专题01 与圆的性质有关的辅助线的作法（高效培优专项训练）数学人教版九年级上册

专题01 与圆的性质有关的辅助线的作法 类型一：连半径构造等腰三角形 类型二：作弦心距或连半径 类型三：构造同弧或等弧所对的圆心角或圆周角 类型四：构造直径所对的圆周角 类型五：连接90°的圆周角的“斜边” 类型六：构造圆的内接四边形 类型七：构造隐形圆 类型一：类型一：连半径构造等腰三角形 1．如图，在扇形AOB中，D为上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（　　） A．35° B．52.5° C．70° D．72° 2．如图，在圆O中，OA⊥BC，∠ADC＝30°，则的度数为（　　） A．30° B．60° C．120° D．240° 3．如图，A、B、C是⊙O的圆周上三点，DE与⊙O相切于点C，连接AB、BC、AC，若AB＝AC，∠BCD＝40°，则∠ACE的度数为（　　） A．40° B．60° C．70° D．80° 4．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝105°，OA＝8，点C在半径OA上，将△BOC沿着BC翻折，点O的对称点D恰好落在弧AB上，再将弧AD沿着CD翻折至弧A1D（点A1是点A的对称点），那么OA1的长为 　 ． 类型二：作弦心距或连半径 1．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具﹣﹣筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的小上方，⊙O被水面截得的弦AB长为8米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米，则⊙O的半径长为（　　） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 2．如图所示，圆O的直径AB与弦MN相交于点P．已知圆的直径AB＝4，∠APN＝45°，则MP2+NP2的值是（　　） A．8 B．8 C．4 D．4 3．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D为上一点，且AD＝4，，则图中的阴影部分面积为（　　） A．5π﹣10 B．5π﹣14 C．10π﹣20 D．10π﹣24 4．如图，半径为5的⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC、∠EAD，已知DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则圆心A到弦BC的距离等于 　 　 ． 类型三：构造弧或等弧所对的圆心角或圆周角 1．如图，半径为2的⊙O的弦AD＝BC，且AD⊥BC于点E，连接AB、AC，则AB的长为（　　） A．2 B．2 C． D．1 2．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝25°，则∠CAD的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 3．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝45°，AC＝2，则⊙O的半径为　 　 ． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE⊥BC于点E，若BECE，则∠BAD等于（　　） A．100° B．120° C．135° D．150° 类型四：构造直径所对的圆周角 1．如图，BD是⊙O的直径，点C是弧BD的中点，弦AC与BD交于点P．若∠ADB＝61°，则∠CPD等于（　　） A．106° B．122° C．124° D．102° 2．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝26°，D是圆周上直径AB左侧的点，则∠ADC应是（　　） A．60° B．64° C．70° D．74° 3．如图，已知AB与⊙O相切于点A，AC是⊙O的直径，连接BC交⊙O于点D，E为⊙O上一点，当∠CED＝58°时，∠B的度数是（　　） A．32° B．64° C．29° D．58° 4．如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，AE＝DE，若∠BDE＝110°，则∠ABD的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 类型五：连接90°的圆周角的“斜边” 1．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°．若四边形ABCD的面积是S，AC的长是x，则S与x之间的函数关系式是（　　） A．S＝x2 B．Sx2 C．Sx2 D．Sx2 2．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（　　） A．12 B．10 C．4 D．5 3．如图，在扇形OAB中，点D在OA上，点C在AB上，∠AOB＝∠BCD＝90°．若CD＝3，BC＝4，则⊙O的半径为（　　） A．4 B．4.8 C．2 D．3 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠A＝90°，．若AB＝8，AD＝6，则BC的长为（　　） A． B．5 C． D．10 5．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝90°，P为上一动点（不与点C，D重合）． （1）若∠BPC＝30°，BC＝3，求⊙O的半径； （2）若∠A＝90°，，求证：PB﹣PDPC． 类型六：构造圆的内接四边形 1．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（　　） A．155° B．150° C．160° D．162° 2．如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，BE是直径，BE∥CD，∠E＝26°，则∠A的度数为（　　） A．26° B．25° C．65° D．64° 3．如图，在圆O中，∠AOB＝118°，点C在劣弧AB上，∠BAC＝35°，则∠ABC＝（　　） A．31° B．24° C．26° D．27° 4．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上顺次排列，已知AB＝BC，∠ABD＝∠BCE． （1）求证：BD＝CE； （2）若直线AE过圆心O，设∠BCE的度数为α，的度数为β． ①当β＝60时，求α的值； ②探索α和β满足的等量关系． 类型七：构造隐形圆 1．如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝50°，则∠ADC的度数是　 °． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B是第一象限内的一个动点并且使∠OBA＝90°，点C（0，3），则BC的最小值为　 ． 3．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC、AB＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，连接PC，且满足∠PAB＝∠PBC，过点P作PD⊥BC交BC于点D． （1）∠APB＝ 　 ； （2）当线段CP最短时，△BCP的面积为 　 　 ． 4．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝8，BC＝6，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC．则线段CP长的最小值为 　 　 ． 5．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为　 　 ． 6．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是平面内一动点，且∠APB＝90°，取BC的中点E，连接PE，则线段PE的最大值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 与圆的性质有关的辅助线的作法 类型一：连半径构造等腰三角形 类型二：作弦心距或连半径 类型三：构造同弧或等弧所对的圆心角或圆周角 类型四：构造直径所对的圆周角 类型五：连接90°的圆周角的“斜边” 类型六：构造圆的内接四边形 类型七：构造隐形圆 类型一：类型一：连半径构造等腰三角形 1．如图，在扇形AOB中，D为上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（　　） A．35° B．52.5° C．70° D．72° 【答案】C 【解答】解：连接OD，如图，设∠C的度数为n， ∵CD＝OA＝OD， ∴∠C＝∠DOC＝n， ∴∠ADO＝∠DOC+∠C＝2n， ∴OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO＝2n， ∵∠AOC+∠C+∠A＝180°，∠AOC＝75°， ∴75°+n+2n＝180°， 解得n＝35°， ∴∠A＝2n＝70°． 故选：C． 2．如图，在圆O中，OA⊥BC，∠ADC＝30°，则的度数为（　　） A．30° B．60° C．120° D．240° 【答案】C 【解答】解：连接OB、OC， ∵∠ADC＝30°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝60°， ∵OB＝OC，OA⊥BC， ∴∠AOB＝∠AOC＝60°， ∴∠BOC＝120°， 即的度数为120°， 故选：C． 3．如图，A、B、C是⊙O的圆周上三点，DE与⊙O相切于点C，连接AB、BC、AC，若AB＝AC，∠BCD＝40°，则∠ACE的度数为（　　） A．40° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【解答】解：如图，连接OA、OB、OC， ∵DE与⊙O相切于点C， ∴OC⊥DE， ∵∠BCD＝40°， ∴∠OCB＝50°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝50°， ∴∠BOC＝80°， 由圆周角定理得：∠BAC∠BOC＝40°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝70°， ∴∠OCA＝20°， ∴∠ACE＝90°﹣20°＝70°， 故选：C． 4．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝105°，OA＝8，点C在半径OA上，将△BOC沿着BC翻折，点O的对称点D恰好落在弧AB上，再将弧AD沿着CD翻折至弧A1D（点A1是点A的对称点），那么OA1的长为 　88　 ． 【答案】88． 【解答】解：如图，连接OD，由翻折的性质可知，OB＝BD，OC＝DC，AC＝A1C，∠BOC＝∠BDC＝105°， ∵OB＝OD， ∴OB＝OD＝BD， ∴△BOD是正三角形，∠OBD＝60°， ∴∠OCD＝360°﹣105°﹣105°﹣60°＝90°， 设AC＝a，则OC＝8﹣a＝CD，A1O＝8﹣2a， 在Rt△COD中，OC＝CD＝8﹣a，OD＝8，由勾股定理得， OC2+CD2＝OD2， 即（8﹣a）2+（8﹣a）2＝82， 解得a＝8﹣4或a＝8+48（舍去）， ∴OA1＝OA﹣2AC ＝8﹣2（8﹣4） ＝8﹣16+8 ＝88． 故答案为：88． 类型二：作弦心距或连半径 1．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具﹣﹣筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的小上方，⊙O被水面截得的弦AB长为8米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米，则⊙O的半径长为（　　） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】D 【解答】解：如图，连接OA、OC，交AB于点D，设⊙O的半径长为x， ∵点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米， ∴OC⊥AB，OD＝x﹣2， ∴， 在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2， ∴x2＝42+（x﹣2）2， 解得：x＝5， ∴⊙O的半径长为5米． 故选：D． 2．如图所示，圆O的直径AB与弦MN相交于点P．已知圆的直径AB＝4，∠APN＝45°，则MP2+NP2的值是（　　） A．8 B．8 C．4 D．4 【答案】B 【解答】解：如图所示，过点O作OC⊥MN于点C，连接ON，则NC＝MC， ∵∠APN＝45°， ∴OC＝PC， ∵MP2+NP2＝（NC﹣PC）2+（NC+PC）2 ＝2（NC2+PC2） ＝2（NC2+OC2） ＝2ON2， ∵AB＝4， ∴ON＝2， ∴MP2+NP2＝2×22＝8， 故选：B． 3．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D为上一点，且AD＝4，，则图中的阴影部分面积为（　　） A．5π﹣10 B．5π﹣14 C．10π﹣20 D．10π﹣24 【答案】B 【解答】解：取AD中点M，BD中点N，连接OM，ON，OD，AB，作AE⊥BD交BD延长线于点E， ∵OA＝OB＝OD， ∴OM⊥AD，ON⊥BD，OM平分∠AOD，ON平分∠BOD， ∴， ∴， 在四边形MOND中，∠MON＝360°﹣90°×2﹣45°＝135°， ∴∠ADE＝180°﹣135°＝45°， 在Rt△ADE中，AD＝4， ∴ ∴ 在Rt△ABE中， ， 在Rt△AOB中， ， ∴，， ∴图中的阴影部分面积为5π﹣10﹣4＝5π﹣14， 故选：B． 4．如图，半径为5的⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC、∠EAD，已知DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则圆心A到弦BC的距离等于 　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N． ∵AM⊥BC，AN⊥DE， ∴CM＝MB，DN＝NE＝3， ∵AC＝AB＝AD＝AE， ∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN， ∵∠BAC+∠EAD＝180°， ∴2∠CAM+2∠DAN＝180°， ∴∠CAM+∠DAN＝90°， ∵∠ACM+∠CAM＝90°， ∴∠ACM＝∠DAN， ∵∠AMC＝∠AND＝90°， ∴△AMC≌△DNA（AAS）， ∴AM＝DN＝3， 故答案为：3． 类型三：构造弧或等弧所对的圆心角或圆周角 1．如图，半径为2的⊙O的弦AD＝BC，且AD⊥BC于点E，连接AB、AC，则AB的长为（　　） A．2 B．2 C． D．1 【答案】A 【解答】解：如图，连接OA，OB， ∵AD＝BC， ∴， ∴， ∴∠C＝∠CAD， ∵AD⊥BC ∴∠AEC＝90°， ∴∠C＝∠CAD＝45°， ∴∠O＝2∠C＝90°， ∴ABOA＝2． 故选：A． 2．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝25°，则∠CAD的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【答案】B 【解答】解：连接BD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∵∠ABC＝25°， ∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝65°， ∴∠CAD＝∠CBD＝65°， 故选：B． 3．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝45°，AC＝2，则⊙O的半径为　　 ． 【答案】． 【解答】解：连接OA，OC， ∵∠B＝45°， ∴∠AOC＝2∠B＝90°， 在Rt△AOC中，AO2+CO2＝AC2， 又AO＝CO，AC＝2， ∴AO2+AO2＝22， ∴或AO（舍去）， ∴⊙O的半径为， 故答案为：． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE⊥BC于点E，若BECE，则∠BAD等于（　　） A．100° B．120° C．135° D．150° 【答案】B 【解答】解：如图，连接BD． ∵AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD， ∴∠DAC＝∠ACD＝45°． ∴∠DBC＝∠DAC＝45°， ∵DE⊥BC，则∠BED＝90°， ∴△BDE是等腰直角三角形，又 ∴， 在Rt△CDE中，， ∴∠DCE＝60°． ∴∠BAD＝180°﹣∠DCE ＝120°． 故选：B． 类型四：构造直径所对的圆周角 1．如图，BD是⊙O的直径，点C是弧BD的中点，弦AC与BD交于点P．若∠ADB＝61°，则∠CPD等于（　　） A．106° B．122° C．124° D．102° 【答案】A 【解答】解：连接CD， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝∠BAD＝90°． 由条件可知BC＝CD， ∴∠CBD＝45°， ∴∠CAD＝45°． ∵∠CPD是△ADP的外角， ∴∠CPD＝∠CAD+∠ADB＝45°+61°＝106°． 故选：A． 2．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝26°，D是圆周上直径AB左侧的点，则∠ADC应是（　　） A．60° B．64° C．70° D．74° 【答案】B 【解答】解：连接BC，如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣26°＝64°， ∴∠ADC＝∠B＝64°． 故选：B． 3．如图，已知AB与⊙O相切于点A，AC是⊙O的直径，连接BC交⊙O于点D，E为⊙O上一点，当∠CED＝58°时，∠B的度数是（　　） A．32° B．64° C．29° D．58° 【答案】D 【解答】解：连接AD， ∵AB与⊙O相切于点A， ∴CA⊥AB， ∴∠CAB＝90°， ∵∠CED＝∠CAD＝58°， ∴∠DAB＝90°﹣∠CAD＝32°， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠DAB＝58°， 故选：D． 4．如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，AE＝DE，若∠BDE＝110°，则∠ABD的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【解答】解：连接AD，BE， ∵AB是圆的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BDE＝110°， ∴∠ADE＝110°﹣90°＝20°， ∵AE＝DE， ∴， ∴∠ABE＝∠DBE＝∠ADE＝20°， ∴∠ABD＝20°+20°＝40°． 故选：C． 类型五：连接90°的圆周角的“斜边” 1．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°．若四边形ABCD的面积是S，AC的长是x，则S与x之间的函数关系式是（　　） A．S＝x2 B．Sx2 C．Sx2 D．Sx2 【答案】B 【解答】解：作BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，连接BD， ∴∠AMB＝∠AND＝90°， ∵∠ABM+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝90°， ∴∠ABM＝∠DAN， ∵AB＝AD， ∴△BAM≌△ADN（AAS）， ∴BM＝AN， ∵△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD＝45°， ∵∠ACD＝∠ABD＝45°， ∴∠NDC＝∠NCD＝45°， ∴DN＝NC， ∴BM+DN＝AN+CN＝AC＝x， ∴S＝△ABC的面积+△ACD的面积， ∴SAC•BMAC•DNAC•（BM+DN）AC2x2． 故选：B． 2．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（　　） A．12 B．10 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：连接EF，如图， ∵∠EOF＝90°， ∴EF10， ∵∠EOF＝90°， ∴EF为圆的直径， ∴这个圆的直径为10． 故选：B． 3．如图，在扇形OAB中，点D在OA上，点C在AB上，∠AOB＝∠BCD＝90°．若CD＝3，BC＝4，则⊙O的半径为（　　） A．4 B．4.8 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：以点O为圆心，以OB为半径画圆，延长CD交⊙O于点E，连接BE，BD，如图所示： 在△BCD中，∠BCD＝90°，CD＝3，BC＝4， 由勾股定理得：BD5， ∵∠BCD＝90°， ∴BE为⊙O的直径， ∴点B，O，E在同一条直线上， ∴OB＝OE， ∵∠AOB＝90°， ∴DE＝BD＝5， 在Rt△BCE中，CE＝CD+DE＝8，BC＝4， 由勾股定理得：BE． ∴OB＝OEBE． 故选：C． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠A＝90°，．若AB＝8，AD＝6，则BC的长为（　　） A． B．5 C． D．10 【答案】A 【解答】解：如图所示，连接BD， ∵∠A＝90°，AB＝8，AD＝6， ∴， ∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝90°， ∴∠BCD＝90°， ∵． ∴BC＝CD， 故选：A． 5．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝90°，P为上一动点（不与点C，D重合）． （1）若∠BPC＝30°，BC＝3，求⊙O的半径； （2）若∠A＝90°，，求证：PB﹣PDPC． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接AC， ∵∠D＝90°， ∴AC是⊙O的直径， ∵∠BAC＝∠P＝30°， ∴AC＝2BC＝6， 所以圆O的半径为3； （2）∵∠A＝90°， ∴∠C＝90°， ∵AC为圆O直径， ∴∠D＝∠B＝90°， ∴四边形ABCD为矩形． ∵， ∴AB＝AD， ∴矩形ABCD为正方形， 在BP上截取BE＝DP， ∴△BCE≌△DPC， ∴PC＝CE， ∴△CPE为等腰直角三角形， ∴PEPC， ∴PB＝PDPC． 类型六：构造圆的内接四边形 1．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（　　） A．155° B．150° C．160° D．162° 【答案】A 【解答】解：连接AE， ∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形， ∴∠C+∠AED＝180°， ∵所对的圆心角为50°， ∴∠AEB50°＝25°， ∴∠C+∠BED＝180°﹣∠AEB＝155°， 故选：A． 2．如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，BE是直径，BE∥CD，∠E＝26°，则∠A的度数为（　　） A．26° B．25° C．65° D．64° 【答案】D 【解答】解：如图，连接BC， ∵BE∥CD，∠E＝26°， ∴∠ECD＝∠E＝26°， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BCE＝90°， ∴∠BCD＝90°+26°＝116°， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∴∠A＝180°﹣∠BCD＝64°， 故选：D． 3．如图，在圆O中，∠AOB＝118°，点C在劣弧AB上，∠BAC＝35°，则∠ABC＝（　　） A．31° B．24° C．26° D．27° 【答案】B 【解答】解：如图，在优弧AB上任取一点D，连接BD、AD， ∴， ∴四边形ACBD是圆内接四边形， ∴∠C+∠D＝180°， ∴∠C＝121°， ∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180°， ∴∠ABC＝24°， 故选：B． 4．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上顺次排列，已知AB＝BC，∠ABD＝∠BCE． （1）求证：BD＝CE； （2）若直线AE过圆心O，设∠BCE的度数为α，的度数为β． ①当β＝60时，求α的值； ②探索α和β满足的等量关系． 【答案】（1）详见解答； （2）①110°； ②6α+β＝720°． 【解答】证明：（1）∵AB＝BC， ∴， ∵∠ABD＝∠BCE， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 即， ∴BD＝CE； （2）解：①∵的度数β＝60°， ∴，其度数都等于40°， ∴∠AOB＝40°， ∵点A、点B、点C、点E在⊙O上， ∴∠BCE+∠A＝180°， ∴∠BCE＝180°﹣（） ＝180°﹣70° ＝110°， 即α＝110°； ②6α+β＝720°，理由如下： ∵的度数β， ∴，其度数都等于， ∴∠AOB， ∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形， ∴∠BCE+∠A＝180°， ∴∠BCE＝180°﹣∠A ＝180°﹣（） ＝90°∠AOB ＝90°， 即α＝90°， ∴6α+β＝720°． 类型七：构造隐形圆 1．如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝50°，则∠ADC的度数是　130　 °． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示， ∴四边形ABCD为圆O的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠ADC＝130°， 故答案为：130． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B是第一象限内的一个动点并且使∠OBA＝90°，点C（0，3），则BC的最小值为　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：如图，以OA为直径作⊙D，连接CD，交⊙D于B，此时BC长最小， ∵A（4，0），C（0，3）， ∴OC＝3，OA＝4， ∴OD＝DB＝2， ∴CD， ∴BC＝CD﹣BD2， 故答案为：2． 3．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC、AB＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，连接PC，且满足∠PAB＝∠PBC，过点P作PD⊥BC交BC于点D． （1）∠APB＝ 　90°　 ； （2）当线段CP最短时，△BCP的面积为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC， ∴∠BAP+∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°； 故答案为：90°； （2）设AB的中点为O，连接OP，则OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半）， ∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小， 在Rt△BCO中，∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3， ∴OC5， ∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2． ∴， ∵S△OBCBC•OB4×3＝6， ∴S△BCPS△OBC6， 故答案为：． 4．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝8，BC＝6，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC．则线段CP长的最小值为 　24　 ． 【答案】． 【解答】解：∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴∠PBA+∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC， ∴∠PBA+∠PAB＝90°， ∴∠APB＝90°， 如图，取AB的中点为O，连接OP， ∴， ∵P是△ABC内部的一个动点， ∴P的运动轨迹为以O为圆心，4为半径的劣弧； ∴当O、P、C三点共线时，PC最小， 此时PC＝OC﹣OP＝OC﹣4， 如图， ∵， ∴； 故答案为：． 5．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵AB⊥BC， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC ∴∠BAP+∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的⊙O上，当O、P、C共线时PC最小， 在Rt△BCO中，AB＝6，BC＝4， ∴OBAB＝3， ∴OC5， ∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2． ∴PC最小值为2． 故答案为2． 6．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是平面内一动点，且∠APB＝90°，取BC的中点E，连接PE，则线段PE的最大值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图所示，取AB的中点O， ∵AB＝6， ∴， ∵E是BC的中点，BC＝4， ∴BE＝2， ∵∠APB＝90°， ∴点P在以AB的圆上运动，即点P在以O为圆心，3为半径的圆上运动， ∴当O在线段PE上时，PE有最大值， 连接EO交⊙O于D，则点P运动到点D时PE有最大值， 由勾股定理得， ∴， ∴PE的最大值为， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $