3.2函数与方程、不等式之间的关系单元卷-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

第七单元 函数与方程、不等式之间的关系 一、单选题 1．函数的零点是（   ） A．1 B． C． D．或1 2．下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A．  B．  C．  D．   3．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 4．若函数在区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则“”是“”的（  ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 5．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．若方程的一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 8．已知函数，若关于的方程恰有三个不同的实数根，，，且（其中），则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列函数中，能用二分法求零点的近似值的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数有三个零点，且函数，则下列判断正确的是（   ） A． B．函数可能不存在零点 C．函数可能有一个零点 D．函数可能有两个零点 11．已知函数关于的方程，下列判断中正确的是（    ） A．时方程有3个不同的实数根 B．方程至少有2个不同的实数根 C．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 D．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 三、填空题 12．已知二次函数的两个零点为，则 13．已知函数同时满足下列两个条件：①，②无零点．写出一个符合题意的函数 ．（结果不能写成分段函数的形式） 14．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实根，则方程在区间上的所有实根之和为 ． 四、解答题-问答题 15．关于的方程 (1)当时，求方程的根； (2)若方程有两个不相等的实数根， ①求实数的取值范围；②用关于的式子表示 16．设为实数，函数. (1)若函数在区间上单调递减，求的取值范围； (2)若在区间上有两个不相等的实数解，求的取值范围. 17．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且．    (1)求函数的解析式； (2)画出函数的图象并求出此时函数的值域； (3)若关于的方程总有三个实数根，求实数的取值范围． 18．已知函数． (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，求证：函数在上有且只有一个零点． 19．在信号处理技术中，函数的调和零点至关重要，它用于检测系统的稳定性与性能.定义：若集合，称为函数的一个调和零点，的所有调和零点之和记为，表示集合中的所有元素的个数. 已知. (1)当，时，求的值； (2)若，，求、的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 函数与方程、不等式之间的关系 一、单选题 1．函数的零点是（   ） A．1 B． C． D．或1 【详解】由，即，所以函数的定义域为。 令，解得（舍去）或，所以函数的零点是1.故选：A. 2．下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A．  B．  C．  D．   【详解】根据零点存在性定理可知，函数的图象是一段连续不断的曲线，若在区间上满足，则函数在区间上存在零点；根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足， 所以C选项不能用二分法求图中函数零点.故选：C 3．已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得， ，所以一定包含零点的区间是.故选：A. 4．若函数在区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则“”是“”的（  ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【详解】因是区间上的连续曲线，由，利用函数零点存在定理可知必； 而由不能得出，如设，显然，但. 故“”是“”的充分不必要条件.故选：C. 5．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 所以零点所在的区间，再计算的符号，故选：C 6．若方程的一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】令，方程的一个根小于1，另一个根大于1， ，解得，实数的取值范围是．故选：D. 7．已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【详解】解法一：当函数只有一个零点且在区间内时，； 当函数有两个零点时，，解得或， 当时，显然在上恒成立，此时无内的零点， 当时，又在内只有一个零点，则或或， 即或或， 解得或或．综上所述，实数的取值范围是．故选：C. 解法二：由，得，又，所以， 所以， 令，，，要使在区间内只有一个零点， 只需直线与的图象在上只有一个交点，作出两函数图象如图所示， 由图可知或，解得或， 所以的取值范围是． 故选：C. 8．已知函数，若关于的方程恰有三个不同的实数根，，，且（其中），则的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 所以的图象关于对称，所以的根应成对出现， 又因为关于的方程恰有三个不同的实数根且， 所以该方程的一个根是，得，，， 所以由得． 当，即时， ①， 则 ②，①②可得，所以； 当，即时， ③， ④， ③④得，所以，不符合题意． 综上，得所以．故选：D 二、多选题 9．下列函数中，能用二分法求零点的近似值的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于选项A： 函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，A正确； 对于选项B： 函数，故函数有唯一零点， 但函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点的近似值，B错误； 对于选项C： 当时，， 当且仅当时，等号成立，此时无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增，此时有两个零点，， 且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点的近似值，C正确； 对于选项D：当时，，当时，， 所以能用二分法求零点的近似值，D正确．故选：ACD. 10．已知函数有三个零点，且函数，则下列判断正确的是（   ） A． B．函数可能不存在零点 C．函数可能有一个零点 D．函数可能有两个零点 【详解】因为和是的零点，所以，解得，， 所以， 因为为函数的零点，所以，故A正确；当时，有一个零点，故C正确； 当时，对于，，所以有两个零点，故D正确， 综上，可能有一个零点或两个零点，故B错误.故选：ACD． 11．已知函数关于的方程，下列判断中正确的是（    ） A．时方程有3个不同的实数根 B．方程至少有2个不同的实数根 C．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 D．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 【详解】方程根的问题可以转换成和图象交点问题， 对于A：由图象可知：时方程有3个不同的实数根，正确； 对于B：当时，结合图象可知，方程无解，故错误； 对于C：由图象可知和由3个交点时，的取值范围为，故正确； 对于D：假设，结合图象可知，所以，故正确.故选：ACD 三、填空题 12．已知二次函数的两个零点为，则 【详解】因为二次函数的两个零点为，所以，，解得，， 所以．故答案为：. 13．已知函数同时满足下列两个条件：①，②无零点．写出一个符合题意的函数 ．（结果不能写成分段函数的形式） 【详解】函数同时满足下列两个条件：①， ②无零点．故答案为：（答案不唯一）. 14．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实根，则方程在区间上的所有实根之和为 ． 【详解】因为函数是奇函数，所以，且，又因为，所以， 即且函数的图象关于对称，则，所以， 由函数在上单调递减，方程在上有实根可知方程在上有且仅有一个实根， 作出函数的大致图象和直线，直线，如图所示： 由图可知函数的图象与直线在区间上有6个交点，且两两对称， 所以．故答案为：30 四、解答题-问答题 15．关于的方程 (1)当时，求方程的根；(2)若方程有两个不相等的实数根， ①求实数的取值范围；②用关于的式子表示 【详解】（1）由题设，可得或. （2）①由方程有两个不相等的实数根，则， 所以， ②由根与系数关系知：，所以. 16．设为实数，函数. (1)若函数在区间上单调递减，求的取值范围； (2)若在区间上有两个不相等的实数解，求的取值范围. 【详解】（1）由题意可得在上单调递减，要使函数在区间上单调递减，则. （2）因为的对称轴为，要使在区间上有两个不相等的实数解， 则，解得：. 17．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且． (1)求函数的解析式； (2)画出函数的图象并求出此时函数的值域； (3)若关于的方程总有三个实数根，求实数的取值范围． 【详解】（1）由函数为奇函数，且，则，即，解得，即当时，， 当时，，则，则， 当时，，综上所述； （2）根据函数解析式作出函数图象， 可知函数在当时，，； 当时，，； 当时，，综上所述的值域为. （3）由方程有三个实数根， 即函数与有三个公共点， 根据函数图象可知，当时，即，不等式无解； 当时，即，解得； 当时，或，综上所述. 18．已知函数． (1)当时，求关于的不等式的解集；(2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，求证：函数在上有且只有一个零点． 【详解】（1）当时，， 由，得，解得或． 所以不等式的解集为． （2）由，即在上恒成立， 得在上恒成立， 令，则， 当且仅当，即时取等号，所以． 故实数的取值范围为． （3）由题可得，又与在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，所以当时，有且仅有一个，使得， 故函数在上有且只有一个零点． 19．在信号处理技术中，函数的调和零点至关重要，它用于检测系统的稳定性与性能.定义：若集合，称为函数的一个调和零点，的所有调和零点之和记为，表示集合中的所有元素的个数. 已知. (1)当，时，求的值； (2)若，，求、的值. 【详解】（1）当，时，，令，解得或， 所以，则. （2）根据可知， （ⅰ）有个零点， 令，可知，即， 显然的个零点中必有，另外两个零点分别为、， 当时，， 因为，所以，即 将代入中得 由韦达定理可得，，，整理可得， 解得，，所以，； （ⅱ）有4个零点，且有一个为时，则，方程， 当时，解得或， 当时，得， ，则， 由韦达定理可得，， 因为，所以，整理可得， 解得，.综上所述，或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $