专题07 弧长、扇形面积与圆锥的侧面积计算重难点题型专训（2个知识点+12大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题07 弧长、扇形面积与圆锥的侧面积计算重难点题型专训 （2个知识点+12大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 求弧长 题型二 求扇形半径 题型三 求圆心角 题型四 求某点的弧形运动路径路径长度 题型五 求扇形面积 题型六 求图形旋转后扫过的面积 题型七 求弓形面积 题型八 求其他不规则图形的面积 题型九 求圆锥的侧面积 题型十 求圆锥底面半径 题型十一 求圆锥的高 题型十二 求圆锥侧面展开图的圆心角 拓展训练一 圆锥的实际问题 拓展训练二 圆锥侧面上最短路径问题 知识点一、弧长及扇形的面积 设的半径为，圆心角所对弧长为， （一）弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 （二）扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·广西梧州·期末）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”才能下料，如图所示的管道展直长度是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知扇形的半径是3、圆心角，则这个扇形的面积是 ． 知识点二、圆锥的侧面积与全面积 （1）圆锥的有关概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围面的几何体（如图所示）。连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高。 圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周所形成的图形，故圆锥的母线、高、底面半径恰好构成一个直角三角形，满足。已知任意两个量，可以求出第三个量。 （2）圆锥的侧面展开图（如图1-49-4所示）：沿着圆锥的母线可把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。 （3）圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长、半径为圆锥的母线长的扇形面积， 计算公式为： 圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算公式为。 【即时训练】 1．（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是 【经典例题一 求弧长】 【例1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，是圆的直径，是弦，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）机械学家“莱洛”发明的“莱洛三角形”是分别以正三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形．如图，若等边三角形的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长为 ． 3．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，是的切线，半径，交于C，，则劣弧的长是 （结果保留）． 4．（24-25九年级上·江苏南京·单元测试）如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． (1)与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若，求长． 【经典例题二 求扇形半径】 【例2】（2025·内蒙古包头·模拟预测）120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是（ ） A．3 B．4 C．9 D．18 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，已知． （1）试用尺规作图确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若的度数为120°，的长是8π，求所在圆的半径的长． 【经典例题三 求圆心角】 【例3】（24-25九年级上·天津静海·阶段练习）一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是（    ） A．120° B．150° C．60° D．100° 1．（2025·广东珠海·模拟预测）如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（    ） A．30° B．45° C ．60° C．90° 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知扇形的弧长为，半径为，则此扇形的圆心角为 度． 3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图①是山东舰航徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长为 ． 4．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． (1)求扇形的圆心角度数； (2)依据相关数据，求花窗的面积． 【经典例题四 求某点的弧形运动路径路径长度】 【例4】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，，点A，B在直线l上．将沿直线l向右作无滑动翻滚，则翻滚一周时点A经过的路线长是（   ）    A． B． C． D． 1．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，小明为节省搬运力气，把一个棱长为1m的正方体木箱在地面上由起始位置沿直线l不滑行地翻滚，翻滚一周后，原来与地面接触的面ABCD又落回到地面，则点A1所走路径的长度为（　　） A． m B．m C．m D．m 2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知，，，半径为2的从点A出发，沿方向滚动到点C时停止，圆心O运动的路程是 ．    3．（24-25九年级上·浙江·周测）如图，扇形中，，将此扇形依顺时针方向进行无滑动沿直线旋转到扇形的位置，且垂直于直线停止，则运动过程中点运动的路经长为 ．    4．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕原点顺时针方向旋转得到，画出． (2)在（1）的基础上，求点所经过的路径的长度． 【经典例题五 求扇形面积】 【例5】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，两两不相交，且半径都是，则图中三个扇形（阴影部分）的面积之和是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·广西贵港·模拟预测）如图，四边形是正方形，曲线，，，，……叫作“正方形的渐开线”，其中，，，的圆心依次按，，，循环，若，则弧所对应的扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图1是精美的红木木雕算盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为算盘）．通过测量得到扇形的圆心角为，则算盘的面积为 ． 3．（2025·河南南阳·模拟预测）如图①是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图②所示，的直径为，毛刷的一端固定在点M，另一端为动点P，，毛刷绕着点M旋转形成的圆弧交于点A，B，且A，M，B三点在同一条直线上．则该毛刷能扫到的面积（阴影部分）是 ． 4．（2025·广西玉林·模拟预测）如图，内接于，为直径，平分交于点D． (1)过点D作，求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【经典例题六 求图形旋转后扫过的面积】 【例6】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在正三角形ABC中，边长，将正三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转180°至正三角形，则线段BC扫过的面积为（       ） A． B． C． D． 1．（2025·浙江台州·模拟预测）如图，中，，，，点O，H分别为边AB，AC的中点，将绕点B顺时针旋转到的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A'，连结A'C，A'P．点P到达点B时，线段A'P扫过的面积为 ． 3．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，⊙O的半径为10，A、D是圆上任意两点，且AD＝8，以AD为边作正方形ABCD（点C、O在直线AD两侧）若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为 ． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）线段，，点，点与点如图所示（，，三点共线）．其中，，点与点之间的距离，点与点之间的距离为． (1)以点为旋转中心将线段逆时针旋转，那么线段扫过的面积如何表示？ (2)以点为旋转中心将线段逆时针旋转，那么线段扫过的面积如何表示？ 当，时，扫过的面积是多少？（结果保留） 【经典例题七 求弓形面积】 【例7】（2025·广西百色·模拟预测）如图，⊙O的半径是4cm，四边形ABCD是平行四边形，D是的中点，则阴影部分的面积是（      ）cm2 A．4π－16 B．4π－8 C．π－8 D．8π－8 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠A＝45°，⊙O的半径长为6，则阴影部分的面积为（　　） A．9π﹣18 B．9π C．6π D．18π﹣18 2．（2025九年级上·江苏南京·专题练习）已知弓形的弦长等于半径R，则此弓形的面积为 ．(劣弧为弓形的弧) 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学杰出的代表，其中《方田》一章节中给出计算弧田所用经验的公式：弧田面积（弦×矢+矢×矢），其中弧田由圆弧和其所对的弦围成（图中阴影部分）．公式中“弦”指的是圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．如图，现有弧长为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算得弧田的面积约为 ． 4．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行下列操作； (1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心点的位置，并写出点的坐标为______； (2)求出弓形的面积． 【经典例题八 求其他不规则图形的面积】 【例8】（2025·山西大同·模拟预测）如图，在矩形中，，分别以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分Ⅱ与阴影部分I的面积差为（   ） A． B． C． D． 1．（2025·贵州毕节·模拟预测）屏风是中国传统建筑物内部挡风用的一种家具，历史由来已久，一般陈设于室内的显著位置，起到分隔、美化、挡风、协调等作用．图①中的屏风，其中间部分是扇形的一部分，图②是整个屏风的几何示意图，则阴影部分面积与整个屏风面积的比是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·模拟预测）如图，在边长为2的正方形中，以点B为圆心，的长为半径画弧．点E是边的中点，以点E为圆心，长为半径画弧，则阴影部分的面积为 ．(结果保留) 3．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，在中，，，点在边上，，以为圆心，长为半径作半圆，恰好与相切于点，交于点，则阴影部分的 ． 4．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）如图，是一个直径为厘米的半圆，让这个半圆以为圆心沿逆时针方向旋转，使到达的位置，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【经典例题九 求圆锥的侧面积】 【例9】（2025·安徽合肥·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，根据图中的相关数据求得该几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，一个圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的侧面展开图的面积是，则该等边三角形的边长为（   ） A．3 B． C． D．2 2．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是 ． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 ．（结果保留） 4．（24-25九年级上·江苏镇江·开学考试）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【经典例题十 求圆锥底面半径】 【例10】（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上），若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ） A． B． C．2 D．4 2．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，正五边形的边长为10，以顶点为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）我们把两组邻边分别相等的四边形称“筝形”．如图，在筝形中，，，对角线相交于点O，，．以点C为圆心，长为半径画弧交于点E，F．用扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 ．    4．（24-25九年级上·江苏南京·随堂练习）如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，求： (1)围成的圆锥的侧面积． (2)围成的圆锥的全面积． 【经典例题十一 求圆锥的高】 【例11】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，有一块半径为，圆心角为扇形铁皮，要把它做成一个圆锥体容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥体容器的高为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·江苏南京·课后作业）如图，如果从半径为3cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（　　） A．2cm B．cm C．4cm D．cm 2．（24-25九年级·河南商丘·阶段练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O，A，B都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为 ． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，正六边形纸片中，，分别以B、E为圆心，以6为半径画、．小欣把扇形与扇形剪下，并把它们粘贴为一个大扇形（B与E重合，F与A重合），她接着用这个大扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ． 4．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）已知如图，扇形的圆心角为，半径为． (1)求扇形的面积； (2)若把扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高． 【经典例题十二 求圆锥侧面展开图的圆心角】 【例12】（24-25九年级上·江苏南京·课后作业）已知圆锥的底面半径为，母线长为，那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆心角为（　　） A． B． C． D． 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知圆锥的底面半径为，，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离是（　　）． A．40 B． C．160 D． 2．（24-25九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）一个几何体的三视图如图所示，则它的侧面展开图圆心角的度数为 ． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的圆心角为 度． 4．（2025·福建福州·模拟预测）综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示． (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草㡌，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 【拓展训练一 圆锥的实际问题】 1．（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，求该圆锥的母线长． 2．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的上下都是空的把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面的圆面裁切掉上面的小圆锥得到的，如图2所示现在要制作这种灯罩，若已知的直径，的直径，点O、、共线，与AB、CD都垂直，，请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数）         3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【拓展训练二 圆锥侧面上最短路径问题】 1．（24-25九年级上·江苏泰州·周测）如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 2．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4，图2为其侧面展开图． （1）求阴影部分面积（π可作为最后结果）； （2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？ 3．（2025·广东梅州·模拟预测）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）若圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南开封·模拟预测）如图是完全展开的扇形纸扇，夹角为，的长为，的长为，则扇面（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2025九年级上·山西·专题练习）如图，已知的半径为为的直径，为半圆弧的中点，四边形的边与相切，切点为，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．8 C． D． 4．（2025·海南海口·模拟预测）如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是（ ）． A．1 B． C．3 D．2 5．（24-25九年级上·江苏南京·课后作业）已知一个圆心角为270°的扇形工件，未搬动前如图所示，两点触地放置，搬动时，先将扇形以为旋转中心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当两点再次触地时停止，半圆的直径为，则圆心所经过的路线长是（结果保留）（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川成都·模拟预测）如图，A，B，C，D是上的点，半径，弧弧，，则扇形的面积为 ． 7．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数为 ． 8．（2025·湖南长沙·模拟预测）圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型：母线长为，底面半径长为，则此圆锥的侧面积为 （结果保留）． 9．（2025九年级·江西赣州·竞赛）如图，将半径为1、圆心角为的扇形纸片，在直线上向右作无滑动的滚动至扇形处，则顶点O经过的路线总长为 ． 10．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是 ． 11．（24-25九年级上·江苏常州·开学考试）下图中三个圆的半径都是2厘米，求阴影部分的面积共是多少平方厘米？（取） 12．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若． (1)求的度数； (2)的长度为__________． 13．（24-25九年级上·江苏南京·课后作业）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：），电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？ 14．（24-25六年级下·江苏南京·期末）如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 15．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？ 已知小棒长度为4，宽度不计． 方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)； 方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为．    (1)①______，______；(结果保留) ②比较与的大小．(参考数据：，．) (2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形． ①补全方案3的示意图； ②设方案3中小棒扫过区域的面积为，求． (3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 弧长、扇形面积与圆锥的侧面积计算重难点题型专训 （2个知识点+12大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 求弧长 题型二 求扇形半径 题型三 求圆心角 题型四 求某点的弧形运动路径路径长度 题型五 求扇形面积 题型六 求图形旋转后扫过的面积 题型七 求弓形面积 题型八 求其他不规则图形的面积 题型九 求圆锥的侧面积 题型十 求圆锥底面半径 题型十一 求圆锥的高 题型十二 求圆锥侧面展开图的圆心角 拓展训练一 圆锥的实际问题 拓展训练二 圆锥侧面上最短路径问题 知识点一、弧长及扇形的面积 设的半径为，圆心角所对弧长为， （一）弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 （二）扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·广西梧州·期末）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”才能下料，如图所示的管道展直长度是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式直接计算即可． 【详解】解：管道展直长度是， 故选：D． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知扇形的半径是3、圆心角，则这个扇形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是扇形的面积公式，根据扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵扇形的半径是3、圆心角， ∴扇形的面积． 故答案为：． 知识点二、圆锥的侧面积与全面积 （1）圆锥的有关概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围面的几何体（如图所示）。连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高。 圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周所形成的图形，故圆锥的母线、高、底面半径恰好构成一个直角三角形，满足。已知任意两个量，可以求出第三个量。 （2）圆锥的侧面展开图（如图1-49-4所示）：沿着圆锥的母线可把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。 （3）圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长、半径为圆锥的母线长的扇形面积， 计算公式为： 圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算公式为。 【即时训练】 1．（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算，牢记圆锥的侧面积公式是解答本题的关键．如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的侧面积等于． 【详解】解：这个圆锥的侧面积． 故选：A． 2．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是 【答案】 【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出侧面积即可． 【详解】解：由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥， 根据主视图中给定数据可知圆锥的母线长是，底面圆的直径是6， 因此圆锥的侧面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥表面积的计算，由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥是解题的关键． 【经典例题一 求弧长】 【例1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，是圆的直径，是弦，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，求弧长，先求出半径，再根据圆周角定理得出，最后根据弧长公式即可得出答案． 【详解】∵是圆的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为 故选：A． 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长．熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键．连接，由圆周角定理可得，再求出半径，根据弧长公式计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵直径， ∴， ∴的长为． 故选：C． 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）机械学家“莱洛”发明的“莱洛三角形”是分别以正三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形．如图，若等边三角形的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，由图可知“莱洛三角形”的周长等于三段弧长，弧对应的圆心角是等边三角形的顶角为，半径是等边三角形的边长为2，直接利用弧长公式计算即可． 【详解】解：该“莱洛三角形”的周长． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，是的切线，半径，交于C，，则劣弧的长是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴劣弧的长是， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏南京·单元测试）如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． (1)与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若，求长． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定，弧长公式. （1）连接，只需证明即可； （2）由（1）中的结论可得，可求得的圆心角度数，再利用弧长公式求得结果即可． 【详解】（1）解：相切．理由如下： 连接， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：若，可得， ∴， 又∵， ∴， ∴的长． 【经典例题二 求扇形半径】 【例2】（2025·内蒙古包头·模拟预测）120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是（ ） A．3 B．4 C．9 D．18 【答案】C 【分析】根据弧长的公式l=把条件代入进行计算即可得半径长. 【详解】已知120°的圆心角对的弧长是6π，根据弧长的公式l= 可得6π=， 解得r=9． 故答案选C． 考点：弧长的计算． 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】取圆心，连接，，，，根据圆周角定理得，设半径为米，则米，在中，根据勾股定理得，解得，圆弧所在圆的半径米． 【详解】解：如图，取圆心，连接 ， ， ， 设半径为米，则米， 在中，根据勾股定理得， ， 即， 解得， 圆弧所在圆的半径米． 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键． 2．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长公式、扇形面积公式，设该扇形的半径为，由弧长公式求出，再由扇形面积公式计算即可得解． 【详解】解：设该扇形的半径为， ∵一个扇形的圆心角为，其弧长为， ∴， ∴， ∴该扇形的面积为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算．根据所给条件得到的值是解决本题的关键．易得的长度为，所对的圆心角为，根据弧长公式可得的值，进而可求得地球的周长． 【详解】解：如图， 由题意得：，，的长度为， ， 设地球的半径为， ， 解得：， 地球的周长为， 故答案为：40000． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，已知． （1）试用尺规作图确定所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若的度数为120°，的长是8π，求所在圆的半径的长． 【答案】（1）作图见解析；（2）12 【分析】（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可 （2）根据弧长公式计算即可； 【详解】（1）在弧上任取一点C，连接AC，BC，作弦AC、弦BC的垂直平分线即可，点O即为所求； （2）如图，连接AO，BO， ∵弧AB的度数为， ∴， 又∵弧AB的长是， ∴， 解得：， ∴所在圆的半径的长是12． 【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，结合垂直平分线作图求解是解题的关键． 【经典例题三 求圆心角】 【例3】（24-25九年级上·天津静海·阶段练习）一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是（    ） A．120° B．150° C．60° D．100° 【答案】B 【分析】利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可． 【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l， 由题意得：，即240π＝×20πr， 解得：r＝24， 又由可得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算，熟练掌握相关的公式是解本题的关键． 1．（2025·广东珠海·模拟预测）如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（    ） A．30° B．45° C ．60° C．90° 【答案】C 【分析】根据弧长公式，即可求解 【详解】设圆心角是n度，根据题意得， 解得：n=60． 故选C 【点睛】本题考查了弧长的有关计算． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知扇形的弧长为，半径为，则此扇形的圆心角为 度． 【答案】80 【分析】设此扇形的圆心角为x°，代入弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设此扇形的圆心角为x°， 由题意得，， 解得，x=80， 故答案为：80． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式是解题的关键． 3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图①是山东舰航徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长为 ． 【答案】13. 【分析】由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线AB的长． 【详解】解：∵圆锥底面周长=侧面展开后扇形的弧长= ∴OB=， 在Rt△AOB中，AB=， 所以，该圆锥的母线长为13. 故答案为：13． 【点睛】本题考查圆锥弧长公式的应用，解题的关键是牢记有关的公式． 4．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． (1)求扇形的圆心角度数； (2)依据相关数据，求花窗的面积． 【答案】(1)扇形圆心角的度数为 (2)花窗的面积为 【分析】本题考查求圆心角与扇形面积，熟练掌握弧长与扇形面积公式是解题的关键． （1）设的度数为，根据弧长公式列方程求解即可； （2）先根据扇形的面积公式求出、，再由求解即可． 【详解】（1）解：由题知，，点C，D分别为的中点， ∴， 设的度数为， ∵的长度为． ∴，解得， ∴扇形圆心角的度数为； （2）解：∵ ， ∴， ∴花窗的面积为． 【经典例题四 求某点的弧形运动路径路径长度】 【例4】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，，点A，B在直线l上．将沿直线l向右作无滑动翻滚，则翻滚一周时点A经过的路线长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算以及旋转的性质． 根据题意得出翻滚一周时点A经过的路线长，进而求出即可． 【详解】解：如图所示：    ∵，，， ∴， ∴翻滚一周时点A经过的路线长是：． 故选：C． 1．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，小明为节省搬运力气，把一个棱长为1m的正方体木箱在地面上由起始位置沿直线l不滑行地翻滚，翻滚一周后，原来与地面接触的面ABCD又落回到地面，则点A1所走路径的长度为（　　） A．m B．m C．m D．m 【答案】C 【分析】分别计算每次旋转的路径，求和计算即可． 【详解】解：第一次是以B为旋转中心，BA1长 m为半径旋转90°， 此次点走过的路径是m． 第二次是以B1为旋转中心，B1A1长1 m为半径旋转90°， 此次走过的路径是 m． 第三次是以A为旋转中心，AA1长1 m为半径旋转90°， 此次走过的路径是 m． ∴点A1从起始位置翻滚一周后所经过的长度 m． 故选C． 【点睛】本题考查了弧长公式．解题的关键在于明确旋转路径． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知，，，半径为2的从点A出发，沿方向滚动到点C时停止，圆心O运动的路程是 ．    【答案】 【分析】根据题意画出图形，将运动路径分为三部分：，，，分别计算出各部分的长再相加即可 【详解】解：圆心O运动路径如图：    ∵；弧的长度为；， ∴圆心O运动的路程是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的计算，找到运动轨迹，将运动轨迹分为三部分进行计算是解题关键． 3．（24-25九年级上·浙江·周测）如图，扇形中，，将此扇形依顺时针方向进行无滑动沿直线旋转到扇形的位置，且垂直于直线停止，则运动过程中点运动的路经长为 ．    【答案】 【分析】O点运动的路径是：点O先绕点A，以为半径旋转到经过点B时，运动路径为，再运动到，运动路径为长，然后点O再绕点，以为半径从旋转到，运动路径为，根据点运动的路经长为计算即可． 【详解】解：如图，点O先绕点A，以为半径旋转到经过点B时，运动路径为，再运动到，运动路径为长，然后点O再绕点，以为半径从旋转到，运动路径为，    ∴的长是：， ∵， ∴ ∴的长为：， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的长为， ∴运动过程中点运动的路经长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的计算，旋转的性质，熟练掌握弧长公式． 4．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕原点顺时针方向旋转得到，画出． (2)在（1）的基础上，求点所经过的路径的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算可得点旋转路径的长． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由题意可得， 点旋转路径的长为． 【经典例题五 求扇形面积】 【例5】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，两两不相交，且半径都是，则图中三个扇形（阴影部分）的面积之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，扇形面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由三角形的内角和定理得，再根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：， 阴影部分的面积， 故选：D． 1．（2025·广西贵港·模拟预测）如图，四边形是正方形，曲线，，，，……叫作“正方形的渐开线”，其中，，，的圆心依次按，，，循环，若，则弧所对应的扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算．依次求出弧，，，，……所对应的扇形的面积，发现规律即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形，且， 以为圆心的圆的半径为，则所对应的扇形的面积为， 以为圆心的圆的半径为，则所对应的扇形的面积为， 以为圆心的圆的半径为，则所对应的扇形的面积为， 以为圆心的圆的半径为，则所对应的扇形的面积为， ……， 依次类推，所对应的扇形的面积为(为大于的正整数)， 弧所对应的扇形的面积为． 故选：A． 2．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图1是精美的红木木雕算盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为算盘）．通过测量得到扇形的圆心角为，则算盘的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，掌握是解题的关键． 根据，结合扇形面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·河南南阳·模拟预测）如图①是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图②所示，的直径为，毛刷的一端固定在点M，另一端为动点P，，毛刷绕着点M旋转形成的圆弧交于点A，B，且A，M，B三点在同一条直线上．则该毛刷能扫到的面积（阴影部分）是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，垂径定理的推论．先根据题意得出点是的中点，再根据垂径定理的推论得出，结合已知条件得出的度数，于是得出，根据扇形面积公式计算出，，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接，，，， 三点在同一直线上， 经过点， 由题意得为半圆的直径，，， ， 在中，， ， ，， ， ， ，， 阴影部分的面积， 故答案为：． 4．（2025·广西玉林·模拟预测）如图，内接于，为直径，平分交于点D． (1)过点D作，求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，得，即可得出，而，则，由，得，则，即可证明是的切线； （2）由为的直径，得，则，所以，根据计算即可． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ∴， ， 又， ， ， 又是半径， 为的切线． （2）解：为直径， ，而，， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【经典例题六 求图形旋转后扫过的面积】 【例6】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在正三角形ABC中，边长，将正三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转180°至正三角形，则线段BC扫过的面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别取BC，的中点为D，，把所求面积分解成三部分在进行求解即可； 【详解】如图，BC扫过的面积即为阴影部分的面积； 分别取BC，的中点为D，， ∴， ∵等于大半圆面积减去小半圆面积，， ∴， ∵是所对弓形的面积的一半， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，扇形的面积公式，准确利用数形结合的方法求解是解题的关键． 1．（2025·浙江台州·模拟预测）如图，中，，，，点O，H分别为边AB，AC的中点，将绕点B顺时针旋转到的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为以点B为圆心，OB，BH为半径的两个扇形组成的一个环形．根据30°角所对直角边长度是斜边的一半，求出AB的长度，利用勾股定理求出AC的长度，进而求出BO，CH和BH的长度，根据阴影部分面积=扇形BH1H的面积-扇形BOO1的面积，代入计算即可． 【详解】解：如图，根据旋转的性质知△OBH≌△O1BH1， Rt△ABC中，∠A=30°，BC=； ∴AB=， ∴AC= =3， ∴BO=，CH=， Rt△BHC中，由勾股定理，得： BH2=CH2+BC2=， ∴阴影部分面积=扇形BH1H的面积-扇形BOO1的面积， = = =， 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形旋转求不规则图形的面积，解题的关键是求出半径BH的长，然后利用扇形面积公式就可求． 2．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A'，连结A'C，A'P．点P到达点B时，线段A'P扫过的面积为 ． 【答案】 【分析】依据轴对称的性质，即可得到AC＝A'C，进而得出点A'的运动轨迹为以C为圆心，AC长为半径的一段圆弧；再根据扇形面积的计算公式，即可得到线段A'P扫过的面积． 【详解】解：∵△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1， ∴∠ABC＝90°，AC＝2BC＝2，AB＝， 如图①所示，点A关于直线CP的对称点为A'， ∴AC＝A'C， ∴点A'的运动轨迹为以C为圆心，AC长为半径的一段圆弧， 当点P与点B重合时，线段A'P扫过的区域为弓形，如图②， ∠APA'＝180°，∠ACA'＝120°， ∴线段A'P扫过的面积为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查圆中扇形面积的计算，根据动点准确做出轨迹是解题的关键． 3．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，⊙O的半径为10，A、D是圆上任意两点，且AD＝8，以AD为边作正方形ABCD（点C、O在直线AD两侧）若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为 ． 【答案】16π 【分析】连接OD、OC，过点O作OE⊥AD于点E，延长OE交BC于点F．则BC边扫过的面积为以OC为外圆半径、OF为内圆半径的圆环面积，利用垂径定理即可得出DE=AE=4，进而可得出CF=DE=4，再根据圆环的面积公式结合勾股定理即可得出BC边扫过的面积． 【详解】解：如图所示，连接OD、OC，过点O作OE⊥AD于点E，延长OE交BC于点F． ∵AD为弦，OE⊥AD， 由垂径定理可得DE=AE=AD=4． ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC∥AD，AD=BC=8， ∴∠CFO=∠DEO=90°， ∴四边形DEFC为矩形，CF=DE=4． ∵AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的图形为以OC为外圆半径，OF为内圆半径的圆环， ∴圆环面积为S=π•OC2-π•OF2=π（OC2-OF2）=π•CF2=16π． 故答案为：16π． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，平行线的性质以及圆环的面积公式，结合AD边的旋转，找出BC边旋转过程中扫过的区域的形状是解题的关键． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）线段，，点，点与点如图所示（，，三点共线）．其中，，点与点之间的距离，点与点之间的距离为． (1)以点为旋转中心将线段逆时针旋转，那么线段扫过的面积如何表示？ (2)以点为旋转中心将线段逆时针旋转，那么线段扫过的面积如何表示？ 当，时，扫过的面积是多少？（结果保留） 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了两点间的距离，旋转，扇形的面积等知识，解题的关键是： （1）画出旋转后的图形，利用扇形面积公式，计算两个扇形面积之差即线段扫过的面积； （2）画出旋转后的图形，利用扇形面积公式，计算两个扇形面积之差即线段扫过的面积，再把c、d的值代入计算即可． 【详解】（1）解：旋转后的图形如图所示： 线段扫过的面积为 ； （2）解：旋转后的图形如图所示： 由旋转知：， ∴线段扫过的面积为 ； ； 当时， 扫过的面积 ． 【经典例题七 求弓形面积】 【例7】（2025·广西百色·模拟预测）如图，⊙O的半径是4cm，四边形ABCD是平行四边形，D是的中点，则阴影部分的面积是（      ）cm2 A．4π－16 B．4π－8 C．π－8 D．8π－8 【答案】B 【分析】连接OD，由于D是弧AB的中点，从而可求出∠DOA=90°，然后分别计算△OAD与扇形OAD的面积即可求出答案． 【详解】解：连接OD， ∵D是弧AB的中点 ∴∠DOA=∠DOB=90°， ∵OA=OD=4， ∴△OAD的面积为OA•OD=8， 扇形OAD的面积为：， ∴阴影部分面积为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用扇形的面积公式，本题属于基础题型． 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠A＝45°，⊙O的半径长为6，则阴影部分的面积为（　　） A．9π﹣18 B．9π C．6π D．18π﹣18 【答案】A 【分析】根据题意，可以得到∠COB的度数，然后根据图形可知，阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣△OCB的面积，然后代入数据计算即可． 【详解】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，⊙O的半径长为6， ∴∠COB＝90°，OA＝OB＝6， ∴阴影部分的面积是：＝9π﹣18， 故选：A． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、扇形的面积、三角形的面积，解题的关键是观察图形可知阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣△OCB的面积． 2．（2025九年级上·江苏南京·专题练习）已知弓形的弦长等于半径R，则此弓形的面积为 ．(劣弧为弓形的弧) 【答案】 【分析】如图，过点作交于点，由弓形的弦长等于半径得出是等边三角形，故可得，求出和，计算． 【详解】 如图，过点作交于点， 弓形的弦长等于半径， ， 是等边三角形， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查弓形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学杰出的代表，其中《方田》一章节中给出计算弧田所用经验的公式：弧田面积（弦×矢+矢×矢），其中弧田由圆弧和其所对的弦围成（图中阴影部分）．公式中“弦”指的是圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．如图，现有弧长为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算得弧田的面积约为 ． 【答案】4 【分析】由弧长求圆心角，由圆心角90°，利用勾股定理求弦长，再求弦心距，求出弓高（矢），利用公式求即可． 【详解】解：∵弧长为， ， ， 弦长=， 弦心距=， 矢=4-， 利用公式： 弧田面积， =4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查圆中弓形面积，弧长公式，勾股定理，细心阅读题目，理解题中的内涵，掌握面积与弧长公式，能利用公式，按步骤求解，以及勾股定理应用是解题关键． 4．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行下列操作； (1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心点的位置，并写出点的坐标为______； (2)求出弓形的面积． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理以及扇形面积的计算： （1）根据网格和正方形的性质，分别作出两条弦的垂直平分线，两条中垂线的交点即为圆心，进而得到坐标； （2）利用网格以及勾股定理和逆定理得到以及半径，根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积进行计算即可； 掌握扇形面积的计算方法，理解垂径定理是解题的关键． 【详解】（1）解：连接，分别作两条弦的垂直平分线，交点即为点D，如图所示： ， 则点， 故答案为：； （2）解：连接，如图所示： ， 由图可得， ， ， ∵， ∴是直角三角形，即， ∴， ， 则弓形的面积=． 【经典例题八 求其他不规则图形的面积】 【例8】（2025·山西大同·模拟预测）如图，在矩形中，，分别以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分Ⅱ与阴影部分I的面积差为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将阴影部分Ⅱ与阴影部分Ⅰ的面积差，转化为求矩形面积和扇形面积的差，通过对图形进行合理的组合与拆分来找到面积关系即可得解．本题主要考查矩形面积公式、扇形面积公式以及图形面积的转化思想．解题的关键在于通过设空白部分面积为辅助量，将阴影部分面积差转化为矩形面积与两个扇形面积的差，灵活运用面积公式进行计算． 【详解】解：设矩形中除阴影部分Ⅱ外的部分面积为． ∵，， ∴． ∵以、为圆心，长为半径画弧，，且， ∴一个扇形面积，两个扇形面积 ． 阴影部分Ⅱ与阴影部分Ⅰ的面积差可转化为，即． ∵， ∴． 故选：C． 1．（2025·贵州毕节·模拟预测）屏风是中国传统建筑物内部挡风用的一种家具，历史由来已久，一般陈设于室内的显著位置，起到分隔、美化、挡风、协调等作用．图①中的屏风，其中间部分是扇形的一部分，图②是整个屏风的几何示意图，则阴影部分面积与整个屏风面积的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积，根据题意得，利用，再求出整个图形的面积，比较即可． 【详解】解：根据题意得， ， ； 整个屏风的面积为：， 则阴影部分面积与整个屏风面积的比是， 故选：A． 2．（2025·广东·模拟预测）如图，在边长为2的正方形中，以点B为圆心，的长为半径画弧．点E是边的中点，以点E为圆心，长为半径画弧，则阴影部分的面积为 ．(结果保留) 【答案】 【分析】本题考查不规则图形的面积问题，阴影部分的面积为扇形的面积减去半圆的面积，由此可解． 【详解】解：四边形是边长为2的正方形，点E是边的中点， ，，， ，， 阴影部分的面积为：， 故答案为：． 3．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，在中，，，点在边上，，以为圆心，长为半径作半圆，恰好与相切于点，交于点，则阴影部分的 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质（圆的切线垂直于经过切点的半径），等腰直角三角形的性质和扇形的面积计算．解题的关键是牢固掌握相关性质并灵活运用．连接，作于点，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到，则，再根据切线的性质得到，于是可判断，所以，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积进行计算即可． 【详解】解：连接，作于点，如图， ， ， ， ， ∵与相切于点， ， ， ， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）如图，是一个直径为厘米的半圆，让这个半圆以为圆心沿逆时针方向旋转，使到达的位置，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了扇形的面积，先求出总的面积，再减去空白部分半圆的面积即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：整个图形的面积为， ∴阴影部分的面积（平方厘米）， 答：图中阴影部分的面积是平方厘米． 【经典例题九 求圆锥的侧面积】 【例9】（2025·安徽合肥·模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，根据图中的相关数据求得该几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三视图的知识和圆锥侧面面积的计算，由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥，进而得出圆锥的高以及母线长和底面圆的半径，再利用圆锥侧面积公式求出即可，解题的关键是灵活运用三视图得到立体图形及熟练掌握圆锥的侧面面积公式运用． 【详解】解：依题意知几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体是圆锥，通过三视图可知圆锥的母线，底面半径， 则由圆锥的侧面积公式得， 故选：． 1．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，一个圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的侧面展开图的面积是，则该等边三角形的边长为（   ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，圆锥的侧面积．熟练掌握等边三角形的性质，圆锥的侧面积，其中是圆锥的底面周长，是圆锥的母线长，是解题的关键． 设等边三角形的边长为，则圆锥的母线长为，底面直径为，底面周长为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设等边三角形的边长为，则圆锥的母线长为，底面直径为，底面周长为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东潮州·阶段练习）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的侧面展开图，三视图的含义，理解题意，掌握由三视图还原几何体是解本题的关键．先由三视图还原几何体为圆锥，再利用勾股定理求解母线长，再利用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：由三视图可得：该几何体是圆锥，底面直径为6，高为4，如图， ∴，，而， ∴，， ∴该几何体的侧面积是． 故答案为：． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，掌握圆锥侧面积的面积公式成为解题的关键． 先用勾股定理求得母线长l，再运用圆锥侧面积的面积公式求解即可． 【详解】解：∵． ∴母线长，半径r为9， ∴圆锥的侧面积是． 故答案为． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·开学考试）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1) (2)216度 【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，关键是扇形弧长公式的应用． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出n即可． 【详解】（1）解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为； （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 【经典例题十 求圆锥底面半径】 【例10】（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据扇形的弧长公式进行计算，即可求出母线的长度． 【详解】解：根据题意， 圆锥形烟囱帽的底面周长为：； ∵圆锥的侧面展开图为半圆形， ∴， ∴； ∴它的母线长为； 故选：D 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式进行计算． 1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上），若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意可知： AD=AE=4，∠DAE=45°， ∵圆锥底面圆的周长等于弧长， ∴， ∴， ∴该圆锥的底面圆的半径是， 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 2．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，正五边形的边长为10，以顶点为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，正多边形内角，熟知圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长是解题的关键． 先利用正多边形内角和定理求出的度数，再根据圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长进行求解即可． 【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径是r， 由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）我们把两组邻边分别相等的四边形称“筝形”．如图，在筝形中，，，对角线相交于点O，，．以点C为圆心，长为半径画弧交于点E，F．用扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 ．    【答案】/ 【分析】利用证明得出，，，即可求得，根据等腰三角形三线合一的性质得出，且BO=DO，进一步求得，即可求得，根据含角的直角三角形的性质即可求得，然后根据弧长公式求得即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为：， 设圆锥的底面半径为r， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，弧长的计算等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 4．（24-25九年级上·江苏南京·随堂练习）如图，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，求： (1)围成的圆锥的侧面积． (2)围成的圆锥的全面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查求圆锥的侧面积和全面积，熟记扇形的面积计算公式及弧长计算公式是解题的关键： （1）利用扇形面积公式计算即可求出圆锥的侧面积； （2）圆锥由扇形和一个圆组成，将两个面积相加即可得到圆锥的全面积 【详解】（1）解：圆锥的侧面积是． （2）扇形的弧长是，则底面半径是2，底面面积是， 则围成的圆锥的全面积是． 【经典例题十一 求圆锥的高】 【例11】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，有一块半径为，圆心角为扇形铁皮，要把它做成一个圆锥体容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥体容器的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设做成圆锥之后的底面半径为r，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：设做成圆锥之后的底面半径为r， 则， 解得， ∴这个圆锥体容器的高为， 故选：C． 【点睛】本题考查圆锥的计算，求出圆锥的底面半径是解题的关键． 1．（24-25九年级上·江苏南京·课后作业）如图，如果从半径为3cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（　　） A．2cm B．cm C．4cm D．cm 【答案】B 【分析】因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，首先求得剩下扇形的圆心角的度数和弧长，然求得底面半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】解：∵从半径为3cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形， ∴剩下的扇形的角度＝360°×＝240°， ∴留下的扇形的弧长＝＝4π， ∴圆锥的底面半径r＝＝2cm， ∴圆锥的高＝＝cm． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆锥的计算，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解此类题目要根据所构成的直角三角形的勾股定理作为等量关系求解． 2．（24-25九年级·河南商丘·阶段练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O，A，B都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为 ． 【答案】/ 【分析】先利用勾股定理的逆定理证明为等腰直角三角形，，设圆锥的底面圆的半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后利用勾股定理计算该圆锥的高． 【详解】解：连接， ，，， ， 为等腰直角三角形，， 设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 该圆锥的高． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了勾股定理的逆定理． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，正六边形纸片中，，分别以B、E为圆心，以6为半径画、．小欣把扇形与扇形剪下，并把它们粘贴为一个大扇形（B与E重合，F与A重合），她接着用这个大扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质和弧长的公式即可得到结论。 【详解】正六边形纸片中，， ， 圆锥的底面半径为， 圆锥的高为， 故答案为． 【点睛】本题考查正多边形和圆，勾股定理，弧长的计算，正确的理解题意是解题的关键． 4．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）已知如图，扇形的圆心角为，半径为． (1)求扇形的面积； (2)若把扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的计算，展开图折叠成几何体，扇形面积的计算，勾股定理，正确记忆圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径等于圆锥的母线是解题关键． （1）利用扇形面积计算公式解答即可； （2）设圆锥底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解得，然后根据勾股定理计算． 【详解】（1）解：扇形的圆心角为，半径为． 扇形的扇形面积； （2）如图，设圆锥底面圆的半径为， ， 解得， 在中，，， ． 【经典例题十二 求圆锥侧面展开图的圆心角】 【例12】（24-25九年级上·江苏南京·课后作业）已知圆锥的底面半径为，母线长为，那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆心角为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所给圆锥侧面展开图的圆心角是，根据圆锥底面圆周长＝展开图扇形的弧长，构建方程求解即可． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角是， 根据题意，得：， 解得：， ∴圆锥侧面展开图的圆心角是． 故选：D． 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是理解圆锥底面圆周长＝展开图扇形的弧长． 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知圆锥的底面半径为，，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离是（　　）． A．40 B． C．160 D． 【答案】D 【分析】本题利用了勾股定理，弧长公式，等腰直角三角形的判定． 蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中的长度．根据勾股定理求得母线长后，利用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由勾股定理求解． 【详解】解：设扇形的圆心角为n，圆锥的顶点为B， ∵，， ∴由勾股定理可得母线， 而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为， ∴， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理得： ． ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 故选：D． 2．（24-25九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）一个几何体的三视图如图所示，则它的侧面展开图圆心角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，以及圆锥侧面展开图圆心角；根据三视图可得此几何体为圆锥，根据三视图知圆锥的底面圆的直径为4，母线长为6，再根据扇形的弧长公式，得出，可得答案． 【详解】解：由三视图可知，此几何体为圆锥，底面圆的直径为4，圆锥的母线长为6， 故侧面展开图的圆心角度数为 故答案为：． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的圆心角为 度． 【答案】120 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆锥侧面展开图，圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，据此利用弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设需要的扇形纸片的圆心角为， 由题意得，， 解得， ∴需要的扇形纸片的圆心角为120度， 故答案为：120． 4．（2025·福建福州·模拟预测）综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示． (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草㡌，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 【答案】(1)相等，6 (2) (3)不够长；理由见解析 【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则解答即可． （2）根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得到等式，变形表示即可． （3）根据（2）得，得到，计算最短，继而得到，比较解答即可． 【详解】（1）解：根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则， 解得， 故答案为：相等，6． （2）解：根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得， 解得． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴够长． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开，弧长公式，扇形与底面圆的关系，勾股定理，熟练掌握展开图的意义是解题的关键． 【拓展训练一 圆锥的实际问题】 1．（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，求该圆锥的母线长． 【答案】 【分析】根据侧面展开图的弧长等于底面周长列方程即可． 【详解】解：圆锥的底面周长， 由题意可得，解得， 所以该圆锥的母线长为． 【点睛】本题考查了圆锥的有关计算，解题关键是熟知圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长和圆锥母线等于圆锥侧面展开图半径，根据题意建立方程． 2．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的上下都是空的把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面的圆面裁切掉上面的小圆锥得到的，如图2所示现在要制作这种灯罩，若已知的直径，的直径，点O、、共线，与AB、CD都垂直，，请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数）         【答案】 【分析】将圆锥的侧面展开，转化出平面几何图形，用大扇形的面积减去小扇形的面积再加上的面积即为所求． 【详解】解：过点作交于点，作出圆锥的侧面展开图扇形，如图： ∵的直径，的直径，点O、、共线，与AB、CD都垂直， ∴在中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布． 故答案是： 【点睛】本题解决的关键在于将立体图形转化为平面图形，涉及到的知识点有圆的周长、面积公式，勾股定理，平行线分线段成比例定理，特殊的锐角三角函数，扇形的面积公式等知识点；解决问题时切入点不同则思路方法略有不同，不管哪种思路都要条理清晰的推理演算． 3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用． （1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论； （2）求出扇形弧长为，则圆心角为，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积． 【详解】（1）解：如图所示： ∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形， ∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等． 由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系． 将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆， 则围成的圆锥形的侧面积． ∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度， 如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：， 该侧面展开图的圆心角为． 由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等． ∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁． （2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为， 圆心角为， 滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为， 又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半， ∴滤纸重叠部分每层面积． 【拓展训练二 圆锥侧面上最短路径问题】 1．（24-25九年级上·江苏泰州·周测）如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解即可； （2）画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是90°； （2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 【点睛】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键． 2．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4，图2为其侧面展开图． （1）求阴影部分面积（π可作为最后结果）； （2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？ 【答案】（1）；（2）一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬2个单位长度才能吃到蜜糖 【分析】（1）如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C．设图2中的扇形的圆心角为n°，由题意=2π•1，求出n即可解决问题； （2）在图2中，根据垂线段最短求出AE，即为最短的长度． 【详解】解：（1）如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C， 设图2中的扇形的圆心角为n°，由题意=2π•1， ∴n=90°， ∵SA=SF， ∴是等腰直角三角形， ∴ 又， ∴=﹣8=4π﹣8． （2）在图2中，∵SC是一条蜜糖线，AE⊥SC， AF=，AE=2， ∴一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬2个单位长度才能吃到蜜糖． 3．（2025·广东梅州·模拟预测）综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）若圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算．根据圆锥的母线长等于展开图扇形的半径，求出圆锥底面圆的周长，也即是展开图扇形的弧长，然后根据弧长公式可求出圆心角的度数． 【详解】解：圆锥的底面半径为， 则底面周长为， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长为， 母线长为，则扇形的半径为， 根据弧长公式可得：，解得：， 故选：B． 2．（2025·河南开封·模拟预测）如图是完全展开的扇形纸扇，夹角为，的长为，的长为，则扇面（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及弧长的计算，先根据弧的长求出的长，再用大扇形的面积减去小扇形的面积即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵的长为，， ∴， 解得， ∴，， ∴扇面的面积为：． 故选：A． 3．（2025九年级上·山西·专题练习）如图，已知的半径为为的直径，为半圆弧的中点，四边形的边与相切，切点为，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求不规则图形的面积． 图中阴影部分的面积为，求出相关数据计算即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴， ∵为半圆弧的中点， ∴，， 连接， ∵四边形的边与相切，切点为， ∴且， ∴图中阴影部分的面积为 故选：A． 4．（2025·海南海口·模拟预测）如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是（ ）． A．1 B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，用到的知识点为：扇形的弧长等于底面周长，熟练掌握弧长及圆的周长公式是解决本题的关键．求得扇形的弧长，进而求出圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：剪去之后圆周对应扇形的弧长为， ∴围成的圆锥底面周长为， ∴圆锥的底面半径为， 故选：D． 5．（24-25九年级上·江苏南京·课后作业）已知一个圆心角为270°的扇形工件，未搬动前如图所示，两点触地放置，搬动时，先将扇形以为旋转中心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当两点再次触地时停止，半圆的直径为，则圆心所经过的路线长是（结果保留）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】经过的路线是两个半径是3，圆心角的的弧，平移的距离是半径长是3，圆心角是的弧长，二者的和就是所求的路线长． 【详解】解： ，则， 则， 旋转的长度是：， 移动的距离是：， 则圆心所经过的路线长是：． 故选：． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式，难度较大，解答本题的关键是正确理解经过的路线． 6．（2025·四川成都·模拟预测）如图，A，B，C，D是上的点，半径，弧弧，，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，先根据圆周角定理计算出的度数，再根据扇形面积公式列式计算即可． 【详解】解：弧弧， ， ， ， 扇形的面积， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是求解圆锥展开图的圆心角，根据弧长等于底面圆周长列方程计算即可得到答案． 【详解】解：设扇形的圆心角为， ∵圆锥的底面圆周长为，母线长为， ∴， 解得， 即扇形的圆心角为． 故答案为：． 8．（2025·湖南长沙·模拟预测）圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型：母线长为，底面半径长为，则此圆锥的侧面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥侧面积，根据侧面积公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（2025九年级·江西赣州·竞赛）如图，将半径为1、圆心角为的扇形纸片，在直线上向右作无滑动的滚动至扇形处，则顶点O经过的路线总长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是理解顶点O经过的路线可得，则顶点O经过的路线总长为三个扇形的弧长，难度一般．仔细观察顶点O经过的路线可得，顶点O经过的路线可以分为三段，分别求出三段的长，再求出其和即可． 【详解】解：顶点O经过的路线可以分为三段，当弧切直线l于点B时，有直线l，此时O点绕点B转过了； 第二段：直线l到直线l，O点绕动点转动，而这一过程中弧始终是切于直线l的，所以O与转动点的连线始终垂直直线l，所以O点在水平运动，此时O点经过的路线长为的弧长，即为的弧长； 第三段：直线l到O点落在直线l上，O点绕不动点A转过了； 所以，O点经过的路线总长； 故答案为 10．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆锥与扇形之间的关系，扇形的弧长，勾股定理；设圆锥的母线为，由勾股定理得，由弧长公式得，即可求解；理解圆锥与扇形之间的关系，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏常州·开学考试）下图中三个圆的半径都是2厘米，求阴影部分的面积共是多少平方厘米？（取） 【答案】平方厘米． 【分析】本题考查了圆的面积公式，扇形面积公式． 三个圆中空白扇形的三个圆心角正好是三角形的三个内角，由于三角形的内角和等于，这三个空白扇形的圆心角之和是，圆心角是的扇形就是半圆．根据圆的面积计算公式“”即可解答． 【详解】解： （平方厘米） 答：阴影部分的面积共是平方厘米． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若． (1)求的度数； (2)的长度为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，求弧长，熟知圆周角定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得的度数，再由平行线的性质可得答案； （2）连接，由圆周角定理可得的度数，再由弧长计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴的长度． 故答案为： 13．（24-25九年级上·江苏南京·课后作业）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：），电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？ 【答案】11.44πkg 【分析】由图形可知，浮筒的表面积＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.11kg，可求出一个浮筒需用锌量，即可求出100个这样的锚标浮筒需用锌量． 【详解】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为400mm=0.4m， 圆锥的高为300mm=0.3m， 则圆锥的母线长为：＝0.5m． ∴圆锥的侧面积＝π×0.4×0.5＝0.2π（m2）， ∵圆柱的高为800mm=0.8m． 圆柱的侧面积＝2π×0.4×0.8＝0.64π（m2）， ∴浮筒的表面积＝＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，＝1.04π（m2）， ∵每平方米用锌0.11kg， ∴一个浮筒需用锌：1.04π×0.11kg， ∴100个这样的锚标浮筒需用锌：100×1.04π×0.11＝11.44π（kg）． 答：100个这样的锚标浮筒需用锌11.44πkg． 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算和圆柱侧面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解几何体的构成，熟记侧面积公式． 14．（24-25六年级下·江苏南京·期末）如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握扇形的面积两个计算公式是解题的关键． （1）设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为，根据扇形面积的两个公式，即和列关于的方程并求解即可； （2）根据扇形面积公式解：计算即可． 【详解】（1）解：设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． 根据题意，得， 解得． 答：该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． （2）解：． 答：此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积为． 15．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？ 已知小棒长度为4，宽度不计． 方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)； 方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为．    (1)①______，______；(结果保留) ②比较与的大小．(参考数据：，．) (2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形． ①补全方案3的示意图； ②设方案3中小棒扫过区域的面积为，求． (3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)①见解析；② (3)见解析 【分析】（1）①利用圆的面积公式计算，利用方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍的面积计算； ②利用参考数据计算近似值再比较即可； （2）①依题意补全方案3的示意图即可； ②利用等边三角形的高是4，计算出底边，再利用面积公式计算即可； （3）作等边，首先让点B在上运动，点A在的延长线上，运动，使得的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此边调转到边，接着两次同样的方式旋转到边和边，从而得到最终小棒扫过的区域，由于所得区域非常不规则，因此可以利用放缩法证明． 【详解】（1）解：①由依题意得：， ， ∴ 又依题意得：方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍的面积．等边三角形的面积公式：，为等边三角形的边长． ∴ 故答案是：，； ②∵，，， ∴； （2）①依题意补全方案3的示意图如下：    ②连接，M为切点，则的中点，    设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴． （3）设计方案4：如下图，是等边三角形，首先让点B在上运动，点A在的延长线上运动，使得的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此边调转到边，接着两次同样的方式旋转到边和边，最终小棒扫过的区域是如下图所示．    对于第一次旋转，当旋转旋转到时，此时， 又作，则 依题意得：阴影部分比等边三角形多三块全等的图形，记每块面积为， 则有，F为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $