专题04 直线与圆的位置关系重难点题型专训（1个知识点+7大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题04 直线与圆的位置关系重难点题型专训 （1个知识点+7大题型+1拓展训练+自我检测） 题型一 判断直线和圆的位置关系 题型二 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围 题型三 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型四 根据直线与圆的位置关系确定交点个数 题型五 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型六 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型七 利用直线与圆的位置关系求最值 拓展训练一 直线与圆的位置关系综合 知识点一、直线和圆的位置关系 1. 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 直线与相交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 圆心到直线的距离与半径的关系 公共点名称 交点 切点 — 直线名称 割线 切线 — 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏常州·期末）若的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏常州·课后作业）如图，点A，B，D在上，，的延长线与直线相交于点C，且，则直线与的位置关系是 ． 【经典例题一 判断直线和圆的位置关系】 【例1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）的半径是，圆心到直线的距离为，直线与的公共点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 1．（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，，为上一点，且，于点，以点为圆心，半径为1的圆与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情况均有可能 2．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）如图，中，，，．点在边上，点是边上一点（不与点、重合），且，则的取值范围是 3．（24-25九年级上·江苏常州·随堂练习）如图，给定一个半径为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如当时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有4个到直线l的距离等于1的点，即，由此可知： （1）当时， ． （2）当时，d的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·江苏常州·课后作业）半径为5的中，点A与圆心O的距离为2，直线l与点A的距离为3，且直线与l垂直，则直线l与有怎样的位置关系？ 【经典例题二 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】 【例2】（2025·江苏苏州·模拟预测）直线l与半径r的圆O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是 A． B． C． D． 1．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，已知Rt△ABC，AC=8，AB=4，以点B为圆心作圆，当⊙B与线段AC只有一个交点时，则⊙B的半径的取值范围是（  ）    A．rB = B．4 < rB ≤ C．rB = 或4 < rB ≤ D．rB为任意实数 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线，垂足为H，点P在直线b上，，点O在线段上，若以点O为圆心，长为半径的圆与直线a相交，则的取值范围为 ． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图①所示，在中，，若以点C为圆心，R为半径的圆与斜边只有一个公共点，求R的长． 解：如图②所示，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切， 过点C作于D，则 由勾股定理，得＝， 由三角形的面积公式，得， ∴＝＝ 上述解答正确吗？如不正确，请说明理由． 【经典例题三 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 【例3】（24-25九年级上·河北保定·期末）已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 1．（2025·河北承德·模拟预测）如图，中，，，，将半径是1的沿三角形的内部边缘无滑动的滚动一周，回到起始的位置，则点所经过的路线长是（  ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级·江苏常州·单元测试）如图，中，，，．点在边上，点是边上一点（不与点、重合），且，则的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·江苏常州·课后作业）如图，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ=90°，则线段CQ的取值范围是 ． 4．（2025·浙江金华·模拟预测）如图1为伸缩衣架，因其便捷性，在生活中应用广泛，该衣架由4根长为26cm的矩形木条和4根长为14cm的矩形木条组成，木条宽度都为2cm，图2是它收缩时的状态，圆形挂钩⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙G，⊙H，⊙I，⊙J与它所在矩形三边相切，⊙E，⊙F与它所在矩形两边相切，圆心表示两根木条的链接点，点E是线段BH，AI的中点，点F是线段BJ，CI的中点． （1）这种衣架能伸缩，依据的数学原理是_____． （2）当这个伸缩衣架拉伸到最长时，DG＝_____cm． 【经典例题四 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】 【例4】（24-25九年级上·江苏·期中）已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（2025·山东菏泽·模拟预测）在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·天津河北·期中）若直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径，则直线l与⊙O的交点个数为 ． 3．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是 ． 4．（2025·江西·模拟预测）如图，在正方形中，，与相切于点，、是正方形与圆的另两个交点． （1）__________，圆心到直线的距离为__________； （2）求的半径长和的值． 【经典例题五 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 【例5】（2025·河北·模拟预测）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为2cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么P与直线CD相切时☉P运动的时间是（    ）    A．3秒或10秒 B．3秒或8秒 C．2秒或8秒 D．2秒或10秒 1．（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1 2．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）如图，已知P的半径为1．圆心P在直线y=x-1上运动．当P与x轴相切时,P点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，直线、相交于点，半径为1cm的⊙的圆心在直线上，且与点的距离为8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向运动，那么 秒后⊙与直线相切. 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，AD边落在平面直角坐标系的x轴上，且点A（5，0）、C（0，3）、AD＝2．点P从点E（﹣5，0）出发，沿x轴向点A以每秒1个单位长度的速度运动，到达点A时停止运动．运动时间为t秒． （1）∠BCD的度数为______°. （2）当t＝_____时，△PCD为等腰三角形. （3）如图2，以点P为圆心，PC为半径作⊙P． ①求当t为何值时，⊙P与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切. ②当t______时，⊙P与四边形ABCD的交点有两个；当t_____时，⊙P与四边形ABCD的交点有三个． 【经典例题六 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 【例6】（25-26九年级上·江苏常州·课后作业）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线与相交，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为 ． 3．（24-25九年级上·江苏·期中）如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半径为1，现将⊙O在正方形内部沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是 ． 4．（2025九年级·江苏常州·专题练习）已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 【经典例题七 利用直线与圆的位置关系求最值】 【例7】（2025九年级·江苏常州·专题练习）如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 1．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连结、．则面积的最大值是（　　）    A． B． C． D． 2．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以A为圆心4为半径D圆上的一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最小值是 ． 3．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝﹣x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 ． 4．（2025·江苏常州·模拟预测）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“最小距离”，记作. 已知点，，连接．    (1)填空： ______； (2)的半径是r，若，直接写出r的取值范围； (3)的半径是r，若将点B绕点A顺时针旋转，得到点C. ①当时，求此时r的值； ②对于取定的r值，若存在两个不同的值使得，直接写出r的取值范围． 【拓展训练一 直线与圆的位置关系综合】 1．（24-25九年级上·江苏常州·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）在汽车车轮修理厂，工人师傅常用两个棱长为a的正方形卡住车轮．如图是其截面图(a小于车轮半径)，量出两个正方形的距离AB的长为2b，就可以得出车轮的直径．请你推求出直径d的公式． 3．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）在平面直角坐标系中的两个图形与，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形间的“和睦距离”，记作，若图形有公共点，则． (1)如图（1），，，⊙的半径为2，则　　　　 ，　　　　 ； (2)如图（2），已知的一边在轴上，在上，且，，． ①是内一点，若、分别且⊙于E、F，且，判断与⊙的位置关系，并求出点的坐标； ②若以为半径，①中的为圆心的⊙，有，，直接写出的取值范围　　　　． 1．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（　　） A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4 D．2≤x≤8 4．（2025·江苏·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏常州·单元测试）如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为，则的半径可能为 ．（只写一个） 7．（2025·江苏扬州·模拟预测）直线l经过点A (4，0)，B(0，2)，若⊙M的半径为1，圆心M在y在轴上，当⊙M与直线l相切时，则点M的坐标 ． 8．（24-25九年级上·江苏常州·单元测试）已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 ． 9．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）刻度尺与⊙O如图摆放时，有刻度的一边与⊙O的两个交点处的读数如图所示(单位：cm)，圆的半径是5cm，那么圆心到刻度尺的最近距离为 ． 10．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 11．（25-26九年级上·江苏常州·课后作业）如图，在中，，点O在上（不与点A，B重合），且的半径为1．分别求出当与相离、相切和相交时的取值范围． 12．（24-25九年级上·江苏常州·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 13．（2025九年级·江苏常州·专题练习）如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为　　　　； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　． 14．（24-25九年级上·江苏南京·单元测试）如图，半圆O的直径DE＝12 cm，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12 cm.半圆O以2 cm/s的速度自左向右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上．设运动时间为t s，当t＝0时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8 cm. (1)当t＝________s时，半圆O与AC所在直线第一次相切；点C到直线AB的距离为________． (2)当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切？ 15．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线y=x+b（b>0）与x轴、y轴交于点A、B，在直线AB上取一点C，过点C作x轴的垂线，垂足为E，若点E（4，0）． （1）若EC=BC，求b的值； （2）在（1）的条件下，有一动点P从点B出发，延着射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，以点P为圆心，作半径为的圆，动点Q从点O出发，在线段OE上以每秒1个单位的速度作来回运动，过点Q作直线l垂直x轴，点P与点Q同时从点B、点O开始运动，问经过多少秒后，直线l和⊙P相切． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆的位置关系重难点题型专训 （1个知识点+7大题型+1拓展训练+自我检测） 题型一 判断直线和圆的位置关系 题型二 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围 题型三 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型四 根据直线与圆的位置关系确定交点个数 题型五 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型六 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型七 利用直线与圆的位置关系求最值 拓展训练一 直线与圆的位置关系综合 知识点一、直线和圆的位置关系 1. 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 直线与相交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 圆心到直线的距离与半径的关系 公共点名称 交点 切点 — 直线名称 割线 切线 — 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏常州·期末）若的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系判定方法，比较圆心到直线的距离与圆半径的大小，确定直线与圆的位置关系，再结合图形进行判断．本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆位置关系的判定方法是解题的关键． 【详解】解：圆半径，圆心到直线的距离， ． 当时，直线与圆相交， 这条直线与圆相交，结合图形可知是． 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏常州·课后作业）如图，点A，B，D在上，，的延长线与直线相交于点C，且，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理,解决问题的关键是熟练掌握切线的判定定理． 连接,利用圆周角定理求出的度数，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据切线的判定定理判断直线与的位置关系． 【详解】解：连接 是的半径， 与相切． 故答案为：相切． 【经典例题一 判断直线和圆的位置关系】 【例1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）的半径是，圆心到直线的距离为，直线与的公共点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离，比较大小即可得到答案，熟记直线与圆的位置关系的判定，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：的半径是，圆心到直线的距离为， ，即直线与相离，公共点个数是0， 故选：A． 1．（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，，为上一点，且，于点，以点为圆心，半径为1的圆与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种情况均有可能 【答案】C 【分析】此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、直线与圆的位置关系等知识，正确地求出的长是解题的关键． 由，，，得，而的半径为1，则的圆心到直线的距离大于的半径，所以与相离，于是得到问题的答案． 【详解】解：于点， ， ，， ， 的半径为1，且， 的圆心到直线的距离大于的半径， 与相离， 故选：C． 2．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）如图，中，，，．点在边上，点是边上一点（不与点、重合），且，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，含角的直角三角形的性质，以D为圆心的长为半径画圆分类讨论是解题的关键．利用以为圆心，的长为半径画圆，当圆与相切时，即可求出的最小值，当圆与相交时，即可求出的最大值，即可求解． 【详解】解：以为圆心，的长为半径画圆，当圆与相切，如图①，时， ， ∴， ∵ ∴ ， ∵点到的最短距离为 ∴ 当圆与相交时，如图②，若交点为，则， ∴ 的取值范围是． 3．（24-25九年级上·江苏常州·随堂练习）如图，给定一个半径为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如当时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有4个到直线l的距离等于1的点，即，由此可知： （1）当时， ． （2）当时，d的取值范围是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系． （1）根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及命题中的数据分析即可得到答案． （2）根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数，分析即可得到答案． 【详解】解：（1）当时， ∵，即， ∴直线与圆相离， 又 则， （2）将时的直线向下平移， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，， 故答案为：1，． 4．（24-25九年级上·江苏常州·课后作业）半径为5的中，点A与圆心O的距离为2，直线l与点A的距离为3，且直线与l垂直，则直线l与有怎样的位置关系？ 【答案】相交或者相切． 【分析】根据题意画出图形，进而利用直线与圆的位置关系判定方法得出答案． 【详解】解：如图所示：当直线OA与l垂直，垂足为E，AE＝3，故OE＝5，则此时直线l与⊙O相切； 当直线OA与l′垂直，垂足为C，则AC＝3，故OC＝1，则此时直线l与⊙O相交； 故直线l与⊙O的位置关系是：相切或相交． 【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，理解题意，正确画出图形，确定两种情况，掌握直线与圆的位置关系判定方法是解题关键． 【经典例题二 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】 【例2】（2025·江苏苏州·模拟预测）直线l与半径r的圆O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此， ∵直线l与半径r的圆O相交，且点O到直线l的距离为6，∴r的取值范围是r＞d＝6．故选C． 1．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，已知Rt△ABC，AC=8，AB=4，以点B为圆心作圆，当⊙B与线段AC只有一个交点时，则⊙B的半径的取值范围是（  ）    A．rB = B．4 < rB ≤ C．rB = 或4 < rB ≤ D．rB为任意实数 【答案】C 【分析】作BD⊥AC于D，如图，利用勾股定理计算出BC＝4，再利用面积法计算出BD＝2，讨论：当⊙B与AC相切时得到r＝2；当直线AC与⊙B相交，且边AB与⊙O只有一个交点时，BA＜r≤CB． 【详解】解：作CD⊥AB于D，如图，    在Rt△ABC中，BC＝， ∵BD•AC＝AB•BC， ∴CD＝ 当⊙C与AB相切时，r＝2； 当直线AC与⊙B相交，且边AB与⊙O只有一个交点时，4＜r≤4．， 综上所述，当r＝2或4＜r≤4 故选C． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作于E，找到两个临界状态，一个是恰好与相切时，此时点D是切点，得到半径为，另一个是经过点A时，则，建立方程求解即可． 【详解】解：作于E，则，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， 当点运动到点E时，，此时与相切， ∴， 当经过点A时，    设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ∴以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理，矩形的判定与性质等知识，注意分情况讨论是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线，垂足为H，点P在直线b上，，点O在线段上，若以点O为圆心，长为半径的圆与直线a相交，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系“直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交；直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切；直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离”，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．设，则，根据圆与直线相交可得，再根据求解即可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵直线，以点为圆心，长为半径的圆与直线相交， ∴，即， 解得， 又∵点在线段上， ∴， 解得， ∴的取值范围为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图①所示，在中，，若以点C为圆心，R为半径的圆与斜边只有一个公共点，求R的长． 解：如图②所示，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切， 过点C作于D，则 由勾股定理，得＝， 由三角形的面积公式，得， ∴＝＝ 上述解答正确吗？如不正确，请说明理由． 【答案】解答不正确，理由见详解 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理， 以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切或以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相交于一点，即；进而即可得到R的值和范围． 【详解】解：上述解答不正确，理由如下： 如图，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相交于一点，那么R应满足，即， 结合题干可知：R的取值范围为：或 【经典例题三 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 【例3】（24-25九年级上·河北保定·期末）已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】利用已知条件可得直线l与圆相离，根据直线与圆相离的性质可以作出判断． 【详解】解：∵⊙O与直线l无公共点， ∴⊙O与直线l相离． ∴圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∵⊙O直径为10cm， ∴⊙O半径为5cm， ∴圆心O到直线l的距离大于5cm． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，利用直线与圆相离，圆心O到直线l的距离大于圆的半径解答是解题的关键． 1．（2025·河北承德·模拟预测）如图，中，，，，将半径是1的沿三角形的内部边缘无滑动的滚动一周，回到起始的位置，则点所经过的路线长是（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构建直角三角形，利用三角函数的知识点计算即可得到结果； 【详解】如图所示，    ∵中，，，， ∴AC=5， 又∵的半径是1， ∴CQ=1， ∴， 在中， ， ∴， ∴点O经过的路线长为； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，结合三角函数值计算是解题的关键． 2．（24-25八年级·江苏常州·单元测试）如图，中，，，．点在边上，点是边上一点（不与点、重合），且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用以为圆心，的长为半径画圆，当圆与相切时，即可求出的最小值，当圆与相交时，即可求出的最大值，综合起来即可． 【详解】以为圆心，的长为半径画圆，当圆与相切，如图①，时， ， ∴， ∵ ∴ ， ∵到的最短距离为2 ∴ 当圆与相交时，如图②，若交点为和，则， ∴ 的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，含角的直角三角形的性质，以D为圆心的长为半径画圆分类讨论是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏常州·课后作业）如图，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ=90°，则线段CQ的取值范围是 ． 【答案】≤CQ≤12． 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况：一是半圆和AB相切，二是半圆和AB相交，首先求得相切时CQ的值，即可进一步求解相交时CQ的范围． 【详解】∵Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°， ∴AB=13， ①当半圆O与AB相切时，如图，连接OP， 则OP⊥AB，且AC=AP=5， ∴PB=AB﹣AP=13﹣5=8； 设CO=x，则OP=x，OB=12﹣x； 在Rt△OPB中，OB2=OP2+OB2， 即(12﹣x)2=x2+82， 解之得x=， ∴CQ=2x=； 即当CQ=且点P运动到切点的位置时，△CPQ为直角三角形． ②当＜CQ＜12时，半圆O与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形； ③当CQ=12时，Q与B重合，半圆与AB有两个交点，除点B外的另一个交点满足△CPQ为直角三角形； ④当0＜CQ＜时，半圆O与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆O外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形； ∴当≤CQ≤12时，△CPQ可能为直角三角形． 故答案为：≤CQ≤12． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，圆周角定理的推论，以及切线的性质等，熟练掌握基本性质进行综合分析是解题关键． 4．（2025·浙江金华·模拟预测）如图1为伸缩衣架，因其便捷性，在生活中应用广泛，该衣架由4根长为26cm的矩形木条和4根长为14cm的矩形木条组成，木条宽度都为2cm，图2是它收缩时的状态，圆形挂钩⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙G，⊙H，⊙I，⊙J与它所在矩形三边相切，⊙E，⊙F与它所在矩形两边相切，圆心表示两根木条的链接点，点E是线段BH，AI的中点，点F是线段BJ，CI的中点． （1）这种衣架能伸缩，依据的数学原理是_____． （2）当这个伸缩衣架拉伸到最长时，DG＝_____cm． 【答案】（1）四边形的不稳定性 （2）72 【分析】根据四边形的性质可解答第一问，再根据图2的收缩时，圆形挂钩⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙G，⊙H，⊙I，⊙J与它所在矩形三边相切这点可以列式直接解答第二问. 【详解】解：（1）这种衣架能伸缩，依据的数学原理是：四边形的不稳定性， 故答案为四边形的不稳定性； （2）由题意可知， ∵木条宽度都为2cm，图2是它收缩时的状态，圆形挂钩⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙G，⊙H，⊙I，⊙J与它所在矩形三边相切， ∴⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙G，⊙H，⊙I，⊙J的半径都为1， 当A与H，B与I，C与J重合时，其重合点在DG上，DG最长， 其长为：DG＝DA+AI+IC+CG═（14﹣2）+（26﹣2）+（26﹣2）+（14﹣2）＝72（cm）， 故答案为72． 【点睛】本题主要考查学生数形结合的和对实际问题与所学知识点结合能力，掌握实际问题转化为数学图形的能力是解决此题的关键. 【经典例题四 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】 【例4】（24-25九年级上·江苏·期中）已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：∵的半径为，圆心O到直线l的距离d，为， ∴， ∴圆与直线l相交，直线l与圆有两个交点， 故选：C． 1．（2025·山东菏泽·模拟预测）在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作于D，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线和有交点， 的取值范围． 【详解】解：作于D，如图所示： ∵， ∴， ∵的面积， ∴，即圆心C到的距离， ∴以C为圆心的⊙C与直线有交点，则的取值范围是：． 故选：D． 2．（24-25九年级上·天津河北·期中）若直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径，则直线l与⊙O的交点个数为 ． 【答案】0 【分析】根据直线和圆的位置关系填空即可． 【详解】解：∵直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径， ∴直线l与⊙O相离， ∴直线l与⊙O无交点， 故答案为:0． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，当直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径，直线l与⊙O相离，直线l与⊙O无交点；当直线l与圆心O的距离等于⊙O的半径，直线l与⊙O相切，直线l与⊙O有1个交点；当直线l与圆心O的距离小于⊙O的半径，直线l与⊙O相交，直线l与⊙O有2个交点． 3．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，含的直角三角形．熟练掌握圆与直线的位置关系，含的直角三角形是解题的关键． 如图，作于，则，当时，与射线相切，此时只有一个交点；当时，与射线只有一个交点；然后作答即可． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴当时，与射线相切，此时只有一个交点； 当时，与射线有两个交点； ∴当时，与射线只有一个交点； 综上，当与射线只有一个交点时，半径r的取值范围是或， 故答案为：或． 4．（2025·江西·模拟预测）如图，在正方形中，，与相切于点，、是正方形与圆的另两个交点． （1）__________，圆心到直线的距离为__________； （2）求的半径长和的值． 【答案】（1）2，4；（2）， 【分析】（1）连接,根据的圆周角所对的弦是直径，可以得到为直径，而与相切于点，连接，为半径，所以；连接,过作,由于为的中点，且，所以; （2）延长交于点，则，，而由（1）得，从而得到四边形是矩形，设的半径为，则，由 列出勾股定理得方程，解出即可；根据在同圆中，同弧所对得圆周角相等，可以把的正弦值转化为,即可求解； 【详解】解：（1）连接，连接 为直径 又点在上 为半径 连接,过作 为的中点，且 且 （2）连接，并延长交于点， 则有，． 过点作，垂足为，则有． ∴四边形是矩形． 设的半径为， 四边形为正方形，， ． ∴在中，，解得． ． ， ． 【点睛】本题主要考查圆和四边形，综合性比较强，同时结合了三角函数的内容，熟练掌握圆周角定理，垂径定理以及三角形的中位线定理是解决本题的关键. 【经典例题五 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 【例5】（2025·河北·模拟预测）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为2cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果P以1cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么P与直线CD相切时☉P运动的时间是（    ）    A．3秒或10秒 B．3秒或8秒 C．2秒或8秒 D．2秒或10秒 【答案】D 【分析】作PH⊥CD于H，根据直角三角形的性质得到OP＝2PH，分点P在OA上、点P在AO的延长线上两种情况可，根据切线的性质解答． 【详解】解：作PH⊥CD于H， 在Rt△OPH中，∠AOC＝30°， ∴OP＝2PH， 当点P在OA上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm， ∴点P运动的距离为6﹣4＝2， ∴⊙P运动的时间是2秒， 当点P在AO的延长线上，⊙P与直线CD相切时，OP＝2PH＝4cm， ∴点P运动的距离为6+4＝10， ∴⊙P运动的时间是10秒， 故选：D．    【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 1．（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1 【答案】A 【分析】分圆心在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（﹣2，0），所以平移的距离为-2-（-3）=1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（2，0），所以平移的距离为2-（-3）=5． 故选：A． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）如图，已知P的半径为1．圆心P在直线y=x-1上运动．当P与x轴相切时,P点的坐标为 ． 【答案】(2，1)或（0，-1） 【分析】设当⊙P与x轴相切时圆心P的坐标为（x，x-1），再根据⊙P的半径为1即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】∵⊙P的圆心在一次函数y=x-l的图象上运动， ∴设当⊙P与x轴相切时圆心P的坐标为（x，x-1）， ∵⊙P的半径为1． ∴x-1=1或x-1=-1．     解得x=2或x=0．     ∴P点坐标为(2，1)或（0，-1）． 【点睛】本题考查的是切线的性质和一次函数图象上点的坐标特征，熟知直线与圆相切的性质是解答此题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，直线、相交于点，半径为1cm的⊙的圆心在直线上，且与点的距离为8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向运动，那么 秒后⊙与直线相切. 【答案】3或5 【分析】分类讨论：当点P在当点P在射线OA时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与E，根据切线的性质得到PE=1cm，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm，则⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切，即可得到⊙P移动所用的时间；当点P在射线OB时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与F，同前面一样易得到此时⊙P移动所用的时间． 【详解】当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与E， ∴PE=1cm， ∵∠AOC=30°， ∴OP=2PE=2cm， ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间==3（秒）； 当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与F， ∴PF=1cm， ∵∠AOC=∠DOB=30°， ∴OP=2PF=2cm， ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8+2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间==5（秒）． 故答案为3或5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质．解题关键是熟练掌握以上性质. 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠B＝90°，AD边落在平面直角坐标系的x轴上，且点A（5，0）、C（0，3）、AD＝2．点P从点E（﹣5，0）出发，沿x轴向点A以每秒1个单位长度的速度运动，到达点A时停止运动．运动时间为t秒． （1）∠BCD的度数为______°. （2）当t＝_____时，△PCD为等腰三角形. （3）如图2，以点P为圆心，PC为半径作⊙P． ①求当t为何值时，⊙P与四边形ABCD的一边（或边所在的直线）相切. ②当t______时，⊙P与四边形ABCD的交点有两个；当t_____时，⊙P与四边形ABCD的交点有三个． 【答案】（1）45；（2）5或2或8﹣3；（3）①当t的值为2或5或时，⊙P与四边形ABCD的一边相切；②2＜t＜5或t＝；5＜t＜． 【分析】（1）根据A、C坐标可得OC=3，OA=5，由AD=2可得OD=3，可得OC=OD，由∠COD=90°，可得∠ODC=45°，根据平行线的性质即可得∠BCD=45°；（2）分PC＝PD，CP＝CD，DC＝DP三种情况，分别求出t值即可；（3）分⊙P与CD、BC、AB边相切三种情况，分别求出t值即可；②根据①中三个图形及点P运动到OA中点时有两个交点即可得答案. 【详解】（1）∵A（5，0）、C（0，3）， ∴OC＝3，OA＝5， 又∵AD＝2， ∴OD＝OA﹣AD＝3， ∴OC＝OD， ∵∠COD＝90°， ∴∠OCD＝∠ODC＝45°， 又∵BC∥AD， ∴∠BCD＝∠ODC＝45°， 故答案为：45； （2）若△PCD为等腰三角形， ①当PC＝PD时，点P在CD的垂直平分线上，点P与点O重合， ∴P（0，0）， ∵E（﹣5，0）， ∴PE＝5， ∴t＝5. ②当CP＝CD时， ∵CO⊥PD， ∴CO垂直平分PD， ∴PO＝OD＝3， ∴P（﹣3，0）， ∵E（﹣5，0）， ∴PE＝2， ∴t＝2. ③当DC＝DP时， 在Rt△COD中，DC＝＝3， ∴DP＝3， ∴OP＝3﹣3， ∴EP＝OE﹣OP＝5﹣（3﹣3）＝8﹣3， ∴t＝8﹣3. 故答案为：5或2或8﹣3 （3）①如图2﹣1，当点P运动至与四边形ABCD的CD边相切时， PC⊥CD， ∵∠CDO＝45°， ∴△CPD为等腰直角三角形， ∵CO⊥PD， ∴PO＝DO＝3， ∴EP＝2， 即t＝2； 如图2﹣2，当点P运动到与点O重合时， ∵PC为⊙P半径，且PC⊥BC， ∴此时⊙P与四边形ABCD的BC边相切， ∴t＝5. 如图2﹣3，当点P运动至与四边形ABCD的AB边相切时， PA为⊙P半径， 设PC＝PA＝r， 在Rt△PCD中， OP＝OA﹣PA＝5﹣r， ∵PC2＝OC2+OP2， ∴r2＝32+（5﹣r）2， 解得，r＝， ∴t＝EP＝10﹣＝. ∴当t的值为2或5或时，⊙P与四边形ABCD的一边相切. ②如图2﹣1，当⊙P与四边形ABCD的CD边相切时，只有一个交点，此时t＝2，继续向右运动会有两个交点. 如图2﹣2，当⊙P与四边形ABCD的CB边相切时，有C，D两个交点，此时t＝5，继续向右运动会有三个交点. 如图2﹣3，当⊙P与四边形ABCD的AB边相切时，⊙P与四边形ABCD有三个交点，此时t＝，继续向右运动有三个交点. 如图2﹣4，当点P运动至OA的中点时，⊙P与四边形ABCD有C，B两个交点，此时t＝， 综上所述，答案为：2＜t＜5或t＝；5＜t＜． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、切线的性质及直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键. 【经典例题六 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 【例6】（25-26九年级上·江苏常州·课后作业）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线与相交，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与⊙O相切时b的值，即可求出b的取值范围． 【详解】解：当直线与圆相切，且函数图象经过一、二、四象限时，如图： 在中， 令时，，则与y轴的交点是， 当时，，则与x轴的交点是， 则，即是等腰直角三角形． 连接圆心和切点，则， 则．即； 同理，当直线与圆相切，且函数图象经过二、三、四象限时，． 则若直线与相交时，的取值范围是． 故选：． 【点睛】本题考查圆与一次函数图象相交的问题，关键是由直线与圆相切时求出的值． 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时， ∴， 即直线在原有位置向下移动后与圆相切． 故选：B． 【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键． 2．（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为 ． 【答案】 【分析】先证明，得出，证出，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧，连接OC交圆O于P，此时PC最小，，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形ABCD是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示： 连接OC交圆O于P，此时PC最小， ， ， 由勾股定理得：， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键． 3．（24-25九年级上·江苏·期中）如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半径为1，现将⊙O在正方形内部沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是 ． 【答案】4≤d≤ 【分析】当圆O运动到圆P处时，运动距离最短，当圆O运动到圆E处时，运动距离最长，分别求得PO和OE的长即可得出d的取值范围． 【详解】解：如图， 当圆O运动到圆P处时，运动距离最短， 当圆O运动到圆E处时，运动距离最长， 由正方形的性质可知： 在Rt△BEF中，由勾股定理得： 所以 故答案为 【点睛】本题主要考查的是正方形的性质和直线和圆的位置关系，利用正方形的性质和直线和圆相切，确定出平移后圆心的位置是解题的关键． 4．（2025九年级·江苏常州·专题练习）已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）得出平移后得到的直线，求出A、B点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答． 【详解】（1）因为直线经过点， 所以， 即， 故答案为 （2）由（1）及题意知，平移后得到的直线所对应的函数关系式为，设直线与轴、轴分别交于点、（如图所示）， 当时，；当时，. 所以，，即，. 在中，. 过点作于， 因为， 所以， 因为，解得. 依题意得：， 解得， 即的取值范围为. 【点睛】此题主要考查待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识． 【经典例题七 利用直线与圆的位置关系求最值】 【例7】（2025九年级·江苏常州·专题练习）如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接OP，PC，OC，根据OP+PC≥OC，求出OP的最小值，根据直角三角形的性质得到AB=2OP，计算得到答案． 【详解】解：连接OP，PC，OC， ∵OP≥OC-PC=2， ∴当点O，P，C三点共线时，OP最小，最小值为2， ∵OA=OB，∠APB=90°， ∴AB=2OP， 当O，P，C三点共线时，AB有最小值为2OP=4， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了几何问题的最值，掌握三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边，得到点O，P，C三点共线时，OP最短是解题的关键． 1．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连结、．则面积的最大值是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出，求出点C到的距离，即可求出圆C上点到的最大距离，根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴A点的坐标为，B点的坐标为，， 即，， 由勾股定理得：，    过C作于M，连接， 则由三角形面积公式得：， ∴， ∴， ∴圆C上点到直线的最大距离是：， ∴面积的最大值是， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，直线与圆的位置关系，点到直线的距离的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离，属于中档题目． 2．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以A为圆心4为半径D圆上的一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最小值是 ． 【答案】3 【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解． 【详解】作AB的中点E，连接EM、CE， 在直角△ABC中，AB===10， ∵E是直角△ABC斜边AB上的中点， ∴CE=AB=5， ∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴ME=AD=2， ∴在△CEM中，5-2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7， ∴最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 3．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝﹣x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 ． 【答案】 【分析】作AP⊥直线，垂足为P，作⊙A的切线PQ,切点为Q，此时切线长PQ最小. 根据全等三角形的性质可得，再由勾股定理可求出PQ的值. 【详解】如图，作AP⊥直线，垂足为P，作⊙A的切线PQ,切点为Q，此时切线长PQ最小. ∵A的坐标为（-1,0） 设直线与x轴，y轴分别交于C,D, 在和中 故答案为 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系和最短距离问题，能够作出辅助线，找出全等三角形是解题的关键. 4．（2025·江苏常州·模拟预测）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“最小距离”，记作. 已知点，，连接．    (1)填空： ______； (2)的半径是r，若，直接写出r的取值范围； (3)的半径是r，若将点B绕点A顺时针旋转，得到点C. ①当时，求此时r的值； ②对于取定的r值，若存在两个不同的值使得，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)①，② 【分析】（1）由题意得出轴，则可根据“最小距离”的定义得出答案； （2）根据题意画出图形，由直角三角形的性质及“最小距离”的定义得出答案； （3）①过点C作于点H，由直角三角形的性质可得出答案； ②由题意可知线段在旋转过程中与有两个交点，画出图形即可得出答案． 【详解】（1）∵，， ∴轴， ∴， 故答案为：3； （2）如图所示，表示与线段有交点，    此时, ∴； （3）①当时，点C恰好落在x轴上，如图，    过点C作，垂足为H， ，， ，， 点C落在x轴上， ， ； ②存在两个不同的值使得，即线段在旋转的过程中与有两个交点，如图，    此时，， ∴． 【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“最小距离”的概念，旋转的性质，直角三角形的性质及分类讨论思想的运用等知识点． 【拓展训练一 直线与圆的位置关系综合】 1．（24-25九年级上·江苏常州·课后作业）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【分析】（）如图作于，求出的值即可判断； （）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ； （）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图作于，    在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴当半径时，直线与相切， 故答案为：； （2）观察图形可知， 当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ， 故答案为：或； （3）观察图形可知， 当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 故答案为：或． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）在汽车车轮修理厂，工人师傅常用两个棱长为a的正方形卡住车轮．如图是其截面图(a小于车轮半径)，量出两个正方形的距离AB的长为2b，就可以得出车轮的直径．请你推求出直径d的公式． 【答案】 【分析】设切点为P，如图，小正方形的顶点分别为C，D，连接CD，OD，OP，OP与CD交于点E，由圆O与AB相切于P，根据切线的性质得到OP与AB垂直，又CD与AB平行，故OP与CD也垂直，根据垂径定理得到E为CD中点，构成直角三角形ODE，设出半径为r，根据DE=AP=b，EP=AD=a，分别表示出DE和OE，在直角三角形ODE中，根据勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到半径r的值，进而求出直径d的值． 【详解】如图，设切点为P，小正方形在圆上的顶点分别为C，D， 连接CD，OD，OP，OP与CD交于E，则OP⊥AB， 故OP⊥CD，E为CD中点，设半径为r， 在Rt△ODE中，DE＝b，OD＝r，OE＝r﹣a， ∴根据勾股定理得：（r﹣a）2+b2＝r2， ∴r＝， 则d＝2r＝． 【点睛】此题考查了切线的性质，垂径定理，以及勾股定理，本题的关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用数形结合思想及方程的思想来解决问题． 3．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）在平面直角坐标系中的两个图形与，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形间的“和睦距离”，记作，若图形有公共点，则． (1)如图（1），，，⊙的半径为2，则　　　　 ，　　　　 ； (2)如图（2），已知的一边在轴上，在上，且，，． ①是内一点，若、分别且⊙于E、F，且，判断与⊙的位置关系，并求出点的坐标； ②若以为半径，①中的为圆心的⊙，有，，直接写出的取值范围　　　　． 【答案】（1）2，；（2）①是⊙的切线，；②或． 【分析】（1）根据图形M，N间的“和睦距离”的定义结合已知条件求解即可． （2）①连接DF，DE，作DH⊥AB于H．设OC＝x．首先证明∠CBO＝30，再证明DH＝DE即可证明是⊙的切线，再求出OE,DE的长即可求出点D的坐标． ②根据，得到不等式组解决问题即可． 【详解】（1）∵A（0，1），C（3，4），⊙C的半径为2， ∴d（C，⊙C）＝2， d（O，⊙C）＝AC−2＝， 故答案为2；； （2）①连接，作于.设． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∵是⊙的切线， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是⊙的切线． ∵， 设， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ②∵ ∴B（0，） ∴BD= 由，，得 解得或 故答案为：或． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了图形M，N间的“和睦距离”，解直角三角形的应用，切线的判定和性质，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 1．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、垂线段最短等知识，正确理解直线与圆的三种位置关系是解题的关键． 设点O到直线l的距离为，根据垂线段最短，可得，，即可求解． 【详解】解：∵设点O到直线l的距离为， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴直线与的位置关系是相交或相切． 故选：D 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出这个圆．根据圆与直线相交求解即可． 【详解】解：、、、是四个半径为5的等圆，某个圆上的点到直线l的最大距离为8， ∴直线与这个圆相交且不经过圆心，且与圆有两个交点， 某个圆上的点到直线l的最大距离为8是， 故选：C． 3．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（　　） A．2≤x≤10 B．4≤x≤16 C．4≤x≤4 D．2≤x≤8 【答案】D 【分析】由题意得出点O2在点O1的右侧，⊙O2与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，O1O2的最大值和最小值，分别画出图形求解得出x的取值范围，根据对称性可得点O2在点O1的左侧时的结论． 【详解】解：当点O2在点O1的右侧时， 当⊙O2向左移动到与直线AB相切时，如图1所示，设切点为M， 则O2M=4， 又∵∠AO2O1=30°， ∴O1O2=2•O2M=8， 当⊙O2继续向左移动到与⊙O1内切时，如图2所示，此时O1O2=6-4=2， 所以当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，2≤x≤8； 故选：D． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平移的性质，求出符合条件的x的最大值和最小值是解决问题的关键． 4．（2025·江苏·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案． 【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E， 连接，则，， 又∵， ∴此时． 根据梯形的中位线定理，得 ， ∴， ∴， ∴直线要和圆相交，则． 故选D． 5．（24-25九年级上·江苏常州·单元测试）如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可． 【详解】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°， ∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC， ∴， ∵⊙O的半径为1， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴OC=PC=1， ∴OA==， ∴P（，0）， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0）， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 6．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为，则的半径可能为 ．（只写一个） 【答案】6（或其他值） 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆和直线相交即可求解，掌握直线和圆的位置与圆心距d与半径r之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线l与相交，圆心O到直线l的距离为， ∴的半径大于， 故答案为：6（或其他值）． 7．（2025·江苏扬州·模拟预测）直线l经过点A (4，0)，B(0，2)，若⊙M的半径为1，圆心M在y在轴上，当⊙M与直线l相切时，则点M的坐标 ． 【答案】(0，2)或(0，2)． 【分析】根据勾股定理得到AB=，设M坐标为（0，m）（m＞0），即OM=m，若M在B点下边时，BM=2-m，根据切线的性质得到∠MN′B=90°，根据相似三角形的性质得到m=，此时M（0，）；若M在B点上边时，同法求得M（0，）． 【详解】解：∵直线l经过点A(4，0)，B(0，2)， ∴AB2， 设M坐标为(0，m)(m＞0)，即OM=m， 若M在B点下边时，BM=2﹣m， 当AB是⊙O的切线， ∴∠MN'B=90°． ∵∠MBN'=∠ABO，∠MN'B=∠BOA=90°， ∴△MBN'∽△ABO， ∴，即， 解得：m=2，此时M(0，2)； 若M在B点上边时，BM=m﹣2， 同理△BMN∽△BAO，则有，即， 解得：m=2．此时M(0，2)， 综上所述：M(0，2)或(0，2)． 故答案为：(0，2)或(0，2)． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解答本题的关键是画出示意图，熟练掌握切线的性质及锐角三角函数的定义，难度一般． 8．（24-25九年级上·江苏常州·单元测试）已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为 ． 【答案】3＜r≤4或r＝． 【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案． 【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝3，BC＝4．∴AB＝5， 如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点， 当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点， ∴CD×AB＝AC×BC， ∴CD＝r＝， 当直线与圆如图所示也可以有一个交点， ∴3＜r≤4， 故答案为3＜r≤4或r＝． 【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案，此题比较容易漏解． 9．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）刻度尺与⊙O如图摆放时，有刻度的一边与⊙O的两个交点处的读数如图所示(单位：cm)，圆的半径是5cm，那么圆心到刻度尺的最近距离为 ． 【答案】3cm 【分析】本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解． 【详解】连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示： ∵OC⊥AB， ∴AC＝AB＝(9﹣1)＝4cm， ∵OA＝5， 在Rt△OAC中，OA2﹣OC2＝AC2， ∴52﹣OC2＝42， 解得：OC＝3cm， 故答案为3cm． 【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 10．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 【答案】或/或 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 11．（25-26九年级上·江苏常州·课后作业）如图，在中，，点O在上（不与点A，B重合），且的半径为1．分别求出当与相离、相切和相交时的取值范围． 【答案】当与相离时，；当与相切时，；当与相交时，． 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，含角的直角三角形，关键是掌握直线与圆的位置关系的判定方法． 判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，直线和相交；直线和相切；直线和相离,由此即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点． ， ． ． ①当与相离时，有，即，解得． 又点O在上（不与点重合），，； ②当与相切时，有，即，解得； ③当与相交时，有，即，解得． 又． 综上所述，当与相离时，； 当与相切时，； 当与相交时，． 12．（24-25九年级上·江苏常州·课后作业）已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 【答案】(1)当半径为3时，与直线相切 (2)当半径为2.4时，与直线相切 (3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离 【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求； （3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵圆心到边的距离为，与直线相切， ∴， 则当半径为3时，与直线相切； （2）连接，过作，交于点， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴圆心到边的距离， 又与直线相切， ∴，则当半径为2.4时，与直线相切； （3）∵与直线相交，圆心到边的距离为， ∴， 又与直线相离，圆心到的距离为， ∴， 则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离． 【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键． 13．（2025九年级·江苏常州·专题练习）如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为　　　　； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　． 【答案】（1）7；（2）． 【分析】（1）当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大，由此即可得； （2）先确定线段是的直径，画出图形，再在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：（1）如图1，， 当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大， 此时最大值为， 故答案为：7； （2）如图2，是直线与的公共点，当线段的长度最大时，线段是的直径， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 14．（24-25九年级上·江苏南京·单元测试）如图，半圆O的直径DE＝12 cm，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12 cm.半圆O以2 cm/s的速度自左向右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上．设运动时间为t s，当t＝0时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8 cm. (1)当t＝________s时，半圆O与AC所在直线第一次相切；点C到直线AB的距离为________． (2)当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切？ 【答案】（1）1，6 cm；（2）当t为4或16时，直线AB与半圆O所在的圆相切． 【分析】（1）求出路程EC的长，即可以求时间t=1，作C到AB的距离CF，利用直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以得：CF=6； （2）根据C到AB的距离为6cm，圆的半径为6cm，所以O与C重合，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，t=8÷2=4秒. 【详解】(1)∵DE＝12 cm， ∴OE＝OD＝6 cm. ∵OC＝8 cm， ∴EC＝8－6＝2(cm)， ∴t＝2÷2＝1(s)， 故当t＝1时，半圆O与AC所在直线第一次相切． 如图①，过点C作CF⊥AB于点F. 在Rt△BCF中，∵∠ABC＝30°，BC＝12 cm， ∴CF＝BC＝6 cm. 故答案为1，6 cm. (2)如图②，当半圆O在直线AB的左侧，与直线AB相切时，过点O作OM⊥AB于点M，则OM＝6 cm. ∵∠ABC＝30°， ∴OB＝2OM＝12 cm. 又∵BC＝12 cm， ∴当点O与点C重合，即当点O运动到点C时，半圆O与△ABC的边AB相切，此时，点O运动了8 cm，运动时间t＝8÷2＝4. 如图③，当半圆O所在的圆在直线AB的右侧与直线AB相切时，设切点为Q，则OQ⊥AB，OQ＝6 cm. 在Rt△QOB中，∠OBQ＝∠ABC＝30°，则OB＝2OQ＝12 cm，此时点O运动了12＋12＋8＝32(cm)，运动时间t＝32÷2＝16. 综上所述，当t为4或16时，直线AB与半圆O所在的圆相切． 【点睛】考查了直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系．利用时间t来表示线段之间的关系是动点问题中是常用的方法之一，要会灵活运用．并能根据圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 15．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线y=x+b（b>0）与x轴、y轴交于点A、B，在直线AB上取一点C，过点C作x轴的垂线，垂足为E，若点E（4，0）． （1）若EC=BC，求b的值； （2）在（1）的条件下，有一动点P从点B出发，延着射线BC方向以每秒1个单位的速度运动，以点P为圆心，作半径为的圆，动点Q从点O出发，在线段OE上以每秒1个单位的速度作来回运动，过点Q作直线l垂直x轴，点P与点Q同时从点B、点O开始运动，问经过多少秒后，直线l和⊙P相切． 【答案】（1）b=2；（2）t=或或. 【分析】（1）作出辅助线,求出点B、C坐标代入解析式即可求解, （2）分类讨论,利用圆心到切线的距离等于半径即可解题. 【详解】作BH⊥CE.∵E（4,0）, ∴OE=BH=4,把x=4代入y=x+b=3+b,∴CE=3+b.∵B(0,b),∴EH=OB=b,CH=3.在Rt△BCH中,BC=5=CE,∴C（4,5）代入y=x+b,得b=2 （2）设点P到直线l的距离为d.作PH⊥y轴于点H,则PH=t. ①当0<t≤4时,OQ=t,d=t－t=t,由t=,得t=； ②当4<t≤8时,OQ=8－t,d=8－t－t =或t－（8－t）=,解得t=或； ③当8<t<12时,OQ=t－8,d=t－（t－8）=,解得t=,由于t－4>,舍去.（第3种情况酌情给分,舍去的理由合情描述即可） 综上所述,t=或或. 【点睛】本题考查求解一次函数参数,直线与圆的位置关系,分类讨论是解题关键. 学科网（北京）股份有限公司 $