精品解析：上海市静安区2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

2023-2024学年第一学期上海市静安区九年级数学期末模拟练习卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 若，则值为（ ） A. B. C. D. 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanB的值是（　　） A. B. C. D. 3. 已知点D、E分别在的边AB、AC的反向延长线上，且ED∥BC，如果AD：DB＝1：4，ED＝2，那么BC的长是（ ） A. 8 B. 10 C. 6 D. 4 4. 对于非零向量与，下列命题是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 5. 如果点在抛物线上，将此抛物线向右平移3个单位后，点同时平移到点，那么坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④方程的两根为．其中所有正确结论个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 若两个三角形的相似比为3：4，则这两个三角形的面积比为________． 8. 某滑雪运动员沿着坡比的斜坡向下滑行了200米，则运动员下降的垂直高度为________米． 9. 已知点P是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为________． 10. 如图，的直径垂直弦于点E，且，，则弦________． 11. 二次函数的图像与y轴的交点坐标为______． 12. 如图，的对角线AC、BD相交于点O，设，，用向量、表示向量______． 13. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，若此抛物线与轴的一个交点为，则抛物线与轴的另一个交点坐标是________． 14. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点称为格点，点O和点A都为格点．以点O为圆心，长为半径画弧，交图中的网格线于点B，则的长为______． 15. 已知A在函数的图像上，则的大小关系是_______． 16. 如图，在中，，．动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过__________秒时与相似． 17. 若抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0），B（n，0），与y轴交于点C（0，c），则称△ABC“抛物三角形”，特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc＞0时，称△ABC为倒抛物三角形，那么，当△ABC为倒抛物三角形时，a，c应分别满足条件____． 18. 如图，已知将沿角平分线所在直线翻折，点恰好落在边的中点处，且，那么的余弦值为________. 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19 计算：cos245°＋cot230°. 20. 抛物线y=x2﹣2x+c经过点（2，1）． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线y=x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB=2，求新抛物线的表达式． 21. 如图，在中，点、分别在边、上，，，，. （1）求的长； （2）过点作交于，设，，求向量（用向量、表示）. 22. 图1一台手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点转动，测得． （1）在图2中，过点作，垂足为．填空： ； （2）求点到的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 23. 如图，已知的顶点E在的边上，与相交于点F，，． （1）求证：； （2）求证：． 24. 如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标为． （1）求点的坐标及抛物线的表达式； （2）记抛物线的顶点为，对称轴与线段的交点为，将线段绕点，按顺时针方向旋转，请判断旋转后点的对应点是否还在抛物线上，并说明理由； （3）在轴上是否存在点，使与相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点的坐标【不必书写求解过程】． 25. 如图，矩形中，，点是边上的一个动点，联结，过点作，垂足为点. （1）设，的余切值为，求关于的函数解析式； （2）若存在点，使得、与四边形的面积比是，试求矩形的面积； （3）对（2）中求出的矩形，联结，当的长为多少时，是等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第一学期上海市静安区九年级数学期末模拟练习卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例的性质得到x、y的关系，即可求解． 【详解】解：∵， ∴3x﹣3y=2y，即3x=5y， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质，推导出x、y的关系式是解答的关键． 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanB值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 ∵sinA==， ∴设BC=2x，AB=3x， 由勾股定理得：AC==x， ∴tanB===， 故选A. 3. 已知点D、E分别在的边AB、AC的反向延长线上，且ED∥BC，如果AD：DB＝1：4，ED＝2，那么BC的长是（ ） A. 8 B. 10 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质和相似三角形的判定证明△ABC∽△ADE，再利用相似三角形的性质和求解即可． 【详解】解：∵ED∥BC， ∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED， ∴△ABC∽△ADE， ∴BC：ED= AB：AD， ∵AD：DB＝1：4， ∴AB：AD=3：1，又ED＝2， ∴BC：2=3：1， ∴BC=6， 故选：C 【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 4. 对于非零向量与，下列命题是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的概念可得出正确答案． 【详解】解：根据向量的概念，知： A、C、D正确； B、两个向量的长度相等，但两个向量不一定方向相等，故错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了向量的概念，熟练掌握理解向量的概念是解题的关键． 5. 如果点在抛物线上，将此抛物线向右平移3个单位后，点同时平移到点，那么坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把代入得，于是得到点坐标为，由于抛物线向右平移3个单位，则抛物线上所有点都右平移3个单位，然后根据点平移的规律可确定点坐标． 【详解】解：把代入得， 则点坐标为， 把点向右平移3个单位后所得对应点的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 6. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④方程的两根为．其中所有正确结论个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点，对称轴，判断①；由抛物线对称性及经过点可判断②④；由对称轴为，得出，即可判断③． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵ ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∴，①正确； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为 ∵抛物线过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， ∴，②错误； ∴方程的两根为，④正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即，故③正确； 综上，①③④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 若两个三角形的相似比为3：4，则这两个三角形的面积比为________． 【答案】9：16 【解析】 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵两个三角形的相似比为3：4， ∴这两个三角形的面积比为9：16， 故答案为9：16． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 8. 某滑雪运动员沿着坡比的斜坡向下滑行了200米，则运动员下降的垂直高度为________米． 【答案】100 【解析】 【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设垂直高度下降了米，则水平前进了米． 根据勾股定理可得：． 解得， 即它距离地面的垂直高度下降了100米． 故答案为：100． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，难度不大，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：（坡度）垂直高度水平宽度，综合利用了勾股定理． 9. 已知点P是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键． 根据黄金分割的定义即可得出答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ， 故答案为：． 10. 如图，的直径垂直弦于点E，且，，则弦________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长． 【详解】解：∵CE=2，DE=8， ∴OB=5， ∴OE=3， ∵AB⊥CD， ∴在△OBE中，得 ∴AB=2BE=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 11. 二次函数的图像与y轴的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出自变量x为0时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标． 【详解】把代入得：， ∴该二次函数的图象与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为0． 12. 如图，的对角线AC、BD相交于点O，设，，用向量、表示向量______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和三角形法则，进行求解即可． 【详解】∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查向量的线性计算，熟练掌握三角形法则是解题的关键． 13. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，若此抛物线与轴的一个交点为，则抛物线与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出点(6,0)关于x=2的对称点即可. 【详解】解: (6,0)关于 x=2的对称点是(-2,0). 故答案是(-2,0). 【点睛】本题考查了二次函数的性质,理解二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称是关键. 14. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点称为格点，点O和点A都为格点．以点O为圆心，长为半径画弧，交图中的网格线于点B，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，得，中，结合，计算得到，利用弧长公式计算即可． 【详解】如图，根据题意，得，在中， 因为， 所以， 所以的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，弧长公式，熟练掌握三角函数值，弧长公式是解题的关键． 15. 已知A在函数的图像上，则的大小关系是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数解析式可得二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，则当时，y随x的增大而减小，且当时和时的函数值相等，由此求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为 ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而减小，且当时和时的函数值相等， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，二次函数的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质． 16. 如图，在中，，．动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过__________秒时与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解． 设经过t秒时，与相似，则，，，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过t秒时，与相似， 则，，， ∵， ∴当时，， 即， 解得：； 当时，， 即， 解得：； 故答案为：或． 17. 若抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0），B（n，0），与y轴交于点C（0，c），则称△ABC为“抛物三角形”，特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc＞0时，称△ABC为倒抛物三角形，那么，当△ABC为倒抛物三角形时，a，c应分别满足条件____． 【答案】a<0，c>0 【解析】 【分析】根据m、n关于y轴对称，则mn<0，则c的符号即可确定，然后根据抛物线与x轴有交点，则可以确定开口方向，从而确定a的符号． 【详解】∵抛物线y=ax2+c的对称轴是y轴， ∴A（m，0）、B（n，0）关于y轴对称， ∴mn<0， 又∵mnc<0， ∴c>0，即抛物线与y轴的正半轴相交， 又∵抛物线y=ax2+c与x轴交于点A（m，0）、B（n，0）， ∴函数开口向下， ∴a<0． 故答案是：a<0，c>0． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确确定二次函数的开口方向是本题的关键． 18. 如图，已知将沿角平分线所在直线翻折，点恰好落在边的中点处，且，那么的余弦值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设与交点为，过作交于，证出为的中位线，由三角形中位线定理得出，由翻折变换的性质得出：，，同理由三角形中位线定理得出，设，则，，得出，，利用勾股定理求出，根据余弦的定义即可得出结果． 【详解】解：设与交点为，过作交于，如图所示： 为的中点， 为的中点， 为的中位线， ， 由翻折变换的性质得：，， 同理：是的中位线， ， 设，则，， ，， ， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、三角函数；熟练掌握翻折变换的性质，通过作辅助线由三角形中位线定理得出，是解决问题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：cos245°＋cot230°. 【答案】. 【解析】 【分析】把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】原式＝2＋()2 ＝＋3 ＝. 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟记各特殊角度的三角函数值． 20. 抛物线y=x2﹣2x+c经过点（2，1）． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线y=x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB=2，求新抛物线的表达式． 【答案】（1）(1,0)；（2）y=x（x﹣2），即y=x2﹣2x． 【解析】 【分析】（1）把（2，1）代入y=x2-2x+c中求出c的值即可得到抛物线解析式，然后配成顶点式得到顶点坐标； （2）先确定抛物线y=x2-2x+1的对称轴，再利用抛物线的对称性得到A（0，0），B（2，0），然后利用交点式可写出新抛物线的表达式． 【详解】（1）把（2，1）代入y=x2﹣2x+c得4﹣4+c=1，解得c=1， 所以抛物线解析式为y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2； ∴抛物线的顶点坐标为（1，0）. （2）由（1）知抛物线的对称轴为直线x=1， 而新抛物线与x轴交于A、B两点，AB=2， 所以A（0，0），B（2，0）， 所以新抛物线的解析式为y=x（x﹣2），即y=x2﹣2x． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 21. 如图，在中，点、分别在边、上，，，，. （1）求的长； （2）过点作交于，设，，求向量（用向量、表示）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，，，可得，即可证得，然后相似三角形的性质，即可求得的长； （2）由，可得，再由三角形法则，即可求得答案． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， 又 ∴ ， ； 【小问2详解】 ， ∴ ， ． 【点睛】此题考查了平行向量的知识以及相似三角形的判定和性质．注意掌握三角形法则以及平行四边形的法则的应用是解此题的关键． 22. 图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点转动，测得． （1）在图2中，过点作，垂足为．填空： ； （2）求点到的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】（1）20 （2）10.3cm 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义可得从而利用直角三角形的两个锐角互余可得然后利用角的和差关系进行计算即可解答； （2）过点作垂足为过点作垂足为则从而利用直角三角形的两个锐角互余可得然后在Rt中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在Rt中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：如图： 故答案为：20； 【小问2详解】 解：过点作垂足为过点作垂足为 则 在Rt中， ， 在Rt中， ， ， 点到的距离约为10.3cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23. 如图，已知的顶点E在的边上，与相交于点F，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质： （1）利用两个角相等证明，得，即可证明结论； （2）首先证明，得，，再证明，得，等量代换即可． 熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，（公共角）， ， ∴， 【小问2详解】 ，， ， ， ， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标为． （1）求点的坐标及抛物线的表达式； （2）记抛物线的顶点为，对称轴与线段的交点为，将线段绕点，按顺时针方向旋转，请判断旋转后点的对应点是否还在抛物线上，并说明理由； （3）在轴上是否存在点，使与相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点的坐标【不必书写求解过程】． 【答案】（1），；（2）在抛物线上，理由见解析；（3）存在； 或或或 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的性质，对应点到对称轴的距离相等，方向相反，可得点B的坐标，用待定系数法求得函数解析式． （2）求出直线BC的解析式，计算得出线段PQ的长度，过作平行于x轴，交抛物线对称轴于点D，根据旋转角度解直角三角形，得出的坐标，将的横坐标代入抛物线的解析式，计算并判断即可得出答案． （3）根据勾股定理可得出是直角三角形，根据相似三角形的性质分类讨论，得出点M的坐标． 【详解】解：（1）∵A、B是关于直线轴对称图形的两点，点的坐标为， ∴点B的横坐标为， ∴点B的坐标为； 将A、B两点坐标值代入可列方程组： 解得 ∴抛物线的表达式为：． （2）∵点P为抛物线顶点，直线为抛物线的对称轴， ∴点P的横坐标为-1，纵坐标为， ∴点P的坐标为， 直线BC的解析式为，将B、C的值代入可列方程： 解得 ∵BC与对称轴交于点Q， ∴当，， ∴点Q的坐标为， ， ∵是点P绕点Q顺时针旋转120°得到的， ∴， 过作平行于x轴，交抛物线对称轴于点D，如图： ∵在中，，， ∴，， ∴点横坐标为点D横坐标加，即：， 点纵坐标为点Q纵坐标减，即：， 将的横坐标值代入， ， ∴的坐标符合抛物线表达式， ∴在抛物线上． （3）∵， ， ， ， ∴， ∴是直角三角形，，，， ∵M是x轴上一点，， 若，则， ∴， 此时，点M坐标为或， 若，则， ∴， 此时，点M坐标为或， ∴综上，点M存在，点坐标为 或或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理及相似三角形的性质，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键． 25. 如图，矩形中，，点是边上的一个动点，联结，过点作，垂足为点. （1）设，的余切值为，求关于的函数解析式； （2）若存在点，使得、与四边形的面积比是，试求矩形的面积； （3）对（2）中求出的矩形，联结，当的长为多少时，是等腰三角形？ 【答案】（1） （2） （3）或或1 【解析】 【分析】（1）根据已知条件矩形和，得出，，从而求出，再根据求出结果； （2）假设存在，由题意、与四边形的面积比是，可得，设，证，根据三角形的相似比，从而求解； （3）过点作，垂足为点，判断是等腰三角形，要分类讨论，①；②；③，根据三角形相似进行求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∵矩形中，， ∴， 则， ； 【小问2详解】 ：四边形的面积比是， ， ， 设，则， ∵，， ，且， ， ， 解得， ， ∴； 【小问3详解】 ①时，过点作，垂足点， 则，，延长交于点， ， ， 当时，是等腰三角形； ②时，则， ，， ， 则， 当时，是等腰三角形； ③时，则点在的垂直平分线上，故为中点． ，， ， ∴， ， ，即， ∴， 解得， 当时，是等腰三角形， 综上：的长度为或或1． 【点睛】此题难度比较大，主要考查矩形的性质、相似三角形的性质、三角函数及等腰三角形的判定，考查知识点比较多，综合性比较强，另外要注意辅助线的作法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$