可知， △ABC先向右平移5个单位，又向上平移2个单位， ∴A1（2，4），B1 （0，3），C1（3，2）； （2）A点关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣2），B点关于y轴对称的点的坐标为（5，1）， 故答案为：（﹣3，﹣2），（5，1）； （3）由题意得： △ABC的面积＝3×21×21×21×3， ∴△ABC的面积为． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，关于x轴、y轴对称点的坐标，三角形的面积，掌握坐标与图形变化规律是解题的关键． 14．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知A（1，3），B（﹣3，﹣5），试求A，B两点间的距离； （2）已知线段MN∥y轴，MN＝4，若点M的坐标为（2，﹣1），试求点N的坐标． 【考点】两点间的距离公式 【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算； （2）利用MN∥y轴得到M、N的横坐标相同，设N（2，t），利用两点间的距离为4得到|t+1|＝4，然后求出t即可． 【解答】解：（1）A，B两点间的距离； （2）∵线段MN∥y轴， ∴M、N的横坐标相同， 设N（2，t）， ∴|t+1|＝4，解得t＝3或﹣5， ∴N点坐标为（2，3）或（2，﹣5）． 【点评】本题考查了两点间的距离，读懂题干，正确运用公式是解题的关键． 15．在平面直角坐标系中，已知点M（2﹣m，1+2m）． （1）若点M在y轴上，求m的值； （2）若点M到y轴的距离是3，求m的值； （3）若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值． 【考点】点的坐标 【分析】（1）由点M在y轴上，得到横坐标为0，求出m的值即可； （2）根据M到y轴的距离为3，得到横坐标的绝对值为3，求出m的值即可； （3）根据M在第一、三象限的角平分线上，得到M横纵坐标相等，求出m的值即可． 【解答】解：（1）∵M（2﹣m，1+2m）在y轴上， ∴2﹣m＝0， 解得m＝2； （2）∵M（2﹣m，1+2m）到y轴的距离是3， ∴|2﹣m|＝3，即2﹣m＝3或2﹣m＝﹣3， 解得m＝﹣1或m＝5； （3）∵M（2﹣m，1+2m）在第一、三象限的角平分线上， ∴2﹣m＝1+2m， 解得m． 【点评】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到两坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及在坐标轴上的点的性质． 能力提升进阶练 1．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），B（﹣4，0），C（8，8），D（﹣4，12），点E在x轴上，满足∠BED＝∠DEC，则点E的坐标为（　　） A．（2，0） B．（6，0） C．（8，0） D．（2，0）或（8，0） 【考点】坐标与图形性质 【分析】两种情况： （1）作DT垂直⊥AC于T点，得正方形，利用正方形的性质可得结论； （2）过D作DH⊥CE于H，利用角平分线的性质与勾股定理可得结论． 【解答】解：分两种情况： （1）如图，过D作DT⊥AC于T， ∵A（8，0），B（﹣4，0），C（8，8），D（﹣4，12）， ∴∠DBA＝∠BAT＝∠ATD＝90°，BD＝BA＝12， ∴四边形ABDT是正方形， 连接AD，则∠BAD＝∠TAD＝45°， ∴E，A重合时，有∠BED＝∠DEC， ∴E点的坐标为（8，0）； （2）2如图，过D作DH⊥EC于H， ∵∠BED＝∠DEC，DB⊥BE， ∴DB＝DH＝12， 又∵DE＝DE， ∴Rt△BDE≌Rt△HDE（HL）， ∴HE＝BE， 由（1）知四边形ABDT是正方形， ∴BD＝DT＝AB＝AT＝12， ∴DH＝DT＝12， 又∵CD＝CD， ∴Rt△DTC≌Rt△DHC（HL）， ∴CT＝CH， ∵AC＝8， ∴CT＝CH＝AT﹣AC＝4， 设BE＝x，则HE＝x， ∴CE＝HE+CH＝x+4， AE＝AB﹣BE＝12﹣x， 在Rt△AEC中，由勾股定理可得： AE2+AC2＝CE2，即：（12﹣x）2+82＝（x+4）2， 解得：x＝6， ∴BE＝6， ∴OE＝BE﹣OB＝6﹣4＝2， 此时E（2，0）， 综上所述：E（2，0）或（8，0）， 故答案选：D． 【点评】本题考查正方形的性质，角平分线的性质，平面直角坐标系内点的坐标特征，还有斜边直角边公理，勾股定理的计算，掌握相关知识点是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，点A（0，6），点 B（﹣6，0），坐标轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C一共有（　　）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】坐标与图形性质 【分析】分别讨论当BC＝AB、AC＝AB和AC＝BC时三种情况下，坐标轴上有几个这样的C点即可． 【解答】解：当BC＝AB时，以点B为圆心、AB为半径画圆，与坐标轴分别交于点C1、C2、C3（不包括点A）． 当AC＝AB时，以点A为圆心、AB为半径画圆，与坐标轴分别交于点C4、C5、C6（不包括点B）． 当AC＝BC时，点C应该在AB的垂直平分线上． ∵OA＝OB， ∴点O在AB的垂直平分线上． 综上，这样的C点共有7个，分别是点C1、C2、C3、C4、C5、C6、O． 故答案为：C． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，一定要考虑到所有情况． 3．已知两点A（a，5），B（﹣1，b）且直线AB∥x轴，则（　　） A．a可取任意实数，b＝5 B．a＝﹣1，b可取任意实数 C．a≠﹣1，b＝5 D．a＝﹣1，b≠5 【考点】坐标与图形性质 【分析】根据平行于x轴的直线纵坐标相等解答可得． 【解答】解：∵AB∥x轴， ∴b＝5，a≠﹣1， 故选：C． 【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握平面内点的坐标的特点是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，RtΔOA1C1，RtΔOA2C2，RtΔOA3C3，RtΔOA4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝⋯＝30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4…，则依此规律，点A2024的纵坐标为（　　） A．0 B． C． D． 【考点】规律型：点的坐标 【分析】根据∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝⋯＝30°，OA1＝OC2＝3，在RtΔOA2C2中，cos30°，则OA2OC2＝3，同理可得：OA3OC3＝3×（）2，OA2024＝3×（）2023，根据2024÷4＝506，可知点A2024在y轴的负半轴上，因此点A2024的纵坐标为：﹣3×（）2023． 【解答】解：∵∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝⋯＝30°，OA1＝OC2＝3，在RtΔOA2C2中， cos30°， 则OA2OC2＝3， 同理可得：OA3OC3＝3×（）2， OA4OC4＝3×（）3， ⋯， ∴OA2024＝3×（）2023， ∵2024÷4＝506， ∴点A2024在y轴的负半轴上， ∴点A2024的纵坐标为：﹣3×（）2023， 故选：D． 【点评】本题考查的是点的坐标，熟练找出点的坐标间的变化规律是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，点C是y轴正半轴上的点，BC⊥AC于点C．已知AC＝16，BC＝6．点B到原点的最大距离为（　　） A．22 B．18 C．14 D．10 【考点】坐标与图形性质 【分析】取AC的中点D，连接OD，BD，OB，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得OD，利用勾股定理求得BD，利用三角形两边之和大于第三边，可知当O，D，B三点在一条直线上时，点B到原点的距离取得最大值，结论可求． 【解答】解：取AC的中点D，连接OD，BD，OB，如图， ∵D为AC的中点，∠AOC＝90°， ∴OD＝CDAC＝8． ∵∠ACB＝90°， ∴BD10． 当O，D，B三点不在一条直线上时，OB＜OD+BD＝8+10＝18， 当O，D，B三点在一条直线上时，OB＝OD+BD＝8+10＝18， ∴当O，D，B三点在一条直线上时，点B到原点的最大距离为18． 故选：B． 【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形三边之间的关系定理，利用当O，D，B三点在一条直线上时，点B到原点的距离取得最大值解答是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，设一动点P自P0（2，0）处向下运动1个单位长度至P1（2，﹣1）处，然后向左运动2个单位长度至P2（0，﹣1）处，再向上运动2个单位长度至P3（0，1）处，再向左运动2个单位长度至P4（﹣2，1）处，再向下运动2个单位长度至P5（﹣2，﹣1）处，…如此继续运动下去，设Pn（xn，yn）（n＝1，2，⃯，n），则P8的坐标是 　（6，1）　 ，P2024的坐标是 　（﹣2022，1）　 ． 【考点】坐标与图形变化﹣平移；规律型：点的坐标 【分析】根据点P的运动方式，依次求出点Pi的坐标，发现规律即可解决问题． 【解答】解：根据点P的运动方式可知， 点P1的坐标为（2，﹣1）； 点P2的坐标为（0，﹣1）； 点P3的坐标为（0，1）； 点P4的坐标为（﹣2，1）； 点P5的坐标为（﹣2，﹣1）； 点P6的坐标为（﹣4，﹣1）； 点P7的坐标为（﹣4，1）； 点P8的坐标为（﹣6，1）； 点P9的坐标为（﹣6，﹣1）； …， 由此可见，点P4n﹣3的横坐标为﹣4n+6，纵坐标为﹣1． 当n＝507时， 4n﹣3＝4×507﹣3＝2025， ﹣4n+6＝﹣4×507+6＝﹣2022， 所以点P2025的坐标为（﹣2022，﹣1）， 所以点P2024的坐标为（﹣2022，1）． 故答案为：（﹣6，1），（﹣2022，1）． 【点评】本题考查点的坐标变化规律，能通过计算发现点Pi坐标变化的规律是解题的关键． 7．已知点A的坐标是A（﹣2，4），线段AB∥y轴，且AB＝5，则B点的坐标是　（﹣2，﹣1）或（﹣2，9）　 ． 【考点】坐标与图形性质 【分析】根据A的坐标和AB∥y轴确定横坐标，根据AB＝5可确定B点的纵坐标． 【解答】解：∵线段AB∥y轴，A的坐标是A（﹣2，4）， ∴B点的横坐标为﹣2， 又∵AB＝5， ∴B点的纵坐标为﹣1或9， ∴B点的坐标为（﹣2，﹣1）或（﹣2，9）， 故答案为：（﹣2，﹣1）或（﹣2，9）． 【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，分情况确定点的位置是解题的关键，不要遗漏． 8．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣1，3）的“长距”为 　3　 ； （2）若点B（4a﹣1，﹣3）是“完美点”，则a的值为 　1或　 ． 【考点】点的坐标 【分析】（1）根据长距的定义，进行判断即可； （2）根据完美点的定义，列出方程进行求解即可． 【解答】解：（1）∵|﹣1|＝1，|3|＝3，3＞1， ∴点A（﹣1，3）的“长距”为3； 故答案为：3； （2）由题意，得：|4a﹣1|＝|﹣3|， ∴4a﹣1＝3或4a﹣1＝﹣3； ∴a＝1或； 故答案为：1或． 【点评】本题考查点到坐标轴的距离，熟练掌握该知识点是关键． 9．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，线段AD绕点A在平面内旋转，射线BD与y轴交于点E．若AD＝1，则E点纵坐标的最小值为　　 ，最大值为　　 ． 【考点】坐标与图形变化﹣旋转【分析】点D的轨迹是以A为圆心，AD长度为半径的圆，当BD相切于圆A时，可取最大值和最小值，逐一计算即可． 【解答】解：点D的轨迹是以A为圆心，AD长度为半径的圆，当BD相切于圆A时，可取最大值和最小值， 如图，当BD相切于圆A切点D在下方时，E点纵坐标的最小，过点D作DN⊥BC，过点A作AM⊥MN交于点M， ∵△ABC的顶点坐标分别为， ∴AB， ∵∠ADB＝90°， ∴，∠ADM+∠BDN＝90°， 由条件可知∠MAD＝∠NDB， ∵∠AMD＝∠DNB＝90°， ∴△AMD∽△DNB， ∴， 设AM＝a，则DN＝3a， 根据题意可得四边形AMNO为矩形， ∴， ∴， 可得BN﹣NO＝BN﹣AM＝BO，即， 解得， ∴， ∵EO∥DN， ∴△BEO∽△BDN， ∴， ∴， 如图，当BD相切于圆A切点D在下方时，E点纵坐标的最大，过点D作DQ⊥OE，过点B作BP⊥PQ交于点P， 同理可得BD＝3，△BPD∽△DQA， ∴， 设AQ＝m，PD＝3m，，， 可得， 解得， ∴，，， ∵PB∥EQ， ∴△PDB∽△QDE， ∴， ∴， ∴， 综上所述E点纵坐标的最小值为，最大值为， 故答案为：；． 【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，正确画出图形，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 10．如图，在第一象限内有两点P（m﹣2，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ平移使点P，Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 　（0，3）或（﹣2，0）　 ． 【考点】坐标与图形变化﹣平移 【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况进行讨论：①P′在y轴上，Q′在x轴上；②P′在x轴上，Q′在y轴上． 【解答】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′． 分两种情况： ①P′在y轴上，Q′在x轴上， 则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0， ∵0﹣（n﹣3）＝﹣n+3， ∴n﹣n+3＝3， ∴点P平移后的对应点的坐标是（0，3）； ②P′在x轴上，Q′在y轴上， 则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0， ∵0﹣m＝﹣m， ∴m﹣2﹣m＝﹣2， ∴点P平移后的对应点的坐标是（﹣2，0）； 综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，3）或（﹣2，0）． 故答案为：（0，3）或（﹣2，0）． 【点评】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 11．已知当m，n都是实数，且满足2m＝4+n时，称点为“如意点”． （1）当m＝2时，写出“如意点”：　（1，1）　 ； （2）判断点A（3，3）是否为“如意点”，并说明理由； （3）若点M（a，2a﹣1）是“如意点”，请判断点M在第几象限，并说明理由． 【考点】点的坐标 【分析】（1）根据“如意点”的定义解答即可； （2）根据“如意点”的定义计算判断即可； （3）根据“如意点”的定义可得m＝a+1，n＝4a﹣4，结合满足的条件可求出a，进而可得答案． 【解答】解：（1）当m＝2时，4＝4+n， 解得n＝0， ∴， ∴“如意点”为（1，1）； 故答案为：（1，1）； （2）点A（3，3）是“如意点”． 理由如下： 当m﹣1＝3时，m＝4． 将m＝4代入2m＝4+n， 解得n＝4， ∴， ∴点A（3，3）是“如意点”． （3）点M在第一象限． 理由如下： ∵点M（a，2a﹣1）是“如意点”， ∴m﹣1＝a，， ∴m＝a+1，n＝4a﹣4． 又∵2m＝4+n，即2（a+1）＝4+4a﹣4， 解得a＝1， ∴点M的坐标为（1，1）， ∴点M在第一象限． 【点评】本题考查了点的坐标，正确理解“如意点”的定义是解题的关键． 12．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，1），点B（m，m），其中m＞1． （1）如图1，若∠ABO＝30°，求m的值． （2）如图2，点P是x轴正半轴上一点，PA⊥PB，AB交y轴于点D，AC⊥OD于点C，求（PD+CD）的值．（用含m的式子表示） 【考点】坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质 【分析】（1）首先判断出OA⊥OB，然后根据∠ABO＝30°，判断出OB、OA的关系，即可求出m的值是多少． （2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，设PN＝x，则OP＝m﹣x，MP＝m﹣x+1，根据相似三角形的判定得出△APM∽△PBN，求出x的值，从而得出PN＝1，在△APM和△PBN中，根据AAS得出△APM≌△PBN，得出PA＝PB，得出点P的坐标为（m﹣1，0）；设AB的解析式为y＝kx+b，把A、B点的坐标代入，求出k，b的值，得出点D坐标，再求出PD，CD即可解决问题； 【解答】解：（1）连接AO， ∵点A（﹣1，1），点B（m，m）， ∴OA所在的直线的解析式是y＝﹣x，OB所在的直线的解析式是y＝x， ∴OA⊥OB， 又∵∠ABO＝30° ∴OBOA， ∵点A（﹣1，1），点B（m，m）， ∴OA，OBm， ∴m， ∴m． （3）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N， 设PN＝x，则OP＝m﹣x，MP＝m﹣x+1， ∵PA⊥PB， ∴∠APM+∠BPN＝90°， ∵∠APM+∠PAM＝90°， ∴∠BPN＝∠PAM， ∴△APM∽△PBN， ∴， ∴， ∴x1＝1，x2＝m（舍去）， ∴PN＝1， ∴AM＝PN， 在△APM和△PBN中， ， ∴△APM≌△PBN， ∴PA＝PB， ∴点P的坐标为（m﹣1，0）， 设AB的解析式为：y＝kx+b， ， 解得：k，b， ∴yx， ∴D（0，）， ∴PD，CD1， ∴PD+CDm． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质，关键是根据题意作出辅助线，求出点P的坐标． 13．如图，三角形A1B1C1是由三角形ABC平移后得到的，已知三角形ABC中任意一点P（x0，y0），经平移后对应点为P1（x0﹣6，y0﹣2）． （1）已知A（2，6），B（1，3），（5，3），Q（3，5），请写出A1，B1，C1，Q1的坐标； （2）试说明三角形A1B1C1是如何由三角形ABC得到的？ 【考点】坐标与图形变化﹣平移 【分析】（1）利用点P平移的规律，即可得出答案； （2）利用点P平移的规律确定三角形平移的规律， 【解答】解：（1）∵三角形ABC中任意一点P（x0，y0），经平移后对应点为P1（x0﹣6，y0﹣2）， ∴点P先向左平移6个单位，再向下平移2个单位得到点P1， ∴A1（﹣4，4），B，（﹣5，1），C；（﹣1，1），Q（﹣3，3）； （2）∵三角形ABC中任意一点P（x0，y0），经平移后对应点为P1（x0﹣6，y0﹣2）， ∴三角形A1B1C1是如何由三角形ABC先向左平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握平移变换的规律． 14．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度： 【问题情境】 在平面直角坐标系中有不重合的两点M（x1，y1）和点N（x2，y2），若x1＝x2，则MN∥y轴，且线段MN的长度为|y1﹣y2|若y1＝y2，则MN∥x轴，且线段MN的长度为|x1﹣x2|； 【实践操作】 （1）若点M（﹣1，1）、N（2，1），则MN∥x轴，MN的长度为 　3　 ；若点M（1，0），且MN∥y轴，且MN＝2，则点N的坐标为 　（1，﹣1）或N（1，3）　 ． 【拓展应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），B（0，2），C（0，﹣3）． ①如图1，求△ABC的面积； ②如图2，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标． 【考点】坐标与图形变化﹣平移；坐标确定位置；三角形的面积 【分析】（1）根据材料给的与坐标轴平行直线上两点的距离公式求解即可； （2）①先计算BC，OA，再利用面积公式计算即可； ②设D（m，n），由等积法，得到m＝2n﹣4，再结合图形，利用S△AOC+S△AOE+S△COE＝S△ACE得到点D的坐标． 【解答】解：（1）∵M（﹣1，1），N（2，1），MN∥x， ∴MN＝2﹣（﹣1）＝3， ∵M（1，0），MN∥y轴， ∴|0﹣yN|＝2， ∴yN＝﹣2或yN＝2，N（1，﹣2）或N（1，2）； 故答案为：3；（1，﹣2）或N（1，2）； （2）①∵A（﹣4，0），B（0，2），C（0，﹣3）， ∴BC＝2﹣（﹣3）＝5，OA＝4，， ②连接OD，OE， 设D（m，n）， ∵S△AOB＝S△AOD+S△DOB， ∴， ∴m＝2n﹣4， ∵点D向右平移4个单位长度得到E点， ∴E（2n，n）， ∵S△AOC+S△AOE+S△COE＝S△ACE， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的性质，平移的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 15．已知，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A（a，b）满足，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C． （1）a＝　6　 ，b＝　3　 ，点C坐标为　（0，﹣3）　 ； （2）如图1，点D（m，n）是射线CB上一个动点，过点A作直线l∥x轴，在l上取点M，使得MA＝2，若△CDM的面积为4，请求出点D的坐标． （3）如图2，以OB为边作∠BOG＝∠AOB，交线段BC于点G，E是线段OB上一动点，连接CE交OG于点F，当点E在线段OB上运动过程中，的值是否发生变化？若变化请说明理由，若不变，求出其值． 【考点】坐标与图形变化﹣平移；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；平行线的性质 【分析】（1）利用二次根式，绝对值的定义即可求解； （2）①作辅助线DM、DN，用“面积和差（S△BOC＝S△BOD+S△COD）”建立等式，推导m、n关系；②分M在A左、右侧，用面积法列方程求解D坐标． （3）利用平行线的性质、三角形外角的性质证明即可． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A（a，b）满足， ∴b﹣3＝0，a﹣6＝0， ∴b＝3，a＝6， ∵AB＝OC＝3，且C在y轴负半轴上， ∴C（0，﹣3） 故答案为：6，3，（0，﹣3）． （2）①如图，DN⊥y轴于N，过D作DH⊥x轴于H，连接OD． ∵D（m，n），C（0，﹣3），A（6，3），AB⊥x轴， ∴OB＝6，OC＝3，ND＝m，MD＝﹣n（D纵坐标为负 ）， △BOC面积：． 又S△BOC＝S△BOD+S△COD，其中： ， ． ∴， ∴m﹣2n＝6． 如图1﹣1，设直线AM交y轴于T，连接DT、CM、CM′． 当M在A左侧时： 由m﹣2n＝6，得，即． 根据S△CDM＝S△CTD+S△MTD﹣S△CTM＝4，代入坐标关系列方程： ， 解得m＝2，则D（2，﹣2）． 当M在A右侧时： 同上述面积法思路，可得D（4，﹣1）． 综上，D坐标为（2，﹣2）或（4，﹣1）． （3）的值不变，值为2．理由如下： ∵线段OC是由线段AB平移得到， ∴BC∥OA， ∴∠AOB＝∠OBC， 又∵∠BOG＝∠AOB， ∴∠BOG＝∠OBC， 根据三角形外角性质，可得∠OFC＝∠FCG+∠OGC，∠OGC＝2∠OBC， ∴∠OFC+∠FCG＝2∠FCG+2∠OBC ＝2（∠FCG+∠OBG） ＝2∠OEC， ∴． 【点评】本题考查了二次根式、绝对值的意义，平行线的性质及平移的性质，解决问题的关键是作出辅助线，用面积法、角的和差关系、以及平行线的性质求解． 62 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 图形与坐标（复习讲义） 课标要求：从生活实例（如电影院座位、地图导航）中抽象出平面直角坐标系的模型，通过坐标描述图形的位置与运动，掌握点平移、对称的坐标变化规律等核心性质；核心在于培养数形结合思想与空间观念 中考命题： 基础题 (占比约70%)：直接求点的坐标、点对称与平移后的坐标、图形面积的简单计算。 中档题 (占比约20%)：根据坐标特征确定点的位置（如象限内、坐标轴上），求满足条件的点坐标。 压轴题 (占比约10%)：坐标系中的动态几何问题（如动点构成等腰三角形、平行四边形存在性问题） 备考关键： ✅ 概念零混淆（区分点的坐标与点到坐标轴的距离）； ✅ 变换抓规律（牢记平移、对称的坐标变化口诀）； ✅  作图保规范（在坐标系中作图需精准，辅助线用虚线） 层级 训练重点 典型例题 基础层 1. 根据点的位置写坐标，根据坐标描点。 2. 求点平移、轴对称后的坐标。 3. 计算简单规则图形（如矩形、三角形）的面积。 1. 已知点A(2, -3)，求它关于x轴对称的点A'的坐标，再将它向上平移4个单位，求点A''的坐标。 2. 已知A(-1, 0), B(3, 0), C(0, 2)，求△ABC的面积。 进阶层 1. 探索并建立坐标系，用坐标表示地理位置。 2. 求坐标系中不规则图形的面积（常用割补法）。 3. 根据点的坐标特征（如到坐标轴距离相等）求参数。 1. 如图，建立一个平面直角坐标系，使“中心广场”的坐标为(0, 0)，写出“图书馆”和“科技馆”的坐标。 2. 已知点P(2a-1, a+3)到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，求点P的坐标。 拓展层 1. 坐标系中的动态问题与存在性问题。 2. 坐标系与函数、几何图形的综合应用。 1. (动态问题) 在平面直角坐标系中，点P从原点出发，每秒移动1个单位，沿x轴正方向运动。t秒后，是否存在t，使△OPA为等腰三角形？若存在，求出t值。 2. (存在性问题) 在平面直角坐标系中，已知A(1,1), B(4,2), C(2,4)，在坐标平面内是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标。 知识点 重点归纳 常见易错点 平面直角坐标系 1. 构成：两条互相垂直、原点重合的数轴（x轴-横轴，y轴-纵轴）。 2. 象限：由两轴分成四个象限，坐标符号规律： - 第一象限(+, +)；第二象限(-, +) - 第三象限(-, -)；第四象限(+, -) 3. 坐标轴上的点：x轴上(x, 0)；y轴上(0, y)。 1. 混淆坐标顺序：误将(y, x)作为点的坐标。 2. 记错象限符号：如误认为第二象限为(+, -)。 3. 忽略坐标轴：认为点一定在象限内，忽略在坐标轴上的情况。 点的坐标特征 1. 点到x轴的距离 = |纵坐标| 2. 点到y轴的距离 = |横坐标| 3. 角平分线上的点： - 一、三象限：横、纵坐标相等 (y=x) - 二、四象限：横、纵坐标互为相反数 (y=-x) 4. 平行于坐标轴的直线： - 平行于x轴：纵坐标相同 - 平行于y轴：横坐标相同 1. 混淆距离与坐标：将点到x轴的距离误认为是横坐标的绝对值。 2. 忽略绝对值：求距离时未加绝对值符号。 3. 角平分线性质记反：误以为二、四象限角平分线上点满足y=x。 图形变换与坐标 口诀： 1. 平移：左减右加（x），上加下减（y）。 2. 对称： - 关于x轴对称：横不变，纵相反 - 关于y轴对称：纵不变，横相反 - 关于原点对称：横纵皆相反 1. 平移方向混淆：将“左减右加”误用于y坐标。 2. 对称规律记错：如关于x轴对称时，误将横坐标取相反数。 3. 综合变换出错：进行多次变换时，顺序错误或规律应用混乱。 坐标与图形面积 1. 规则图形：利用公式直接计算。 2. 不规则图形：常用割补法（将图形补成规则图形或分割成几个规则图形）。 3. 关键：找出决定图形形状的关键点的坐标。 1. 坐标与长度转化错误：未将坐标差转化为线段的实际长度。 2. 割补法使用不当：分割或填补后，多算或漏算部分面积。 3. 找不到关键点：无法从复杂图形中提取出用于面积计算的关键坐标。 坐标系中的几何问题 1. 建立坐标系：为使计算简便，常将图形的一个顶点放在原点，一边放在坐标轴上。 2. 常见问题： - 求满足条件的点坐标（如构成等腰三角形、平行四边形）。 - 动态问题（动点运动形成的面积或特殊图形）。 1. 坐标系建立不当：导致后续计算复杂。 2. 分类讨论遗漏：如动点构成等腰三角形时，未分情况讨论哪两边相等。 3. 忽略实际意义：动点问题中，未考虑点运动范围或时间限制。 题型一 确定坐标方法 【例1】如图是某市部分区域平面示意图，若汽车站的坐标为（﹣1，0），图书馆的坐标为（5，﹣2），则公园的坐标为（　　） A．（﹣3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣1，3） D．（0，﹣2） 【变式1-1】2025年第九届亚洲冬季运动会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，若建立适当的平面直角坐标系，点P的坐标为（2，0），点Q的坐标为（﹣1，2），则点M的坐标为 　 　 ． 【变式1-2】围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为A（﹣2，4），B（1，2）． （1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）分别写出C、D两颗棋子的坐标； （3）有一颗黑色棋子E的坐标为（3，﹣1），请在图中画出黑色棋子E． 【变式1-3】在网格中，每个小方格边长为1cm，请完成下列各个问题． （1）已知用数对表示C点的位置为（5，1），那么用数对表示A点的位置：A（　 　 ，　 　 ） （2）已知D点的位置是（7，4），请标出D点的位置； （3）顺次连结A、B、C、D四个点，得到四边形ABCD，请在网格中画出四边形ABCD． ①四边形ABCD的面积是　 　 平方厘米； ②请在网格中画一个与四边形ABCD面积相等的三角形． 题型二 点的坐标 【例2】在平面直角坐标系中，点P（﹣2024，2025）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-1】在平面直角坐标系中，点P（﹣2，a）在第二象限，则a的值可能为（　　） A．﹣2 B．3 C．0 D． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，已知点P（a﹣2，a）． （1）若点P在y轴上，求点P的坐标； （2）若点P在第三象限，且点P到x轴的距离是9，求点P的坐标． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，有一点P（2x﹣1，3x）． （1）若点P在y轴上，求x的值； （2）若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标． 题型三 点的坐标规律性问题 【例3】在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示． （1）填写下列各点的坐标：A20（　 　 ，　 　 ）； （2）写出点A4n的坐标（n是正整数）A4n（　 　 ，　 　 ）； （3）求出A2025的坐标． 【变式3-1】探索规律：点P1（1，1），P2（2，4），P3（3，9），P4（4，16），…，按此规律，求： （1）点P5的坐标； （2）点Pₙ的坐标（n为正整数）； （3）若点Pₙ到x轴的距离为625，求n的值． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点A0（0，1）出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点A1（2，0），第2次移动到点A2（3，2），第3次移动到点A3（5，1），第4次移动到点A4（6，3），…． （1）第5次移动到点A5的坐标为　 　 ；第12次移动到点A12的坐标为　 　 ； （2）第2n次移动到点A2n的坐标为　 　 ，第2n+1次移动到点A2n+1的坐标为　 　 ；（用含自然数n的代数式表示） （3）若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母A及下标表示出该点，并写出其坐标． 【变式3-3】在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右…的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示． （1）填写下列各点的坐标：A4（　 　 ，　 　 ），A8（　 　 ，　 　 ），A18（　 　 ，　 　 ）； （2）写出点A4n的坐标（n为正整数）； （3）指出蚂蚁从点A2023到点A2024的移动方向． 题型四 坐标与图形性质 【例4】已知平面直角坐标系中有A（﹣3，a）和B（b，﹣2）两点，且点B位于第三象限，AB＝4且直线AB∥x轴，则2a﹣b＝（　　） A．3 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣5或3 【变式4-1】在平面直角坐标系中点M（﹣3，1），N（﹣1，4），直线MN与x轴交于点P，则点P坐标为 　 　 ． 【变式4-2】已知点M（3a﹣2，a+6），分别根据下列条件求出点M的坐标． （1）点M在y轴上； （2）点N的坐标为（3，6），直线MN∥y轴； （3）点M到x轴、y轴的距离相等． 【变式4-3】已知点P（2m﹣6，m+2）是平面直角坐标系中的点． （1）若点P在y轴上，则点P的坐标为 　 　 ； （2）若点P在第一、三象限的角平分线上，则点P的坐标为 　 　 ； （3）已知点Q（5，3），且PQ∥x轴，求点P的坐标． 题型五 两点之间距离公式 【例5】已知A（6，﹣3），B（﹣2，4），C（2，﹣1），，则　 　 ． 【变式5-1】线段AB的长为5，点A在平面直角坐标系中的坐标为（3，﹣2），点B的坐标为（3，y），则y＝　 　 ． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+1），B（a﹣1，4），C（b﹣2，b）三点． （1）当点C在y轴上时，求点C的坐标； （2）当AB∥x轴时，求A，B两点间的距离． 【变式5-3】阅读材料： 两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离，则． 例如： 若点A（4，1），B（3，2），则， 若点A（a，1），B（3，2），且，则． 根据实数章节所学的开方运算即可求出满足条件的a的值． 根据上面材料完成下列各题： （1）若点A（﹣2，3），B（m，2） ①若m＝1，则A、B两点间的距离是 　 　 ． ②若AB∥y轴，则A、B两点间得距离是 　 　 ． （2）若点A（﹣2，3），点B在x轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标． 题型六 关于坐标轴对称问题 【例6】在平面直角坐标系中，点P（﹣2，a）与点Q（b，3）关于x轴对称，则﹣a+b的值为 　 　 ． 【变式6-1】在平面直角坐标系中，点（﹣4，﹣1）关于y轴的对称点的坐标为　 　 ． 【变式6-2】已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）． （1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； （2）若点A，B关于y轴对称，求（4a+b）2022的值． 【变式6-3】已知点A（a，3）、B（﹣4，b），试根据下列条件求出a、b的值． （1）A、B两点关于y轴对称； （2）A、B两点关于x轴对称； （3）AB∥x轴； （4）A、B两点在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上． 题型七 关于原点对称问题 【例7】在平面直角坐标系中，点A（﹣5，b）关于原点对称的点为B（a，6），则（a+b）2024＝ 　 　 ． 【变式7-1】已知点P（a+1，1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是　 　 ． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为，现有A（3，8），B（1，4），C（﹣1，6）三点，点D为线段AB的中点，点C′为点C关于原点对称的点，求线段DC′的中点坐标． 【变式7-3】如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣3，0）． （1）图中B点的坐标是 　 　 ； （2）点B关于原点对称的点C的坐标是 　 　 ；点B关于y轴对称的点D的坐标是 　 　 ； （3）△ABC的面积是 　 　 ； （4）在x轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABC，那么点F的所有可能位置是 　 　 .（用坐标表示） 题型八 图形坐标平移 【例8】坐标平面上的点C（x，y）向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，点C的坐标变为（2，﹣1），则原来的点C坐标为 　 　 ． 【变式8-1】在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标是　 　 ． 【变式8-2】△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出下列各点的坐标：A　 　 ，A′　 　 ； （2）△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移得到的？ （3）求出△ABC的面积． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（﹣1，1）．将三角形ABC平移，使点B与点O重合，得到三角形A′OC′，其中A，C的对应点分别为A′，C′． （1）画出三角形A′OC′； （2）在三角形ABC中，点P（a，b）经过平移后的对应点为P′，P′的坐标为　 　 ； （3）求在平移过程中，线段AC扫过的图形的面积． 题型九 坐标图形对称 【例9】剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点A（﹣2，1）关于对称轴对称的点的坐标为（　　） A．（1，2） B．（2，1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣1） 【变式9-1】直角坐标系中，直线l是经过（0，1）且平行于x轴的直线，那么点（2，﹣3）关于直线l的对称点的坐标是 　 　 ． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣3，﹣3），B（﹣1，﹣2），C（﹣2，﹣1）． （1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1． （2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2． （3）若△ABC内部一点P（m，n）在△A1B1C1中的对称点为P1，在△A2B2C2中的对称点为P2，请直接写出点P1，P2的坐标． 【变式9-3】在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A（﹣4，5），C（﹣1，3），A1（4，5），B1（2，1），△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称． （1）在网格内完善平面直角坐标系； （2）点B坐标是 　 　 ，点C1坐标是 　 　 ； （3）求△A1B1C1的面积． 题型十 坐标图形旋转 【例10】如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1……依此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形OA2025B2025C2025，那么点A2025的坐标是　 　 ． 【变式10-1】如图，点A的坐标为（﹣4，4），点C的坐标为（﹣2，0），将线段CA绕点C逆时针旋转90°至CB，则点B的坐标是 　 　 ． 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，4），B（﹣2，0），将△OAB绕原点O顺时针旋转90°得到△OA'B'（A'，B'分别是A，B的对应点）． （1）点A′的坐标是　 　 ，点B′的坐标是　 　 ； （2）若点M（m，2）位于△OAB内（不含边界），点M′为点M绕原点O顺时针旋转90°的对应点，直接写出M′的纵坐标n的取值范围． 【变式10-3】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）． （1）将△ABC关于x轴作轴对称变换得△A1B1C1，则点C1的坐标为 　 　 ． （2）将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°得△A2B2C2，则点C2的坐标为 　 　 ． （3）求△CC1C2的面积为 　 　 ． 基础巩固通关测 1．如果点P（m+2，m﹣1）在直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为（　　） A．（3，0） B．（0，﹣2） C．（﹣3，0） D．（0，﹣3） 2．在平面直角坐标系中，点P（a，b）满足ab＝0，则P的位置是（　　） A．x轴 B．原点 C．y轴 D．坐标轴 3．如图，在平面直角坐标系中，A1（1，2），A2（2，0），A3（3，﹣2），A4（4，0）……根据这个规律，探究可得点A2024的坐标是（　　） A．（2024，0） B．（2024，2） C．（2024，﹣2） D．（2024，1） 4．点P在第四象限，点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（　　） A．（5，﹣2） B．（﹣2，5） C．（﹣5，2） D．（2，﹣5） 5．若点A（2，m）在x轴上，则点B（m﹣1，m﹣4）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知点P（2a﹣3，a+1）关于y轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是 　 　 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（﹣2，0），线段BC是由线段BA绕点B逆时针旋转90°而得到的，则点C的坐标是 　 　 ． 8．已知点P（3x﹣1，4﹣2x）在第一象限，且到坐标轴的距离和为4，则点P的坐标为 　 　 ． 9．在电影票上，将“7排6号”表示为（7，6），那么“5排4号”应该表示为 　 　 ． 10．已知点A（﹣1，3），AB∥y轴，线段AB＝5，则B点坐标为　 　 ． 11．在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C'，位置如图所示． （1）分别写出点A，A'的坐标：A 　 　 ，A'　 　 ． （2）请说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的． （3）若点M（m，4﹣n）是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M'的坐标为（2m﹣8，n﹣4），求m和n的值． 12．在平面直角坐标系中，点M（a﹣3，a+4），点N（，9）． （1）若点M在x轴上，求点M的坐标； （2）若MN∥y轴，求a的值． 13．如图，有三个点A（﹣3，2）、B（﹣5，1）、C（﹣2，0），P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+5，b+2）． （1）写出点A1、B1、C1的坐标． （2）写出A点关于x轴对称的点的坐标 　 　 ；写出B点关于y轴对称的点的坐标 　 　 ． （3）求三角形ABC的面积． 14．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知A（1，3），B（﹣3，﹣5），试求A，B两点间的距离； （2）已知线段MN∥y轴，MN＝4，若点M的坐标为（2，﹣1），试求点N的坐标． 15．在平面直角坐标系中，已知点M（2﹣m，1+2m）． （1）若点M在y轴上，求m的值； （2）若点M到y轴的距离是3，求m的值； （3）若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值． 能力提升进阶练 1．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），B（﹣4，0），C（8，8），D（﹣4，12），点E在x轴上，满足∠BED＝∠DEC，则点E的坐标为（　　） A．（2，0） B．（6，0） C．（8，0） D．（2，0）或（8，0） 2．在平面直角坐标系中，点A（0，6），点 B（﹣6，0），坐标轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C一共有（　　）个 A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知两点A（a，5），B（﹣1，b）且直线AB∥x轴，则（　　） A．a可取任意实数，b＝5 B．a＝﹣1，b可取任意实数 C．a≠﹣1，b＝5 D．a＝﹣1，b≠5 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，RtΔOA1C1，RtΔOA2C2，RtΔOA3C3，RtΔOA4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝⋯＝30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4…，则依此规律，点A2024的纵坐标为（　　） A．0 B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，点C是y轴正半轴上的点，BC⊥AC于点C．已知AC＝16，BC＝6．点B到原点的最大距离为（　　） A．22 B．18 C．14 D．10 6．如图，在平面直角坐标系中，设一动点P自P0（2，0）处向下运动1个单位长度至P1（2，﹣1）处，然后向左运动2个单位长度至P2（0，﹣1）处，再向上运动2个单位长度至P3（0，1）处，再向左运动2个单位长度至P4（﹣2，1）处，再向下运动2个单位长度至P5（﹣2，﹣1）处，…如此继续运动下去，设Pn（xn，yn）（n＝1，2，⃯，n），则P8的坐标是 　 　 ，P2024的坐标是 　 　 ． 7．已知点A的坐标是A（﹣2，4），线段AB∥y轴，且AB＝5，则B点的坐标是　 　 ． 8．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣1，3）的“长距”为 　 　 ； （2）若点B（4a﹣1，﹣3）是“完美点”，则a的值为 　 　 ． 9．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，线段AD绕点A在平面内旋转，射线BD与y轴交于点E．若AD＝1，则E点纵坐标的最小值为　 　 ，最大值为　 　 ． 10．如图，在第一象限内有两点P（m﹣2，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ平移使点P，Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 　 　 ． 11．已知当m，n都是实数，且满足2m＝4+n时，称点为“如意点”． （1）当m＝2时，写出“如意点”：　 　 ； （2）判断点A（3，3）是否为“如意点”，并说明理由； （3）若点M（a，2a﹣1）是“如意点”，请判断点M在第几象限，并说明理由． 12．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，1），点B（m，m），其中m＞1． （1）如图1，若∠ABO＝30°，求m的值． （2）如图2，点P是x轴正半轴上一点，PA⊥PB，AB交y轴于点D，AC⊥OD于点C，求（PD+CD）的值．（用含m的式子表示） 13．如图，三角形A1B1C1是由三角形ABC平移后得到的，已知三角形ABC中任意一点P（x0，y0），经平移后对应点为P1（x0﹣6，y0﹣2）． （1）已知A（2，6），B（1，3），（5，3），Q（3，5），请写出A1，B1，C1，Q1的坐标； （2）试说明三角形A1B1C1是如何由三角形ABC得到的？ 14．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度： 【问题情境】 在平面直角坐标系中有不重合的两点M（x1，y1）和点N（x2，y2），若x1＝x2，则MN∥y轴，且线段MN的长度为|y1﹣y2|若y1＝y2，则MN∥x轴，且线段MN的长度为|x1﹣x2|； 【实践操作】 （1）若点M（﹣1，1）、N（2，1），则MN∥x轴，MN的长度为 　 　 ；若点M（1，0），且MN∥y轴，且MN＝2，则点N的坐标为 　 　 ． 【拓展应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），B（0，2），C（0，﹣3）． ①如图1，求△ABC的面积； ②如图2，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标． 15．已知，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A（a，b）满足，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，点C坐标为　 　 ； （2）如图1，点D（m，n）是射线CB上一个动点，过点A作直线l∥x轴，在l上取点M，使得MA＝2，若△CDM的面积为4，请求出点D的坐标． （3）如图2，以OB为边作∠BOG＝∠AOB，交线段BC于点G，E是线段OB上一动点，连接CE交OG于点F，当点E在线段OB上运动过程中，的值是否发生变化？若变化请说明理由，若不变，求出其值． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $