3.1.1椭圆及其标准方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程 基础巩固 一、单选题 1．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】由椭圆方程和椭圆定义即可求解. 【详解】由题可得. 故选：D 2．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（   ） A．射线 B．直线 C．线段 D．椭圆 【答案】C 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】根据两点间的距离公式即可判断. 【详解】因为表示点到的距离， 表示点到的距离， 又，即，又， 即， 所以动点的轨迹是线段. 故选：C 3．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c 【分析】利用椭圆的定义与性质计算即可. 【详解】由题意可知，又，所以. 故选：A 4．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平面轨迹方程、利用椭圆定义求方程 【分析】根据条件可得点在以，为焦点，的椭圆上，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 由题知，又，则， 所以点在以，为焦点，的椭圆上， 由，得，所以点的轨迹方程为， 故选：B. 5．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆 【分析】由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果. 【详解】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆的方程配方得：，圆心，半径为， 圆同理化为，圆心，半径为， 当动圆与圆相外切时，有① 当动圆与圆相内切时，有② 将①②两式相加，得 动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆， 故，，，. 故选：A. 6．（2025高二上·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、椭圆定义及辨析 【分析】根据题意作图，利用椭圆的定义结合三角形的三边关系得出，再根据两点间距离公式计算即可. 【详解】    如图，为椭圆上任意一点，则， 所以， 因为为圆上任意一点，则， 所以， 当且仅当共线且在和之间时，等号成立． 由题意知，，则， 所以的最小值为． 故选：B． 7．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解. 【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得， 所以，，设，则，可得， 则，解得， 所以椭圆C的方程， 故选：A. 8．（2025高三·全国·专题练习）如图，假定一个弹珠（设为质点，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径）的中心为右焦点的椭圆，已知椭圆的右端点A到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点到小球表面最近的距离是5，弹珠由点A开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心的距离是时，弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”，若使弹珠和小球不会发生碰撞，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】依据题意得到椭圆的方程，然后联立，得到，设直线方程，最后根据到直线距离大于1计算可得. 【详解】设椭圆的方程为 由题意，得；，所以 设， 到原点距离为的圆的方程为 联立，所以， 设直线方程为，即， 弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心到直线的距离大于圆半径1， 所以，解得， 故选：A． 二、多选题 9．（24-25高二上·河南许昌·期末）若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】BD 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围，结合选项即可判断. 【详解】由于方程表示椭圆， 所以，解得或， 结合选项，可知的值可以为3和8. 故选：BD 10．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）下列说法中正确的有（   ） A．已知点，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 B．已知点，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C．已知点，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D．已知点，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 【答案】CD 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆定义分别判断各个选项即可. 【详解】根据题意，点，，则， 对于A，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹不存在，错误； 对于B，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹为线段，错误； 对于C，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆，正确； 对于D，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆，正确； 故选：CD. 11．（24-25高二上·福建福州·期中）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A． B．若圆与圆有且仅有1个公共点，则 C．若圆与圆相交弦长为4，则 D．当时，若动圆M与圆外切，与圆内切，则点M的轨迹方程为 【答案】AC 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、由圆的一般方程确定圆心和半径、利用椭圆定义求方程 【分析】根据题意求两圆圆心和半径.对于A，根据半径有意义可得；对于B，根据圆与圆的位置关系分析求解；对于C，将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程，根据圆心在公共弦上可解；对于D，根据圆M与圆、的位置关系，结合椭圆的定义即可求得点M的轨迹方程. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径； 将圆的方程化为标准方程得：， 故其圆心，半径， ，即，故选项A正确； 若圆与圆有且仅有1个公共点，则圆与圆外切或内切， 又，或， 解得或，故选项B错误； 圆的一般方程为， 则相交弦方程为：，即， 若圆与圆相交弦长为4，则相交弦为圆的直径， 将圆心代入相交弦方程可得，故选项C正确； 当时，圆，圆心，半径，设动圆M半径为， 因为动圆M与圆外切，与圆内切，，， ， 所以点M的轨迹为以和为焦点，长轴长为8的椭圆， ，所以点M的轨迹方程为，故选项D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高二上�安徽�期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于，两点，则三点能构成边长为的正三角形时，的方程为 ． 【答案】 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆定义及辨析 【分析】根据题意画出图形，分析图意，根据椭圆和三角形对称性，结合椭圆的定义计算. 【详解】设，由题意知当时是边长为的正三角形， 如图． 由椭圆和正三角形的对称性，可知，所以， 又，所以， 由，得，故椭圆的方程为． 故答案为：. 13．设、分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，，若，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的定义、勾股定理以及已知条件可求得、的值，由此可求得所求椭圆的标准方程. 【详解】，，， 又，. 由椭圆定义可知， ，，， 因此，所求椭圆的标准方程为. 故答案为：. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题. 14．（24-25高二上�天津�阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，且满足，则 ，的面积为 ． 【答案】 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆定义及辨析 【分析】利用椭圆的定义可求得；取线段的中点，连接，分析可知，利用勾股定理求出，再结合三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】取线段的中点，连接，如下图所示： 在椭圆中，，，， 则，由椭圆的定义可得， 因为为的中点，则， 所以，， 故. 故答案为：；. 四、解答题 15．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）讨论方程＋表示的曲线. 【答案】答案见详解 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆定义讨论判断. 【详解】表示点到点的距离，表示点到点的距离， 所以表示点到点和的距离之和， 当时，方程表示的曲线是椭圆； 当时，方程表示的曲线是线段； 当时，方程表示的曲线不存在. 16．（25-26高二上·湖南常德·阶段练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，焦距为，且经过点 (2)经过点两点． (3)过且与有相同的焦点； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程、求共焦点的椭圆方程 【分析】（1）由题意得，将代入到方程，结合求出即可； （2）设方程为将两个点的坐标代入求出的值即可； （3）设所求椭圆方程，将代入求得的值即可. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 依题可得，将代入方程中得， 又，， 故， 所以椭圆的标准方程为． （2）设方程为 则，解得，则所求椭圆方程为 （3）由方程可知，其焦点的坐标为，即． 则， 设所求椭圆方程， 因为椭圆过点，代入方程得， 解得（舍去），， 故椭圆的标准方程为. 17．（25-26高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）（1）如图，已知圆，点是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于，求动点的轨迹的方程；    （2）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上运动.若点是线段上靠近的三等分点，求点的轨迹方程； 【答案】（1）；（2） 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆、椭圆定义及辨析 【分析】（1）连接，根据题意，，由椭圆的定义知动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆即可求解； （2）根据，利用向量坐标运算，得出坐标间的关系，由转移法求出点的轨迹方程即可. 【详解】（1）连接，根据题意，，    则， 故动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆. 设其方程为， 可知，则， 点的轨迹的方程为. （2）依题意，，点， 则，即， 故，即， 而，即， 所以点的轨迹方程为. 18．（2025高二·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，分别是矩形四条边的中点，为的中点，是线段上的动点，若，直线相交于点．是否存在两个定点，使点到这两点的距离之和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在定点，，定值4． 【知识点】求平面轨迹方程、椭圆定义及辨析 【分析】以O为原点，分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，写出关键点坐标，设，求出，，得到，，求出直线的方程，消去，得点P的轨迹方程，根据椭圆定义可解. 【详解】如图，以O为原点，HF，EG分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则，，，． 设，则，， 所以，， 所以直线ER的方程为    ①，直线GS的方程为    ②， 由①②消去，得， 所以点P的轨迹方程为， 所以存在定点，，使点P到点，的距离之和恒为定值4． 19．（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直. (1)证明：； (2)若的角平分线恰好过点，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆定义及辨析 【分析】（1）利用椭圆定义以及勾股定理计算可得结论； （2）由角平分线定理可得，，解得，代入可求得面积. 【详解】（1）由椭圆的定义得， 因为直线与x轴垂直，所以， 即， 故. （2）因为平分，所以，即，如下图所示： 由和，解得，， 代入得，解得； 故的面积为. 能力提升 一、多选题 1．（多选题）（24-25高二上�福建泉州�期中）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为和，点为椭圆上的任意点，下列说法正确的有（    ） A． B．的最大值为25 C．的最小值为9 D．若，则的面积为 【答案】AB 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析 【分析】利用椭圆的方程和椭圆的定义结合性质逐一考查每个选项即可. 【详解】设，则，. 对于A，有， ，故A正确； 对于B，有， 且当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C，有 ，故C错误； 对于D，此时 ，所以. 从而，故D错误. 故选：AB. 2．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数满足，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据已知条件确定目标式的几何意义，然后根据椭圆的知识，画图求最小值即可. 【详解】由，则， 所以，可以视为上半个椭圆上的点到点和到的距离之和， 又点恰好是椭圆的右焦点， 设左焦点为，则， 所以， 当且仅当三点共线时取得等号，此时点是直线与椭圆在第一象限内的交点. 故答案为：.    3．（2025高三�全国�专题练习）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则 . 【答案】35 【知识点】椭圆的对称性、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的对称性，结合椭圆定义即可求解. 【详解】设椭圆的右焦点为，连接， 根据椭圆的对称性，可知，，， 又根据椭圆的定义，得，，，， 所以， 又由椭圆，可知， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高二上·河北廊坊·期末）如图，矩形中，，，，，点在线段上，点在轴的非负半轴上，且，则与的交点的轨迹所在的曲线方程为 ．（注：可不用标注范围） 【答案】 【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】根据给定条件，用表示点的坐标，再求出直线方程，并联立消去参数即得曲线方程. 【详解】依题意，由，得， 则，当时，直线， 直线，联立两条直线的方程消去得， 当时，直线与交于点，即点在曲线上，而满足方程， 由点在线段上，点在轴的非负半轴上，得， 所以所求曲线方程为为. 故答案为： 5．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，已知椭圆的焦点分别为，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为点，若线段的中点为，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么． 【答案】，点的轨迹是焦点在轴上，，的椭圆（不含轴上两点）． 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】如下图，作关于直线的对称点，由角平分线的性质得点在直线上，结合已知条件推出，得出，结合椭圆性质得出，连接，则是的中位线，得出，设，则，根据两点间距离公式得出，从而构建出的关系得出轨迹的方程. 【详解】作关于直线的对称点，如下图所示，由角平分线的性质得点在直线上， 则有，又,, , ，. 椭圆中 ． 如图，为中点，为中点，连接，则是的中位线， ． 点和点都是动点，且点依赖于点进行变化，设，则， 根据两点间距离公式：， ，则点的轨迹方程是， 若点M位于轴时，点P在轴上无法构成三角形，不符合题意，故， 点的轨迹方程化为标准方程为：， 即点的轨迹是焦点在轴上，，的椭圆（不含轴上两点）． 6．（24-25高二上�浙江金华�期中）在平面直角坐标系中，我们可以采用公式（其中为常数），将点变换成点，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式．常见的线性变换有平移变换和旋转变换． (1)将点向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得新椭圆的方程； (2)将点绕原点逆时针旋转后，得到点，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆绕原点逆时针旋转后，所得新椭圆的方程； (3)若点满足，证明：点的轨迹是椭圆． 【答案】(1)；. (2)；. (3)证明见解析. 【知识点】函数图象的变换、判断方程是否表示椭圆 【分析】（1）根据坐标的平移可得坐标的变换公式，利用公式可得椭圆平移后的新方程. （2）借助复数三角形式运算的几何意义，求坐标变换公式，利用公式可得椭圆平移后的新方程. （3）利用（2）的结论，先把点的轨迹逆时针旋转，再配方，可证点的轨迹是椭圆. 【详解】（1）由题意：，所以该变换的坐标变换公式为：. 由， 所以椭圆经过变换后，所得新椭圆的方程为：. （2）设对应复数，将点绕原点逆时针旋转后，得到点， 对应复数：，则. 所以. 由. 所以椭圆绕原点逆时针旋转后， 所得新椭圆的方程为： . （3）先将曲线绕原点逆时针旋转，所得曲线的方程为： 整理得： 所以， 再将其向右平移个单位，向上平移个单位，可得，表示椭圆. 所以点的轨迹是椭圆. 【点睛】关键点点睛：处理第三问时，思路不好找，可先利用第二问的结论处理一下，就可以发现点的轨迹了. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 椭圆及其标准方程 题型1 椭圆的定义及其应用 7 题型2 求椭圆的标准方程 7 考点1 待定系数法 7 考点2 共焦点的椭圆系方程 8 题型3 椭圆方程的应用 9 考点1 由方程表示椭圆确定参数的取值范围 9 考点2 确定焦距焦点坐标或逆向求参数 9 题型4 椭圆中焦点三角形问题 10 题型5 与椭圆有关的轨迹问题 11 考点1 直接法 11 考点2 定义法 11 考点3 转代法（相关点法，代入法） 12 题型6 与椭圆有关的最值问题 13 题型7 椭圆定义与几何性质综合题 15 知识点一 椭圆的定义 把平面内与两个定点 ,的距离的和等于常数(大于) 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 椭圆定义用集合表示为：椭圆可看作点集. 注：对定义中限制条件“常数(大于 )”的理解 条件 结论 动点的轨迹是椭圆 动点的轨迹是线段 动点不存在,因此轨迹不存在 知识点二 椭圆的标准方程 标准方程 图形 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 焦点坐标 , , 焦距 异同点 相同点:大小、形状都相同,都有,,,,的关系都满足； 不同点：位置和焦点坐标不同 注：(1)椭圆标准方程中“标准”的含义 椭圆放置在平面直角坐标系的“标准状态下”的方程,即：①焦点,在坐标轴上；②线段的中点是坐标原点. (2)椭圆的标准方程的结构特征及如何判断焦点的位置 ①结构特征：标准方程右边是1,左边是与(或与的和,并且分母不相等. ②判断焦点位置的方法：标准方程中含项的分母较大⇔焦点在轴上；标准方程中含项的分母较大⇔焦点在轴上.因此要根据标准方程中分母的大小来判断,简记为“焦点位置看大小,焦点随着大的跑”. (3)椭圆标准方程中参数,的几何意义 标准方程中的两个参数,确定了椭圆的形状和大小,这是椭圆定形的条件.,,三个量满足,恰好是一个直角三角形的三条边长,我们把如图所示的直角三角形称为椭圆的“特征三角形”.椭圆的特征三角形清晰地反映了参数,,的几何意义 知识点三 点与椭圆的位置关系 1．根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系,有如下结论： 点在椭圆内部； 点在椭圆上； 点在椭圆外部. 2．对于点)与椭圆的位置关系,有如下结论： 点在椭圆外 点在椭圆内 点在椭圆上 知识点四 椭圆方程的其他形式 1．椭圆两种标准方程的统一形式 椭圆标准方程的两种形式可以写成统一的形式：1. 方程可变形为当,即时,表示焦点在轴上的椭圆； 当,即时,表示焦点在轴上的椭圆. 2．椭圆的一般方程 当时,方程可以变形为,由此可得方程表示椭圆的充要条件是：,且同号,. 此时称方程为椭圆的一般方程. 3．共焦点的椭圆系方程 与椭圆有公共焦点的椭圆系方程为; 与椭圆有公共焦点的椭圆系方程为. 知识点五 椭圆的焦点三角形 1．焦点三角形的定义 设和是椭圆的两个焦点,为椭圆上的任意一点,当,,三点不在同一条直线上时,点,,构成一个三角形,我们把这个三角形称为椭圆的焦点三角形,如图所示. 2．与椭圆焦点三角形有关的常用结论 在椭圆中,设和是椭圆的两个焦点,为椭圆上的任意一点, (1)焦点三角形的周长. (2)在焦点三角形中,. (3).当,即为椭圆与轴交点时,取最大值,为. (4),当且仅当点位于轴时,最大,此时最小. (5)椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径,则焦半径的最大值为,最小值为. (6),. (7)焦点三角形的外接圆半径为. (8)焦点三角形的内心 若为焦点三角形的内切圆半径,为焦点三角形的内心,的平分线交于点(如图). ①由等面积法,得的面积. 所以焦点三角形的内切圆半径. ②在中,根据角平分线定理得. ③在中,根据角平分线定理得. ④焦点三角形内切圆圆心的轨迹是以原椭圆焦点为顶点的椭圆(除去原焦点),其轨迹方程为. (当点位于轴时,,即) 题型1 椭圆的定义及其应用 1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（25-26高二上·全国·课后作业）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 3．（24-25高三上·安徽宿州·期末）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 题型2 求椭圆的标准方程 考点1 待定系数法 4．求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10； （2）焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点； （3）经过两点，. 5．求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)； （2）c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. （3）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和 考点2 共焦点的椭圆系方程 6．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 . 7．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 ． 8．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点． (2)经过两点，． 题型3 椭圆方程的应用 考点1 由方程表示椭圆确定参数的取值范围 9．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知曲线C：，则C为焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 考点2 确定焦距焦点坐标或逆向求参数 13．（24-25高二上·湖南·阶段练习）若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（   ） A．1 B．1或3 C．9 D．1或9 14．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知椭圆的的焦距为4，则的值为（    ） A．14 B． C．6或14 D．或 15．（24-25高二上·浙江·阶段练习）若椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则（    ） A． B． C． D．或 16．若椭圆的一个焦点为，则k的值为 . 题型4 椭圆中焦点三角形问题 17．（2025高二上·全国·专题练习）如图所示，已知椭圆的方程为，若点P在第二象限，且，求点P的坐标． 18．（25-26高二上·山西吕梁·阶段练习）已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是 . 19．（2025高三�全国�专题练习）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点，若，则= 20．（24-25高二下�安徽滁州�期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 21．（25-26高二上·全国·单元测试）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 22．（多选题）（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆，若在椭圆上，、是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．面积的最大值为 C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点有4个 题型5 与椭圆有关的轨迹问题 考点1 直接法 23．（2025高三·全国·专题练习）如图，设A，B的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为求点M的轨迹方程． 24．（2025高三·全国·专题练习）已知定点，动点满足直线的斜率，求点的轨迹方程. 考点2 定义法 25．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）平面内点P到，的距离之和是8，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高二上·重庆·阶段练习）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 考点3 转代法（相关点法，代入法） 30．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为 ．    31．（24-25高二上·福建莆田·期末）在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（ ） A．+=1(y) B．+=1(y) C．+=1(y) D．+=1(y) 32．（24-25高二上·重庆秀山·阶段练习）已知是椭圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 33．（2025高二·全国·专题练习）已知，点分别在轴、轴上运动，为坐标原点，点在线段上，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高二下·上海·期末）坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点.这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线：绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 35．如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程． 题型6 与椭圆有关的最值问题 36．（24-25高二上�河南南阳�阶段练习）已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A．5 B．9 C．4 D．3 37．（2025高二�全国�专题练习）若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . 38．（2025�安徽合肥�模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . 39．（25-26高二上·全国·课后作业）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 40．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 41．已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最大值与最小值． 题型7 椭圆定义与几何性质综合题 42．设F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　) A．4 B．3 C．2 D．5 43．（2025·广东广州·三模）椭圆的焦点为、，以为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于、两点，若直线与圆相切，则 ． 44．（2025�甘肃定西�模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作平行于轴的直线与交于两点，与轴交于点，且，则的方程为 . 45．（24-25高三上�江苏�期末）已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为 ． 46．（2025�湖南岳阳�二模）设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1椭圆及其标准方程 基础巩固 一、单选题 1．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（   ） A．射线 B．直线 C．线段 D．椭圆 3．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，则（    ） A． B． C．5 D．6 4．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高二上·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）如图，假定一个弹珠（设为质点，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径）的中心为右焦点的椭圆，已知椭圆的右端点A到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点到小球表面最近的距离是5，弹珠由点A开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心的距离是时，弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”，若使弹珠和小球不会发生碰撞，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·河南许昌·期末）若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 10．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）下列说法中正确的有（   ） A．已知点，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 B．已知点，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C．已知点，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D．已知点，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 11．（24-25高二上·福建福州·期中）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A． B．若圆与圆有且仅有1个公共点，则 C．若圆与圆相交弦长为4，则 D．当时，若动圆M与圆外切，与圆内切，则点M的轨迹方程为 三、填空题 12．（24-25高二上�安徽�期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于，两点，则三点能构成边长为的正三角形时，的方程为 ． 13．设、分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，，若，则椭圆的标准方程为 . 14．（24-25高二上�天津�阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，且满足，则 ，的面积为 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）讨论方程＋表示的曲线. 16．（25-26高二上·湖南常德·阶段练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，焦距为，且经过点 (2)经过点两点． (3)过且与有相同的焦点； 17．（25-26高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）（1）如图，已知圆，点是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于，求动点的轨迹的方程；    （2）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上运动.若点是线段上靠近的三等分点，求点的轨迹方程； 18．（2025高二·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，分别是矩形四条边的中点，为的中点，是线段上的动点，若，直线相交于点．是否存在两个定点，使点到这两点的距离之和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由． 19．（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直. (1)证明：； (2)若的角平分线恰好过点，求的面积. 能力提升 一、多选题 1．（多选题）（24-25高二上�福建泉州�期中）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为和，点为椭圆上的任意点，下列说法正确的有（    ） A． B．的最大值为25 C．的最小值为9 D．若，则的面积为 2．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数满足，则的最小值是 ． 3．（2025高三�全国�专题练习）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则 . 4．（24-25高二上·河北廊坊·期末）如图，矩形中，，，，，点在线段上，点在轴的非负半轴上，且，则与的交点的轨迹所在的曲线方程为 ．（注：可不用标注范围） 5．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，已知椭圆的焦点分别为，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为点，若线段的中点为，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么． 6．（24-25高二上�浙江金华�期中）在平面直角坐标系中，我们可以采用公式（其中为常数），将点变换成点，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式．常见的线性变换有平移变换和旋转变换． (1)将点向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得新椭圆的方程； (2)将点绕原点逆时针旋转后，得到点，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆绕原点逆时针旋转后，所得新椭圆的方程； (3)若点满足，证明：点的轨迹是椭圆． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 椭圆及其标准方程 题型1 椭圆的定义及其应用 7 题型2 求椭圆的标准方程 8 考点1 待定系数法 8 考点2 共焦点的椭圆系方程 11 题型3 椭圆方程的应用 13 考点1 由方程表示椭圆确定参数的取值范围 13 考点2 确定焦距焦点坐标或逆向求参数 15 题型4 椭圆中焦点三角形问题 16 题型5 与椭圆有关的轨迹问题 20 考点1 直接法 20 考点2 定义法 22 考点3 转代法（相关点法，代入法） 25 题型6 与椭圆有关的最值问题 30 题型7 椭圆定义与几何性质综合题 34 知识点一 椭圆的定义 把平面内与两个定点 ,的距离的和等于常数(大于) 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 椭圆定义用集合表示为：椭圆可看作点集. 注：对定义中限制条件“常数(大于 )”的理解 条件 结论 动点的轨迹是椭圆 动点的轨迹是线段 动点不存在,因此轨迹不存在 知识点二 椭圆的标准方程 标准方程 图形 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 焦点坐标 , , 焦距 异同点 相同点:大小、形状都相同,都有,,,,的关系都满足； 不同点：位置和焦点坐标不同 注：(1)椭圆标准方程中“标准”的含义 椭圆放置在平面直角坐标系的“标准状态下”的方程,即：①焦点,在坐标轴上；②线段的中点是坐标原点. (2)椭圆的标准方程的结构特征及如何判断焦点的位置 ①结构特征：标准方程右边是1,左边是与(或与的和,并且分母不相等. ②判断焦点位置的方法：标准方程中含项的分母较大⇔焦点在轴上；标准方程中含项的分母较大⇔焦点在轴上.因此要根据标准方程中分母的大小来判断,简记为“焦点位置看大小,焦点随着大的跑”. (3)椭圆标准方程中参数,的几何意义 标准方程中的两个参数,确定了椭圆的形状和大小,这是椭圆定形的条件.,,三个量满足,恰好是一个直角三角形的三条边长,我们把如图所示的直角三角形称为椭圆的“特征三角形”.椭圆的特征三角形清晰地反映了参数,,的几何意义 知识点三 点与椭圆的位置关系 1．根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系,有如下结论： 点在椭圆内部； 点在椭圆上； 点在椭圆外部. 2．对于点)与椭圆的位置关系,有如下结论： 点在椭圆外 点在椭圆内 点在椭圆上 知识点四 椭圆方程的其他形式 1．椭圆两种标准方程的统一形式 椭圆标准方程的两种形式可以写成统一的形式：1. 方程可变形为 当,即时,表示焦点在轴上的椭圆； 当,即时,表示焦点在轴上的椭圆. 2．椭圆的一般方程 当时,方程可以变形为,由此可得方程表示椭圆的充要条件是：,且同号,. 此时称方程为椭圆的一般方程. 3．共焦点的椭圆系方程 与椭圆有公共焦点的椭圆系方程为; 与椭圆有公共焦点的椭圆系方程为. 知识点五 椭圆的焦点三角形 1．焦点三角形的定义 设和是椭圆的两个焦点,为椭圆上的任意一点,当,,三点不在同一条直线上时,点,,构成一个三角形,我们把这个三角形称为椭圆的焦点三角形,如图所示. 2．与椭圆焦点三角形有关的常用结论 在椭圆中,设和是椭圆的两个焦点,为椭圆上的任意一点, (1)焦点三角形的周长. (2)在焦点三角形中,. (3).当,即为椭圆与轴交点时,取最大值,为. (4),当且仅当点位于轴时,最大,此时最小. (5)椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径,则焦半径的最大值为,最小值为. (6),. (7)焦点三角形的外接圆半径为. (8)焦点三角形的内心 若为焦点三角形的内切圆半径,为焦点三角形的内心,的平分线交于点(如图). ①由等面积法,得的面积. 所以焦点三角形的内切圆半径. ②在中,根据角平分线定理得. ③在中,根据角平分线定理得. ④焦点三角形内切圆圆心的轨迹是以原椭圆焦点为顶点的椭圆(除去原焦点),其轨迹方程为. (当点位于轴时,,即) 题型1 椭圆的定义及其应用 1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的定义，即可求得答案. 【详解】由于椭圆，故椭圆长半轴长为， 故， 故选：D 2．（25-26高二上·全国·课后作业）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】D 【知识点】椭圆定义及辨析、判断方程是否表示椭圆 【分析】结合椭圆的定义求解即可. 【详解】由题可得：方程左边的几何意义是点到点，点的距离之和， 即， 因为，所以， 所以满足点的轨迹不存在，即方程不表示任何图形． 故选：D. 3．（24-25高三上·安徽宿州·期末）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】C 【知识点】椭圆定义及辨析、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】先根据椭圆的标准方程确定的值，判断的形状，确定共线，再根据椭圆的定义求的周长. 【详解】如图：    由椭圆方程可知，，. 所以， 所以为等边三角形， 因此的中垂线过， 结合椭圆的定义，可得周长. 故选：C 题型2 求椭圆的标准方程 考点1 待定系数法 4．求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10； （2）焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点； （3）经过两点，. 【答案】（1）＋＝1；（2）＋＝1；（3）＋＝1. 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】(1)由已知求得，可求得椭圆的标准方程. (2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．法一：由椭圆的定义求得a，c，b，从而求得椭圆的标准方程.法二：代入椭圆过的点的坐标得＋＝1.再由c2＝a2－b2可求得椭圆的标准方程. (3)法一：分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况，分别设椭圆的标准方程和代入已知点的坐标，解之可求得椭圆的标准方程. 法二：避免考虑椭圆焦点的位置，设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．代入已知点的坐标建立方程组，解之可求得椭圆的标准方程. 【详解】(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4，2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 法一：由椭圆的定义知2a＝＋＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：因为所求椭圆过点(4，3)，所以＋＝1. 又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由已知条件得解得 则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去． 综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 【点睛】方法点睛：已知椭圆上两个已知点求椭圆的标准方程的方法：方法一：分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况，分别设椭圆的标准方程和代入已知点的坐标，解方程组求得椭圆的标准方程.方法二：避免考虑椭圆焦点的位置，设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．代入已知点的坐标建立方程组，解方程组求得椭圆的标准方程. 5．求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)； （2）c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. （3）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和 【答案】（1） ；（2）或；（3） 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）求出c＝2，，即可求出方程. （2）求出a＝13， c＝5，即可求出结果. （3）,代入即可得出结果. 【详解】（1）由焦距是4，可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2). 由椭圆的定义知，， 所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12. 又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为. （2）由题意知，2a＝26，即a＝13，又因为c∶a＝5∶13， 所以c＝5,b2＝a2－c2＝132－52＝144， 所以椭圆的标准方程为或. （3）设椭圆的方程为. 将A，B两点坐标代入方程，得，解得， 故所求椭圆的方程为. 考点2 共焦点的椭圆系方程 6．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求共焦点的椭圆方程 【分析】方法一：由题意得椭圆的焦点坐标为，，由椭圆定义得，求出即可； 方法二：设所求椭圆的标准方程为，由题中条件，列出方程组求解即可； 方法三： 由条件设所求椭圆的标准方程为，将点P的坐标代入，求解即可. 【详解】方法一：由题意得. 因此所求椭圆的焦点坐标为，. 由椭圆定义得， 即，所以. 故所求椭圆的标准方程为. 方法二：因为所求椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且. 设所求椭圆的标准方程为，则①. 又点在所求椭圆上，所以，即②. 由①②得，，故所求椭圆的标准方程为. 方法三： 由条件设所求椭圆的标准方程为. 将点P的坐标代入，得，解得或（舍去）. 故所求椭圆的标准方程为. 故答案为：. 7．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆的焦点、焦距 【分析】先根据已知椭圆方程求出，设所求椭圆标准方程为，利用焦点相同且过点，列方程组求解． 【详解】椭圆方程为， ， 椭圆的焦点在轴上，设所求椭圆的标准方程为， 由两椭圆焦点相同，则， ，解得， 所求椭圆标准方程为：． 故答案为：． 8．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点． (2)经过两点，． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）由共焦点求得，再通过点在椭圆上，列出方程即可求解； （2）通过待定系数法即可求解. 【详解】（1）因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在轴上，且． 设所求椭圆的标准方程为． 因为所求椭圆过点，所以有① 又，② 由①②解得． 故所求椭圆的标准方程为． （2）设椭圆方程为，且，在椭圆上， 所以，则椭圆方程. 题型3 椭圆方程的应用 考点1 由方程表示椭圆确定参数的取值范围 9．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】利用椭圆的定义建立关于的不等式，求解即得. 【详解】依题意,可得时，解得. 故选：A. 10．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【分析】将题目所给方程转化为椭圆的标准方程的形式，结合题设条件，列出方程组，即可求解. 【详解】椭圆方程， 上式表示焦点在y轴上的椭圆， 则，解得， 故选：D. 11．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】根据方程表示焦点在坐标轴上的椭圆求出的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可． 【详解】因为是焦点在坐标轴上的椭圆， 所以，解得：且， 所以“”是“曲线是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件． 故选：B． 12．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知曲线C：，则C为焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据方程表示椭圆求参数的范围、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【分析】由椭圆的标准方程可得，结合选项和充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】由，得， 若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则，解得， 结合选项可知，曲线C是焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是“”. 故选：A. 考点2 确定焦距焦点坐标或逆向求参数 13．（24-25高二上·湖南·阶段练习）若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（   ） A．1 B．1或3 C．9 D．1或9 【答案】C 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【分析】根据椭圆中的关系即可求解. 【详解】根据右焦点坐标为，可得，且焦点在轴上， 故， 故选：C 14．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知椭圆的的焦距为4，则的值为（    ） A．14 B． C．6或14 D．或 【答案】C 【知识点】椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】讨论、，结合椭圆参数关系及焦距列方程求参数. 【详解】若，则，可得； 若，则，可得； 所以的值为6或14. 故选：C 15．（24-25高二上·浙江·阶段练习）若椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【分析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案. 【详解】若，则由得（舍去）； 若，则由得. 故选：B. 16．若椭圆的一个焦点为，则k的值为 . 【答案】或 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】先把椭圆的方程化为标准形式，利用椭圆标准方程中a，b，c的关系即可求解． 【详解】易知，椭圆方程可化为. 因为椭圆的一个焦点在y轴上， 由条件知，，， 所以，解得或. 故答案为：或. 题型4 椭圆中焦点三角形问题 17．（2025高二上·全国·专题练习）如图所示，已知椭圆的方程为，若点P在第二象限，且，求点P的坐标． 【答案】 【知识点】求椭圆上点的坐标、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】根据椭圆内焦点三角形面积公式，解出P点坐标. 【详解】设，由例题可知， 又，所以； 代入椭圆方程得， 又因为点P在第二象限，所以点P的坐标为. 【点睛】本题考查椭圆的焦点三角形面积的求法。 18．（25-26高二上·山西吕梁·阶段练习）已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是 . 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】利用椭圆的定义、余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】在椭圆中，，，， 由椭圆的定义可得，， 在中，， 由余弦定理得 ，解得， 因此，. 故答案为：. 19．（2025高三�全国�专题练习）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点，若，则= 【答案】8 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】由椭圆方程可得，结合椭圆定义可得，从而可得答案. 【详解】由椭圆可得，不妨设分别为椭圆的左、右焦点， 直线过椭圆的左焦点，在 中， ， 又， ∴ 故答案为：8. 20．（24-25高二下�安徽滁州�期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据题意可知，可得，然后可求. 【详解】， ， 又椭圆， 则， . 故选：D. 21．（25-26高二上·全国·单元测试）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】根据椭圆的定义得，进而得的周长，设的内切圆半径为，利用等面积法即可求解. 【详解】如图，不妨令分别为椭圆的左、右焦点，由，得， 所以，所以． 设的内切圆半径为， 因为， 所以，得． 故选：C. 22．（多选题）（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆，若在椭圆上，、是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．面积的最大值为 C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点有4个 【答案】ABC 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】由椭圆方程和定义求出焦半径和焦距即可由求解判断A；设到底边的高为，由即可求解判断B；由即可判断C；由数形结合即可判断D. 【详解】因为， 若，则P为短轴顶点，且， 所以，又，所以，A正确； 设到底边的高为，则， 所以，即其面积的最大值为，B正确； 由三角形性质可知，即， 当且仅当三点共线时等号成立，C正确； 当P为短轴顶点时，，所以， 所以当时，满足条件的点P有4个， 当或时，满足条件的点P各有2个， 所以满足是直角三角形的点有8个，如图，D错误. 故选：ABC 题型5 与椭圆有关的轨迹问题 考点1 直接法 23．（2025高三·全国·专题练习）如图，设A，B的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为求点M的轨迹方程． 【答案】 【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】设，根据题目中等量关系列式求解即可. 【详解】设点M的坐标为，因为点A的坐标是， 所以直线AM的斜率＝， 同理，直线BM的斜率＝． 由已知有·＝ ， 化简得点M的轨迹方程为 故答案为： 24．（2025高三·全国·专题练习）已知定点，动点满足直线的斜率，求点的轨迹方程. 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆 【分析】令，写出和的表达式，根据题意，即可得到一个关于的方程，最后进行化简即为点的轨迹方程. 【详解】如图，令，则，， 因为，所以，即， 交叉相乘可得，即，, 所以点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆（不包括端点）. 故答案为：. 考点2 定义法 25．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）平面内点P到，的距离之和是8，则动点P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用椭圆定义求方程、椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 【分析】利用椭圆的定义，求得，从而得解. 【详解】由题意，平面内点P到，的距离之和是8， 所以动点的轨迹为椭圆，焦点在轴上，且，即， 所以， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：D. 26．（24-25高二上·重庆·阶段练习）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】根据两点间距离公式可得已知方程的几何意义，结合椭圆的定义可求得轨迹方程. 【详解】由两点间距离公式知： 的几何意义是点到与的距离之和为， ， 点轨迹是以为焦点的椭圆，设其长轴长、短轴长、焦距分别为， 则，，，，， 点轨迹方程为：. 故选：B. 27．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆 【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，可求点的轨迹方程可求． 【详解】连接， 圆的圆心坐标为，半径为4． 因为将点折叠到点A，记与折痕的交点为，所以， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以， 所以，所以点的轨迹方程为． 故选：A． 28．（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆 【分析】利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为． 故选：D 29．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平面轨迹方程、利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆 【分析】根据，结合椭圆的定义可求出结果. 【详解】解：：的圆心C为，半径， 点，，又的垂直平分线交于点M， ， 的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆， ，， ，，， 点M的轨迹方程是 故选： 考点3 转代法（相关点法，代入法） 30．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为 ．    【答案】 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆 【分析】根据已知条件得到向量，然后用坐标表示出来，根据线段的长度即可求得点的轨迹方程. 【详解】设， 由题意，又， 所以，即， 所以，所以， 所以曲线C的方程为. 故答案为：. 31．（24-25高二上·福建莆田·期末）在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（ ） A．+=1(y) B．+=1(y) C．+=1(y) D．+=1(y) 【答案】A 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆 【分析】设点，，则，因点在圆上 ，利用相关点法即可求得点M的轨迹方程. 【详解】    如图，设点，，则， 因点在圆上 ，则 （*）， 又因轴，且M是线段上的点，，则， 则得，即， 将其代入（*），即得是点M的轨迹方程. 故选：A. 32．（24-25高二上·重庆秀山·阶段练习）已知是椭圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆 【分析】设，，则，根据求出代入椭圆方程可得答案. 【详解】设，，则， ， 因为，所以， 可得，所以有. 故选：B. 33．（2025高二·全国·专题练习）已知，点分别在轴、轴上运动，为坐标原点，点在线段上，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数、轨迹问题——椭圆 【分析】设，，，结合已知有，再由及向量共线的坐标表示有，联立即可得轨迹. 【详解】设，，由，可得①． 设，由于点在线段上，且，即， 所以，可得，即， 代入①式，可得，整理得. 故选：A 34．（24-25高二下·上海·期末）坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点.这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线：绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆 【分析】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应的曲线上的点为，然后根据旋转变换公式列方程组表示出，代入曲线的方程化简可得结果. 【详解】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应的曲线上的点为， 则，即， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即. 所以曲线的方程为. 故选：B 35．如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程． 【答案】 【知识点】轨迹问题——圆、求平面轨迹方程 【分析】由三角形的角平分线的性质，得到，设点，根据向量的坐标表示，得到，代入圆的方程，即可求解. 【详解】由三角形的角平分线的性质，可得，所以， 设点，则， 所以，所以， 因为，所以， 又因为点在圆上，所以，即， 即点的轨迹方程为. 题型6 与椭圆有关的最值问题 36．（24-25高二上�河南南阳�阶段练习）已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A．5 B．9 C．4 D．3 【答案】C 【知识点】椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的定义及二次函数的性质求解即可. 【详解】由已知得，，， 设，则，所以， 从而或时取最小值为4. 故选：C. 37．（2025高二�全国�专题练习）若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则周长的最大值为 . 【答案】20 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】设为椭圆的左焦点，则由椭圆的定义可得，，当三点共线时，周长取得最大值，从而可得出答案. 【详解】如图，设F1为椭圆C的左焦点， 则由椭圆的定义可得的周长为 ， 当共线时，， 当不共线时，， 所以周长的最大值为20. 故答案为：20. 38．（2025�安徽合肥�模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】椭圆定义及辨析、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据椭圆的定义可得，利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】是椭圆的两个焦点，点在上，， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 39．（25-26高二上·全国·课后作业）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据椭圆的标准方程得到，然后借助定义转化为求的最小值和的最大值，即可得解． 【详解】设右焦点为，椭圆中，，则，所以焦点坐标分别为，，由椭圆的定义得． 将点的坐标代入椭圆方程得，所以点在椭圆外，连接，如图所示． ， 将代换为，转移到中， 连接，因为， 所以，当且仅当点为线段与椭圆的交点（点）时，取等号， 所以的最小值为． 因为，当点为线段的延长线与椭圆的交点时， 取得最大值，故的最大值为． 故答案为：；． 40．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】4 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据圆上的点到定点的距离范围可知，即， 结合椭圆的定义可转化为，即可得解. 【详解】 由椭圆可知椭圆的实轴长，，， 圆的圆心，半径， 由已知圆上任意一点到的距离， 所以， 又根据椭圆定义， 则， 当且仅当，都在线段上时，等号成立， 故答案为：4. 41．已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得然后得到的最大值与最小值； (2)利用椭圆的定义表示出，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案． 【详解】（1）由椭圆可知，，， 则，，    则，当且仅当、、三点共线时成立， 所以， 所以的最大值与最小值分别为和； （2），，， 设是椭圆上任一点，由，， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 由， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 故的最大值与最小值为． 题型7 椭圆定义与几何性质综合题 42．设F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　) A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值 【详解】由题意知是的中位线，∵，∴，又，∴，故选A. 43．（2025·广东广州·三模）椭圆的焦点为、，以为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于、两点，若直线与圆相切，则 ． 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、椭圆定义及辨析 【分析】分析可知，利用勾股定理求出的值，然后利用椭圆的定义可求得的值. 【详解】由题意可知，圆的半径为（为坐标原点）， 因为直线与圆相切，由圆的几何性质可得，且， 由勾股定理可得， 因为点在椭圆上，由椭圆的定义可得，故. 故答案为：. 44．（2025�甘肃定西�模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作平行于轴的直线与交于两点，与轴交于点，且，则的方程为 . 【答案】 【知识点】椭圆的对称性、椭圆定义及辨析、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】由已知可求得为等边三角形，计算可得，结合，解方程求得，，得出结果. 【详解】如图所示，连接，因为，为的中点， 所以为的中点，又因为，则，又， 所以为等边三角形，设，则，所以. 则由椭圆的定义可知，即，得. 因为，且为等边三角形，所以， 解得，所以，所以，， 所以的方程为. 故答案为： 45．（24-25高三上�江苏�期末）已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为 ． 【答案】 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质和椭圆的定义，利用三角形中位线性质和等腰直角三角形的边长关系，求出只，即得椭圆标准方程. 【详解】 如图所示，不妨设在第一象限，则，因，则， 在中，因，且由，可知点B是的中点， 则得，且， 因为，平分，故， 故为等腰直角三角形，， 由题意知，则，即， 根据椭圆的定义可得， 联立，解得， 在直角中，即， 化简得，又因，两者联立解得， 故椭圆标准方程为. 故答案为：. 46．（2025�湖南岳阳�二模）设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析 【分析】根据给定条件，由椭圆定义，结合余弦定理求出，判断的形状，再利用三角形内角平分线的性质求解. 【详解】椭圆的焦点，，不妨令点在第一象限， 在中，， 则，解得，，则， 由平分，得，而，则， 所以. 故选：D 2 学科网（北京）股份有限公司 $