专题06 正多边形与圆重难点题型专训（1个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题06 正多边形与圆重难点题型专训 （1个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 求正多边形的中心角 题型二 求正多边形的边数 题型三 根据正多边形与圆的关系求角度 题型四 根据正多边形与圆的关系求周长 题型五 根据正多边形与圆的关系求面积 题型六 根据正多边形与圆的关系求边心距 题型七 规作图—正多边形 题型八 正多边形与圆中的最值 拓展训练一 正多边形与圆中的规律性问题 拓展训练二 多边形与圆中的证明 拓展训练三 正多边形与圆的综合 知识点一、正多边形与圆 （一）正多边形及有关概念 （1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。 （2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。 （4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。 （5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。 （6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 （二）正多边形的有关计算 （1）正边形的每个内角都等于 （2）正边形的每个中心角都等于 （3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示， 设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形 的周长面积 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏无锡·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．圆内接正多边形每个内角都相等 B．圆内接正多边形都是轴对称图形 C．圆内接正多边形都是中心对称图形 D．圆内接正多边形的中心到各边的距离相等 2．（2025八年级·江苏无锡·竞赛）如图，个相同的正六边形恰好可以围成一个环状，的值为＝ ． 【经典例题一 求正多边形的中心角】 【例1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，点为正五边形的中心，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若正多边形的一条边与过这条边顶点的半径夹角为，则此正多边形的边数为 ． 3．（2025·广西柳州·模拟预测）如图，正五边形两条对称轴所夹的为 度． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下国漫电影《哪吒2》呀？影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？ 问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为______度的等腰三角形； 问题二：中，，，，求的面积和的值分别是多少？（可以作的中垂线交于D，交于E，则为等腰三角形，） 问题三：若“正八边形”的边长为，求：正八边形的面积． 【经典例题二 正多边形的边数】 【例2】（2025九年级上·江苏·专题练习）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 1．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在探究活动中，某小组将两张完全重合的正六边形纸片的中心用图钉固定住，保持下方正六边形纸片不动，将上方正六边形纸片绕点顺时针旋转，旋转后上方正六边形纸片的两边与边分别交于点，．该小组得到结论、，下列判断正确的是（   ） 结论：当时，阴影部分是正十二边形； 结论：连接、．在旋转过程中，的度数不变 A．结论都正确 B．结论都不正确 C．只有结论正确 D．只有结论正确 2．（2025·河北唐山·模拟预测）如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝ ． 3．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n= . 4．（2025·江西九江·模拟预测）如图正六边形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)请在图（1）中对角线上作一点，使得； (2)请在图（2）中边上作一点，使得． 【经典例题三 根据正多边形与圆的关系求角度】 【例3】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是正九边形两条对角线的夹角，则的度数是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，是内接正十边形的一条边，直线经过点且与相切，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏常州·开学考试）如图，正六边形内接于，则的度数为 ． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，正十边形，连接，，则的度数为 度． 4．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． (1)求的度数 (2)连接，，作．若劣弧的长为，求的长 【经典例题四 根据正多边形与圆的关系求周长】 【例4】（2025九年级上·江苏·专题练习）边心距为3的正六边形的周长为（    ） A．18 B． C． D． 1．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的周长是（   ） A．18 B．36 C． D． 2．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，正六边形的边长为4，分别以点A，D为圆心，以，为半径作扇形，扇形，则图中阴影部分的面积是 ；阴影部分的周长为 ． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）莱洛三角形广泛应用于建筑、工业、包装等方面，某数学兴趣小组在学习了莱洛三角形的知识后获得灵感，设计了如图2的美丽图形，爱思考的小聪提出以下问题：如图3，正五边形的边长为3，分别以和为圆心，3为半径作和交于点，此时阴影部分的周长为 ． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·随堂练习）如图，已知正六边形的半径为2，点O为其中心，求正六边形的边心距、边长、周长和面积． 【经典例题五 根据正多边形与圆的关系求面积】 【例5】（24-25九年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，在正六边形中，，点在边上，且，若经过点的直线l将正六边形的面积二等分，则直线l被六边形所截的线段长为（　　） A． B． C． D． 1．（2025·山西临汾·模拟预测）如图，在正六边形中，连接，，以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川资阳·模拟预测）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是 ． 3．（2025·河北保定·模拟预测）光圈是相机镜头中一个可调节的开口，通过6片形状和大小相同叶片的闭合情况来影响中间正六边形的面积，达到控制进光量和景深的作用．如图，右图是一组不同通光量下叶片闭合情况的示意图，图中若的延长线恰好过点，圆的半径为，则叶片所占区域（阴影部分）的面积是 ． 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，⊙O的周长等于 8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O． (1)求圆心O到AF的距离； (2)求正六边形ABCDEF的面积． 【经典例题六 根据正多边形与圆的关系求边心距】 【例6】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）正四边形的边心距与边长之比为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距和的长分别为（     ） A．3， B．， C．， D．， 2．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）已知为直角三角形，，若将三角形绕点旋转，将会形成两个同心圆，则小圆内接正四边形与大圆内接正六边形的边心距之比是 ． 3．（24-25九年级上·云南红河·期末）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距，则这个正六边形的面积是 ．    4．（25-26九年级上·江苏无锡·课后作业）碳60，是一种非金属单质，化学式为，是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯．如下图，足球烯是由正五边形和正六边形组成的凸多面体． (1)足球烯中正五边形每一个内角的度数为______． (2)若足球烯中正六边形的边长为a，求该正六边形的边心距． 【经典例题七 规作图—正多边形】 【例7】（24-25九年级上·重庆·期中）下列作图属于尺规作图的是（    ） A．利用三角板画的角 B．用直尺画一条线段 C．用直尺和三角板画平行线 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段 1．（24-25九年级上·江苏无锡·课后作业）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 2．（2025九年级·安徽·专题练习）如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为 ． 3．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则 ． 4．（2025·江西吉安·模拟预测）如图， 已知多边形中，，，，，分别按请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图. (1)在图①中，画出一个以为边的矩形； (2) 在图②中， 若多边形是正六边形，试在上画出点，使 【经典例题八 正多边形与圆中的最值尺】 【例8】（2025·河北张家口·模拟预测）如图，正六边形的边长为，且点为正六边形的中心，将半径为的⊙沿六边形作逆时针滚动，连接，过点作，并且，连接，则在⊙滚动的过程中，面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 1．（2025·河北石家庄·模拟预测）题目：“要在边长为10的正方形内放置一个与正方形有共同中心O的正多边形，若该正多边形能在正方形内(含边界) 自由旋转，求其边长的最大值d． 例如，当正多边形为正六边形时，如图1，该正六边形边长的最大值．” 甲：当正多边形为正方形时，如图2，该正方形边长的最大值； 乙：当正多边形为等边三角形EFG时，如图3，该等边三角形的边长的最大值．针对甲和乙的答案． 下列判断正确的是（    ） A．甲和乙都对 B．甲和乙都不对 C．甲对乙不对 D．甲不对乙对 2．（2025·河北石家庄·模拟预测）将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放． （1） ； （2）已知点在边上，则的最大值为 ． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，点P为⊙上一点，连接OP，且，点A为OP上一动点，点B为⊙上一动点，连接AB，以线段AB为边在⊙内构造矩形ABCD，且点C在⊙上，则矩形ABCD面积的最大值为 ． 4．（2025·陕西渭南·模拟预测）【观察发现】 （1）如图1，在正方形中，点O为对角线的交点，点为正方形外一动点，且满足，连接．若正方形边长为4，则的最大值为______； （2）如图2，已知和都是等边三角形，连接，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，某地有一个半径为的半圆形（半圆O）人工湖，其中是半圆的直径，在半圆上（不与重合），现计划在的左侧，规划出一个三角形区域，开发成垂钓中心，要求为入口，并沿修建一笔直的观光桥，根据规划要求观光桥的长度尽可能的长，问的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【拓展训练一 正多边形与圆中的规律性问题】 1．（24-25九年级上·江苏无锡·课后作业）如图，分别是正方形、正五边形和正六边形， （1）试分别计算这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角的度数； （2）探究正n边形相邻两条对角线的夹角满足的规律． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：    (1)将如表的表格补充完整： 正多边形边数 ______ 的 度数 ______ ______ ______ ______ (2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 【拓展训练二 多边形与圆中的证明】 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3） 请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 2．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）已知和是等边三角形． （1）如图1，点在上，点在上．求证：． （2）当和如图2所示位置时． ①求证：．②直接写出的大小． （3）当和如图3所示位置时，射线与交于点，且．试证明点是的中点． 3．（2025·河南新乡·模拟预测）如图，是的直径，是半圆上任意一点，连接并延长到点，使得，连接，点是弧的中点． （1）证明：． （2）①当 时，是直角三角形； ②当 时，四边形是菱形． 【拓展训练三 正多边形与圆的综合】 1．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）（1）解方程： （2）如图，正五边形内接于，点F在上，求的度数． 2．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为，如图，若的半径为1．（在求圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用特殊角解决） (1)求圆内接正六边形面积． (2)圆内接正八边形的面积为_____． (3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得的估计值为_____． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰内接于，． (1)如图1，若，连接并延长交于点D，交于点H． ①弧的度数为：______；与的数量关系是：______． ②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，若，E是的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个的内接正五边形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若一个圆的内接正多边形的中心角为，则该正多边形的边数是（　　） A．14 B．18 C．16 D．20 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，正方形内接于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C．24 D．12 4．（24-25九年级上·河北·期末）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为．给出以下结论： ①Ⅰ和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形； ②Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形； ③Ⅲ中最小内角是，最大的内角是； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④ 6．（2025·广东汕头·模拟预测）等边三角形的中心角等于 度． 7．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在正十八边形中， ． 8．（2025·广西防城港·模拟预测）爸爸购买了边长相等的正方形和正边形两种地砖，用来铺自家地板，铺满后地面的部分示意图如图所示，则的值为 ． 9．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，正方形与正六边形的边长相等，先将正方形与正六边形的某条边重合，再将该正方形绕正六边形按顺时针方向滚动一周．若正方形的边长为2，则在滚动过程中点A距出发点的最大距离为 ． 10．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，为正六边形的一条对角线，于点，连接，若正六边形的边长为2，则的长为 ．    11．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． (1)求该多边形的边数； (2)若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 12．（2025·陕西·模拟预测）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 13．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图正六边形ABCDEF．请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图1中，画出一个与正六边形的边长相等的菱形； （2）在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形． 14．（2025·江西九江·模拟预测）如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹． (1)在图1中的边上求作点，使； (2)在图2中的边上求作点，使． 15．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）． ②原题中 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．    学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 正多边形与圆重难点题型专训 （1个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 求正多边形的中心角 题型二 求正多边形的边数 题型三 根据正多边形与圆的关系求角度 题型四 根据正多边形与圆的关系求周长 题型五 根据正多边形与圆的关系求面积 题型六 根据正多边形与圆的关系求边心距 题型七 规作图—正多边形 题型八 正多边形与圆中的最值 拓展训练一 正多边形与圆中的规律性问题 拓展训练二 多边形与圆中的证明 拓展训练三 正多边形与圆的综合 知识点一、正多边形与圆 （一）正多边形及有关概念 （1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。 （2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。 （4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。 （5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。 （6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 （二）正多边形的有关计算 （1）正边形的每个内角都等于 （2）正边形的每个中心角都等于 （3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示， 设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形 的周长面积 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏无锡·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．圆内接正多边形每个内角都相等 B．圆内接正多边形都是轴对称图形 C．圆内接正多边形都是中心对称图形 D．圆内接正多边形的中心到各边的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的性质，解决本题的关键是熟练掌握正多边形的性质. 根据正多边形的性质分别进行判断得出答案即可. 【详解】解：A、根据正多边形的定义可得，正多边形每个内角都相等,选项说法正确，不符合题意. B、根据正多边形的性质可得，正多边形都是轴对称图形，选项说法正确，不符合题意. C、当边数为偶数时，正多边形是中心对称图形；当边数是奇数时，正多边形不是中心对称图形，选项说法错误，符合题意. D、根据正多边形中心为正多边形内切圆与外接圆的圆心，故正多边形的中心到各边的距离相等，选项说法正确，不符合题意. 故选：C ． 2．（2025八年级·江苏无锡·竞赛）如图，个相同的正六边形恰好可以围成一个环状，的值为＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆，能求出每个正六边形被圆截的弧对的圆心角的度数是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长正六边形的两边， ∵正六边形的每个外角为 ∴圆心角为， ∴的值为， 故答案为：． 【经典例题一 求正多边形的中心角】 【例1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，点为正五边形的中心，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正五边形的性质得出即可求解． 【详解】解：∵点为正五边形的中心， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查正多边形的中心和中心角的定义，正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心；正多边形每条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；熟练掌握定义是解题关键. 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：    ∵正六边形内接于， ∴∠COD= =60°，则∠COE=120°， ∴∠CME= ∠COE=60°， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若正多边形的一条边与过这条边顶点的半径夹角为，则此正多边形的边数为 ． 【答案】10 【分析】根据等腰三角形的性质和根据正多边形的中心角=，求出n即可． 【详解】解：∵正多边形的一条边与过这条边顶点的半径夹角为72°， ∴正多边形的中心角=180°-72°-72°=36°， ∴正多边形的边数==10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查正多边形的中心角知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2025·广西柳州·模拟预测）如图，正五边形两条对称轴所夹的为 度． 【答案】72 【分析】根据正五边形的性质与轴对称的性质，锐角正好等于正五边形的中心角的度数，然后列式求解即可． 【详解】解：∵正五边形的中心角为：360°÷5＝72°， ∴相邻两条对称轴所夹锐角的度数为72°． 故答案为：72． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，根据正五边形的性质得到两对称轴的夹角正好等于中心角是解题的关键． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下国漫电影《哪吒2》呀？影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？ 问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为______度的等腰三角形； 问题二：中，，，，求的面积和的值分别是多少？（可以作的中垂线交于D，交于E，则为等腰三角形，） 问题三：若“正八边形”的边长为，求：正八边形的面积． 【答案】问题一：45；问题二：，；问题三：． 【分析】本题考查正多边形的有关运算，含的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握含的直角三角形性质和利用正方形的面积解决正八边形的面积是解决本题的关键． 问题一：根据正八边形分成的八个等腰三角形的顶角组成，可得等腰三角形每个顶角的度数； 问题二：根据及的长可得和的长度，进而可得的长度，的面积，，把相关数值代入计算即可； 问题三：延长正八边形的四条边相交成正方形，则补充的四个小三角形为等腰直角三角形，求得正方形的边长后，正八边形的面积正方形的面积4个等腰直角三角形的面积，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：问题一：八个等腰三角形的顶角组成， 每个顶角的度数为：， 故答案为：45； 问题二：作的中垂线交于D，交于E， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； 问题三：如图，延长正八边形的四条边相交成正方形，则补充的四个小三角形为全等的等腰直角三角形， 正八边形的边长为， ∴， ， 正方形的边长为， 正八边形的面积． 【经典例题二 正多边形的边数】 【例2】（2025九年级上·江苏·专题练习）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论，熟练掌握圆周角定理的应用及正确理解正多边形与圆的关系是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：． 1．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在探究活动中，某小组将两张完全重合的正六边形纸片的中心用图钉固定住，保持下方正六边形纸片不动，将上方正六边形纸片绕点顺时针旋转，旋转后上方正六边形纸片的两边与边分别交于点，．该小组得到结论、，下列判断正确的是（   ） 结论：当时，阴影部分是正十二边形； 结论：连接、．在旋转过程中，的度数不变 A．结论都正确 B．结论都不正确 C．只有结论正确 D．只有结论正确 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，当时，由旋转性质可知，由正六边形中可得，证明，则，同理，所以，从而判判断，同上理可得，，故有，从而判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当时， 由旋转性质可知，， 由正六边形可得：， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴阴影部分的边数为，即正十二边形，故正确； 如图， 同上理可得：，， ∴，故正确； 故选：． 2．（2025·河北唐山·模拟预测）如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝ ． 【答案】9 【分析】利用360度除以中心角的度数即可求得． 【详解】∵正n边形的中心角＝＝40°， n＝＝9． 故答案为9． 【点睛】本题考查了多边形的计算，正多边形的中心角相等，理解中心角的度数和正多边形的边数之间的关系是关键． 3．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n= . 【答案】15. 【分析】连接OB，先求得∠AOB的度数，然后利用360°除以∠AOB度数，根据所得的结果进行分析即可得. 【详解】连接OB，∵AC是⊙O的内接正六边形的一边， ∴∠AOC=360°÷6=60°， ∵BC是⊙O的内接正十边形的一边， ∴∠BOC=360°÷10=36°， ∴∠AOB=60°-36°=24°， 即360°÷n=24°，∴n=15， 故答案为15. 【点睛】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意把圆周等分，然后顺次连接各个分点就会得到正多边形． 4．（2025·江西九江·模拟预测）如图正六边形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)请在图（1）中对角线上作一点，使得； (2)请在图（2）中边上作一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于点即为所求；利用正六边形的性质及含30度角的直角三角形的性质证明即可； （2）连接交BC于点即为所求，连接交于点H，利用相似三角形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点即为所求； ∵正六边形， ∴四边形与四边形关于成轴对称， ∴，，， ∵正六边形每个内角的度数为：， ∴， ∴； （2）如图，连接交BC于点即为所求．证明如下： 连接交于点H， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，作出相应图形是解题关键． 【经典例题三 根据正多边形与圆的关系求角度】 【例3】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，是正九边形两条对角线的夹角，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正九边形的外接圆圆心为点，如图所示，根据正九边形的性质，圆的弦，弧，圆周角之间的关系，解答即可． 本题考查了正九边形的性质，内角计算，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设正九边形的外接圆圆心为点，如图所示， 根据题意，得，正九边形的内角为， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 1．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，是内接正十边形的一条边，直线经过点且与相切，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的性质、圆的切线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键．连接、，则，根据正多边形的性质可得，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，由切线的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】解：如图∶连接、，则， 是内接正十边形的一条边， ． ∶． 由切线的性质可得， ． 故选∶B． 2．（24-25九年级上·江苏常州·开学考试）如图，正六边形内接于，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，先根据正六边形的性质得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出的度数，进而可得的度数． 【详解】解：如图，连接， 在正六边形中，，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，正十边形，连接，，则的度数为 度． 【答案】54 【分析】该题以正多边形和其外接圆为载体，以正多边形及其外接圆的性质为考查的核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析，判断，推理或解答． 如图，作辅助线，首先证明：的周长，进而求得，运用圆周角定理问题即可解决． 【详解】解：如图，设正十边形外接圆的圆心为， 连接， 由题意知：的周长， ， ∴的度数， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆． (1)求的度数 (2)连接，，作．若劣弧的长为，求的长 【答案】(1)的度数为； (2)的长为． 【分析】（1）根据多边形的内角和公式计算即可； （2）先求出中心角，是等边三角形，根据弧长公式求得半径为2，由等边三角形的性质，结合已知可得，根据勾股定理即可得的长． 【详解】（1）解：， ∴的度数为． （2）解：∵正六边形，是它的外接圆， ∴中心角， ∵劣弧的长为， ∴， 解得：， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正多边形的内角，圆与正多边形，解直角三角形，正多边形的中心角，弧长公式，等边三角形的判定和性质，勾股定理． 【经典例题四 根据正多边形与圆的关系求周长】 【例4】（2025九年级上·江苏·专题练习）边心距为3的正六边形的周长为（    ） A．18 B． C． D． 【答案】B 【分析】设正六边形的中心为点O，边心距为3，连接、，作于点G，则，可证明是等边三角形，则，即可求得，则这个正六边形的周长为． 【详解】解：如图，正六边形的中心为点O，边心距为3， 连接、，作于点G，如图，    则，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴正六边形的周长为， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正多边形的中心角、边心距、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 1．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的周长是（   ） A．18 B．36 C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周长的公式可算出直径，由正六边形内接于可知正六边形的半径为6，，又正六边形的中心角为，所以正六边形的边长也为6，即可求出正六边形的边长． 【详解】∵， ∴， 即， ∵正六边形内接于， ∴边长= ， ∴周长=． 故选B． 【点睛】本题考查了圆内接正六边形的相关性质，解决本题的关键是正六边形的边长和它的半径相等． 2．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，正六边形的边长为4，分别以点A，D为圆心，以，为半径作扇形，扇形，则图中阴影部分的面积是 ；阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆、扇形面积的计算，解答本题的关键是正确运用扇形面积公式．根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，阴影部分的周长为两个弧长加上两个正六边形的边长，据此求解即可． 【详解】解：连接与交于点，过作于， ∵正六边形的边长为， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，，， ∴正六边形的面积是 ， ∴图中阴影部分的面积是：； 图中阴影部分的周长是：； 故答案为：，． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）莱洛三角形广泛应用于建筑、工业、包装等方面，某数学兴趣小组在学习了莱洛三角形的知识后获得灵感，设计了如图2的美丽图形，爱思考的小聪提出以下问题：如图3，正五边形的边长为3，分别以和为圆心，3为半径作和交于点，此时阴影部分的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查等边三角形的判定及性质，弧长公式．连接，，根据作图可得是等边三角形，得到，根据弧长公式求出，，进而即可解答． 【详解】解：连接，， 由作图可得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴阴影部分的周长为． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·随堂练习）如图，已知正六边形的半径为2，点O为其中心，求正六边形的边心距、边长、周长和面积． 【答案】边心距为，边长为2，周长为，面积为 【分析】此题考查了正六边形和圆、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是等边三角形是解题的关键．连接，过点O作于点H，证明是等边三角形．依次进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点H， ∵六边形是正六边形， ∴，． ∴是等边三角形． ∴，即边长为2，周长为． 在中，， ∴， ∴边心距． ∴． 【经典例题五 根据正多边形与圆的关系求面积】 【例5】（24-25九年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，在正六边形中，，点在边上，且，若经过点的直线l将正六边形的面积二等分，则直线l被六边形所截的线段长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】经过正六边形中心的直线可以将正六边形的面积二等分，画出图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接交于点O，连接并延长，交于点I，作于N， 将正六边形的面积二等分， 在正六边形中， ，， 所以，，， 因为， 所以， ， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，解题根据明确正多边形是中心对称图形，利用勾股定理求出线段长． 1．（2025·山西临汾·模拟预测）如图，在正六边形中，连接，，以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正六边形的性质、扇形面积公式是解题的关键．连接，根据正六边形的性质求出、、，根据正切的定义求出，根据三角形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形为正六边形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 则， 故选：A． 2．（2025·四川资阳·模拟预测）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出长，再根据解答即可． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·河北保定·模拟预测）光圈是相机镜头中一个可调节的开口，通过6片形状和大小相同叶片的闭合情况来影响中间正六边形的面积，达到控制进光量和景深的作用．如图，右图是一组不同通光量下叶片闭合情况的示意图，图中若的延长线恰好过点，圆的半径为，则叶片所占区域（阴影部分）的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，如图，连接，作于．解直角三角形求出正六边形的半径即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作于． 由题意， ∴是等边三角形， ∴， 设,则, 在中，则有， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，⊙O的周长等于 8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O． (1)求圆心O到AF的距离； (2)求正六边形ABCDEF的面积． 【答案】(1)2cm (2)24cm2 【分析】（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，根据圆的周长公式求出半径，根据余弦的定义计算即可； （2）根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算． 【详解】（1）解：（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H， ∵⊙O的周长等于8πcm， ∴半径OC＝4cm， ∵六边形ABCDE是正六边形， ∴∠COD＝60°， ∴∠COH＝30°， ∴圆心O到CD的距离＝4×cos30°＝2， ∴圆心O到AF的距离为2cm； （2）（2）正六边形ABCDEF的面积＝×4×2×6＝24cm2． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆、垂径定理，掌握正六边形的性质、垂径定理是解题的关键． 【经典例题六 根据正多边形与圆的关系求边心距】 【例6】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）正四边形的边心距与边长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形与圆，设正四边形的边长是，根据正四边形的边心距的含义可得边心距，从而可得答案. 【详解】解：如图：为正四边形的边心距，则， 设正四边形的边长是， ∴，，， ∴， ∴正四边形的边心距与边长之比为：． 故选A． 1．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距和的长分别为（     ） A．3， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】连接，，根据，，推出是等边三角形，得到，根据，，正弦定义与的正弦值求出长，再由弧长公式求出的长． 本题主要考查了圆内接正六边形，等边三角形，三角函数，圆弧．熟练掌握正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，正弦定义，的正弦值，弧长公式，是解决问题的关键． 【详解】连接 ，， ∵正六边形内接于， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，． 故选：D． 2．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）已知为直角三角形，，若将三角形绕点旋转，将会形成两个同心圆，则小圆内接正四边形与大圆内接正六边形的边心距之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆的综合，掌握勾股定理，边心距的计算方法是关键． 根据题意作图，得到是小圆的边心距，是大圆的边心距，运用勾股定理，含角的直角三角形的性质得到其值的大小，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，四边形是小圆内接正四边形，六边形是大圆内接正六边形，小圆与的边交于点，过点作于点，作于点， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵六边形是大圆内接正六边形， ∴每个内角的度数为， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．（24-25九年级上·云南红河·期末）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距，则这个正六边形的面积是 ．    【答案】 【分析】连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，得出，求出，得出六边形的面积即可． 【详解】解：连接，，如图所示：   六边形是正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积计算，解答本题的关键是明确正六边形的特点． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·课后作业）碳60，是一种非金属单质，化学式为，是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯．如下图，足球烯是由正五边形和正六边形组成的凸多面体． (1)足球烯中正五边形每一个内角的度数为______． (2)若足球烯中正六边形的边长为a，求该正六边形的边心距． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形和圆的关系是解题的关键． （1）由任意多边形的外角和为，可求正五边形每一个内角的度数. （2）为等边三角形，，得，故，即边心距为. 【详解】（1）解：∵任意多边形的外角和为， ∴五边形一个外角是， ∴五边形一个内角是. 故答案为：. （2）解：如图，为正六边形的一条边，点O为它的外接圆的圆心，连接，过点O作． ， 是等边三角形， ． ． 在中，由勾股定理，得， 故该正六边形的边心距为． 【经典例题七 规作图—正多边形】 【例7】（24-25九年级上·重庆·期中）下列作图属于尺规作图的是（    ） A．利用三角板画的角 B．用直尺画一条线段 C．用直尺和三角板画平行线 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段 【答案】D 【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． 【详解】A、利用三角板画45∘的角不符合尺规作图的定义，错误； B、用直尺画线段不符合尺规作图的定义，错误； C、用直尺和三角板画平行线不符合尺规作图的定义，错误； D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段符合尺规作图的定义，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了尺规作图的定义，理解定义是解决问题的关键． 1．（24-25九年级上·江苏无锡·课后作业）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 2．（2025九年级·安徽·专题练习）如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为 ． 【答案】． 【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可． 【详解】连接OD,OC,OE, ∵八边形ABCDEFGH是正八边形, ∴∠COD=∠DOE==45°, ∴∠COE=45°+45°=90°, ∴∠CPE=∠COE =45°. 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键． 3．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则 ． 【答案】12 【分析】如图，连接OA、OC、OB，根据角的转换求出中心角即可解决问题． 【详解】如图，连接OA、OC、OB． ∵若AC、AB分别是内接正三角形、正方形的一边， ∴，， ∴， 由题意得：， ∴12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，一次连接各分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆，熟练的掌握正多边形的有关概念是解答本题的关键． 4．（2025·江西吉安·模拟预测）如图， 已知多边形中，，，，，分别按请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图. (1)在图①中，画出一个以为边的矩形； (2) 在图②中， 若多边形是正六边形，试在上画出点，使 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）在图①中，画出一个以BC为边的矩形即可； （2）在图②中，多边形ABCDEF是正六边形，在AF上画出点M，使得即可． 【详解】解：（1）图①中，即为以为边的矩形    （2）在图②中，点即为所求，使得 【点睛】 本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是综合运用矩形的判定与性质、正多边形和圆的性质准确画图． 【经典例题八 正多边形与圆中的最值尺】 【例8】（2025·河北张家口·模拟预测）如图，正六边形的边长为，且点为正六边形的中心，将半径为的⊙沿六边形作逆时针滚动，连接，过点作，并且，连接，则在⊙滚动的过程中，面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，当⊙M与正六边形的两边AB、BC相切时，OM的值最大，设⊙M与AB相切于点N，连接MN，OA．解直角三角形求出OM即可解决问题． 【详解】解：∵，， 当最大时，的面积最大．在滚动过程中，当的延长线经过正六边形的顶点时，取得最大值，且此时与、两边相切，设切点分别为、，连接，，则，，如图， 在正六边形中， ， ， 易得， ， ， ， ， 故选D． 【点晴】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 1．（2025·河北石家庄·模拟预测）题目：“要在边长为10的正方形内放置一个与正方形有共同中心O的正多边形，若该正多边形能在正方形内(含边界) 自由旋转，求其边长的最大值d． 例如，当正多边形为正六边形时，如图1，该正六边形边长的最大值．” 甲：当正多边形为正方形时，如图2，该正方形边长的最大值； 乙：当正多边形为等边三角形EFG时，如图3，该等边三角形的边长的最大值．针对甲和乙的答案． 下列判断正确的是（    ） A．甲和乙都对 B．甲和乙都不对 C．甲对乙不对 D．甲不对乙对 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，若正多边形能在正方形内自由旋转，需满足正多边形的半径等于正方形内切圆的半径5，依次求解即可；能理解正多边形能在正方形内自由旋转所需的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，若正多边形能在正方形内自由旋转，需满足正多边形的半径等于正方形内切圆的半径5， 对于甲：当正多边形为正方形时，若能自由旋转，且正方形边长最大时， 直径、需满足，此时边长 即 ； 对于乙：如图， 当正多边形为等边三角形时，若能自由旋转，且等边三角形边长最大时，其半径，此时等边三角形的边长 ，即d ． 甲和乙的答案均正确， 故选A． 2．（2025·河北石家庄·模拟预测）将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放． （1） ； （2）已知点在边上，则的最大值为 ． 【答案】 30 【分析】本题考查了正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）先求出正六边形的一个内角的度数，再结合等边对等角以及三角形内角和定理计算即可得出答案； （2）连接交于，连接，交于，则，当、重合时，点到线段的值最大，为，证明是等边三角形，得到，故，由含的直角三角形的性质得出，，从而求出，的长，最后由三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得：正六边形的一个内角为， ∴， 故答案为：； （2）如图，连接交于，连接，交于，则， ， ∴当、重合时，点到线段的值最大，为， 由正六边形的性质可得：， ∴是等边三角形， ∴，故， ∵， ∴，， ∴，， ∴的最大值为， 故答案为：． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，点P为⊙上一点，连接OP，且，点A为OP上一动点，点B为⊙上一动点，连接AB，以线段AB为边在⊙内构造矩形ABCD，且点C在⊙上，则矩形ABCD面积的最大值为 ． 【答案】32 【分析】根据当圆的半径确定以后，圆内接正方形是圆内接矩形中面积最大的，进而求得圆内接正方形的面积，则矩形ABCD面积的最大值为圆内接正方形面积，据此求解即可． 【详解】如图，四边形BCEF是圆O的内接正方形，当圆的半径确定以后，圆内接正方形是圆内接矩形中面积最大的； 点A，D分别是正方形的对边BF，CE的中点， 此时矩形ABCD的面积恰好是正方形BCEF的面积， 圆O的直径PQ恰好经过点A，D， 连接BE ， 四边形BCEF是圆O的内接正方形，OP=4， BE = PQ = 2OP =8，BC = CE， ∠C= 90°， BC2 + CE2 = 2BO2 = BE2 = 8， BC2=32，即S正方形BCEF=32， 如图，当重合时，当四点都在圆上时，四边形是正方形 矩形ABCD面积的最大值为32． 故答案为：32． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，将问题转化为圆内接四边形是解题的关键． 4．（2025·陕西渭南·模拟预测）【观察发现】 （1）如图1，在正方形中，点O为对角线的交点，点为正方形外一动点，且满足，连接．若正方形边长为4，则的最大值为______； （2）如图2，已知和都是等边三角形，连接，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，某地有一个半径为的半圆形（半圆O）人工湖，其中是半圆的直径，在半圆上（不与重合），现计划在的左侧，规划出一个三角形区域，开发成垂钓中心，要求为入口，并沿修建一笔直的观光桥，根据规划要求观光桥的长度尽可能的长，问的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4；（2）见解析；（3）存在， 【分析】本题考查了正方形的性质，圆的基本性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相关性质是解题的关键． （1）以为直径作，连接，点和点在上，当为直径时，最长即可求解； （2）通过等边三角形的性质，证明，即可求证； （3）过点作的垂线并截取点使，如图，以点为圆心，为半径，作半圆， 则点在半圆上运动， 当三点共线时， ，此时长度取到最大值，即可求解． 【详解】解：（1）以为直径作，连接，如图： ∵是正方形， ∴， 又∵， ∴点和点在上， 当在一条直线上时，即为直径时，最长， ∵正方形边长为4， ∴； （2）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）过点作的垂线并截取点使，如图，以点为圆心，为半径，作半圆， 则点在半圆上运动， 理由如下： 作，交半圆于点， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即且， ∴当点在上运动时，点在上运动， 连接，当三点不共线时， ， 当三点共线时， ，此时长度取到最大值， 即∶如图中，点在位置时，， ∵，， ∴，， ∴， 即最大值为． 【拓展训练一 正多边形与圆中的规律性问题】 1．（24-25九年级上·江苏无锡·课后作业）如图，分别是正方形、正五边形和正六边形， （1）试分别计算这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角的度数； （2）探究正n边形相邻两条对角线的夹角满足的规律． 【答案】（1），，；（2）. 【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点． 【详解】解：（1）解：由正方形ABCD， 可得：AC⊥BD， ∴＝90°； 由正五边形ABCDE， 可得：AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°， ∴∠DBC＝∠ACB＝， ∴＝180°−∠DBC−∠ACB＝108°； 同理：＝120°； （2）． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆的知识，学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：    (1)将如表的表格补充完整： 正多边形边数 ______ 的 度数 ______ ______ ______ ______ (2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，， (2)不存在一个正边形，使其中的，理由见解析 【分析】（1）根据正多边形的内角，内角和以及三角形内角和定理进行计算即可； （2）根据（1）中的计算方法得出，代入计算即可． 【详解】（1）解：正三角形中的度数是正三角形的内角度数，即， 正方形中的度数为，即， 正五边形中的度数为，即， 正六边形中的度数为，即， 正边形中的度数为，即， 当时，即， 解得， 故答案为：，，，，； （2）由（1）得，正边形中， 当时，即， 解得不是整数， 所以不存在一个正边形，使其中的． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，多边形内角和的计算方法是正确解答的前提，得出是解决问题的关键． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 【答案】(1) (2)， (3)随着n的增大，越来越接近于1，见解析 【分析】（1）根据“正圆度”的定义进行求解即可； （2）设正方形边长和正六边形的边长都为1，求出此情形下对应的内切圆半径，再根据“正圆度”的定义进行求解即可； （3）根据（1）（2）所求可知随着n的增大，越来越接近于1，再由张衡和祖冲之对圆周率的研究即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：假设正方形边长1， ∴此时正方形的内切圆半径为， ∴； 设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：，随着n的增大，越来越接近于1．由张衡、祖冲之的研究，精进的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长L也与对应的内切圆周长更接近，其比值更接近于1． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，正确理解题意是解题的关键． 【拓展训练二 多边形与圆中的证明】 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用正五边形与等腰三角形的性质求解； （2）连接交于点M，四边形即为所求； （3）各边延长线的交组成的五边形即为所求． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：； （2）如图1所示，连接相交于点，菱形为所求图形， 证明：在正五边形中，每个内角都相等且等于，每条边都相等， 可得≌，从而 ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：. ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形. （3）如图，五边形即为所求． 2．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）已知和是等边三角形． （1）如图1，点在上，点在上．求证：． （2）当和如图2所示位置时． ①求证：．②直接写出的大小． （3）当和如图3所示位置时，射线与交于点，且．试证明点是的中点． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②（3）见解析 【分析】（1）根据等边三角形性质解答即可； （2）①根据等边三角形性质，证明△ABD≌△ACE即可；由∠BAD=120°-∠EDF，∠CEA=60°+∠DEF，结合∠BDA=∠CEA，以及三角形外角的性质，即可求解； （3）连接AG，再证明A，B，G，D四点共圆，即可求证 【详解】证明：∵和是等边三角形， ∴AD=AE,AB=AC ∵AB-AD=AC-AE ∴DB=EC． （2）①证明：∵∠DAE=∠DAC+∠CAE ∠BAC=∠BAD+∠DAC ∴∠CAE=∠BDA 又∵AB=AC,AD=AE ∴△ABD≌△ACE ∴BD=CE ②解：∵∠BAD=180°-60°-∠EDF=120°-∠EDF，∠CEA=60°+∠DEF 又∵∠BDA=∠CEA， ∴120°-∠EDF=60°+∠DEF 又∵∠BFC=∠DEF+∠EDF ∴∠BFC=60°； （3）证明：连接AG， ∵∠ADE=60°， ∴∠ADG=120°， ∵∠ABC=60°， ∴∠ADG+∠ABC=180°， ∴A，B，G，D四点共圆， ∴∠AGB=∠ADB=90°， ∴AG⊥BC， ∵是等边三角形， ∴G为BC的中点． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的外角的性质以及圆的内接四边形的判定和性质，熟练掌握圆的内接四边形的判定和性质，是解题的关键． 3．（2025·河南新乡·模拟预测）如图，是的直径，是半圆上任意一点，连接并延长到点，使得，连接，点是弧的中点． （1）证明：． （2）①当 时，是直角三角形； ②当 时，四边形是菱形． 【答案】（1）见解析；（2）①135，②60 【分析】（1）根据，，可证得； （2）①根据是直角三角形，可得，由，可求出的度数； ②由四边形是菱形可得，均为等边三角形，则，得，即可求出. 【详解】（1）是的直径， ， 又，， ； （2）①∵是直角三角形，， ， ， ； ②∵四边形是菱形，， ∴，均为等边三角形， ∴， ∵， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆内接四边行的性质，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键． 【拓展训练三 正多边形与圆的综合】 1．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）（1）解方程： （2）如图，正五边形内接于，点F在上，求的度数． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，正多边形和圆，圆周角定理等知识，灵活运用正五边形的性质是本题的关键． （1）运用因式分解法解方程即可； （2）连接，由正五边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ∴； （2）如图，连接， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为，如图，若的半径为1．（在求圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用特殊角解决） (1)求圆内接正六边形面积． (2)圆内接正八边形的面积为_____． (3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得的估计值为_____． 【答案】(1) (2) (3)3；3 【分析】（1）设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点O作于点C；求出的面积即可求解； （2）设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点B作于点C；求出的面积即可求解； （3）设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点O作于点C；求出的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点O作于点C； 由题意知，， ∴是等边三角形， ∴，； 由勾股定理得， ∴， ∴正六边形的面积为； （2）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点B作于点C； 由题意知，， ∴， ∴； 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴圆内接正八边形的面积为； 故答案为：； （3）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点B作于点C； 由题意知，， ∴， ∴， ∴圆内接正十二边形的面积为； 圆的面积为，则； 故答案为：3；3． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰内接于，． (1)如图1，若，连接并延长交于点D，交于点H． ①弧的度数为：______；与的数量关系是：______． ②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，若，E是的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个的内接正五边形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． 【答案】(1)①；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，正多边形和圆以及复杂作图等知识． （1）①连接根据垂径定理逆定理证明，再证明是等边三角形可得可得 从而可得结论；②连接延长交于点根据等边三角形的性质得可得，故可得正六边形； （2）根据圆周角的定理及同弧所对的圆周角相等得到，再根据是中点得到，得根据三线合一性得到弧相等，弦相等，最后即可得到五边形即为所求． 【详解】（1）①连接    ∵ ∵过圆心 ∴ ∵ 是等边三角形， ∴ ∴ ∴． 故答案为：； ②如图，正六边形即为所作；    （2）如图，正五边形即为所求作．    1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若一个圆的内接正多边形的中心角为，则该正多边形的边数是（　　） A．14 B．18 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形和圆的有关知识．根据正多边形的中心角为计算即可． 【详解】解：∵内接正多边形的中心角为，且， ∴该正多边形的边数是20． 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，正方形内接于，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了正多边形和圆，根据正方形内接于即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴的度数， 故选：A． 3．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形， 先画出图形，可知，再作，即可求出，然后根据勾股定理求出，进而求出答案. 【详解】解：设正六边形的中心O，一边是，则，作于点G， 可知是等边三角形，且正六边形是由6个等边三角形组成. 如图，在中，， ∴， ∴， 所以这个正六边形的面积. 故选：C. 4．（24-25九年级上·河北·期末）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理．连接、，根据圆周角定理得到，即可得出答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接、， ∵， ∴． 故选：B． 5．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，将正六边形纸片的空白部分剪下，得到三部分图形，记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的面积分别为．给出以下结论： ①Ⅰ和Ⅱ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形； ②Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形； ③Ⅲ中最小内角是，最大的内角是； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】由六边形是正六边形，得，，从而Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确；证明和都是等边三角形，则，即可证明Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形，故②正确；由，，，即可得到∴Ⅲ中最小内角是，最大的内角是，故③说法错误；证明，得，故④说法正确． 【详解】解：如图所示： ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形，故①正确； ∵，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ合在一起（无重叠部分）能拼成一个菱形，故②正确； ∵，，， ∴， ∴Ⅲ中最小内角是，最大的内角是， 故③说法错误； ∵六边形是正六边形， ∴，，，， ∴，和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 同理可证，， ∴，故④说法正确； 故选D． 【点睛】本题考查的是正多边形与圆的含义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，弧、弦的关系，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键． 6．（2025·广东汕头·模拟预测）等边三角形的中心角等于 度． 【答案】120 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法． 根据正多边形中心角公式是即可解题． 【详解】解：等边形的中心角等于； 故答案为：120． 7．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在正十八边形中， ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了正多边形与圆的综合，圆周角定理等知识，先求出正十八边形的圆心角，再得出正十八边形的外接圆与相对的圆心角，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：正十八边形的圆心角为：， 则正十八边形的外接圆与相对的圆心角为： ∴， 故答案为： 8．（2025·广西防城港·模拟预测）爸爸购买了边长相等的正方形和正边形两种地砖，用来铺自家地板，铺满后地面的部分示意图如图所示，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺），正多边形的性质，熟练掌握是解题的关键．根据平面镶嵌的条件，先求出正n边形的一个内角的度数，再根据多边形内角和公式求出n的值． 【详解】解：正n边形的内角度数为， 则， 解得． 故答案为：8． 9．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，正方形与正六边形的边长相等，先将正方形与正六边形的某条边重合，再将该正方形绕正六边形按顺时针方向滚动一周．若正方形的边长为2，则在滚动过程中点A距出发点的最大距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查旋转变换，正多边形与圆，正方形的性质，正六边形的性质，解直角三角形等知识，作出点A的运动轨迹是图中红线．延长交弧线于H，线段的长，即为点A在滚动过程中到出发点的最大距离，解题的关键是理解题意，学会正确寻找点A的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】解：如图， ， 根据正六边形，可得，, ，， 正方形的边长为2， ， ， ， ， ， 在滚动过程中点A距出发点的最大距离为， 故答案为：． 10．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，为正六边形的一条对角线，于点，连接，若正六边形的边长为2，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查正多边形，根据正六边形是轴对称图形可求出，由可得，得，由勾股定理可求出，． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴ ∵六边形是轴对称图形， ∴是它的一条对称轴， ∴ ∵，即 ∴ ∴， 在中， ∴ 由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． (1)求该多边形的边数； (2)若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，中心角的含义． （1）设该多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和可得方程，解之即可. （2）利用（1）的结论，可得该多边形是正七边形，然后利用中心角的含义：正边形的每个中心角都等于,进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设该多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， ∴该多边形的边数为7. （2）解：由（1）可得该多边形是正七边形， 中心角的度数． 12．（2025·陕西·模拟预测）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】见解析 【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 13．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图正六边形ABCDEF．请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图1中，画出一个与正六边形的边长相等的菱形； （2）在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形． 【答案】（1）画图见解析； （2）画图见解析. 【分析】（1）连接AD、BE交于点O，四边形AOEF即为所求； （2）连接AC、DF、BF、CE，菱形FGCH即为所求；或延长AB、DC交于点G，延长AF、DE交于点H，菱形AGDH即为所求． 【详解】（1）画图如下：四边形AOEF（或四边形BCDO）即为所求； （2）画图如下：解法一：菱形FGCH即为所求． 解法二：菱形AGDH即为所求． 【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，熟练掌握正六边形的性质和菱形的判定是解题的关键． 14．（2025·江西九江·模拟预测）如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹． (1)在图1中的边上求作点，使； (2)在图2中的边上求作点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM与DE的交点即为所求作； （2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN并延长即可． 【详解】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示； 理由： ∵⊙O为正五边形的外接圆， ∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点． ∵点M在直线AO上， ∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称， ∴CF与DG关于直线AO对称． ∴DG=CF． （2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；    【点睛】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键． 15．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数． 【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题： （1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）． ②原题中 ． 【深入思考】： （2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明． （3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）． （4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．    【答案】（1）①见解析；②；（2），证明见解析；（3），证明见解析；（4）； 【分析】（1）①利用垂直平分线定义即可作出正方形；②利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到结论； （2）根据题意过点C作交于E，利用圆周角定理得到，再判定，证明出和是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形三边关系即可； （3）根据题意过点B，作，在上截取，连接，再证明，再利用含的直角三角形三边关系即可得到本题答案； （4）根据题意以为边，作正方形，连接，设，则，，再分别在和和中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】 解：（1）①如图所示，作直径的垂直平分线交于点A，C，则四边形是正方形；    ②如图所示，    ， 故答案为：． （2），证明如下： 如图，过点C作交于E，    ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（ASA）， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 如图所示，过点C作交于F，    同理可得是等腰直角三角形，， ∴，； （3）， 如图，过点B，作，在上截取，连接，    ∵，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （4）如图，以为边，作正方形，连接，， 根据（1）可得P在上，则，    ∴， 设，则，， 在中，， 在中，， 在 中，， ∴， 解得 （负值舍去）， ∴， ∴矩形的面积为． 【点睛】本题考查角平分线定义及画法，圆周角定理，全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质，勾股定理，含的直角三角形三边关系．掌握圆周角定理是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $