专题4.4 图形与坐标（章节复习）（知识梳理+16个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练

本讲义聚焦初中数学“图形与坐标”核心知识点，系统梳理有序数对、平面直角坐标系概念、点的坐标特征（象限、距离、平移、对称等）、中点坐标及规律探索。通过知识梳理搭建基础，16个考点讲练（含典例与变式）递进深化，衔接中考真题与分层练习（基础夯实、培优拔高），构建完整学习支架。 资料亮点在于考点覆盖全面，注重实际应用如用坐标表示位置培养数学眼光，通过规律探索、动点问题提升推理意识与创新意识。典例与变式结合助于理解，分层练习适配不同学生需求，课中辅助教学增效，课后便于学生回顾强化，有效查漏补缺。

专题4.4 图形与坐标（章节复习） （知识梳理+16个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：有序数对 2 知识点梳理02：平面直角坐标系的概念 2 知识点梳理03：平面直角坐标系 2 知识点梳理04：点的距离问题 2 知识点梳理05：点的平移与对称 3 优选题型 考点讲练 3 考点1 用有序数对表示位置 3 考点2 写出直角坐标系中点的坐标 4 考点3 求点到坐标轴的距离 7 考点4 判断点所在的象限 8 考点5 已知点所在的象限求参数 9 考点6 坐标系中描点 9 考点7 实际问题中用坐标表示位置 11 考点8 用方向角和距离确定物体的位置 12 考点9 坐标与图形变化——轴对称 13 考点10 坐标系中的平移 14 考点11 由平移方式确走点的坐标 17 考点12 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 18 考点13 已知图形的平移，求点的坐标 19 考点14 坐标系中的动点问题(不含函数) 20 考点15 中点坐标 25 考点16 点坐标规律探索 30 中考真题 实战演练 32 难度分层 拔尖冲刺 37 基础夯实 37 培优拔高 40 知识点梳理01：有序数对 把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号. 知识点梳理02：平面直角坐标系的概念 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图： 知识点梳理03：平面直角坐标系 （1）各象限内点的坐标的符号特征 点在第一象限⇔ ，； 点在第二象限⇔ ，； 点在第三象限⇔ ，； 点在第四象限⇔ ，. （2）坐标轴上点的坐标特征 点在横轴上⇔y＝0； 点在纵轴上⇔x＝0； 点在原点⇔x＝0，y＝0. （3）各象限角平分线上点的坐标 ① 三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；② 四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数. （4）平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 ① 平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等； ②平行于y轴的直线上的点的横坐标都相等. 知识点梳理04：点的距离问题 （1）点到坐标轴、原点的距离 点到x轴的距离为； 点到y轴的距离为；点到原点的距离. （2）平行于x轴，y轴的直线上两点间的距离 1 水平线段，铅锤线段； ②两点之间的距离公式：. ③中点公式：. 知识点梳理05：点的平移与对称 （1）点平移的坐标特征 向左平移a个单位的坐标为； 向右平移a个单位的坐标为； 向上平移b个单位的坐标为； 向下平移b个单位的坐标为； 口诀：“右加左减，上加下减”. （2）点的对称点的坐标特征 关于x轴对称的点P1的坐标为 ； 关于y轴对称的点P2的坐标为 ； 关于原点对称的点P3的坐标为 ． 口诀：关于谁对称谁不变，另一个变号；关于原点对称都要变号. 考点1 用有序数对表示位置 【典例精讲】（25-26八年级上·四川达州·期中）根据下列表述，能确定准确位置的是（    ） A．天府大道中段 B．万达影城1号厅3排 C．北纬，东经 D．南偏东 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置，逐项判断即可，熟练掌握用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置是解题的关键． 【规范解答】解： A． 天府大道中段，只是一个路段，不能确定具体点； B． 万达影城1号厅3排，缺少座位号，不能确定具体座位； C． 北纬，东经，是经纬度坐标，能唯一确定位置； D． 南偏东，只有方向，没有距离和起点，不能确定位置． 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级上·广东深圳·期中）剧院里5排3座表示为，9排6座表示为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实际问题中用坐标表示位置．根据剧院里5排3座表示为表示，即可得． 【规范解答】解：∵5排3座表示为， ∴9排6座表示为． 故答案为：． 考点2 写出直角坐标系中点的坐标 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知M、N两点分居y轴两侧，且轴，，则点N坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了平面直角坐标系中平行于坐标轴的线段的坐标特征，熟练掌握“平行于x轴的线段上的点纵坐标相等”及“两点间距离的坐标计算方法”是解题的关键． 先根据“轴”确定N的纵坐标，再结合“M、N分居y轴两侧”确定N的横坐标符号，最后通过“”计算N的横坐标． 【规范解答】解：设N点坐标为． ∵ 轴， ∴ ． ∵ 在y轴左侧，且M、N分居y轴两侧， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ 或． 若，则（不符合，舍去）； 若，则． ∴ N点坐标为． 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·天津和平·期中）如图，已知，，连接，过点作的垂线段，使，连接． (1)如图1，求点坐标； (2)如图2，若点从点出发沿轴向左平移，连接，作等腰直角，，连接，当点在线段（不与、重合）上，求证：； (3)在（1）的条件下若、，三点共线，请直接写出的度数及点坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)， 【思路点拨】（1）作轴于H，证明，根据全等三角形的性质得到，，求出，得到C点坐标； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，即可作答． （3）根据C、P，Q三点共线，得到，根据全等三角形的性质得到，求出，根据等腰直角三角形的性质求出，得到P点坐标． 【规范解答】（1）解：作轴于H，则，    ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴C点坐标为； （2）证明：如图，作轴于H，    ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， （3）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴当C、P，Q三点共线时，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴P点坐标为． 考点3 求点到坐标轴的距离 【典例精讲】（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，如果点的坐标为，那么点到轴的距离是（　　） A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了点到坐标轴的距离． 点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值． 【规范解答】解：∵点P的坐标为， ∴纵坐标， ∴点P到x轴的距离为． 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·重庆南岸·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求此时点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值； (3)若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】（）根据轴上点的坐标特征进行解答即可； （）根据平行于轴的直线上点的坐标特征进行解答即可； （）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征进行解答即可； 本题考查了坐标与图形，熟知轴上及平行于轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵点在过点且与轴平行的直线上， ∴， 解得； （3）解：∵点到轴的距离与到轴的距离相等， ∴或， 解得或， 当时，，， ∴点坐标为； 当时，，， ∴点坐标为， ∴点的坐标为或． 考点4 判断点所在的象限 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【思路点拨】本题考查点所在位置，通过判断点的横纵坐标符号确定象限即可． 【规范解答】解：∵， ∴，即横坐标为正； 又∵纵坐标为， ∴点 在第四象限． 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【思路点拨】本题考查象限内点的坐标符号特征，由点A在第二象限，得，，进而得，，故点B在第一象限． 【规范解答】解：∵点在第二象限， ∴，， ∴，， ∴点在第一象限， 故选：A． 考点5 已知点所在的象限求参数 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特点；由点在第二象限，可得，；再计算点的坐标符号，判断所在象限． 【规范解答】解：因为点在第二象限， 所以， ，则； 又因为； 所以点的横坐标为负，纵坐标为负，点在第三象限． 故选B． 【变式训练】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）若点在y轴上， 则 【答案】 【思路点拨】本题考查坐标轴上点的坐标特征．点在 轴上时，其横坐标为零．据此进行解答即可． 【规范解答】解：∵点 在 轴上， ∴横坐标 ， 解得 ． 故答案为：． 考点6 坐标系中描点 【典例精讲】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，根据求解即可． 【规范解答】解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为点D， ∵ ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)画出与关于轴对称的； (3)画出与关于轴对称的． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【思路点拨】本题考查了作图——轴对称变换，平面直角坐标系，熟练掌握作轴对称图形的方法是解题的关键． （1）根据先确定原点，坐标轴即可． （2）根据关于轴对称的点的坐标特征写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点即可得到． （3）根据关于轴对称的点的坐标特征写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点即可得到． 【规范解答】（1）解：坐标系如图所示： （2）解：如图，即为所求： （3）解：如图，即为所求： 考点7 实际问题中用坐标表示位置 【典例精讲】（25-26八年级上·河南郑州·期中）2025年上海合作组织峰会于8月31日至9月1日在天津举行，下列说法能表述天津具体位置的是（   ） A．中国华北地区 B．距离天安门广场 C．在北京的东南方向 D．北纬、东经 【答案】D 【思路点拨】本题考查了坐标确定位置，理解坐标的定义是解题的关键． 根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可． 【规范解答】解：能够准确表示天津市这个地点位置的是：东经，北纬， 故选D． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）某动物园的部分地图如图所示，已知极地动物馆的坐标为，孔雀园的坐标为，先在图中建立平面直角坐标系，再写出其他三个景点的坐标． 【答案】建平面坐标系见解析，大象馆的坐标为，猴山的坐标为，火烈鸟馆的坐标为 【思路点拨】本题考查了平面直角坐标系的建立与点的坐标确定，解题的关键是根据已知点的坐标确定坐标轴位置，再结合点到坐标轴的距离与所在象限确定点的坐标． 根据点的坐标到坐标轴的距离，确定两轴的位置，建立坐标系，再根据其他三点的位置确定点的坐标即可． 【规范解答】解：∵“极地动物馆”的坐标为， ∴向左5个单位是轴，向下4个单位是轴，建立平面直角坐标系． ∵大象馆位于第二象限，到轴2个单位，到轴6个单位， ∴大象馆的坐标为． ∵猴山在轴正半轴上，到轴1个单位， ∴猴山的坐标为 ∵火烈鸟馆在第三象限，到轴3个单位，到轴2个单位， ∴火烈鸟馆的坐标为． 答：大象馆的坐标为，猴山的坐标为，火烈鸟馆的坐标为． 考点8 用方向角和距离确定物体的位置 【典例精讲】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）海事救灾船前去救援某海域失火轮，需要确定（   ） A．方位 B．距离 C．失火原因 D．方位和距离 【答案】D 【思路点拨】题目主要考查了确定物体的位置，理解题意是解题关键． 要确定一个点的位置，必须知道其方位和距离，仅知其一无法唯一确定位置，即可求解． 【规范解答】解：海事救灾船前去求援某海域失火轮，需要确定，需要确定方位角和距离， 故选D． 【变式训练】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）如图，根据图形回答下列问题： （1）小青先向（   ）方向行（   ）m，再向（   ）偏（   ）（   ）方向行（   ）m到小红家． （2）小力先向（   ）偏（   ）（   ）方向行（   ）m，再向（   ）方向行（   ）m到小红家． （3）小力步行到小红家花了4分钟，他平均每分钟走多少米？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）他平均每分钟走75米． 【思路点拨】本题考查了比例尺，方向角，速度、时间与路程之间的关系．根据图形结合方向角的定义求解即可． 【规范解答】解：（1）小青先向正西方向行，再向北偏西方向行到小红家． （2）小力先向南偏东方向行，再向正南方向行到小红家． （3）小力步行到小红家花了4分钟，走了， ， 答：他平均每分钟走75米． 考点9 坐标与图形变化——轴对称 【典例精讲】（25-26八年级上·江西赣州·期中）下列各点中，点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了关于坐标轴对称的性质，关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，熟记性质是解题的关键．点关于轴对称时，坐标不变，坐标变为相反数． 【规范解答】解：∵点关于轴对称， ∴坐标不变，为；坐标取相反数，为 ∴对称点的坐标为． 故选：A． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·期中）平面直角坐标系中，若点关于y轴对称，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标的知识，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．直接利用关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可得出的值． 【规范解答】解：在直角坐标系中，点关于轴对称， 则的值为． 故答案为：． 考点10 坐标系中的平移 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点N的坐标为，且轴，求点M的坐标； (2)若点M到x轴、y轴的距离相等，求m的值． 【答案】(1)点M的坐标为 (2)或 【思路点拨】本题考查了象限内点的坐标特征，理解点的横、纵坐标的意义是解题的关键． （1）根据轴，得到，求出的值，进而算出，即可求得点M的坐标； （2）根据点M到x轴、y轴的距离相等，得到，进而求解，即可解题． 【规范解答】（1）解：因为点，点N，且轴， 所以， 解得， 所以， 所以点M的坐标为． （2）解：因为点M到x轴、y轴的距离相等， 所以， 所以或， 所以或． 【变式训练】（25-26八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，，两点的坐标分别为，，点，且，已知点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)直接写出，两点的坐标；，； (2)连接，当点在轴的负半轴上时， ①用含的代数式表示的面积； ②当为何值时，的面积等于的面积？ (3)当点在线段上运动时，在轴正半轴上是否存在点，使与全等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，②当为1时，的面积等于的面积 (3)存在，点Q的坐标为或 【思路点拨】本题考查了绝对值与乘方的非负数的性质，全等三角形的性质，求点的坐标等知识，一元一次方程，利用三角形全等是解题的关键； （1）由非负数的性质即可求解； （2）①由题意得，，由三角形面积公式即可求解； ②先求出的面积，再根据的面积等于的面积，列出一元一次方程，求出t的值即可； （3）分两种情况，，，利用三角形全等的性质，考虑点Q的位置即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图 ∵，， ∴， 由题意得：， 当点P在x轴的负半轴上时，， ∴； ②∵， ∴， ∴， 当时，， 解得， 答：当为1时，的面积等于的面积． （3）解：存在，理由如下： ①当时，则， 如图，当点Q在y轴正半轴上时，； ②当时，则， 如图，当点Q在y轴正半轴上时，； 综上，点Q的坐标为或． 考点11 由平移方式确走点的坐标 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)在图中画出关于轴对称的 (2)通过平移，使移动到原点的位置，画出平移后的 (3)在中有一点，则经过以上两次变换后点的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题主要考查了利用平移变换和轴对称变换作图，根据网格结构作出对应点的位置解题的关键． （1）依据轴对称的性质，即可得到关于x轴对称的； （2）依据移动到原点O的位置，即可得到平移的方向和距离，进而得到平移后的△； （3）依据轴对称的性质以及平移的性质，即可得到两次变换后点P的对应点的坐标． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：点经过第一次变换后的点的坐标为，经过第二次变换后的对应点的坐标为． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·期中）点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位得对应点，则点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查点的平移，掌握平移的规律左减右加，上加下减是解题的关键． 根据平移点的变化规律，左减右加，上加下减求解即可． 【规范解答】点先向左平移4个单位长度，横坐标变为； 再向上平移2个单位，纵坐标变为， 所以点的坐标为． 故答案为：． 考点12 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）象棋是中国传统棋类，其中“馬”走“日”，如图，“帥”位于点，“馬”位于点，若“馬”要“将军”（一方的棋子要在下一招棋把对方的“将”或“帥”吃掉），可以走到，则其平移过程是 ． 【答案】向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度 【思路点拨】本题考查了平面直角坐标系中点的平移；根据两点的坐标即可确定平移过程． 【规范解答】解：“馬”位于点，若“馬”要“将军”可以走到，则平移过程为向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度． 故答案为：向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度． 【变式训练】（2025八年级上·全国·专题练习）若使四边形各顶点在直角坐标系中的横坐标保持不变，纵坐标比原来都减少，则此四边形（ ） A．向上平移个单位长度 B．向下平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平移的性质，纵坐标减小表示点向下移动，横坐标不变说明没有水平移动，据此进行分析，即可作答． 【规范解答】解：∵每个点的纵坐标都减小2，横坐标不变， ∴四边形向下平移2个单位长度， 故选：B 考点13 已知图形的平移，求点的坐标 【典例精讲】（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，，平移后点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了图形平移的性质和点的坐标变化规律，解题关键点在于确定平移的方向和长度，混淆平移方向是本题的易错点；根据点平移前后的坐标，确定平移的方向和长度，再根据横纵坐标的变化求得的坐标即可． 【规范解答】∵平移后得， ∴横坐标，纵坐标；即向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后得． 故选A． 【变式训练】（24-25八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知，作点A关y轴的对称点，再将向下平移4个单位长度得到，则的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，根据平移的性质求点的坐标，解题的关键是掌握关于对称轴对称的点的坐标特征和平移的性质． 根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出点的坐标，再根据平移的性质进行解答即可． 【规范解答】解：由题知， 因为点A坐标为，且点A和点关于y轴对称， 所以点A1的坐标为， 则将向下平移4个单位长度得到的坐标为． 故答案为：． 考点14 坐标系中的动点问题(不含函数) 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）．如图，已知方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形．现有三点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)请根据点的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，点的坐标是_____； (2)网格中的形状是_____，并画出的中线； (3)若点关于直线的对称点为点，连接，，则点的坐标为_____； (4)在图中边上找一个点使得它与点点构成的三角形为等腰三角形． (5)在y轴上找一点，使的面积等于的面积，则点的坐标为_____． 【答案】(1)图见解析， (2)直角三角形，图见解析 (3)图见解析， (4)点见解析 (5)或 【思路点拨】（1）先建立平面直角坐标系，再根据坐标系作答即可； （2）先求出三角形三边的长度，再由勾股定理的逆定理即可证明是直角三角形，然后由中线的定义画图即可； （3）先在图中作点关于直线的对称点为点，在根据点在坐标系中的位置求解即可； （4）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可求解； （5）先求出的面积为8，由题意可得，的面积也为8，再把拆成两个三角形的面积的和即可求解． 【规范解答】（1）解：建立平面直角坐标系，如图所示： 由图得，， 故答案为：； （2）解：，，， 且， 的形状是直角三角形， 故答案为：直角三角形； 如图所示，的中线即为所求； （3）解：在图中作点关于直线的对称点为点，则点的坐标为， 故答案为：； （4）解：是直角三角形， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 要在边上找一个点使得它与点和点构成的三角形为等腰三角形， 点应为斜边的中点， 如图所示，点即为所求； （5）解：由点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，且点关于直线对称， ，设垂足为点， ． 的面积等于的面积， ． 设直线的解析式为， 把，分别代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 设直线交轴于点，则点的横坐标为0， 把代入中，解得， ． 设点的坐标为，则， ， ， ， ， ， 解得或， 或， 故答案为：或． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，，如此继续运动下去，设（为正整数）． (1)_____； (2)_____；_____； (3)求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【思路点拨】（）根据平移方式得出点的坐标，进而即可求解； （）根据平移方式得出点的坐标，即可求解； （）由即可求解； 本题考查了点的坐标规律变化问题，根据题意找出点的坐标变化规律是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意得，，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：由平移规律可知，把向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处， ∴，，，， ∴，， 故答案为：，； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 考点15 中点坐标 【典例精讲】（25-26八年级上·北京·期中）已知，如图A在x轴负半轴上，，点在射线上， (1)求证：点A为的中点； (2)在y轴正半轴上有一点F，使，求点F的坐标； (3)如图，点M、N分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，，点I为的内角平分线的交点，分别交y轴正半轴、x轴正半轴于P、Q两点，于H，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)点F的坐标为 (3)见解析 【思路点拨】（1）过点作轴于，证明，根据全等三角形的性质得到，即可得出结论； （2）过作交的延长线于，过作轴于，证，得，，求出，设，再由梯形面积关系求出即可． （3）连接、，根据角平分线的性质得到I为内角平分线交点，证，得，再证，得，然后证，得，即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：过点作轴于， ，， ， 在和中， ， ， ， 点为的中点； （2）解：过作交的延长线于，过作轴于，如图所示： 则， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，，， ，，， ， ， 设， 梯形的面积梯形的面积梯形的面积， ， 解得：， 点的坐标为； （3）解：如图3，连接、， 为内角平分线交点， 平分，平分， 在和中， ， ， 同理可得，， 平分，平分，， ， ， ， 连接，作于， ，平分， ，，， 在上截取，连接， 则， ，， ， 则， ， ． 【变式训练】（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，， ，且 ． (1)求三角形 的面积． (2)若线段与y轴相交于点F，已知点F为中点，在坐标轴上是否存在一点P，使和的面积相等？若存在，求出点P坐标．若不存在，请说明理由．（点C除外） (3)如图2，过点C作于点D，F是线段上一点，满足，若点G是第二象限内的一点，连接，使，点E是线段上一动点（不与A、D重合），连接交于点H，点E在线段上运动的过程中，的值是否会变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P坐标为或或或 (3)2 【思路点拨】（1）根据非负数的性质可求出a，b，c的值，进而得出点A，B，C的坐标，然后根据三角形面积公式列式计算即可； （2）首先求出点F的坐标，可得，然后分点P在y轴和在x轴上两种情况，设出点P坐标，分别根据和的面积相等列出方程，求解即可； （3）根据已知条件证明，利用三角形外角的性质求出，，然后代入计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴； （2）解：存在； ∵，，点F为中点， ∴， ∴； ①当点P在y轴上时，设， 由题意得：， 解得：或， ∴点P坐标为或； ②当点P在x轴上时，设， 由题意得：， 解得：或， ∴点P坐标为或； 综上：存在一点P，使和的面积相等，点P坐标为或或或； （3）解：的值不变； ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ． 考点16 点坐标规律探索 【典例精讲】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点…，按这样的运动规律，动点第次运动到点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了图形坐标的规律，正确理解图形得到点的运动规律并应用是解题的关键．根据图形分析点的运动规律：纵坐标的规律为、、、，每次运动为一个循环；横坐标的规律为：第次、第次运动后的横坐标为、，即，，第次、第次运动后的横坐标为、，即，，即可得到答案． 【规范解答】解：第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， ， 纵坐标的规律为、、、，每次运动为一个循环， 横坐标的规律为：第次、第次运动后的横坐标为、，即，； 第次、第次运动后的横坐标为、，即，， ， 的纵坐标为，横坐标为， 的坐标为， 故答案为：，． 【变式训练】（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2025次变换后点的对应点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键； 观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，解答即可． 【规范解答】解：点第一次关于轴对称后在第二象限， 点第二次关于轴对称后在第三象限， 点第三次关于轴对称后在第四象限， 点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ， 经过第次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为， 故选：C 1．（2024·福建南平·中考真题）如图，，，若，，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质，以及平面直角坐标系，过点作轴的垂线，交轴于点，可得到，进而可求得答案． 【规范解答】解：如图所示，过点作轴的垂线，交轴于点． 根据题意可知，． ∵，， ∴． 在和中 ∴． ∴，． ∴． ∴点的坐标为． 2．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，有一动点A，先关于x轴对称到点，然后关于y轴对称到点，再关于x轴对称到点，再关于y轴对称并且往右平移一个单位长度得到……，每次点A回到第一象限总会往右平移一个单位长度得到点后再进行重复运动．已知，则点的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了动点坐标规律的探索，轴对称的性质，解题的关键是掌握动点的规律． 动点的初始坐标为 ，操作序列具有周期性：每4次操作构成一个循环，每个循环后点的横坐标增加1，纵坐标不变，点是第507个循环的第一个点，其坐标可通过循环公式计算． 【规范解答】解：∵动点的初始坐标为 ， ∴ 根据题意得，，，，，……， ∴纵坐标以、、、每次一个循环，每个循环最后一个点的横坐标增加， ∴点的周期数为：， ∴点的纵坐标与的纵坐标相同为，横坐标为， ∴点的坐标为 ， 故答案为：． 3．（2024·浙江宁波·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以为斜边在y轴右侧作等腰直角，过点作x轴的垂线，垂足为，以为斜边在右侧以作等腰直角，再过点作x轴的垂线，垂足为，以为斜边在右侧作等腰直角……按此规律继续作下去，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，等腰直角三角形的性质，，找出点坐标的规律变化是解题的关键． 根据点的纵坐标，等腰直角三角形的性质，得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，由此得到点的纵坐标的变化规律，由此即可求解． 【规范解答】解：已知点的坐标是， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴点的纵坐标为， 则， 同理，， ∴点的纵坐标为， 根据此规律即可得到点的纵坐标为． 故选：A． 4．（2024·安徽淮南·中考真题）如图，点的坐标为，作轴，轴，垂足分别为，，点为线段的中点，点从点出发，在线段上沿运动，当时，点的坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路点拨】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是判断出全等． 分两种情况：①当点在边上时，根据判断出，得出，得出点的坐标；②当点在边上时，同①的方法即可． 【规范解答】解：∵点的坐标为，轴，轴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ①当点在边上时， 在和中， ， ， ， ， ②当点在边上时， 同①的方法，得出， ， 或． 故选：C． 5．（2024·江苏苏州·中考真题）平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．图中的，两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为， ①在点，，中，为点的“等距点”的是_____． ②若点的坐标为，且，两点为“等距点”，则点的坐标为_____． (2)若，两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1)①，；② (2)的值为 【思路点拨】本题主要考查点的坐标，读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题是解答本题的关键． （1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可； ②根据等距点的定义可得或，求出m的值，即可得出点B的坐标； （2）根据“等距点”的定义，分和两种情况讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：点到、轴的距离中最大值为， 点到、轴的距离中最大值为，点到、轴的距离中最大值为，点到、轴的距离中最大值为， 为点的“等距点”的是点E和点， 故答案为：，； 点到、轴的距离中最大值为，若点的坐标为，且，两点为“等距点” 当时，则时，点到、轴的距离中最大值为，此时与点不是等距点； 当时，则时，点到、轴的距离中最大值为，此时与点是等距点； 当时，则时，点到、轴的距离中最大值为，此时与点不是等距点； 点的坐标为， 故答案为：； （2）解：∵，两点为“等距点”， 若时，则或，解得：或不满足，舍去； 若时，则或，解得：或不满足，舍去 综上所述，的值为． 基础夯实 1．（25-26八年级上·安徽宣城·月考）如图中，点用数对表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了用有序数对表示位置． 根据题干图像作答即可． 【规范解答】解：由点和点同行，和点同列， 所以点用数对表示是． 故选：C． 2．（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查图形与坐标，熟记平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征是解决问题的关键．由平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征求解即可得到答案． 【规范解答】解：∵点关于y轴对称的点为， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·重庆·期中）已知点与点关于x轴对称，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查直角坐标系中点的特征，整式的计算，熟练掌握坐标系中点的特征与整体代入是解题的关键，根据关于x轴对称的点坐标特征得到，再利用整体代入即可求出的值． 【规范解答】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，即， ∴ 故答案为：12． 4．（25-26八年级上·山西·月考）第十五届全国运动会会徽由木棉、紫荆、莲花三朵花瓣交叠旋转形成，环绕花心螺旋围合一体，形成一个同心礼花，寓意粤港澳大湾区交融互通、活力无限，背靠祖国、绽放世界．如图，将会徽图案放置在平面直角坐标系中，最高点的坐标为，则该点关于轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”是解题的关键． 根据关于轴对称的点的坐标变化规律，直接求出点的对称点坐标． 【规范解答】解：∵关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数， 又∵点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出与关于轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)为轴上一点，使的周长最小，在图中作出点．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【思路点拨】本题主要考查了轴对称作图，轴对称的应用，解题的关键是作出对应点的位置． （1）作出点A、B、C关于x轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）写出点的坐标即可； （3）作点B关于y轴的对称点，然后连接交y轴于点P，则点P即为所求． 【规范解答】（1）解：如图，为所求作图形． （2）解：根据图形可知，点． （3）解：如图，点P即为所求． 根据对称性可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小． 培优拔高 6．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图， 在平面直角坐标系中， 为等腰三角形，，轴．若， ， ， 则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，由轴， ， ， 则，过作轴于点，交于点，根据等腰三角形性质可得，又， ，则，所以，求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵轴，，， ∴， 如图，过作轴于点，交于点， ∵轴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，且与都为等边三角形，连接，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质可得出，，，证明，得出，然后结合点B的坐标求解即可． 【规范解答】解：∵与都为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：C． 8．（25-26八年级上·北京·月考）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉的任意位置望烽火，再到河岸的任意位置饮马后返回到点，且与的夹角为，则将军所走的最短总路程为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，作点关于直线的对称点，连接，，，交于，则，，所以的周长为，此时的周长最小值为的长，即将军所走的最短总路程最小值为的长，然后证明是等边三角形即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，，，交于， 则，， ∴的周长为， ∴此时的周长最小值为的长，即将军所走的最短总路程最小值为的长， 则， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长最小值为，即将军所走的最短总路程为， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知点，，点是x轴上一动点，点是y轴上一动点，则四边形的最小周长为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了轴对称的性质及勾股定理的应用，利用轴对称的性质，分别过点A和点B作关于x，y轴的对称点，，连接，与y轴交点Q，与x轴交点P，此时点，Q，P，四点共线，从而得出四边形的周长最小值为，然后求出点，的坐标，再利用勾股定理求得和的长度即可． 【规范解答】解：如图，过点A作关于y轴的对称点，过点B作关于x轴的对称点，连接，与y轴交点Q，与x轴交点P， ∴当点，Q，P，四点共线时，则，即， ∵点A为，点B为， ∴点为，点， ∴，， ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，顶点，均在小正方形的网格点上． (1)作，使和关于轴对称； (2)分别写出以下顶点的坐标： ； ； ； (3)在轴上找一点，使最短，请画图确定点位置． 【答案】(1)作图见详解 (2)；； (3)作图见详解 【思路点拨】本题考查了平面直角坐标系中图形的轴对称变换以及“最短路径”问题；解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征（横坐标互为相反数，纵坐标不变），并会利用轴对称的性质将“两条折线之和最小”问题转化为“两点之间线段最短”问题；易错点是在确定对称点坐标时横坐标的符号出错． （1）分别找出点、、关于轴的对称点、、，再顺次连接即可得到； （2）根据（1）直接写出坐标； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点． 【规范解答】（1） （2）根据网格点写出坐标：，， （3） ∵点与点关于轴对称，对于轴上的任意一点，有， ∴， 根据“两点之间，线段最短”，当点位于线段与轴的交点时，（即）最短， ∴在图中，连接与轴的交点即为所求的点． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 图形与坐标（章节复习） （知识梳理+16个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：有序数对 2 知识点梳理02：平面直角坐标系的概念 2 知识点梳理03：平面直角坐标系 2 知识点梳理04：点的距离问题 3 知识点梳理05：点的平移与对称 3 优选题型 考点讲练 3 考点1 用有序数对表示位置 3 考点2 写出直角坐标系中点的坐标 4 考点3 求点到坐标轴的距离 4 考点4 判断点所在的象限 5 考点5 已知点所在的象限求参数 5 考点6 坐标系中描点 5 考点7 实际问题中用坐标表示位置 6 考点8 用方向角和距离确定物体的位置 6 考点9 坐标与图形变化——轴对称 7 考点10 坐标系中的平移 7 考点11 由平移方式确走点的坐标 8 考点12 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 8 考点13 已知图形的平移，求点的坐标 9 考点14 坐标系中的动点问题(不含函数) 9 考点15 中点坐标 10 考点16 点坐标规律探索 12 中考真题 实战演练 12 难度分层 拔尖冲刺 14 基础夯实 14 培优拔高 15 知识点梳理01：有序数对 把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号. 知识点梳理02：平面直角坐标系的概念 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图： 知识点梳理03：平面直角坐标系 （1）各象限内点的坐标的符号特征 点在第一象限⇔ ，； 点在第二象限⇔ ，； 点在第三象限⇔ ，； 点在第四象限⇔ ，. （2）坐标轴上点的坐标特征 点在横轴上⇔y＝0； 点在纵轴上⇔x＝0； 点在原点⇔x＝0，y＝0. （3）各象限角平分线上点的坐标 ① 三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；② 四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数. （4）平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 ① 平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等； ②平行于y轴的直线上的点的横坐标都相等. 知识点梳理04：点的距离问题 （1）点到坐标轴、原点的距离 点到x轴的距离为； 点到y轴的距离为；点到原点的距离. （2）平行于x轴，y轴的直线上两点间的距离 1 水平线段，铅锤线段； ②两点之间的距离公式：. ③中点公式：. 知识点梳理05：点的平移与对称 （1）点平移的坐标特征 向左平移a个单位的坐标为； 向右平移a个单位的坐标为； 向上平移b个单位的坐标为； 向下平移b个单位的坐标为； 口诀：“右加左减，上加下减”. （2）点的对称点的坐标特征 关于x轴对称的点P1的坐标为 ； 关于y轴对称的点P2的坐标为 ； 关于原点对称的点P3的坐标为 ． 口诀：关于谁对称谁不变，另一个变号；关于原点对称都要变号. 考点1 用有序数对表示位置 【典例精讲】（25-26八年级上·四川达州·期中）根据下列表述，能确定准确位置的是（    ） A．天府大道中段 B．万达影城1号厅3排 C．北纬，东经 D．南偏东 【变式训练】（25-26八年级上·广东深圳·期中）剧院里5排3座表示为，9排6座表示为 ． 考点2 写出直角坐标系中点的坐标 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知M、N两点分居y轴两侧，且轴，，则点N坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·天津和平·期中）如图，已知，，连接，过点作的垂线段，使，连接． (1)如图1，求点坐标； (2)如图2，若点从点出发沿轴向左平移，连接，作等腰直角，，连接，当点在线段（不与、重合）上，求证：； (3)在（1）的条件下若、，三点共线，请直接写出的度数及点坐标． 考点3 求点到坐标轴的距离 【典例精讲】（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，如果点的坐标为，那么点到轴的距离是（　　） A．5 B． C．2 D． 【变式训练】（25-26八年级上·重庆南岸·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求此时点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值； (3)若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 考点4 判断点所在的象限 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点5 已知点所在的象限求参数 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【变式训练】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）若点在y轴上， 则 考点6 坐标系中描点 【典例精讲】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为 ． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)画出与关于轴对称的； (3)画出与关于轴对称的． 考点7 实际问题中用坐标表示位置 【典例精讲】（25-26八年级上·河南郑州·期中）2025年上海合作组织峰会于8月31日至9月1日在天津举行，下列说法能表述天津具体位置的是（   ） A．中国华北地区 B．距离天安门广场 C．在北京的东南方向 D．北纬、东经 【变式训练】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）某动物园的部分地图如图所示，已知极地动物馆的坐标为，孔雀园的坐标为，先在图中建立平面直角坐标系，再写出其他三个景点的坐标． 考点8 用方向角和距离确定物体的位置 【典例精讲】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）海事救灾船前去救援某海域失火轮，需要确定（   ） A．方位 B．距离 C．失火原因 D．方位和距离 【变式训练】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）如图，根据图形回答下列问题： （1）小青先向（   ）方向行（   ）m，再向（   ）偏（   ）（   ）方向行（   ）m到小红家． （2）小力先向（   ）偏（   ）（   ）方向行（   ）m，再向（   ）方向行（   ）m到小红家． （3）小力步行到小红家花了4分钟，他平均每分钟走多少米？ 考点9 坐标与图形变化——轴对称 【典例精讲】（25-26八年级上·江西赣州·期中）下列各点中，点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·期中）平面直角坐标系中，若点关于y轴对称，则 ． 考点10 坐标系中的平移 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点N的坐标为，且轴，求点M的坐标； (2)若点M到x轴、y轴的距离相等，求m的值． 【变式训练】（25-26八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，，两点的坐标分别为，，点，且，已知点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)直接写出，两点的坐标；，； (2)连接，当点在轴的负半轴上时， ①用含的代数式表示的面积； ②当为何值时，的面积等于的面积？ (3)当点在线段上运动时，在轴正半轴上是否存在点，使与全等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点11 由平移方式确走点的坐标 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)在图中画出关于轴对称的 (2)通过平移，使移动到原点的位置，画出平移后的 (3)在中有一点，则经过以上两次变换后点的对应点的坐标为 ． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·期中）点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位得对应点，则点的坐标是 ． 考点12 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）象棋是中国传统棋类，其中“馬”走“日”，如图，“帥”位于点，“馬”位于点，若“馬”要“将军”（一方的棋子要在下一招棋把对方的“将”或“帥”吃掉），可以走到，则其平移过程是 ． 【变式训练】（2025八年级上·全国·专题练习）若使四边形各顶点在直角坐标系中的横坐标保持不变，纵坐标比原来都减少，则此四边形（ ） A．向上平移个单位长度 B．向下平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 考点13 已知图形的平移，求点的坐标 【典例精讲】（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，，平移后点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知，作点A关y轴的对称点，再将向下平移4个单位长度得到，则的坐标是 ． 考点14 坐标系中的动点问题(不含函数) 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）．如图，已知方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形．现有三点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)请根据点的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，点的坐标是_____； (2)网格中的形状是_____，并画出的中线； (3)若点关于直线的对称点为点，连接，，则点的坐标为_____； (4)在图中边上找一个点使得它与点点构成的三角形为等腰三角形． (5)在y轴上找一点，使的面积等于的面积，则点的坐标为_____． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，，如此继续运动下去，设（为正整数）． (1)_____； (2)_____；_____； (3)求的值． 考点15 中点坐标 【典例精讲】（25-26八年级上·北京·期中）已知，如图A在x轴负半轴上，，点在射线上， (1)求证：点A为的中点； (2)在y轴正半轴上有一点F，使，求点F的坐标； (3)如图，点M、N分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，，点I为的内角平分线的交点，分别交y轴正半轴、x轴正半轴于P、Q两点，于H，求证：． 【变式训练】（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，， ，且 ． (1)求三角形 的面积． (2)若线段与y轴相交于点F，已知点F为中点，在坐标轴上是否存在一点P，使和的面积相等？若存在，求出点P坐标．若不存在，请说明理由．（点C除外） (3)如图2，过点C作于点D，F是线段上一点，满足，若点G是第二象限内的一点，连接，使，点E是线段上一动点（不与A、D重合），连接交于点H，点E在线段上运动的过程中，的值是否会变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由． 考点16 点坐标规律探索 【典例精讲】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点…，按这样的运动规律，动点第次运动到点的坐标为 ． 【变式训练】（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第2025次变换后点的对应点的坐标为（  ） A． B． C． D． 1．（2024·福建南平·中考真题）如图，，，若，，则点的坐标为 ． 2．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，有一动点A，先关于x轴对称到点，然后关于y轴对称到点，再关于x轴对称到点，再关于y轴对称并且往右平移一个单位长度得到……，每次点A回到第一象限总会往右平移一个单位长度得到点后再进行重复运动．已知，则点的坐标是 ． 3．（2024·浙江宁波·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以为斜边在y轴右侧作等腰直角，过点作x轴的垂线，垂足为，以为斜边在右侧以作等腰直角，再过点作x轴的垂线，垂足为，以为斜边在右侧作等腰直角……按此规律继续作下去，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽淮南·中考真题）如图，点的坐标为，作轴，轴，垂足分别为，，点为线段的中点，点从点出发，在线段上沿运动，当时，点的坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 5．（2024·江苏苏州·中考真题）平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．图中的，两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为， ①在点，，中，为点的“等距点”的是_____． ②若点的坐标为，且，两点为“等距点”，则点的坐标为_____． (2)若，两点为“等距点”，求的值． 基础夯实 1．（25-26八年级上·安徽宣城·月考）如图中，点用数对表示是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·重庆·期中）已知点与点关于x轴对称，则 ． 4．（25-26八年级上·山西·月考）第十五届全国运动会会徽由木棉、紫荆、莲花三朵花瓣交叠旋转形成，环绕花心螺旋围合一体，形成一个同心礼花，寓意粤港澳大湾区交融互通、活力无限，背靠祖国、绽放世界．如图，将会徽图案放置在平面直角坐标系中，最高点的坐标为，则该点关于轴对称的点的坐标为 ． 5．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出与关于轴对称的； (2)写出点的坐标； (3)为轴上一点，使的周长最小，在图中作出点．（保留作图痕迹） 培优拔高 6．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图， 在平面直角坐标系中， 为等腰三角形，，轴．若， ， ， 则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，且与都为等边三角形，连接，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·北京·月考）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉的任意位置望烽火，再到河岸的任意位置饮马后返回到点，且与的夹角为，则将军所走的最短总路程为 ． 9．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知点，，点是x轴上一动点，点是y轴上一动点，则四边形的最小周长为 ． 10．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，顶点，均在小正方形的网格点上． (1)作，使和关于轴对称； (2)分别写出以下顶点的坐标： ； ； ； (3)在轴上找一点，使最短，请画图确定点位置． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $