专题05 切线的判定与性质、三角形的内切圆重难点题型专训（1个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题05 切线的判定与性质、三角形的内切圆重难点题型专训 （1个知识点+10大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 有关切线的说法辨析 题型二 切线的判定定理 题型三 切线的性质定理 题型四 应用切线长定理求证 题型五 由三角形的内切圆求长度 题型六 由三角形的内切圆求角度 题型七 由三角形的内切圆求面积 题型八 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型九 三角形内心有关应用 题型十 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 拓展训练一 三角形内切圆与外接圆综合 拓展训练二 圆外切四边形模型 拓展训练三 圆的综合问题 知识点一、切线的判定与性质 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。 拓展 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。 圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。 知识点二 三角形的内切圆 （1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。 点拨： （1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径； （2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等； （3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。 （3）切线长 （1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。 （4） 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形． 总结： 【即时训练】 1．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，PA与⊙O相切于A点，∠POA＝70°，则∠P ＝（    ） A．20° B．35° C．70° D．110° 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）用文字语言写出圆的切线的性质定理： 【经典例题一 有关切线的说法辨析】 【例1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．一个三角形只有一个外接圆 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法： ①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有___________个．（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25九年级·江苏宿迁·阶段练习）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 ． 4．（24-25九年级·江苏苏州·课后作业）当点P在⊙O上时, 经过点P能作 条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O (填”上”或”外”或”内”) 5．（24-25九年级上·江苏无锡·开学考试）总结圆综合或代数综合题或几何综合题的常用策略和方法(形式不限) 【经典例题二 切线的判定定理】 【例2】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）以坐标原点O为圆心，作半径为1的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，是底边的中点，若腰与相切，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的弦，是的切线．若，则 ． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的斜边AB上，且⊙O分别与边AC、BC相切于D、E两点，已知AC＝3，BC＝4，则⊙O的半径r＝ ． 4．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦， (1)求证：是的切线； (2)直线与交于点，且，，求的半径． 【经典例题三 切线的性质定理】 【例3】（2025·湖南·模拟预测）如图，在内已知为直径，是的切线，且的延长线交于点．连接．若，则的度数为（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 1．（2025·湖南·模拟预测）如图，是的直径，切于点，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，分别与相切于两点，，则 ． 3．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，、分别与相切于A、B，C为上一点，，则的度数为 ． 4．（2025·安徽·模拟预测）某数学兴趣小组进行数学实践活动，内容如下： 任务：测量圆口水杯的杯口直径 工具：一张宽度为（小于杯口半径）的矩形硬纸板、一支笔和一把刻度尺． 以下为小组成员耀耀和亮亮的测量方法 耀耀的测量方法：如图（1），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口，用笔标记上下边沿与杯口的交点C，D，连，利用刻度尺测得的长； 亮亮的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口，纸板的一边与杯口相切，用笔标记切点P及另一边与杯口的交点E，F，利用刻度尺测得长为． (1)①耀耀认为，他所测量出的长就是杯口的直径，他的依据是 ； ②请根据亮亮的测量方法和得到的数据，计算出杯口的直径 (2)请你利用提供的工具，设计另一种测量方案，在图（3）中画出示意图，并简述测量过程． 【经典例题四 应用切线长定理求证】 【例4】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，根据图形得出四个结论：①PA=PB；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④AB被OP垂直平分． 其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25九年级上·江苏苏州·单元测试）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（　　）个： ①AF＝BG；②CG＝CH；③AB+CD＝AD+BC；④BG＜CG． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）为了测量一个光盘的半径，小周同学把直尺、光盘和三角板按图所示放置于桌面上，并测量出AB＝3cm，这张光盘的半径是 ． 3．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为 ．    4．（24-25九年级上·广西梧州·期末）一摄影爱好者做一个实地测量，用无人机在一半径为50米的球体表面P点正上方80米处F点看到球体表面最远点M、N两点． (1)求的长度； (2)求M、N两点的距离． 【经典例题五 由三角形的内切圆求长度】 【例5】（24-25九年级上·广东广州·期中）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·江苏苏州·单元测试）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则的长为（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．9cm 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，在中，，点为的外心，，，是的内切圆．则的长为 ． 4．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，，点是的内心．求的度数． 变式拓展 （2）如图2，在中，，点是的内心． ①求的度数； ②若，，求的长． 【经典例题六 由三角形的内切圆求角度】 【例6】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，点为的外心，点为的内心，若，则的度数为 ． 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则的半径为 ． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)若，求的度数； (2)求证． 【经典例题七 由三角形的内切圆求面积】 【例7】（2025·江苏无锡·模拟预测）已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（　　） A．32 B．34 C．27 D．28 1．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（   ） A．1.5 B．3 C．4 D．6 2．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，已知三角形周长为C，从三角形内部去掉一个半径为r的最大的圆，阴影部分的面积是 ．（用含C和r的式子表示） 3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，等边内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称．若等边的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 ． 4．（24-25九年级·江苏苏州·课后作业）阅读材料并解答问题： 与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，，与正边形各边都相切的圆叫做正边形的内切圆，设正边形的面积为，其内切圆的半径为，试探索正边形的面积． 如图①，当时，设切于点，连结， ，，，． 在中，，， ，, , ． (1) 如图②，当时，仿照（1）中的方法和过程可求得： ； (2) 如图③，当时，仿照（1）中的方法和过程求； (3) 如图④，根据以上探索过程，请直接写出． 【经典例题八 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 【例8】（2025·四川泸州·模拟预测）如图，在中，，，，是的内切圆，则的半径为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·天津南开·期末）如图，已知是的内切圆，切点分别为D，E，F，若，，且的面积为6，则内切圆的半径r为 ． 3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心，将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，则的坐标是 ；第2024次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ． 4．（24-25九年级上·山东威海·期末）【阅读材料】 已知，如图1，在面积为的中，，，，内切圆的半径为．连接、、，被划分为三个小三角形． ∵． ∴． 【理解运用】 (1)两条直角边长为3和4，则它的内切圆半径为______； (2)如图2，中，，，求的内切圆的半径； (3)如图3，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为、、，设的半径为，的半径为，若，，，，，求的值． 【经典例题九 三角形内心有关应用】 【例9】（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在中，，则的内切圆的半径为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点为的内心．若，则 ． 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）在中，，，，直线l经过的内心O，过点C作，垂足为D，连接，则的最小值是 ． 4．（2025·陕西·模拟预测）问题提出 （1）如图①，在中，，，垂足为．若，，则的长为______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心的位置，并求出的半径；若不可以，请说明理由． 【经典例题十 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 【例10】（24-25九年级上·山东滨州·期末）若正三角形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D．1 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为 ． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，是一张周长为的三角形纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为 ． 4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，． (1)在图中用无刻度的直尺和圆规作的外接圆O；（保留作图痕迹） (2)若，，求的内切圆半径． 【拓展训练一 三角形内切圆与外接圆综合】 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中有5个点：、、、、． (1)的外接圆圆心点的坐标______，图中点与的位置关系是______； (2)的外接圆的半径______，的内切圆的半径______． 3．（24-25九年级上·江苏·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【拓展训练二 圆外切四边形模型】 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）如图1，和为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． ①的度数为 ； ②直接写出线段，，之间的数量关系为 ； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离为 ． 2．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）[感知]如图①，为等边的外接圆．为的直径，线段与交于点E，探究线段的数量关系． 小明同学的做法是：过点C作的垂线交延长线于点F，连接．易证．进而得出，．则线段的数量关系是： ______． [探究]如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，D为弧上一点，于E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由． [应用]如图③，是的外接圆，是直径，．点D在上，且点D与点C位于线段两侧，过点C作线段的垂线，交线段于点E，若点E为的三等分点，则的值为______． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形． (1)如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，则________； (2)如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，求的长； (3)如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，试确定与的函数关系式，并求出的最大值． 【拓展训练三 圆的综合问题】 1．（2025九年级·江苏苏州·专题练习）如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，小明家有一圆形花园记作，他准备在花园的内部，内接四边形的外部进行绿化图中的阴影部分，并在四边形内部建一个最大的圆形鱼池，且，． (1)求花园绿化部分的面积； (2)请用尺规作图作出圆形鱼池的圆心，并求出其半径． 3．（2025·山东济宁·模拟预测）阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中， BC=a,AC=b, AB=c,内切圆O的半径为r连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形． ∴．      （1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r； （2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值. 1．（24-25九年级上·四川·期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，以R为半径作圆A与x轴相切，则圆A的半径R是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 2．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D，若，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 4．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，与的两边都相切且半径为1，Q为上一动点，以Q为圆心，长为半径的交两边于E、F两点，连接，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）《九章算术》是我国古代数学的瑰宝，其第九卷中有著名的“勾股容圆”问题，原文为：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”意思是“今有直角三角形，较短直角边长8步，较长直角边长15步，问此直角三角形内切圆的直径是多少步？”我们用学过的知识可求该内切圆的直径是 步． 7．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留） ． 8．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图是的内切圆，切点分别是D，E，F，其中，若与相切与G点，与相交于M，N点，则的周长等于 ．    9．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，，，，若、分别是的内心和外心，则的长为 ． 10．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=45°，点D，E分别是BC，AB的中点，则DE长的最大值是 ．    11．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 12．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．求证：． 13．（24-25九年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 14．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，内接于为的直径，的平分线交于点．连接，过点作，交的延长线于点． (1)求证： 是的切线； (2)若，求的长． 15．（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 切线的判定与性质、三角形的内切圆重难点题型专训 （1个知识点+10大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 有关切线的说法辨析 题型二 切线的判定定理 题型三 切线的性质定理 题型四 应用切线长定理求证 题型五 由三角形的内切圆求长度 题型六 由三角形的内切圆求角度 题型七 由三角形的内切圆求面积 题型八 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型九 三角形内心有关应用 题型十 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 拓展训练一 三角形内切圆与外接圆综合 拓展训练二 圆外切四边形模型 拓展训练三 圆的综合问题 知识点一、切线的判定与性质 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。 拓展 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。 圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。 知识点二 三角形的内切圆 （1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。 点拨： （1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径； （2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等； （3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。 （3）切线长 （1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。 （4） 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形． 总结： 【即时训练】 1．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，PA与⊙O相切于A点，∠POA＝70°，则∠P ＝（    ） A．20° B．35° C．70° D．110° 【答案】A 【分析】利用切线的性质可得∠PAO=90°，在Rt中利用两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵PA与⊙O相切于A点， ∴∠PAO=90°． 又∵∠POA＝70°， ∴Rt中，， 故选A． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线经过半径的外端点且垂直于半径． 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）用文字语言写出圆的切线的性质定理： 【答案】圆的切线垂直于过切点的半径 【分析】本题考查圆的切线的性质定理，掌握相关知识是解决问题的关键．圆的切线的性质定理是圆的切线垂直于过切点的半径． 【详解】解：圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 故答案为：圆的切线垂直于过切点的半径． 【经典例题一 有关切线的说法辨析】 【例1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．一个三角形只有一个外接圆 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，三角形的外心和外接圆，切线的定义； 根据确定圆的条件，三角形的外心和外接圆，切线的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，原说法错误； B、三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，原说法错误； C、和半径垂直且过半径外端点的直线为圆的切线，原说法错误； D、一个三角形只有一个外接圆，说法正确； 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法： ①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有___________个．（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据圆、弧、三角形外心的定义和性质以及切线的判定条件即可获得答案． 【详解】解：①弧长相等的弧是等弧，故该说法不正确； ②不在同一直线的三点可以确定一个圆，故该说法不正确； ③在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该说法不正确； ④经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该说法不正确； ⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等，故该说法正确． 故选：D． 【点睛】根据圆、弧、三角形外心的定义和性质以及切线的判定条件等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 3．（24-25九年级·江苏宿迁·阶段练习）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 ． 【答案】切线． 【分析】根据圆的切线判定定理内容即可判断. 【详解】经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 故答案为：切线． 【点睛】本题直接考查圆的切线判定定理内容，理解定理满足的条件是解答此题的关键. 4．（24-25九年级·江苏苏州·课后作业）当点P在⊙O上时, 经过点P能作 条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O (填”上”或”外”或”内”) 【答案】 一 外 【分析】根据切线的定义求解即可. 【详解】如图， 当点P在⊙O上时, 经过点P能作一条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O外. 故答案为一；外. 【点睛】本题考查了切线的定义，经过半径的外端，且与半径垂直的直线是圆的切线，熟练掌握切线的定义是解答本题的关键. 5．（24-25九年级上·江苏无锡·开学考试）总结圆综合或代数综合题或几何综合题的常用策略和方法(形式不限) 【答案】见详解 【分析】本题考查学生的发散思维，根据圆综合常考的知识点，举例：圆必考切线：切线判定方法有哪些；或者已知切线，怎样利用等类似考点进行作答，即可作答． 【详解】解：圆必考切线。切线判定方法有哪些? （1）最常用：切线判定定理(经过半径外端点，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线)。作辅助线-连接切点和圆心， 证明垂直。 （2）若未告知切线经过圆上的点(那么无法连切点和圆心)， 作辅助线一-过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径。 或者：已知切线，怎样利用? 必须利用切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 作辅助线一连接切点和圆心，得到垂直。（答案不唯一） 【经典例题二 切线的判定定理】 【例2】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）以坐标原点O为圆心，作半径为1的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限b的值，则相交时b的值在相切时的两个b之间． 【详解】当直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限时如图 在中，令x=0,y=b，则与y轴的交点为（0,b） 令y=0,x=b，则与x轴的交点为（b,0） 则OA=OB，即△AOB是等腰直角三角形 连接圆心O和切点C，则OC=1 ∴△BOC也是等腰直角三角形 ∴BC=OC=1 ∴BO= 同理当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=-， ∴直线与⊙O相交，则b的取值范围是 故选D． 【点睛】此题主要考查直线与圆的关系综合，解题的关键是根据题意找到直线与圆相切时b的值． 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，是底边的中点，若腰与相切，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】腰与相切，设切点为，连接，，过O点作，如图，如图，根据等腰三角形的性质得到平分，则利用角平分线的性质得，然后根据切线的判定定理可判断与相切． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， ∵腰与相切，设切点为， ∴为⊙O的半径， ， 连接，，过O点作，如图， ∵O是等腰的底边的中点， ∴平分， ∵，， ∴， ∴与相切． 故选B． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和切线的判定． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的弦，是的切线．若，则 ． 【答案】 【分析】此题重点考查圆的切线的性质、圆周角定理、多边形的内角和等知识，接、，由切线的性质得，再由圆周角定理求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 与相切于点，与相切于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的斜边AB上，且⊙O分别与边AC、BC相切于D、E两点，已知AC＝3，BC＝4，则⊙O的半径r＝ ． 【答案】． 【分析】连结OD、OE，如图，根据切线的性质得∠ODC＝∠OEC＝90°，再证明四边形OECD为正方形得到CE＝r，然后证明△BOE∽△BAC，利用相似比得到r：3＝（4﹣r）：4，再利用比例性质求r即可． 【详解】连结OD、OE，如图， ∵⊙O分别与边AC、BC相切于D、E两点， ∴OD⊥AC，OE⊥BC， ∴∠ODC＝∠OEC＝90°， 而∠C＝90°， ∴四边形OECD为矩形， 而OE＝OD， ∴四边形OECD为正方形， ∴CE＝r， ∴BE＝BC﹣CE＝4﹣r， ∵OE∥AC， ∴△BOE∽△BAC， ∴OE：AC＝BE：BC，即r：3＝（4﹣r）：4， ∴r＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．解决本题的关键是证明CE=r． 4．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦， (1)求证：是的切线； (2)直线与交于点，且，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，证明，根据切线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论； （2）设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程求出的半径． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为，则， 在中，，即， 解得：， 的半径为3． 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理的，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 【经典例题三 切线的性质定理】 【例3】（2025·湖南·模拟预测）如图，在内已知为直径，是的切线，且的延长线交于点．连接．若，则的度数为（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质，根据圆周角定理求出，根据切线的性质求出，从而可求． 【详解】解：， 又是的切线， ∴， ， 故选：C． 1．（2025·湖南·模拟预测）如图，是的直径，切于点，连接，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．连接，由切线的性质得，由，，得，再利用求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，分别与相切于两点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质定理、四边形内角和以及圆周角定理，连接，根据切线的性质定理可知，利用内角和为直接计算即可． 【详解】解：连接， 分别与相切于两点， ， ， 是四边形， 内角和为， ， ， 分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，、分别与相切于A、B，C为上一点，，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆的切线的性质、圆内接四边形的性质及圆周角定理是解题的关键．在优弧上任取一点D，连接、，、，先根据圆内接四边形的性质求得，然后根据圆周角定理求出，再根据圆的切线的性质得到，最后根据四边形内角和的性质求解即可． 【详解】解：在优弧上取一点D，连接、，、， ，， ， ， 、分别与相切， ， ． 故答案为：． 4．（2025·安徽·模拟预测）某数学兴趣小组进行数学实践活动，内容如下： 任务：测量圆口水杯的杯口直径 工具：一张宽度为（小于杯口半径）的矩形硬纸板、一支笔和一把刻度尺． 以下为小组成员耀耀和亮亮的测量方法 耀耀的测量方法：如图（1），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口，用笔标记上下边沿与杯口的交点C，D，连，利用刻度尺测得的长； 亮亮的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口，纸板的一边与杯口相切，用笔标记切点P及另一边与杯口的交点E，F，利用刻度尺测得长为． (1)①耀耀认为，他所测量出的长就是杯口的直径，他的依据是 ； ②请根据亮亮的测量方法和得到的数据，计算出杯口的直径 (2)请你利用提供的工具，设计另一种测量方案，在图（3）中画出示意图，并简述测量过程． 【答案】(1)①在圆中，圆周角所对的弦是直径；②杯口的直径为 (2)见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理、切线的性质定理等知识，熟练掌握圆的性质定理是解答本题的关键． （1）①根据的圆周角所对的弦是直径进行解答即可； ② （2）设圆心为O，连接交于点G，由垂径定理得，设，则．由勾股定理列方程，解得，即可得到答案． （2）利用提供的工具，设计另一种测量方案，并在图（3）中画出示意图，简述测量过程即可． 【详解】（1）解：①用到的几何知识是：在圆中，圆周角所对的弦是直径； 故答案为：圆周角所对的弦是直径； ②如图（1），设圆心为O，连接交于点G， 则， ∴点G是的中点， ∴， 设，则． 在中，， ∴， 解得， 即， ∴杯口的直径为． （2）解：示意图如图（2）所示 测量过程：将矩形硬纸板的一边与杯口相切，切点为P，另一边与杯口交于E，F两点，利用刻度尺找出的中点M，直线与杯口交于另一点N，用刻度尺测得的长，即为杯口的直径． 【经典例题四 应用切线长定理求证】 【例4】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，根据图形得出四个结论：①PA=PB；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④AB被OP垂直平分． 其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据切线的有关性质可以得到解答． 【详解】解：根据切线长定理可知：PA=PB，∠3=∠4，∴①、③正确； 由OA=OB及两点确定一条直线可知OP是AB的垂直平分线，∴④正确； 根据切线的性质定理可知，∠OAP=∠OBP=90°，∴∠1=∠2，②正确． 故选D． 【点睛】本题考查切线的应用，熟练掌握切线的性质定理和切线长定理是解题关键． 1．（24-25九年级上·江苏苏州·单元测试）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（　　）个： ①AF＝BG；②CG＝CH；③AB+CD＝AD+BC；④BG＜CG． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到AF=AE，BF=BG，CG=CH，DH=DE，则AB+CD=AF+BF+CH+DH=AE+BG+CG+DE=AD+BC． 【详解】解：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆， ∴AF＝AE，BF＝BG，CG＝CH，DH＝DE， ∴AB+CD＝AF+BF+CH+DH＝AE+BG+CG+DE＝AD+BC． ①AF＝BG；④BG＜CG无法判断． 正确的有②③ 故选B． 【点睛】本题考查切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）为了测量一个光盘的半径，小周同学把直尺、光盘和三角板按图所示放置于桌面上，并测量出AB＝3cm，这张光盘的半径是 ． 【答案】3cm． 【分析】连接OA，根据题意求出∠OAB＝60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的直径． 【详解】如图，作OB⊥AB，连接OA， ∵∠CAD＝60°， ∴∠CAB＝120°， ∵AB和AC与⊙O相切， ∴∠OAB＝∠OAC， ∴∠OAB＝∠CAB＝60° ∵AB＝3cm， ∴OA＝6cm， ∴由勾股定理得3cm， ∴光盘的半径是3cm． 故答案为：3cm． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 3．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若， ，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 4．（24-25九年级上·广西梧州·期末）一摄影爱好者做一个实地测量，用无人机在一半径为50米的球体表面P点正上方80米处F点看到球体表面最远点M、N两点． (1)求的长度； (2)求M、N两点的距离． 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质定理、勾股定理等知识，熟练掌握切线长定理、切线的性质定理是关键． （1）连接，根据切线的性质和勾股定理进行解答即可； （2）设线段与相交于点，证明垂直平分线段，由得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 由题意可得，均是的切线， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴米， 即的长度为米； （2）设线段与相交于点， ∵均是的切线， ∴, ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴米， ∴米， 故M、N两点的距离为米． 【经典例题五 由三角形的内切圆求长度】 【例5】（24-25九年级上·广东广州·期中）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的外接圆半径的长求出斜边，再由勾股定理求出直角边，利用等腰直角三角形的面积即可求出内切圆的半径． 【详解】如图所示，是等腰直角三角形，是它的外接圆，是它的内切圆，连接AE、BE， ∵等腰直角三角形的外接圆半径的长为2， ∴AB=4， ∴在中，， ∵是内切圆， ∴EF=EG=ED， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆和内切圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆基本的性质定理是解题的关键． 1．（24-25九年级上·江苏苏州·单元测试）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则的长为（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．9cm 【答案】B 【分析】设AF=acm，根据切线长定理得出AF=AE，CE=CD，BF=BD，求出BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm，根据CD+BD=BC，代入求出a即可． 【详解】设AF=acm， ∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F， ∴AF=AE，CE=CD，BF=BD， ∵AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， ∴BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm， ∵BD+CD=BC=14cm， ∴（9-a）+（13-a）=14， 解得：a=4， 即AF=4cm． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，关键是推出AF=AE，CE=CD，BF=BD，用了方程思想． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 3．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，在中，，点为的外心，，，是的内切圆．则的长为 ． 【答案】 【分析】如图：过点P作于D、于E、于F，根据三角形的内心性质得到，根据切线长定理可得、、，得到四边形是正方形，根据勾股定理求出，得到，设，，，求得， ，进而得到，最后根据勾股定理求解即可． 本题主要考查了直角三角形的内心与外心、三角形内心性质、三角形外心性质、勾股定理，切线长定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图：过点P作于D、于E、于F。 ∵点P是内切圆的圆心， ∴，、、， ∴四边形是正方形， ∵中，， ，， ∴， 设，，， 则，解得：， ∴，。 ∵点O为的外心， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，，点是的内心．求的度数． 变式拓展 （2）如图2，在中，，点是的内心． ①求的度数； ②若，，求的长． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了三角形的内心，切线长定理，勾股定理，解题的关键是： （1）根据内心的定义求出，，然后根据三角形内角和定理求解即可； （）①由三角形内角和定理得，再根据内心的定义得，进而即可求解； ②画出的内切圆，过点分别作，，，垂足分别为，连接，由内切圆的性质可知垂足也是三边与的切点，即得，，，，利用勾股定理得，设，则，可得，，进而由得，解得，设，利用三角形面积得，最后利用勾股定理即可求解； 【详解】解∶（1）∵点是的内心． ∴平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）①∵在中，， ∴． ∵点是的内心， ∴， ∴； ②如图，画出的内切圆，过点分别作，，，垂足分别为，连接， 根据三角形的内切圆的性质可知垂足也是三边与的切点， ∴，，，， ∵，，， ∴， 设，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【经典例题六 由三角形的内切圆求角度】 【例6】（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理、三角形内切圆和外接圆的应用，熟练掌握同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键．连接、，由圆周角定理可得由三角形的内角和可得，，根据点是的内心可得，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 点是的外心，， ． ， ． 点是的内心， ，． ． ， 故选：B． 1．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了内切圆的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据内切圆的定义得、分别平分、，则，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴、分别平分、， ∵，， ∴，， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，点为的外心，点为的内心，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得到∠A=，根据三角形的内心的性质得到BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵点O为△ABC的外心， ∴∠A=， ∴∠ABC+∠ACB=180°-65°=115°， ∵点I为△ABC的内心， ∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB， ∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=57.5°， ∴∠BIC=180°-57.5°=122.5°； 故答案为：. 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心、外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形的内心的概念和性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则的半径为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由得，因为是的内心，所以，，则即可求得． （2）作于点，利用解得，再利用勾股定理解得，，故，设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、，则利用即可求出的半径． 【详解】解：（1）， ， ， 是的内心， 平分，平分， ， ， ， 答案为：． （2）作于点，则， ， ， 即， 解得， ， ， 在中， ． 设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、， ，，，且， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)若，求的度数； (2)求证． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了三角形的内心、圆周角定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． （1）先根据三角形的内心可得，再根据圆周角定理求解即可得； （2）先根据三角形的内心可得，则可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证． 【详解】（1）解：∵点是的内心，， ∴， 由圆周角定理得：． （2）证明：∵点是的内心， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴， ∴． 【经典例题七 由三角形的内切圆求面积】 【例7】（2025·江苏无锡·模拟预测）已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（　　） A．32 B．34 C．27 D．28 【答案】D 【分析】如图，点O是△ABC的外心，点D是△ABC的内心，E、F、M是△ABCD 内切圆与△ABC的切点．设AB=a，BC=b，则有2=，推出a+b=16，所以a2+2ab+b2＝256，因为a2+b2＝122＝144，推出2ab=112，推出ab=28，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，点O是△ABC的外心，点D是△ABC的内心，E、F、M是△ABCD 内切圆与△ABC的切点． 设AB＝a，BC＝b，则有2＝， ∴a+b＝16， ∴a2+2ab+b2＝256， ∵a2+b2＝122＝144， ∴2ab＝112， ∴ab＝28． ∴△ABC的面积为28． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、外接圆与外心等知识，解题的关键是记住直角三角形的内切圆半径r=，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 1．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（   ） A．1.5 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形面积以及切线的性质，正确将四边形分割成三角形是解题关键．利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出的半径． 【详解】解：是四边形的内切圆，设切点分别为：，，，， 连接，，，，，，，，的半径为，如图： ，， 四边形的面积 ， 解得：． 故的半径为3． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，已知三角形周长为C，从三角形内部去掉一个半径为r的最大的圆，阴影部分的面积是 ．（用含C和r的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的性质，连接，根据三角形的面积公式和圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，连接， ∴ ， ∵， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，等边内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称．若等边的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 ． 【答案】 【分析】先作，作于点E，和交于点O，再根据边长求出，即可求出，然后根据面积公式即可求出答案． 【详解】作，作于点E，和交于点O，如图所示： ∵等边的边长为6 ∴AB=6，则BD=3， ∵， ∴， ∴， 根据太极图的对称性，黑色部分的面积占内切圆面积的一半， ∴ ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了等边三角形以及三角形的内切圆，解题关键是求出圆的半径． 4．（24-25九年级·江苏苏州·课后作业）阅读材料并解答问题： 与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，，与正边形各边都相切的圆叫做正边形的内切圆，设正边形的面积为，其内切圆的半径为，试探索正边形的面积． 如图①，当时，设切于点，连结， ，，，． 在中，，， ，, , ． (1) 如图②，当时，仿照（1）中的方法和过程可求得： ； (2) 如图③，当时，仿照（1）中的方法和过程求； (3) 如图④，根据以上探索过程，请直接写出． 【答案】(1) ；(2) ；(3) ． 【分析】（1）如图②，要求正四边形的面积，只需求△OAB的面积，只需求AB，根据等腰三角形的性质可得AB＝2AC，只需在Rt△AOC中求出∠AOC，然后运用三角函数即可解决问题； （2）如图③，要求正五边形的面积，只需求△OAB的面积，只需求AB，根据等腰三角形的性质可得AB＝2AC，只需在Rt△AOC中求出∠AOC，然后运用三角函数即可解决问题； （3）如图④，要求正n边形的面积，只需求△OAB的面积，只需求AB，根据等腰三角形的性质可得AB＝2AC，只需在Rt△AOC中求出∠AOC，然后运用三角函数即可解决问题． 【详解】(1) （根据题干中的规律进行解答） (2) 如图③，当时，设切于点，连结，. ，又，，，. ，． (3) ． 【点睛】本题考查的是内切圆，熟练掌握内切圆的性质是解题的关键. 【经典例题八 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 【例8】（2025·四川泸州·模拟预测）如图，在中，，，，是的内切圆，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，切线的定义，三角形面积公式，熟记勾股定理，三角形面积公式是解题的关键． 设三边内切于点，连接，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：如图，设三边内切于点，连接， 设的半径为， ，，， ， ， ， ， ， ， 故选：A ． 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、、， 与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·天津南开·期末）如图，已知是的内切圆，切点分别为D，E，F，若，，且的面积为6，则内切圆的半径r为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了切线长定理以及直角三角形内切圆半径求法，根据切线长定理得出是直角三角形是解题关键．根据切线长定理得出，进而得出是直角三角形，再利用直角三角形内切圆半径求法得出内切圆半径即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点为D、E、F， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴是直角三角形， ∴内切圆的半径， 故答案为：1． 3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，把置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是内切圆的圆心，将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，则的坐标是 ；第2024次滚动后，内切圆的圆心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形内切圆的相关性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，得出每滚动3次为一个循环是解此题的关键． 作交于，交于，交于，连接、、，由、的坐标得出，，由勾股定理可得，再由内切圆的性质可得，设，根据三角形的面积计算出，从而得到，根据旋转可得出的坐标为：，即，设的横坐标为，根据切线长定理可得：，即可得到的坐标，从而得到每滚动3次为一个循环，最后根据，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于，交于，交于，连接、、，   ，  点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点是内切圆的圆心，，，， ， 设， ，， ， 解得：， ， 将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为， 由图可得的坐标为：，即， 设的横坐标为， 根据切线长定理可得：， 解得：， ， 的坐标为，即， 每滚动3次为一个循环， ， 第2024次滚动后内切圆的圆心的横坐标是：，即的横坐标是8099 ， 故答案为：，． 4．（24-25九年级上·山东威海·期末）【阅读材料】 已知，如图1，在面积为的中，，，，内切圆的半径为．连接、、，被划分为三个小三角形． ∵． ∴． 【理解运用】 (1)两条直角边长为3和4，则它的内切圆半径为______； (2)如图2，中，，，求的内切圆的半径； (3)如图3，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为、、，设的半径为，的半径为，若，，，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出斜边的长，再求出的面积，根据材料代入数据计算即可解答； （2）过点作，设，则，利用勾股定理，建立方程，求出，进而求出，再求出的面积，根据材料代入数据计算即可解答； （3）根据材料中内切圆半径的求法，进一步易得的长，但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据切线长定理及勾股定理，先求的长，三角形各边长可知，则的值易得． 【详解】（1）解：∵两条直角边长为3和4， ∴斜边的长为：， ∵出的面积为：， 根据材料： 它的内切圆半径为:； （2）解：如图2，过点作， 则， ∴， 中，，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积为， 根据材料： 的内切圆半径为:； （3）解：， ， ， ． 是的内切圆， ，，， ， ∴设，则， ， ，即（， 解得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了和圆有关的综合性题目，同时涉及到切线的性质、切线长定理、勾股定理等相关知识．这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养以及学习、理解、创新新知识的能力的培养． 【经典例题九 三角形内心有关应用】 【例9】（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在中，，则的内切圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心的性质，勾股定理；设的内切圆的半径为r，切点为，过点A作于点D，设，则，根据勾股定理求得的值，即可得出，连接，根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图所示，设的内切圆的半径为r，切点为，过点A作于点D， 设，则， ， 连接， ． 1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内心和外接圆的有关知识、垂径定理的推论、圆周角定理、等腰三角形的判定、三角形的内角和和外角性质等知识，根据相关知识逐个判断即可．利用内心定义可判断①；根据垂径定理的推论可判断②；根据三角形的内角和定理和内心定义可判断③；根据三角形的外角性质、圆周角定理和等腰三角形的判定可判断④． 【详解】解：∵点E是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 设外接圆圆心为O，连接，则垂直平分， ∵点G为的中点， ∴点G为与的交点，即，故②正确； ∵， ∴， ∵点E是的内心， ∴，， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确， 综上，正确的有3个， 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点为的内心．若，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，根据已知条件可得，进而得出，然后根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵点O是的内心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）在中，，，，直线l经过的内心O，过点C作，垂足为D，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】圆O与三边的切点分别为E，F，G，连接，，，先根据圆O是的内切圆，，，，求出正方形的边长为x，根据勾股定理可得，连接，过点Q作于点P，当点D运动到线段上时，取得最小值，再利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图，圆O与三边的切点分别为E，F，G，连接，，， ∵圆O是的内切圆，，，， ∴，，，， ∴四边形是正方形， 设正方形的边长为x， 则，， 根据题意，得， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴点D在以为直径的圆Q上，如图， 连接，过点Q作于点P， 当点D运动到线段上时，取得最小值， ∴， ∴，圆Q的半径， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，切线长定理，正方形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心． 4．（2025·陕西·模拟预测）问题提出 （1）如图①，在中，，，垂足为．若，，则的长为______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心的位置，并求出的半径；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）（2）可以，画图见解析，的半径为 【分析】（1）首先根据勾股定理求出的长度，然后利用等面积法求解即可； （2）根据三角形内最大的圆是三角形的内切圆可求出点的位置；作和的平分线交于点，则点就是裁出的最大圆型部件的圆心的位置，过点作于，于，于，连接，过点作于，设，的半径为，则，利用勾股定理解得，易得，再求得，然后根据求得的值，即可获得答案． 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 故答案为：； （2）可以， ∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆， ∴所求圆的圆心是的内心， 作和的平分线交于点，则点就是裁出的最大圆型部件的圆心的位置， 过点作于，于，于，连接，过点作于，如图所示， 设，的半径为， ∵，，， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点为的内心 ∴， 又∵， ∴， 即， 解得， 即的半径为． 【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆和三角形的内心、勾股定理，理解三角形的内切圆是三角形内最大的圆，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式法进行计算是解题的关键． 【经典例题十 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 【例10】（24-25九年级上·山东滨州·期末）若正三角形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的有关性质．特别记住等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和它的高的比． 由正三角形外接圆的半径和它的内切圆的数量关系直接得到． 【详解】解：等边三角形的外接圆半径是它的内切圆半径的2倍， 所以当正三角形外接圆的半径为2时，它的内切圆的半径为1． 故选D． 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求三角形内切圆半径，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的判定定理，等边三角形的性质，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接，由切线的性质可得，再由可得平分，则，同理可得，则可证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接， 由切线的性质可得， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴边长为a的正三角形的内切圆半径是， 故选：A． 2．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为 ． 【答案】 【分析】如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为G、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5-x．由AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，可得72-x2=82-（5-x）2，解得x=1，推出AD=4，由•BC•AD=•（AB+BC+AC）•r，列出方程即可解决问题． 【详解】解：如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为G、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5-x． 由勾股定理可知：AD2=AB2-BD2=AC2-CD2， 即72-x2=82-（5-x）2，解得x=1， ∴AD=4， ∵•BC•AD=•（AB+BC+AC）•r， ×5×4=×20×r， ∴r=， 故答案为： 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用面积法求内切圆的半径，属于中考常考题型． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，是一张周长为的三角形纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为 ． 【答案】8 【分析】根据切线长定理得到BD＝BG，CP＝CG，MH＝MD，NH＝NP，根据三角形的周长公式计算即可得出结论． 【详解】解：由切线长定理得，BD＝BG，CP＝CG，MH＝MD，NH＝NP， ∴BD＋CP＝BG＋CG＝5， ∴AD＋AP＝18−10＝8， ∴△AMN的周长＝AM＋MN＋AN＝AM＋MD＋AN＋NP＝AD＋AP＝8（cm）， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆，掌握切线长定理是解题的关键． 4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，． (1)在图中用无刻度的直尺和圆规作的外接圆O；（保留作图痕迹） (2)若，，求的内切圆半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查三角形外接圆，内切圆，勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理及垂径定理是解题的关键． （1）用尺规作边和的垂直平分线，两线相交于点O进而作出的外接圆； （2）根据勾股定理和等面积法即可求出内切圆的半径． 【详解】（1）解：如图所示即为的外接圆， （2）解：连接、，设交于点， ∵， ， 根据垂径定理，得，， ， 设内切圆半径为， ， 内切圆半径． 【拓展训练一 三角形内切圆与外接圆综合】 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)见解析 (2)点是图中的外心，理由见解析 【分析】本题考查了三角形外心与内心，弧与弦的关系，圆周角定理．熟记三角形外心与内心的性质是解题的关键． （1）连接，并延长交于点，连接，由三角形内心的性质可得平分，平分，得到，根据圆周角定理可得，推出，进而求出，即可得到； （2）如图，连接，由（1）知，圆周角定理可得，推出，进而得到点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 【详解】（1）解：如图所示，点D为所求： ∵点是的外心， ∴是的外接圆， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：点是图中的外心，理由如下： 如图，连接， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中有5个点：、、、、． (1)的外接圆圆心点的坐标______，图中点与的位置关系是______； (2)的外接圆的半径______，的内切圆的半径______． 【答案】(1)，在圆上 (2)， 【分析】（1）分别找出与的垂直平分线，交于点，即为圆心，画出圆，如图所示，即可得到圆心坐标及判断点与的位置关系； （2）先由直角三角形外接圆的圆心为斜边中点，求出的长即可得到圆的半径；再由等面积法即可求出内切圆半径． 【详解】（1）解：画出的外接圆，如图所示： 的外接圆圆心点的坐标为；点与的位置关系是点在上； 故答案为：，在圆上； （2）解：如图所示： ； 的外接圆的半径为， 设的内切圆的半径为，圆心为， 则根据内切圆定义，由等面积法可得， ， 解得； 故答案为：，． 【点睛】本题属于圆的综合题，涉及三角形外接圆作法、写出平面直角坐标系中点的坐标、点与圆的位置关系、勾股定理、三角形内切圆定义、等面积法求内切圆半径、分母有理化等知识，先在平面直角坐标系中描出各点，熟记三角形外接圆、内切圆定义及性质，数形结合是解决本题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证； （2）连接，证出即可得证； （3）连接，，，证出即可得证． 【详解】（1）证明：点I是的内心， 平分， ， ， ， ． （2）证明：如图，连接， 点I是的内心， 平分，平分， ， 又， ， ，， ， ． （3）证明：如图，连接，，， ， ． ， ∴点D是的外心． 【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键. 【拓展训练二 圆外切四边形模型】 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）（1）如图1，和为等边三角形，点，，在同一直线上，连接． ①的度数为 ； ②直接写出线段，，之间的数量关系为 ； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中上的高，连接，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离为 ． 【答案】（1）①；②；（2），；（3）或 【分析】此题是四边形的综合题，本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力．通过添加适当的辅助线证明，并能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键． （1）①由条件易证，从而得到．由点，，在同一直线上可求出，从而可以求出的度数； ②利用，得出，利用为等边三角形，得出，即可解答； （2）仿照（1）中的解法可求出的度数，证出；由为等腰直角三角形及为等腰中边上的高可得，从而证到． （3）由可得：点在以点为圆心，1为半径的圆上；由可得：点在以为直径的圆上．显然，点是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题． 【详解】解：（1）①如图1， 和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ． 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为：； ②，理由如下： ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：； （2），． 理由：如图2， 和均为等腰直角三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ，． 为等腰直角三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． ，， ． ， ． ． （3）点到的距离为或．理由如下： ， 点在以点为圆心，1为半径的圆上． ， 点在以为直径的圆上． 点是这两圆的交点． ①当点在如图3①所示位置时， 连接、、， 过点作，垂足为，作，交于点， 如图3①．四边形是正方形， ，，． ． ， ． ， 、、、在以为直径的圆上， ． 是等腰直角三角形． 又是等腰直角三角形，点、、共线，， 由（2）中的结论可得：． ． ； ②当点在如图3②所示位置时， 连接、、，过点作，垂足为，作，交的延长线于点，如图3②． 同理可得：． ． ． 综上所述：点到的距离为或． 2．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）[感知]如图①，为等边的外接圆．为的直径，线段与交于点E，探究线段的数量关系． 小明同学的做法是：过点C作的垂线交延长线于点F，连接．易证．进而得出，．则线段的数量关系是： ______． [探究]如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，D为弧上一点，于E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由． [应用]如图③，是的外接圆，是直径，．点D在上，且点D与点C位于线段两侧，过点C作线段的垂线，交线段于点E，若点E为的三等分点，则的值为______． 【答案】[感知] ；[探究] 上述结论成立，证明见解析；[应用] 【分析】本题主要考查了圆的综合题，涉及了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质： [感知] 过点C作的垂线交延长线于点F，连接，证明，，即可求解； [探究] 过点C作的垂线交延长线于点G，连接，证明，，即可求解； [应用] 过点C作的垂线交延长线于点H，可证明四边形是矩形，再由四边形是的内接四边形，可证明，可证得，从而得到，，可证明四边形是正方形，从而得到，即可求解． 【详解】解：[感知]过点C作的垂线交延长线于点F，连接， ∵为等边的外接圆， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： [探究] 上述结论成立，证明如下： 如图，过点C作的垂线交延长线于点G，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； [应用]如图，过点C作的垂线交延长线于点H， ∵是直径，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点E为的三等分点，点D与点C位于线段两侧， ∴， 设，则， ∴， ∴； 故答案为： 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形． (1)如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，则________； (2)如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，求的长； (3)如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，试确定与的函数关系式，并求出的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【分析】（1）利用圆周角定理可得，再根据圆心角、弧、弦的关系可得答案； （2）首先利用勾股定理求出和、的长，再分类讨论，第一种情况是，第二种情况是，结合三角函数以及勾股定理进行列式作答即可； （3）连接、交于点H，过点O作于G，利用三角函数表示出的长，进而得出，再根据三角形中位线定理可得的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵为的直径，，， ∴， ①当时，连接，如图： ∵，为的直径， ∴， ∴，垂直平分． ∴ ∴； ②当时，连接，过点作，交于点．如图： 此时为等腰直角三角形，． 在中，∵，， ∴ ∴ 在中，∵，， ∴， ∴． 综上可知，或； （3）如图，连接，． ∵，， ∴垂直平分 ∵为中点， ∴为的中位线，有，． 设， 则，，， 在中， 在中， 于是有： 整理得，， ∴ 当时， 【点睛】本题是圆的综合题，涉及勾股定理、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、三角函数、三角形中位线定理等知识，综合性较强，难度较大，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【拓展训练三 圆的综合问题】 1．（2025九年级·江苏苏州·专题练习）如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 【答案】见解析. 【分析】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得EF=AB. 【详解】∵等腰梯形ABCD是的外切等腰梯形， ∴AD+BC=AB+CD=2AB， ∵梯形中位线为EF， ∴AD+BC=2EF， ∴EF=AB. 【点睛】本题考查切线长定理及梯形的中位线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟知圆外切四边形对边和相等是解题关键. 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，小明家有一圆形花园记作，他准备在花园的内部，内接四边形的外部进行绿化图中的阴影部分，并在四边形内部建一个最大的圆形鱼池，且，． (1)求花园绿化部分的面积； (2)请用尺规作图作出圆形鱼池的圆心，并求出其半径． 【答案】(1) (2)半径为 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、垂径定理的应用、扇形面积的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意可得，为的直径，，可求出的面积为，四边形的面积为，进而可得花园绿化部分的面积为 若在四边形内部建一个最大的圆形鱼池，则圆形鱼池分别与四边形的四条边相切．作的平分线，交AC于点，则点即为所求；设分别与，，，相切于点E，F，G，H，连接，，，，，，设圆形鱼池的半径为r，则，根据，可得，求出r的值即可． 【详解】（1）解∶，，， ， 四边形为的内接四边形， ， ， 为的直径． ， 的面积为 四边形的面积为， 花园绿化部分的面积为； （2）解∶由题意得，圆形鱼池分别与四边形的四条边相切． 如图，作的平分线，交于点， 则点即为所求． 设分别与，，，相切于点E，F，G，H，连接，，，，，， 设圆形鱼池的半径为r，则， ， ， ， 其半径为 3．（2025·山东济宁·模拟预测）阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中， BC=a,AC=b, AB=c,内切圆O的半径为r连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形． ∴．      （1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r； （2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值. 【答案】（1）（2）. 【分析】（1）如图，连接OA、OB、OC、OD，则△AOB、△BOC、△COD和△DOA都是以点O为顶点、高都是r的三角形，根据即可求得四边形的内切圆半径r. （2）过点D作DE⊥AB于点E，分别求得AE的长，进而BE 的长，然后利用勾股定理求得BD的长；然后根据，，两式相除，即可得到的值. 【详解】解：（1）如图（2），连接OA、OB、OC、OD. ∵ ∴ （2）如图（3），过点D作DE⊥AB于点E， ∵梯形ABCD为等腰梯形， ∴ ∴ 在Rt△AED中， ∵AD=13，AE=5，∴DE=12， ∴ ∵AB∥DC，∴. 又∵， ∴.即. 1．（24-25九年级上·四川·期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，以R为半径作圆A与x轴相切，则圆A的半径R是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】由圆A与x轴相切可知圆的半径即为圆心A到x轴的距离．本题重点考查坐标与图形性质、切线的性质等知识，正确地画出图形及辅助线是解题的关键． 【详解】解：设以R为半径作圆A与x轴相切于点B，连接AB，则轴， ， ， 圆A的半径R是3， 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D，若，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理，根据题意可知从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，继而得到，继而求出本题答案． 【详解】解：∵分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D， ∴， ∵的周长：，，， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则正方形周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、圆的切线的判定与性质、切线长定理等知识，根据切线长定理及正方形的性质求出正方形的边长是解题的关键． 设正方形的边长为，，则，证明是的切线，因为与相切于点，所以，，即可由的周长为12列方程，得，即可求得正方形周长为16． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， 设正方形的边长为，，则， ∵经过的半径的外端，且， ∴是的切线， ∵与相切于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形周长为16， 故选：C． 4．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，与的两边都相切且半径为1，Q为上一动点，以Q为圆心，长为半径的交两边于E、F两点，连接，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，找到线段长度的最大值的条件成为解题的关键． 如图：连接，由圆周角定理可得，如图：过Q作，由垂径定理可得、，则可得；再根据勾股定理可得，则，即当最大时，取最大值；如图：设与的两边都相切于G、H，连接， 再根据切线的性质证明可得，则，进而得到当三点共线时，的最大值为，进而确定线段长度的最大值即可． 【详解】解：如图：连接， ∵在中，， ∴， 如图：过Q作， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴当最大时，取最大值； 如图：设与的两边都相切于G、H，连接， ∵与的两边都相切且半径为1， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的最大值为． ∴取最大值为． 故选D． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）《九章算术》是我国古代数学的瑰宝，其第九卷中有著名的“勾股容圆”问题，原文为：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”意思是“今有直角三角形，较短直角边长8步，较长直角边长15步，问此直角三角形内切圆的直径是多少步？”我们用学过的知识可求该内切圆的直径是 步． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心．先利用勾股定理计算出斜边，证明四边形是正方形，利用切线长定理求解即可． 【详解】解：如图，为切点， 根据题意，，，，，， 直角三角形的斜边为， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 设直角三角形的内切圆的半径为，则， ∴，， ∴， 解得， 所以直角三角形的内切圆的直径为6步． 故答案为：6． 7．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，在中，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留） ． 【答案】/ 【分析】 本题考查了三角形内切圆的性质，勾股定理，利用三角形内切圆的性质求出内切圆的半径是解题关键． 先用勾股定理求出斜边的长度，根据三角形内切圆的性质，结合三角形的周长和面积求出内切圆的半径，再用直角三角形的面积减去内切圆的面积即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴的周长， ∴内切圆半径 ， ∴， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 8．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图是的内切圆，切点分别是D，E，F，其中，若与相切与G点，与相交于M，N点，则的周长等于 ．    【答案】14 【分析】根据切线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：∵是的内切圆，且与相切于点G；    根据切线长定理，设，，，； ∵， ∴．解得， ∴的周长， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，切线长定理，三角形周长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 9．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，，，，若、分别是的内心和外心，则的长为 ． 【答案】 【分析】作于点D，作于点F，连接和，可得平分，且垂直平分，及和，点A、点P、点Q、和点共线，进一步求得、和，由，得，利用勾股定理求得即可求得答案． 【详解】解：作于点D，作于点F，连接和，如图， 则， ∵， ∴平分，且垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∵、分别是的内心和外心， ∴点P、点Q、线段都在线段上， 则，，， 在中，，得，解得， 在和中 ∴， ∴， 则， ∵， ∴，解得， 则． 故答案为∶． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、三角形的内心、三角形的外心和全等三角形的判定和性质，结合性质作出所需要的辅助线是解题的关键． 10．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=45°，点D，E分别是BC，AB的中点，则DE长的最大值是 ．    【答案】4 【分析】当AC是直径时，DE最长，求出直径即可解决问题． 【详解】当AC是直径时，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°， ∴AB＝BC＝8， ∴AC＝=8， ∵AE＝EB，BD＝DC， ∴DE＝AC＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查三角形中位线性质、圆的有关性质，解题的关键是灵活应用三角形中位定理识解决问题，属于中考常考题型． 11．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，切线的性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据直径经过圆心，作直线，交于点P即可； （2）根据切线的定义，连接，过点A作于点A，交点就是点Q解答即可． 【详解】（1）解：作直线，交于点P， 则是的直径， 则点P即为所求． （2）解：连接， 过点A作于点A，交点为Q，如图： 则点Q即为所求． 12．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，是解题的关键，连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 13．（24-25九年级上·贵州六盘水·阶段练习）如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证； （2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径． （3）延长相交于点F，证明，由全等三角形的性质得出，求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：在中，， 根据勾股定理得：， 与都为的切线， ， ； 在中，设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则圆的半径为3. （3）解：延长相交于点F，   与都为的切线， 平分， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ∴． 14．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，内接于为的直径，的平分线交于点．连接，过点作，交的延长线于点． (1)求证： 是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过连接，利用角平分线性质、圆周角定理及平行线性质，证明，从而得出是切线． （2）先利用勾股定理求出的长度，再根据弧、弦关系及等腰直角三角形性质求出、的长度，最后利用相似三角形求出的长． 【详解】（1）证明：∵连接， ∵平分， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：如图， ∵为的直径， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴即， ∴ ∵，， ∴． ∴即， ∴, ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的切线判定、圆周角定理、勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键． 15．（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内心，等角对等边等知识点，熟练掌握相关定理，性质，是解题的关键． （1）圆内接四边形的性质，得到的度数，圆周角定理，得到，再利用三角形的内角和定理，求出的度数即可； （2）同法（1）求出的度数，等弧所对的圆周角相等，得到，根据三角形的内角和定理，得到与的数量关系； （3）连接，根据三角形的内心是角平分线的交点，结合三角形的外角和圆周角定理，得到，等角对等边，得到，圆周角定理得到，进而得到，得到． 【详解】（1）解：∵内接于，是上任意一点， ∴四边形为圆内接四边形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）同（1）法可得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3），证明如下： 连接， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $