第二十四章 圆 单元测试2025-2026学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上册 第二十四章 圆 单元测试 一、选择题 1.如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠CAE=（　　） A.108° B.36° C.45° D.72° 2.如图所示，在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，且a＞b，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分别为S甲、S乙．下列结论中正确的是（　　） A.S甲＞S乙 B.S甲＜S乙 C.S甲＝S乙 D.不确定 3.如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，点O在AB边上，⊙O与BC边相切于点D，与AB边交于点E，则∠BED的度数是（　　） A.10° B.15° C.20° D.25° 4.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝110°，则∠AOB等于（　　） A.100° B.110° C.120° D.140° 5.用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”时，应假设（　　） A.a＜b B.a≤b C.a＝b D.a≥b 6.如图，∠AOB＝30°，C为OB上一点，且OC＝3，CD⊥OA于点D，以点C为圆心，半径为1的圆与OA的位置关系是（　　） A.相交 B.相切 C.相离 D.以上三种情况均有可能 7.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，M是AB的中点，以点C为圆心，1为半径作⊙C，则（　　） A.点M在⊙C外 B.点M在⊙C上 C.点M在⊙C内 D.不能确定 8.如图，△ABC内接⊙O，∠BAC＝45°，BC＝，则的长是（　　） A. B. C. D.π 9.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为⊙O的切线，D为切点，DA＝DE，则△ABD和△CDE的面积之比为（　　） A. B. C. D.﹣1 10.如图，AB为圆O一条弦，OD⊥AB交AB于N，劣弧AB于点D，在圆上取一点C，连接AC交OD于M，连接DC，若∠ACD＝30°，M平分ON，且DN＝2，则AM＝（　　） A. B. C. D. 11.如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A（﹣2，0），点B在原点，点P是正六边形的中心，现把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2022次翻转之后，则点P的坐标是（　　） A.（2022，） B.（2021，） C.（4043，） D.（4044，） 12.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，取正六边形的对角线CF的中点为原点O，以直线OF为x轴建立平面直角坐标系，取EF的中点M，连接OM．将△OFM绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转结束时，点F的坐标为（　　） A.（﹣1，） B. C.（﹣1，﹣） D.（，1） 二、填空题 13.用反证法证明：若a，b，c是不全为0的实数，且a+b+c＝0，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数． 证明：假设a，b，c都不是 　      　， ∵a，b，c不全为0， ∴a，b，c中至少有一个为正数， ∴a+b+c 　    　0，这与已知相 　     　， ∴　          　，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 14.如图，⊙O的半径为4，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD．若∠ADB＝50°，∠ACD＝80°，则劣弧BD的长为 　      　． 15.若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 　    　个． 16.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，若BC：AB：AD＝3：4：6，且四边形ABCD的周长为72，则四边形CD边长为 　     　． 17.如图，已知⊙O的半径是8，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝120°，动点P在⊙O上运动（不与A，B重合），点Q为线段BP的中点，连接AQ，则线段AQ长度的最小值是 　           　． 三、解答题 18.如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，已点C为圆心作⊙C，半径为r． （1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外？ （2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外． 19.用反证法证明下列问题： 如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分． 20.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．求： （1）△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，并写出A1的坐标； （2）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，求弧BB1的长． 21.如图△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E． （1）求证：⊙D与AC相切； （2）若AC＝5，BC＝3，试求AE的长． 22.如图所示，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）若AB＝90cm，则圆心O到EF的距离是多少？说明你的理由． （2）若，求阴影部分的面积（结果保留π）． 人教版九年级上册 第二十四章 圆 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠CAE=（　　） A.108° B.36° C.45° D.72° 【答案】D 【解析】解： ∵多边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝BC，∠ABC=∠BAE＝＝108°， ∴∠BAC＝∠ACB＝36°， ∴∠CAE=108°-36°=72° 故选：D． 2.如图所示，在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，且a＞b，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分别为S甲、S乙．下列结论中正确的是（　　） A.S甲＞S乙 B.S甲＜S乙 C.S甲＝S乙 D.不确定 【答案】C 【解析】解：∵S甲＝2π×b×a＝2πab，S乙＝2π×a×b＝2πba， ∴S甲﹣S乙 ＝2πab﹣2πba ＝0， ∴S甲﹣S乙＝0， ∴S甲＝S乙， 故选：C． 3.如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，点O在AB边上，⊙O与BC边相切于点D，与AB边交于点E，则∠BED的度数是（　　） A.10° B.15° C.20° D.25° 【答案】B 【解析】解：连接OD，如图所示， ∵⊙O与BC边相切于点D， ∴OD⊥BC， ∵∠C＝90°， ∴OD∥AC， ∴∠BOD＝∠A＝30°， 又OD＝OE， ∴∠ODE＝∠OED， ∵∠BOD＝∠ODE+∠OED， ∴∠ODE＝∠OED＝15°． ∴∠BED＝15°， 故选：B． 4.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝110°，则∠AOB等于（　　） A.100° B.110° C.120° D.140° 【答案】D 【解析】∵∠C＝110°，∴优弧 所对的圆心角为2∠C＝220°， ∴∠AOB＝360°﹣220°＝140°． 5.用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”时，应假设（　　） A.a＜b B.a≤b C.a＝b D.a≥b 【答案】B 【解析】用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b”，第一步应假设a≤b， 故选：B． 6.如图，∠AOB＝30°，C为OB上一点，且OC＝3，CD⊥OA于点D，以点C为圆心，半径为1的圆与OA的位置关系是（　　） A.相交 B.相切 C.相离 D.以上三种情况均有可能 【答案】C 【解析】解：∵CD⊥OA于点D， ∴∠ODC＝90°， ∵∠AOB＝30°，OC＝3， ∴CD＝OC＝， ∵⊙C的半径为1，且＞1， ∴⊙C的圆心到直线OA的距离大于⊙C的半径， ∴⊙C与OA相离， 故选：C． 7.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，M是AB的中点，以点C为圆心，1为半径作⊙C，则（　　） A.点M在⊙C外 B.点M在⊙C上 C.点M在⊙C内 D.不能确定 【答案】A 【解析】解：如图， ∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2， ∴AB＝＝＝． ∵M是AB的中点， ∴CM＝AB＝＞1， ∴点M在⊙C外． 故选：A． 8.如图，△ABC内接⊙O，∠BAC＝45°，BC＝，则的长是（　　） A. B. C. D.π 【答案】C 【解析】如图，连接OB、OC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝90°， ∵BC＝， ∴OB＝OC＝BC＝1， ∴的长为：＝π． 9.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为⊙O的切线，D为切点，DA＝DE，则△ABD和△CDE的面积之比为（　　） A. B. C. D.﹣1 【答案】B 【解析】解：连接OD，如图， ∵BD为⊙O的切线，D为切点， ∴OD⊥BD， ∴∠ODB＝90°， ∵CE为直径， ∴∠CDE＝90°， ∵∠ADB+∠BDE＝90°，∠ODE+∠BDE＝90°， ∴∠ADB＝∠ODE， ∵∠ABD+∠OBD＝90°，∠DOE+∠OBD＝90°， ∴∠ABD＝∠DOE， 在△ABD和△EOD中， ， ∴△ABD≌△EOD（ASA）， ∴S△ABD＝S△EOD， ∵OE＝CE， ∴S△EOD＝S△CDE， ∴S△ABD＝S△CDE． 故选：B． 10.如图，AB为圆O一条弦，OD⊥AB交AB于N，劣弧AB于点D，在圆上取一点C，连接AC交OD于M，连接DC，若∠ACD＝30°，M平分ON，且DN＝2，则AM＝（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵∠ACD＝30°，∠C＝∠AOD， ∴∠AOD＝60°， ∵OA＝OD， ∴△OAD是等边三角形， ∵AN⊥OD， ∴ON＝DN＝2， ∴OA＝OD＝ON+DN＝4， ∵M平分ON， ∴MN＝ON＝1， ∵△AOD是等边三角形，AN⊥OD， ∴AN＝OA＝2， ∴AM＝＝． 故选：A． 11.如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A（﹣2，0），点B在原点，点P是正六边形的中心，现把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2022次翻转之后，则点P的坐标是（　　） A.（2022，） B.（2021，） C.（4043，） D.（4044，） 【答案】C 【解析】由题意可知： 第一次翻转，中点P移动到点C的位置，点A移动到点P的位置连接PC，与y轴交于点Q，过点P作PG⊥x轴，垂足为G， ∵A（﹣2，0）， ∴OA＝OP＝OC＝2， 由正六边形可知： ∠AOC＝＝120°，∠POG＝60°，∠POC＝60°， ∴△POC是等边三角形，GO＝1，PG＝， ∴PC＝2，PQ＝CQ＝1，P（﹣1，）， ∴第一次翻转，点P的横坐标增加 2，纵坐标不变， ∴经过 2022 次翻转之后，点P的坐标是（﹣1+2×2022，）， 即（4043，）， 故选：C． 12.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，取正六边形的对角线CF的中点为原点O，以直线OF为x轴建立平面直角坐标系，取EF的中点M，连接OM．将△OFM绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转结束时，点F的坐标为（　　） A.（﹣1，） B. C.（﹣1，﹣） D.（，1） 【答案】C 【解析】解：将△OFM绕点O顺时针旋转，每次旋转60°， 第1次旋转后，点F与点E重合， 第2次旋转后，点F与点D重合， 第3次旋转后，点F与点C重合， 第4次旋转后，点F与点B重合， 第5次旋转后，点F与点A重合， 第6次旋转后，点F与点F重合， …… 由于2024÷6＝337……2， 所以第2024次旋转后，点F与点D重合， 如图，连接OD，在Rt△ODN中，OD＝2，∠ODN＝60°， ∴DN＝OD＝1，ON＝OD＝， ∴点D（﹣1，﹣）， 即旋转2024次后点F的坐标为（﹣1．﹣）． 故选：C． 二、填空题 13.用反证法证明：若a，b，c是不全为0的实数，且a+b+c＝0，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数． 证明：假设a，b，c都不是 　      　， ∵a，b，c不全为0， ∴a，b，c中至少有一个为正数， ∴a+b+c 　    　0，这与已知相 　     　， ∴　          　，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 【答案】负数；＞；矛盾；假设不成立 【解析】证明：假设a，b，c都不是负数． ∵a，b，c不全为0， ∴a，b，c中至少有一个为正数， ∴a+b+c＞0，这与已知相矛盾， ∴假设不成立，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 故答案为：负数；＞；矛盾；假设不成立． 14.如图，⊙O的半径为4，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD．若∠ADB＝50°，∠ACD＝80°，则劣弧BD的长为 　      　． 【答案】 【解析】解：如图，连接OB，OD， ∵∠ACD和∠ABD为所对的圆周角， ∴∠ABD＝∠ACD＝80°， ∵∠ADB＝50°， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝50°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝100°， ∵⊙O的半径为4， ∴劣弧BD的长为． 故答案为：． 15.若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 　    　个． 【答案】6 【解析】解：①过点A、B、P可以确定一个圆； ②过点A、C、P可以确定一个圆； ③过点B、C、P可以确定一个圆； ④过点A、D、P可以确定一个圆； ⑤过点B、D、P可以确定一个圆； ⑥过点C、D、P可以确定一个圆． 综上所述，最多可以作6个圆， 故答案为：6． 16.如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，若BC：AB：AD＝3：4：6，且四边形ABCD的周长为72，则四边形CD边长为 　     　． 【答案】20 【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形， ∴AB+CD＝BC+AD， ∵BC：AB：AD＝3：4：6， ∴设BC＝3x，AB＝4x，AD＝6x， ∵4x+CD＝3x+6x， ∴CD＝5x， ∵四边形ABCD的周长为72， ∴3x+4x+5x+6x＝72， 解得x＝4， ∴CD＝5x＝20． 故答案为：20． 17.如图，已知⊙O的半径是8，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝120°，动点P在⊙O上运动（不与A，B重合），点Q为线段BP的中点，连接AQ，则线段AQ长度的最小值是 　           　． 【答案】 【解析】解：如图1，取OB的中点E，连接OE，OP， ∵点Q为线段BP的中点，点E为OB的中点， ∴QE为△BOP的中位线， ∴， ∴点Q的轨迹为以点E为圆心，4为半径的圆， 如下图所示，作AF⊥OB交BO的延长线于点F，当点Q位于线段AE与⊙E的交点时，AQ取最小值， ∵∠AOB＝120°，∠AOB＝∠F+∠OAF， ∴∠OAF＝∠AOB﹣∠F＝120°﹣90°＝30°， ∴， ∴， 在Rt△EFA中，EF＝OF+OE＝4+4＝8，， ∴， ∴， ∴线段AQ长度的最小值是， 故答案为：． 三、解答题 18.如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，已点C为圆心作⊙C，半径为r． （1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外？ （2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外． 【答案】解：（1）若点A、B在⊙C外，则AC＞r， ∵AC＝3， ∴0＜r＜3， （2）如点A在⊙C内，点B在⊙C外，则AC＜r＜BC， ∵AC＝3，BC＝4， ∴3＜r＜4． 【解析】 19.用反证法证明下列问题： 如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分． 【答案】证明：连接DE， 假设BD和CE互相平分， ∴四边形EBCD是平行四边形， ∴BE∥CD， ∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上， ∴AB不可能平行于AC，与已知出现矛盾， 故假设不成立原命题正确， 即BD和CE不可能互相平分． 【解析】 20.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．求： （1）△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，并写出A1的坐标； （2）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，求弧BB1的长． 【答案】解：（1）如图所示： （2）由勾股定理得，OB＝＝， 弧BB1的长＝＝π． 【解析】 21.如图△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E． （1）求证：⊙D与AC相切； （2）若AC＝5，BC＝3，试求AE的长． 【答案】（1）证明：过D作DF⊥AC于F， ∵∠B＝90°， ∴AB⊥BC， ∵CD平分∠ACB交AB于点D， ∴BD＝DF， ∴⊙D与AC相切； （2）解：设圆的半径为x， ∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5， ∴AB＝＝4， ∵AC，BC，是圆的切线， ∴BC＝CF＝3， ∴AF＝AB﹣CF＝2， ∵AB＝4， ∴AD＝AB﹣BD＝4﹣x， 在Rt△AFD中，（4﹣x）2＝x2+22， 解得：x＝， ∴AE＝4﹣3＝1． 【解析】 22.如图所示，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）若AB＝90cm，则圆心O到EF的距离是多少？说明你的理由． （2）若，求阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】解：（1）如图所示，连接OD， ∵D为的中点， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴OD∥AE， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥EF， ∴OD的长是圆心O到EF的距离， ∵AB＝90cm， ∴． （2）如图所示，过点O作OG⊥AD交AD于点G． ∵DA＝DF， ∴∠F＝∠BAD， 由（1）得∠CAD＝∠BAD， ∴∠F＝∠CAD， ∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD， ∵在Rt△ODF中，OF2﹣OD2＝DF2， ∴，解得OD＝6， 在Rt△OAG中，OA＝OD＝6，∠OAG＝30°，， ∴， ∴． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$