专题20 数学广角 (稍复杂的抽屉原理) -小升初思维拓展精编提优讲义 通用版

专题20 数学广角 (稍复杂的抽屉原理) 一、填空题(每题5分，共45分) 1 把 125本书分给五(2)班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有( )人。 2 某次入学考试，共有 1123名同学参加，小明说：“至少有 10名同学来自同一个学校。”如果他的说法是正确的，那么最多有( )个学校参加了这次入学考试。 3 海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在140厘米到150厘米之间(包括140厘米和150厘米)，那么，至少从( )个学生中保证能找到4个人的身高相同。 4 篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有( )个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的。 5 幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是同样的，至少有( )个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同。 6 体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有66个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一个，最多拿两个球，至少有( )名同学所拿的球的种类是完全一样的。 7 从2、4、6、8、…、50这25个偶数中至少任意取出( )个数，才能保证有2个数的和是52。 8 从1,2,3,4,…,1988,1989这些自然数中,最多可以取( )个数,其中每两个数的差不等于4。 9 某班有16个学生，每个月教师把学生分成两个小组。最少要经过( )个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里。 二、解答题(第 10题15分,第11~13题每题20分,共75分) 10 求证：任给11个数，其中必有6个数，它们的和是6的倍数。 11 20道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题。证明：小明一定在连续的若干天内恰好做了7道题目。 12 平面上给定6个点，没有3个点在一条直线上。证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形中，一定有一个三角形，它的最大边同时是另外一个三角形的最小边。 13 上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操。老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生？如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例。 三、选做题(每题 15分，共30分) 14 有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同。现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于 100，那么你最多能挑选出多少个孩子？ 15 如图，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数。并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立。 参考答案 专题20 数学广角(稍复杂的抽屉原理) 一、1.最坏的情况是只有1个人分到4本书，而其他同学都只分到3本书,则(125-4)÷3=40···1,因此这个班最多有40+1=41(人)。 2.最坏的情况是只有 10个同学来自同一个学校，而其他学校都只有9名同学参加，则(1123-10)÷9=123…6,因此最多有123+1=124(个)学校。 3.在140厘米至150厘米之间(包括140厘米和150厘米)共有11个整厘米数，把这11个整厘米数看作11 个“抽屉”，每个抽屉中放3个整厘米数，就要11×3=33(个)整厘米数，如果再取出一个整厘米数，放入相应的抽屉中，那么这个抽屉中便有4个整厘米数，也就是至少找出33+1=34(个)学生，才能找到4个人的身高相同。 4.首先应弄清不同的水果搭配有多少种。两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4+6=10(种)。将这 10种搭配作为10个“抽屉”。由抽屉原理知至少需11个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的。 5.从四种玩具中挑选不同的两件，所有的搭配有以下 6组：牛、马；牛、羊；牛、狗；马、羊；马、狗；羊、狗。把每一组搭配看作一个“抽屉”，共6个抽屉。根据抽屉原理，至少要有7个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同。 6.以拿球配组的方式为“抽屉”，每人拿一个或两个球，所以抽屉有：足、排、篮、足足、排排、篮篮、足排、足篮、排篮，共9种情况，即有9个抽屉,则66÷9=7…3,7+1=8,即至少有8名同学所拿球的种类是一样的。 7. 两两之和等于52的组合有:{2,50},{4,48},{6,46},{8,44},…,{24,28},共12种搭配,因此可以看作有12+1=13(个)“抽屉”,所以任意取出14个数，无论怎样取，有两个数必同在一个抽屉里，这两数和为52。或者从小数入手考虑,2、4、6、…、26,当再取28时,与其中的一个去配，总能找到一个数使这两个数之和为52。 8. 将1~1989排成四个数列: 1,5,9,…,1985,1989 2,6,10,…,1986 3,7,11,…,1987 4,8,12,…,1988 每个数列相邻两项的差是4，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于4，每个数列中不能取相邻的项。因此，第一个数列只能取出一半,因为有(1989-1)÷4+1=498(项),所以最多取出 249 项,例如 1,9,17,…,1985。同样，后三个数列每个最多可取249项。因而最多取出 249×4=996(个)数,其中每两个的差不等于4。 9.经过第一个月，将16个学生分成两组，至少有8个学生分在同一组，下面只考虑这8个学生。经过第二个月，将这8个学生分成两组，至少有4个学生是分在同一组，下面只考虑这4个学生。经过第三个月，将这4个学生分成两组，至少有2个学生仍分在同一组，这说明只经过3个月是无法满足题目要求的。如果经过四个月，将每个月都一直保持同组的学生一分为二，放入两个组，那么第一个月保持同组的人数为16÷2=8(人)，第二个月保持同组的人数为8÷2=4(人)，第三个月保持同组的人数为4÷2=2(人)，这说明照此分法，不会有2个人一直保持在同一组内，即满足题目要求，故最少要经过4个月。 二、10. 设这11个数为a₁,a₂,a₃,···,a₁₁,由5个数的结论可知,在a₁,a₂,a₃,a₄,a₅中必有3个数，其和为3的倍数，不妨设 =3k₁;在a₄,a₅,a₆,a₇,a₈中必有3个数,其和为3的倍数，不妨设( 在a₇,a₈,a₉,a₁₀,a₁₁中必有3个数,其和为3的倍数，不妨设 又在k₁，k₂，k₃中必有两个数的奇偶性相同，不妨设k₁，k₂的奇偶性相同，那么 是6的倍数,即 a₁,a₂,a₃,a₄,a₅,a₆的和是6的倍数。 11.设小明第1天做了a₁ 道题，前2 天共做了a₂ 道题,前3天共做了 a₃道题,…,前14天共做了a₁₄道题。显然a₁₄=20,而a₁~a₁₃都小于 20。考虑a₁,a₂,a₃,……,a₁₄及a₁ 7这28个数，它们都不超过27。根据抽屉原理，这28个数中必有两个数相等。由于( 互不相等， 也互不相等，因而这两个相等的数只能一个在前一组，另一个在后一组中，即有 ai+7,所以( 这表明从第i+1天到第j天，小明恰好做了7道题。 12.我们先把题目解释一下，一般情况下三角形的三条边的长度是互不相等的，因此必有最大边和最小边。在等腰三角形(或等边三角形)中，会出现两条边，甚至三条边都是最大边(或最小边)。 我们用染色的办法来解决这个问题。分两步染色： 第一步：先将每一个三角形中的最大边涂上同一种颜色，比如红色；第二步，将其他的未涂色的线段都涂上另外一种颜色，比如蓝色。 这样，我们就将所有三角形的边都用红、蓝两色涂好。这些三角形中至少有一个同色三角形。由于这个同色三角形有自己的最大边，而最大边涂成红色，所以这个同色三角形必然是红色三角形。由于这个同色三角形有自己的最小边，而这条最小边也是红色的，说明这条最小边必定是某个三角形的最大边。结论得证。 13.因为只有男生或女生两种情况，所以第1行的7个位置中至少有4个位置同性别。为了确定起见，不妨设前4个位置同是男生，如果第二行的前4个位置有2名男生，那么4个角同是男生的情况已经存在，所以我们假定第二行的前4个位置中至少有3名女生，不妨假定前3个是女生。又第三行的前3个位置中至少有2个位置是同性别学生，当是2名男生时与第一行构成一个四角同性别的矩形，当有2名女生时与第二行构成四角同性别的矩形。所以，不论如何，总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形4 个角上的学生同性别。问题得证。 三、14.将1至 49中相乘小于100的两个数，按乘数分成9组，如下： (1×2)、(1×3)、(1×4)、…、(1×49); (2×3)、(2×4)、(2×5)、…、(2×49); … … … … … … (8×9)、(8×10)、(8×11)、(8×12); (9×10)、(9×11)。 因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数作为乘数最多两次，所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出18个数对,共18×2=36(次),但是每个数都出现两次，故出现了18个数。 例如:(10×9)、(9×11)、(1×8)、(8×12)、(12×7)、(7×13)、(13×6)、(6×14)、(14×5)、(5×15)、(15×4)、(4×16)、(16×3)、(3×17)、(17×2)、(2×18)、(18×1)、(1×10)。共出现1~18号,共18个孩子。若随意选取出 19个孩子，那么共有 19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，则会形成19个相乘的数对。那么在9组中取出19个数时,有19=9×2+1,由抽屉原则知，必有三个数对落入同一组中，这样某个数字会在数对中出现三次(或三次以上)，由分析知，这是不允许的。故最多挑出18个孩子。 15.在表盘上共可作出 12个不同的扇形，且1~12中的每个数恰好被4 个扇形覆盖。将这12个扇形分为4 组，使得每一组的3个扇形恰好盖住整个表盘。那么，根据抽屉原理，从中选择9个扇形，必有 =3(个)扇形属于同一组，那么这一组的3个扇形可以覆盖整个表盘。另一方面，作8个扇形相当于从全部的12个扇形中去掉4个，则可以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这个数就没有被剩下的8个扇形盖住，那么这8个扇形不能盖住整个表盘。 学科网（北京）股份有限公司 $