专题01 圆的基本概念重难点题型专训（2个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题01 圆的基本概念重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 题型三 求过圆内一点的最长弦 题型四 圆的周长和面积问题 题型五 点与圆的位置关系 题型六 三角形的外接圆 题型七 圆中角度的计算 题型八 圆中线段长度的计算 题型九 求一点到圆上点距离的最值 拓展训练一 点与圆的位置关系综合 拓展训练二 圆中的最值综合 知识点一、圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 点拨： （1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏常州·期中）下列图形为半圆的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·课后作业）如图，圆中以为一个端点的劣弧有 条．    知识点二、点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 【即时训练】 1．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，已知⊙O及其所在平面内的4个点．如果半径为5，那么到圆心O距离为7的点可能是（　　） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）的半径为2，点A到圆心的距离是3，则点A与的位置关系是 【经典例题一 圆的基本概念辨析】 【例1】（24-25九年级上·江苏常州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．在一个圆中，直径是最长的弦 C．弦是直径 D．长度相等的弧是等弧 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．若，则圆O半径的长为 ． 3．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，点在以为直径的半圆上，是半圆上不与点重合的动点．连接，是的中点，过点作于点．若，则的最大值是 ． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，的半径，是弦，是上一点，且，．求的度数． 【经典例题二 求圆中弦的条数】 【例2】（24-25九年级上·江苏无锡·单元测试）如图，在⊙O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦. A．2 B．3 C．4 D．5 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25九年级上·江苏无锡·课后作业）如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有 条． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【经典例题三 求过圆内一点的最长弦】 【例3】（24-25九年级上·江苏常州·期末）已知的半径是3cm，则中最长的弦长是（    ） A．3cm B．6cm C．1.5cm D．3cm 1．（2025九年级·江苏南京·专题练习）如图，圆的弦中最长的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·开学考试）已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，和都是等边三角形，，连结，，为直线，的交点，连结，当线段最长时，的值是 ． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）问题解决： (1)如图①，半圆的直径，点是半圆上的一个动点，则的面积最大值是______． (2)如图②，在扇形中，，，点、分别在和上，且，是的中点，点在弧上．连接、，四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求最大值；若不存在，请说明理由． (3)如图③，四边形中，，，，四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【经典例题四 圆的周长和面积问题】 【例4】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）一个圆的面积为，则它的半径为（　　） A． B． C．0 D．1 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示，小区内有个圆形花坛，点在弦上，，，，则这个花坛的面积为（　　） A．144π B．256π C．400π D．441π 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）一座圆形花坛的半径为，中间雕塑的底面是边长为的正方形．如图，这个花坛的实际种花面积为 （取，结果精确到个位）． 3．（2025·江苏镇江·模拟预测）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为 ．    4．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，射击运动的枪靶是由10个同心圆组成的，其中每两个相邻的同心圆的半径的差等于中间最小圆的半径．每相邻两个圆之间围成一个圆环，从外向里顺次叫做1环、2环、3环……8环、9环，最小圆里面的圆盘形区域，叫做10环．一枪射出去，打中的环数越高，说明枪法越好．那么请问1环的面积是10环面积的多少倍？ 【经典例题五 点与圆的位置关系】 【例5】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）点P在半径为的内，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，3为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（   ） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 2．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知的半径是4，点在上，且，动点C在上运动（不与重合），点D为线段的中点，连接，则线段长度的最小值是 ． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知中，，于点D，，，点E为的中点，点P是线段上的一个动点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，点Q是直线上的一个动点，连接，点A关于的对称点是点，连接，则的最小值为 ． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，分别是的中点，是以B为圆心，为半径的圆，判断点D，E与的位置关系，并说明理由． 【经典例题六 三角形的外接圆】 【例6】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，已知为的外接圆，，直径交于点E，若，则（  ）． A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在△ABC 中，BC＝6，∠A＝60°．若⊙O 是△ABC 的外接圆，则⊙O 的半径长为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，是的外接圆，，，则的直径为 ． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，ABC与DEF均为等边三角形，⊙O是ABC的内切圆，同时也是DEF的外接圆．若AB=1cm，则DE= cm． 4．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，将绕点按顺时针方向旋转，得到，当点的对应点落在线段上时，点的对应点恰好落在的外接圆上，且点在同一直线上. （1）求证：. （2）若，求的长. 【经典例题七 圆中角度的计算】 【例7】（24-25九年级·江苏无锡·课后作业）如图，在中，，则的角度是（ ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级·江苏无锡·课后作业）已知：如图，是的直径，是的弦， ，的延长线交于E，，，求 的角度是（ ）． A． B． C． D． 2．（2025·江苏常州·模拟预测）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是 ． 3．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=148°24′，则∠AOC的角度为 ． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数． 【经典例题八 圆中线段长度的计算】 【例8】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．1 1．（24-25九年级上·江苏常州·期中）根据如图所示的作图方式，可说明正方形的顶点C在以的长为半径的（    ） A．内 B．外 C．上 D．以上都不对 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，点B，E在半圆O上，四边形，四边形均为矩形．若四边形中，，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，为的直径，点在上，连接，在上截取，连接并延长交于点．若，，则的长为 ． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是弦的中点，A是上一点，与交于点E，已知，． (1)求线段的长． (2)当时，求，的长． 【经典例题九 求一点到圆上点距离的最值】 【例9】（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 1．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，在菱形中，，，是上一点，，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，的对应点．当的长度最小时，则的长为（    ）    A．7 B．6 C．5 D．6.5 2．（24-25九年级上·江苏·期中）如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大值为 ．    3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，，点在以为圆心， 为半径的上运动， 且始终满足， 则的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【模型建立】 如图①、②，点分别在圆外，在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 (1)请就图①中为何最长进行证明． (2)已知点到圆上的点的最短距离为4，最长距离为8，则圆的半径为_____________． (3)如图③，在中，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是____________． (4)如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，求线段的最大值． 【拓展训练一 点与圆的位置关系综合】 1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，在中，． (1)使用无刻度的直尺和圆规作交于点（保留作图痕迹）； (2)以为直径的交于点． ①证明：点在上； ②当等于多少度时，四边形为菱形，并说明理由． 2．（2025九年级·江苏无锡·专题练习）（1）如图，木杆AB靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁竖直下滑时，木杆的底端B也沿着水平方向向右滑动．你能用虚线画出木杆中点M 随之运动的轨迹吗？ （2）在（1）的基础上，若AB＝4，以AB为作等边△ABC，如图所示， 连接OC，当木杆AB在下滑过程中，试求OC的最大值．   3．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）我们曾经研究过：如图1，点在外或点在内，直线分别交于点、，则线段是点到上各点的距离中最短的线段，线段是点到上各点的距离中最长的线段． 【运用】在中，，，点是的中点． （1）如图2，若是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则的最小值是__________． （2）如图3，若取的中点，连接，得等腰．将绕点旋转，点为射线，的交点，点是的中点． ①与的位置关系是__________． ②连接，求的最大值和最小值． 【拓展】 （3）喜欢研究的小聪把上述第（2）问图中的绕点旋转，而不动，记点为射线，的交点（如图4），他发现在旋转过程中线段的长度存在最值，请直接写出的最小值__________． 【拓展训练二 圆中的最值综合】 1．（2025九年级·江苏无锡·专题练习）如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值. 2．（2025·河北石家庄·模拟预测）已知的半径和正方形的边长均为1，把正方形放在中，使顶点A，D落在上，此时点A的位置记为，如图1，按下列步骤操作：如图2，将正方形在中绕点A顺时针旋转，使点B落到上，完成第一次旋转；再绕点B顺时针旋转，使点C落到上，完成第二次旋转；…… (1)正方形每次旋转的度数为______°； (2)将正方形连续旋转6次，在旋转的过程中，点B与之间的距离的最小值为______． 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、． 【初步探索】 （1）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，则线段、、存在的数量关系是：________________． 【知识迁移】 （2）如图1所示，若圆的半径为8，问的最大值是多少？ 【拓展延伸】 （3）如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值． 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列说法：①直径是弦；②半径相等的圆叫同心圆；③长度相等的两条弧是等弧．其中正确的是（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．① 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知的半径为3，，则点A和的位置关系是（    ） A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定 3．（2025九年级上·江苏·模拟预测）如图，的半径为，以圆外一点为圆心，画半径为的弧，将截成弧长相等的两部分，则两点的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（25-26九年级上·江苏无锡·课后作业）如图所示，甲、乙两只蚂蚁同时从点A出发，甲沿着外侧的大圆爬行，乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行．如果两只蚂蚁爬行的速度相同，那么先回到点A的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法确定 6．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）若的直径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是 ． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是 ． 8．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为 ． 9．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知，如图，是的弦，，点C在弦上，连结并延长交于点D，，则的度数是 ． 11．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点在上，，求的度数． 12．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，是的弦，半径，分别交于点，，且，求证：． 13．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，A玉米试验田是半径为的圆去掉宽为的排水沟后剩下的部分，B玉米试验田是半径为的圆中间去掉半径为的圆形水井后剩下的部分，这两块试验田的玉米都收了． (1)这两块试验田平均每平方米的产量分别是多少？ (2)A试验田平均每平方米的产量是B试验田平均每平方米产量的多少倍？ 14．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 15．（2025·江苏常州·模拟预测）综合与实践 【主题】曲轴连杆机构的运动分析与设计 【素材】 在某小型发动机的机构中，曲轴连杆的工作原理如图1所示：O为连杆轴，B为圆柱形气缸中活塞的圆心，直线平行于气缸内壁，连杆在活塞的带动下绕O轴匀速转动，连杆拖动活塞做往复运动．连杆长，连杆长． 【实践操作】 模拟曲轴连杆机构的运动过程，研究不同位置下连杆与活塞的关系． 【实践探索】 (1)活塞在气缸内最大移动的距离是__________． (2)点C为直线与的交点，当连杆从位置按顺时针方向旋转时，求活塞移动的距离．（计算结果保留根号） (3)如图2，发动机气缸底部开口的宽度为（与活塞直径相等），开口圆心为P，曲轴支点O位于气缸外部．当连杆支点A进入气缸内部时，需满足点A到气缸内壁的距离至少为，且活塞运动时不能脱离气缸．请确定满足条件时O、P之间距离的取值范围（结果保留一位小数）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆的基本概念重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 题型三 求过圆内一点的最长弦 题型四 圆的周长和面积问题 题型五 点与圆的位置关系 题型六 三角形的外接圆 题型七 圆中角度的计算 题型八 圆中线段长度的计算 题型九 求一点到圆上点距离的最值 拓展训练一 点与圆的位置关系综合 拓展训练二 圆中的最值综合 知识点一、圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 点拨： （1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏常州·期中）下列图形为半圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查圆的基本性质，解题的根据熟知半圆的定义：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．根据半圆的定义即可判断． 【详解】解：半圆是直径所对的弧，但是不含直径， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·课后作业）如图，圆中以为一个端点的劣弧有 条．    【答案】3 【分析】根据劣弧的定义，所对圆心角小于180度的圆弧叫作劣弧，求解即可． 【详解】解：由图形可得，以为一个端点的劣弧有、、，有3条 故答案为：3 【点睛】此题考查了劣弧的定义，解题的关键是理解劣弧的定义． 知识点二、点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 【即时训练】 1．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，已知⊙O及其所在平面内的4个点．如果半径为5，那么到圆心O距离为7的点可能是（　　） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】C 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）． 【详解】解：∵半径为5， ∴，，，， ∴到圆心O距离为7的点为点， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）的半径为2，点A到圆心的距离是3，则点A与的位置关系是 【答案】点A在圆外 【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：∵的半径为2，点A到圆心的距离是3， ∴点A到圆心O的距离大于半径， ∴点A在的外面， 故答案为：圆外． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：当时，点P在圆外；当点P在圆上；当点P在圆内． 【经典例题一 圆的基本概念辨析】 【例1】（24-25九年级上·江苏常州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．在一个圆中，直径是最长的弦 C．弦是直径 D．长度相等的弧是等弧 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，了解圆中有关的概念是解答本题的关键，难度不大．利用圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、半圆是弧，正确，但弧不一定是半圆，不符合题意； B、在一个圆中，直径是最长的弦，符合题意； C、直径是弦，但弦不一定是直径，不符合题意； D、同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故不符合题意． 故选：B． 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值． 【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到， ， ， E是直角边的中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示， ， 当、、共线时，即与重合时，取得最小值， 又， 此时的值最小， D是斜边的中点， 是的中位线， ， 此时，， 的最小值为4． 故选：C． 2．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．若，则圆O半径的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等边对等角，连接，由等腰三角形的性质得，，由可证 ，则，设半径为x，则，在直角三角形中，，利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴， 设半径为x，则， 在直角三角形中，由勾股定理得，即， ∴． ∴半径的长为3， 故答案为：3． 3．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，点在以为直径的半圆上，是半圆上不与点重合的动点．连接，是的中点，过点作于点．若，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质、三角形中位线定理，延长至，使，连接，结合题意得出即点在圆上，由三角形中位线定理得出，则当经过原点时，有最大值为，此时有最大值，即可得解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ，， 点、关于直线对称，即点在圆上， 是的中点， ， 当经过原点时，有最大值为，此时有最大值，为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，的半径，是弦，是上一点，且，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质． 连接，由得到，由得到，从而，由得到，进而即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【经典例题二 求圆中弦的条数】 【例2】（24-25九年级上·江苏无锡·单元测试）如图，在⊙O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】根据弦的概念，AB、BC、EC为圆的弦，共有3条弦. 故选B. 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据弦的定义求解即可． 【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·课后作业）如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有 条． 【答案】三/3 【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫做弦）进行分析，即可得出结论． 【详解】解：根据弦的定义可得： 图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故答案为：三． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，充分理解其定义是解题关键． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·课后作业）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）如图1，DE为所作； 连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 【经典例题三 求过圆内一点的最长弦】 【例3】（24-25九年级上·江苏常州·期末）已知的半径是3cm，则中最长的弦长是（    ） A．3cm B．6cm C．1.5cm D．3cm 【答案】B 【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【详解】解：圆的直径为圆中最长的弦， 中最长的弦长为． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的认识：需要熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 1．（2025九年级·江苏南京·专题练习）如图，圆的弦中最长的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径是圆内最长的弦，由图可知AB最长， 【详解】解：由图可知，弦AB经过圆心O，故圆的弦中最长的是． 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆的认识，掌握直径是圆中最长的弦是关键． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·开学考试）已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键． 利用直径是圆内最长的弦即可求解． 【详解】解：的半径为5， 的弦的长度的取值范围为：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，和都是等边三角形，，连结，，为直线，的交点，连结，当线段最长时，的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，圆中最长的弦相关问题，解直角三角形，掌握了以上知识是解答本题的关键； 本题先证明，得出、、、四点共圆，进而作的外接圆，当为直径时，取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、、、四点共圆， 如图： 作的外接圆，当为直径时，取得最大值， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）问题解决： (1)如图①，半圆的直径，点是半圆上的一个动点，则的面积最大值是______． (2)如图②，在扇形中，，，点、分别在和上，且，是的中点，点在弧上．连接、，四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求最大值；若不存在，请说明理由． (3)如图③，四边形中，，，，四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的面积存在最大值，最大值为； (3)四边形的面积存在最大值，最大值是 【分析】（1）如图1，点运动至半圆的中点时，底边上的高最大，即，求出此时的面积即可； （2）作，垂足为，延长交弧于点，则此时的面积最大，可求出其值；而面积为定值，故可得此时四边形的面积的最大值； （3）连接，作的外接圆，过作于，根据已知条件，可得是等边三角形，即、、共线时，的面积最大，进而根据，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，点运动至半圆的中点时，底边上的高最大，即， 此时的面积最大值， ∴， 故答案为：； （2）解：四边形的面积存在最大值， 作，垂足为，延长交弧于点，则此时的面积最大，如图2： ，，点为的中点， ，， ∴在中，，， ， 四边形面积为， 四边形的面积存在最大值，最大值为； （3）解：四边形的面积存在最大值， 连接，作的外接圆，过作于，如图： ，， ， 、、、四点共圆，即在上， ，， 是等边三角形，有， 在中，， ， 当为中点，即、、共线时，的面积最大，此时，为直径， ， ， ， ， ， 即四边形的面积存在最大值，最大值是． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了三角形的面积、轴对称、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、四点共圆、圆的直径最大等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决最值问题． 【经典例题四 圆的周长和面积问题】 【例4】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）一个圆的面积为，则它的半径为（　　） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：设圆的半径为， 由题意得：， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的面积计算，掌握圆的面积公式是解题的关键． 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示，小区内有个圆形花坛，点在弦上，，，，则这个花坛的面积为（　　） A．144π B．256π C．400π D．441π 【答案】C 【分析】根据垂径定理，勾股定理求出，再根据圆面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于， ，过圆心，是弦， ， ， 在中，， 在中，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确解答的前提． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）一座圆形花坛的半径为，中间雕塑的底面是边长为的正方形．如图，这个花坛的实际种花面积为 （取，结果精确到个位）． 【答案】 【分析】根据圆的面积减去正方形的面积即可求解． 【详解】解：依题意，这个花坛的实际种花面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求圆的面积，掌握圆的面积公式是解题的关键． 3．（2025·江苏镇江·模拟预测）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为 ．    【答案】 【分析】根据正方形的面积为2，求出，根据位似比求出，周长即可得出； 【详解】解：连接，则是四边形的外接圆的直径．   正方形的面积为2， ， ， ， ， ∴四边形的外接圆的周长； 故答案为：． 【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形的边长． 4．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，射击运动的枪靶是由10个同心圆组成的，其中每两个相邻的同心圆的半径的差等于中间最小圆的半径．每相邻两个圆之间围成一个圆环，从外向里顺次叫做1环、2环、3环……8环、9环，最小圆里面的圆盘形区域，叫做10环．一枪射出去，打中的环数越高，说明枪法越好．那么请问1环的面积是10环面积的多少倍？ 【答案】19 【分析】本题考查了圆的面积的计算，理解题意，掌握圆的面积的计算是关键． 根据题意，设最小圆的半径为r，最大圆的半径为，次大圆的半径为，根据圆的面积公式，圆环面积的计算即可求解． 【详解】解：设最小圆的半径为r，最大圆的半径为，次大圆的半径为， 1环的面积为： 10环面积为： 1环的面积与10环面积的倍数关系： 【经典例题五 点与圆的位置关系】 【例5】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）点P在半径为的内，则的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了点与圆的位置关系．当该点在圆内，则半径大于点到圆心的距离，据此即可作答． 【详解】解：∵的半径为，点在内， ∴， 则A、B、C、D四个选项，只有D选项的不符合题意， 故选：D． 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，3为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（   ） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判定，先利用勾股定理求得的长，再根据面积公式求出的长，根据勾股定理求出的长，根据中线的定义求出的长，然后由点、到点的距离判断点、与的位置关系即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵、分别是上的高和中线， ∴， ∴， ∴， ∵是以点为圆心，3为半径的圆，，， ∴点，均在外， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知的半径是4，点在上，且，动点C在上运动（不与重合），点D为线段的中点，连接，则线段长度的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】取中点E得是的中位线，知，即点D是在以E为圆心，2为半径的圆上，从而知求的最小值就是求点A与上的点的距离的最小值，据此求解可得． 【详解】解：如图1，连接取的中点E，连接． 则． 在中，是的中位线， ∴， ∴， 即点D是在以E为圆心，2为半径的圆上， ∴求的最小值就是求点A与⊙E上的点的距离的最小值， 如图2，当D在线段AE上时，取最小值， ∵ ， ∴，， ∴最小值为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是判断出点D的运动轨迹是以E为圆心，2为半径的圆． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知中，，于点D，，，点E为的中点，点P是线段上的一个动点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，点Q是直线上的一个动点，连接，点A关于的对称点是点，连接，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】连接，，以点E为圆心，以为半径作圆，求得，由线段绕点E顺时针旋转得到线段，则，得到，则的最大值为6，再证得，则当时，的值最小，进一步求解即可． 【详解】解：连接，，以点E为圆心，以为半径作圆， ∵于点D， ∴， ∵点E为的中点，， ∴， ∴B、C、D三点都在上， ∵是的弦， ∴点P不在外， ∴， ∵线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴的最大值为6， ∵，， ∴， ∵点A关于的对称点是， ∴， ∵， ∴， ∴当时，的值最小， 当取得最大值时，的值最小， ∴时，，此时取得最小值为4， ∴的最小值为4， 故答案为：4 【点睛】此题考查了直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、轴对称的性质、点与圆的位置关系、两点之间线段最短等知识，正确作出辅助圆是解的关键． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，分别是的中点，是以B为圆心，为半径的圆，判断点D，E与的位置关系，并说明理由． 【答案】点D在内，点E在外；见解析 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，由，，，得，由，分别是，的中点，得，得点在内；由，得，得点在外，解题的关键是正确计算判断． 【详解】解：点D在内，点E在外，理由如下： ，，， ， ，分别是，的中点， ， 点在内； ， ， 点在外． 【经典例题六 三角形的外接圆】 【例6】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，已知为的外接圆，，直径交于点E，若，则（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，圆的基本性质，先证明垂直平分，再利用勾股定理用分别表示出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的外接圆， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：A． 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在△ABC 中，BC＝6，∠A＝60°．若⊙O 是△ABC 的外接圆，则⊙O 的半径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过O点作OD⊥BC，交BC于点D，连接OB、OC，则OB=OC，根据题意，进一步分析可知在Rt△BOD中，,据此进一步求出答案即可. 【详解】 如图，过O点作OD⊥BC，交BC于点D，连接OB、OC，则OB=OC， ∵∠A=60°， ∴∠BOC=120°， ∵OB=OC， ∴△BOC为等腰三角形， ∵OD⊥BC， ∴BD=BC=3，∠BOD=∠BOC=60°， ∴在Rt△BOD中，, 即：， ∴OB=， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质与三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 2．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，是的外接圆，，，则的直径为 ． 【答案】 【分析】连接，，依据是等腰直角三角形，即可得到，进而得出的直径为． 【详解】如图，连接 ， ， 是等腰直角三角形， 又， ∴， ∴的直径为， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，ABC与DEF均为等边三角形，⊙O是ABC的内切圆，同时也是DEF的外接圆．若AB=1cm，则DE= cm． 【答案】． 【详解】试题分析：设AB与⊙O相切于M，连接OB，OM，得到OM⊥AB，由⊙O是等边△ABC的内切圆和等边三角形的性质，求出圆的半径，连接OD，过O作ON⊥DE于N，由⊙O是等边△DEF的外接圆．解直角三角形即可得到结论． 试题解析：设AB与⊙O相切于M，连接OB，OM， ∴OM⊥AB， ∵⊙O是等边△ABC的内切圆 ∴∠ABO=30°，OA=OB， ∴BM=AB=， ∴OM=， 连接OD，过O作ON⊥DE于N， ∵⊙O是等边△DEF的外接圆． ∴OD=OM=，∠ODN=30°， ∴DN=， ∴DE=2DN=． 考点：1．三角形的内切圆与内心；2．等边三角形的性质；3．三角形的外接圆与外心． 4．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，将绕点按顺时针方向旋转，得到，当点的对应点落在线段上时，点的对应点恰好落在的外接圆上，且点在同一直线上. （1）求证：. （2）若，求的长. 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）由旋转的性质可得∠CAB=∠BAD，BC=DE，由同弧所对的圆周角相等可得∠CAB=∠CDB，∠BAD=∠BCD，即可得BC=BD=DE； （2）过点B作BF⊥CD于点F，由等腰三角形的性质可得CD=2DF，由锐角三角函数可得DF=4，即可求CE的长． 【详解】（1）证：由三角形旋转可得， ， ∴， ∴， ∴.      （2）过作，垂足为.   由（1）可得， ∴， ∵ （同弧所对的圆周角相等）， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】考查了三角形的外接圆和外心，旋转的性质，解直角三角形的应用，圆的有关知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 【经典例题七 圆中角度的计算】 【例7】（24-25九年级·江苏无锡·课后作业）如图，在中，，则的角度是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的半径都相等得到是等腰三角形，然后再根据等腰三角形的性质，三角形的内角和是和即可求得的角度． 【详解】解：在中，， ∴是等腰三角形， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和等知识点，熟悉相关性质是解此题的关键． 1．（24-25九年级·江苏无锡·课后作业）已知：如图，是的直径，是的弦， ，的延长线交于E，，，求 的角度是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据，可得，然后根据等腰三角形的性质和外角的性质求解即可． 【详解】解：连接， ， ， 又， ， ， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 2．（2025·江苏常州·模拟预测）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小． 【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作， 当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径， 圆心角所对的弧长比半径大， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断． 3．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=148°24′，则∠AOC的角度为 ． 【答案】63°12ˊ 【详解】在⊙O中， ∵ ∠B+∠D=180° ∴∠D=180°-148°24′=31°36′ ∴∠AOC=2∠D=63°12ˊ 故答案为63°12ˊ. 点睛：本题主要考查圆内接四边形对角和等于180°、圆周角与圆心角之间的关系.由圆内接四边形对角互补可求出∠D的度数，再根据在同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出结果. 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且． (1)与相等吗？为什么？ (2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，理解圆的性质是解答关键． （1）根据圆的性质得到，再利用全等三角形的性质求解； （2）根据全等三角形的性质得到，结合已知求出，利用三角形外角性质求出的度数，再结合平角的定义求解， 【详解】（1）解：． 理由如下： ， ， ． 在和中， ， ， ． （2）解：由（1）得， ． ，， ， ， ，， ． 【经典例题八 圆中线段长度的计算】 【例8】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，线段的和差，解题的关键是熟练掌握以上性质． 连接，根据矩形的性质得出相等的边和直角，利用勾股定理和线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：C． 1．（24-25九年级上·江苏常州·期中）根据如图所示的作图方式，可说明正方形的顶点C在以的长为半径的（    ） A．内 B．外 C．上 D．以上都不对 【答案】B 【分析】此题考查了点与圆的位置关系．根据点到圆心的距离和半径的大小关系即可得到答案． 【详解】解：根据如图所示的作图方式，可说明正方形的顶点C在以的长为半径的外， 故选：B 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，点B，E在半圆O上，四边形，四边形均为矩形．若四边形中，，则的长为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、圆的性质，连接与．根据矩形的性质，由四边形是矩形，得，．根据勾股定理，由中，，，得．根据圆上到圆心的距离均相等，由，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、圆的性质是解决本题的关键． 【详解】解：如图，连接与． 四边形是矩形， ，． 在中，，， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∴． 故答案为：13． 3．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，为的直径，点在上，连接，在上截取，连接并延长交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．先证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接． ， ． ， ， ． ， ． ， 则是等腰直角三角形． ， ． ． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是弦的中点，A是上一点，与交于点E，已知，． (1)求线段的长． (2)当时，求，的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，，根据中点的定义得到，再根据三线合一的性质得到，在中利用勾股定理即可求解； （2）设，表示出、的长，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵是弦的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵A是上一点，， ∴的半径为8， ∴在中，； （2）解：设，则， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，． 【经典例题九 求一点到圆上点距离的最值】 【例9】（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，在矩形中，，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离. 根据题意得到点在以为圆心，以为半径的圆在与矩形重合的弧上运动，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得到答案. 【详解】解：在矩形中，，，， 点分别是边上的两动点，且，点为的中点， 如图，连接 点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ， 此时的值最小， ，， ， 的最小值为， 故选：B. 1．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，在菱形中，，，是上一点，，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，的对应点．当的长度最小时，则的长为（    ）    A．7 B．6 C．5 D．6.5 【答案】A 【分析】本题主要考查的是菱形的性质、勾股定理的应用，翻折的性质、等腰三角形的判定．由可知点在以P为圆心以为半径的弧上，故此当C，P，在一条直线上时，有最小值，过点C作，垂足为H，先求得、的长，则可得到的长，然后再求得的长，最后依据折叠的性质和平行线的性质可证明为等腰三角形，则可得到的长． 【详解】解：∵菱形中，，， ∴， ∴点在以P为圆心以为半径的弧上，故此当C，P，在一条直线上时，有最小值， 如图所示：过点C作，垂足为H， 在中，，， 则，． ∵， ∴， 在中，依据勾股定理可知：， ∴由翻折的性质可知：． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏·期中）如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大值为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，点与圆的位置关系；过点作的垂线，在垂线上截取，连接，从而可证，进而得到，将求线段的最大值转化为求的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即可． 【详解】如图，过点作的垂线，在垂线上截取，连接，    ， ， 绕点顺时针旋转得到， ， 在和中， ， ， ， 连接，并延长交圆于点，即为最大值， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，，点在以为圆心， 为半径的上运动， 且始终满足， 则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点间的距离，连接，分别交于点，由，，，则为中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出，从而转化为转化为以为圆心，为半径的圆与有公共点时求的取值范围，即与重合时有最小值，与重合时有最大值，即有，再求出，代入即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，分别交于点， ∵，，， ∴为中点， ∵， ∴， ∴转化为以为圆心，为半径的圆与有公共点时求的取值范围，即与重合时有最小值，与重合时有最大值， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【模型建立】 如图①、②，点分别在圆外，在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 (1)请就图①中为何最长进行证明． (2)已知点到圆上的点的最短距离为4，最长距离为8，则圆的半径为_____________． (3)如图③，在中，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是____________． (4)如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，求线段的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)2或6 (3) (4) 【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点P在外，②点P在内，根据线段的和差即可求解； （3）连接，交于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； （4）取点，连接，并延长交于点，可得是的中位线，因此当线段取得最大值时，线段也取得最大值．当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与的半径即可求出的长，进而即可解答． 【详解】（1）解：如图，点C为上任意一点，连接，， 当点C与点B不重合时， ∵在中，， 又， ∴，即， 当点C与点B重合时，， ∴综上可得，， ∵点C为上任意一点， ∴的长是点P到上的点的最长距离． （2）（1）若点P在外，如图①， 则，， ∴， ∴的半径为2； 若点P在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为6； 综上所述，的半径为2或6． 故答案为：2或6． （3）连接，交于点D，由（1）可得的长是点A到上的点的最短距离， ∴的最小值是的长， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． （4）取点，连接，并延长交于点， ∵，， ∴点A是线段的中点， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵，， ∴， ∵的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为． 【点睛】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，三角形中位线的性质，直线外一点到圆的距离等，掌握题意中的模型是解题的关键． 【拓展训练一 点与圆的位置关系综合】 1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，在中，． (1)使用无刻度的直尺和圆规作交于点（保留作图痕迹）； (2)以为直径的交于点． ①证明：点在上； ②当等于多少度时，四边形为菱形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②时，四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题考查了尺规作图，等边三角形的判定及性质，菱形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． （1）利用尺规作图作出高即可； （2）①利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证出等于半径即可； ②连接，，利用等边三角形的判定方法判定出和为等边三角形，再利用等边三角形的性质和菱形的判定方法判定即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求： （2）①证明：∵为直径， ∴点是中点， ∴， 连接，如图： ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴点在上； ②时，四边形是菱形，理由如下： 连接，如图： 在中，，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 2．（2025九年级·江苏无锡·专题练习）（1）如图，木杆AB靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁竖直下滑时，木杆的底端B也沿着水平方向向右滑动．你能用虚线画出木杆中点M 随之运动的轨迹吗？ （2）在（1）的基础上，若AB＝4，以AB为作等边△ABC，如图所示， 连接OC，当木杆AB在下滑过程中，试求OC的最大值．   【答案】（1）M的运动轨迹是以O为圆心，OM为半径的圆弧，作图见详解；（2）OC取得最大值为． 【分析】（1）根据题意可得：M是AB的中点，为直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质可得为定值，运动轨迹为以O为圆心，OM为半径的圆弧； （2）作于点M，连接OM，根据等边三角形的性质可得，利用勾股定理得，由此确定为定值，然后根据三角形中三边关系即可确定当点O、M、C三点共线时，OC取得最大值，求出即可． 【详解】解：（1）如图虚线为点M的运动轨迹，理由如下： ∵M是AB的中点，为直角三角形， ∴为定值， ∴M的运动轨迹是以O为圆心，OM为半径的圆弧； （2）如图中所示：作于点M，连接OM， ∵为等边三角形， ∴M为AB的中点， ∴， 在中， ， ∴，为定值， ∵在中，两边之和大于第三边， ∴， ∴当点O、M、C三点共线时，即点M在OC上时，OC取得最大值，最大值为． 【点睛】题目主要考查直角三角形中斜边上的中线性质、等边三角形性质、勾股定理、三角形三边关系、点、线、圆的位置关系等，熟练掌握综合运用这些知识点是解题关键． 3．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）我们曾经研究过：如图1，点在外或点在内，直线分别交于点、，则线段是点到上各点的距离中最短的线段，线段是点到上各点的距离中最长的线段． 【运用】在中，，，点是的中点． （1）如图2，若是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则的最小值是__________． （2）如图3，若取的中点，连接，得等腰．将绕点旋转，点为射线，的交点，点是的中点． ①与的位置关系是__________． ②连接，求的最大值和最小值． 【拓展】 （3）喜欢研究的小聪把上述第（2）问图中的绕点旋转，而不动，记点为射线，的交点（如图4），他发现在旋转过程中线段的长度存在最值，请直接写出的最小值__________． 【答案】（1）；（2）①垂直；②PQ的最大值为，最小值为 ；（3） 【分析】（1）如图，连接BE，根据题意可得 的轨迹是以E为圆心，1为半径的圆，在 中，由勾股定理得，即可求解； （2）①可先证明△DAB≌△EAC，可得∠DBA=∠ECA，又由∠ECA+∠AGC=90°，可得∠DBA+∠BGP=90°，即可求解； ②由①知，CE⊥BD，可得P的轨迹是以DE为直径的圆，设T为DE中点，然后根据当PQ最大时，线段PQ过T；当PQ最小时，Q在线段PT上，即可求解； （3）由【运用】可知，CE⊥BD，可得 ，又由当∠BCP最小时，BP最小，此时AE⊥CP，再证明△AEC≌△ADB，可得到四边形ADPE是正方形，即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接BE， ∵将沿所在的直线翻折得到，点是的中点， ∴ ， ∴ 的轨迹是以E为圆心，1为半径的圆， ∴ 在BE上时，最小，此时 ， 在 中，由勾股定理得： ， ∴ ； （2）①如图， ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴AD=AE，∠DAE=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠DAB=90°-∠BAE=∠EAC，而AB=AC， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴∠DBA=∠ECA， ∵∠ECA+∠AGC=90°，∠AGC=∠BGP， ∴∠DBA+∠BGP=90°， ∴∠P=90°， ∴CE⊥BD； ②由①知，CE⊥BD，即在△DEP中，∠DPE=90°， ∴P的轨迹是以DE为直径的圆，设T为DE中点， 当PQ最大时，线段PQ过T，如图： ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴AD=AE，∠DAE=90°， ∵的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵点是的中点， ∴TQ是△ADE的中位线， ∴ ， ∴PQ的最大值为 ； 当PQ最小时，Q在线段PT上，如图 此时， ， ， ∴PQ的最小值为 ， 综上所述，PQ的最大值为，最小值为 ； （3）由【运用】可知，CE⊥BD， ∴∠BPC=90°， ∴ ， ∵ ， ∴， 当∠BCP最小时，BP最小， ∵ ， ∴当 最大时，∠BCP最小，此时AE⊥CP， 在 中，AE=1，AC=2， ∴ ， ∵AE=AD，∠EAC=90°-∠BAE=∠DAB，AC=AB， ∴△AEC≌△ADB（SAS）， ∴BD=EC= ，∠ADB=∠AEC=90°， ∴四边形ADPE是正方形， ∴PD=AE=1， ∴BP=BD-PD=-1． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形中的旋转问题，涉及全等三角形的判定与性质、动点的轨迹等知识，解题的关键是根据已知证明△DAB≌△EAC，从而得到CE⊥BD，进而得到相关点的轨迹． 【拓展训练二 圆中的最值综合】 1．（2025九年级·江苏无锡·专题练习）如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值. 【答案】的最大值为. 【分析】由和组成的弦，在中，弦最长为直径14，而可求，所以的最大值可求. 【详解】连结，， ∵    ∴ ∴为等边三角形， ∵点，分别是，的中点 ∴，∵ 为的一条弦 ∴最大值为直径14    ∴的最大值为. 【点睛】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题. 2．（2025·河北石家庄·模拟预测）已知的半径和正方形的边长均为1，把正方形放在中，使顶点A，D落在上，此时点A的位置记为，如图1，按下列步骤操作：如图2，将正方形在中绕点A顺时针旋转，使点B落到上，完成第一次旋转；再绕点B顺时针旋转，使点C落到上，完成第二次旋转；…… (1)正方形每次旋转的度数为______°； (2)将正方形连续旋转6次，在旋转的过程中，点B与之间的距离的最小值为______． 【答案】(1)30 (2) 【分析】（1）根据题意可知是等边三角形，每一次旋转可以转化为等边三角旋转60度，则正方形各顶点构成正六边形，边长为1，进而求得每次旋转的角度； （2）在正方形的旋转过程中，第三次旋转过程中点B与之间的距离的最小值为的直径减去正方形的对角线的长度． 【详解】（1）解：∵的半径和正方形ABCD的边长均为1， 是正三角形， 根据旋转可得正方形各顶点构成正六边形， 即正方形每一次旋转的角度为30°， 故答案为：． （2）如图，点的运动路径如图中部分， ∵正方形的边长为1， 正方形的对角线长为， ∵的半径为1， 最短距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，圆的性质，旋转的性质，正三角形的性质，找到正方形旋转的规律是解题的关键． 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、． 【初步探索】 （1）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，则线段、、存在的数量关系是：________________． 【知识迁移】 （2）如图1所示，若圆的半径为8，问的最大值是多少？ 【拓展延伸】 （3）如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值． 【答案】（1） （2）16 （3） 【分析】（1）由旋转的性质得，，，由等边三角形的判定及性质得是等边三角形，即可求解； （2）由圆的定义得当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，即可求解； （3）将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，由圆的内接四边形性质得，可得、、三点在同一条直线上，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：（1）由旋转得， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 故答案为：； （2）∵是的弦，且的半径为8， ∴当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16， ， ∴的最大值是16； （3）∵，， ∴是的直径，且圆心在上， ∴，， 将绕点顺时针旋转到，使点与点重合， ，， ， ∵， ∴， ∴、、三点在同一条直线上， ∵， ∴ ， ∵当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16， ∴的最大值为， ∴的最大值为， ∴周长的最大值是． 【点睛】本题考查了旋转的性质，圆的定义，等边三角形的判定及性质，圆的内接四边形的性质等；理解圆的定义，掌握旋转的性质，等边三角形的判定及性质，圆的内接四边形的性质，能找出取得最值的条件是解题的关键． 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列说法：①直径是弦；②半径相等的圆叫同心圆；③长度相等的两条弧是等弧．其中正确的是（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．① 【答案】D 【分析】本题考查的是圆的认识．根据等圆、等弧的定义以及确定圆的条件，分别进行判断． 【详解】解：①直径是弦，说法正确； ②半径相等的圆是等圆，不是同心圆，原说法错误； ③同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误． 综上，正确的只是①， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知的半径为3，，则点A和的位置关系是（    ） A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有 ①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内． 【详解】解：的半径为3，， 点A到圆心的距离大于半径， 点在圆外， 故选：B． 3．（2025九年级上·江苏·模拟预测）如图，的半径为，以圆外一点为圆心，画半径为的弧，将截成弧长相等的两部分，则两点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的有关概念，垂直平分线的定义，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 由将截成弧长相等的两部分得为直径，根据题意可得，，则垂直平分，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵将截成弧长相等的两部分， ∴为直径， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 故选：． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轨迹问题，掌握上的点P运动的路径长点运动的路径长是本题的关键． 根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即可解答． 【详解】解：根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即的圆心形成的轨迹与是同心圆；故①正确； ，则的圆心经过的路程是，故②错误； 根据题意可得点P运动的路径长， 的周长， 即在滚动中自身转了2周，故③正确； 故选：B． 5．（25-26九年级上·江苏无锡·课后作业）如图所示，甲、乙两只蚂蚁同时从点A出发，甲沿着外侧的大圆爬行，乙在里面两个小圆沿“8”字形爬行．如果两只蚂蚁爬行的速度相同，那么先回到点A的是（    ） A．甲 B．乙 C．同时 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查圆的周长，明确两个小圆的周长等于大圆的周长是解题的关键． 由题意可知，甲蚂蚁走的路程是大圆的周长，乙蚂蚁走的路程是两个小圆周长的和，设大圆的直径是，左边的小圆的直径是，右边的小圆的直径是，观察图形可知，所以甲蚂蚁和乙蚂蚁走的路程相同，根据路程÷速度=时间，据此解答即可。 【详解】解：设大圆的直径是，左边的小圆的直径是，右边的小圆的直径是， 则甲、乙两只蚂蚁爬行的路程分别为：，， 观察图形可知， ∴， ∵两只蚂蚁爬行的速度相同， ∴同时到达． 故选：C． 6．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）若的直径为，点A到圆心O的距离为，那么点A与的位置关系是 ． 【答案】点A在圆外 【分析】本题考查了点与圆的位置关系知识点，解题的关键是比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系． 通过比较点到圆心的距离和圆的半径大小，来判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点A到圆心O的距离为，且， ∴点A在圆外， 故答案为：点A在圆外． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了勾股定理的应用，判断出圆心的位置是解决本题的关键． 作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，分别表示出的长，可得为等腰直角三角形，进而即可得解． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，如图， 由图可得圆心为点Q， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴弧的度数是， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是点与圆的位置关系、勾股定理等问题．解题关键是确定点、、三点共线时，有最大值，并利用了数形结合的思想．方法一：取中点，连接和，设的半径为，根据点的运动轨迹，确定点的运动轨迹，根据，可确定当点、、三点共线时，有最大值，此时，求出，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，则，联立即可求出半径的值，然后求出的长，利用勾股定理即可求出的长；方法二：连接，，根据题意得到当为直径时，有最大值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：方法一：如图所示、取中点，连接和，设的半径为， ∵点为的中点， ∴， ∵点是上的动点（不与重合），点为顶点， ∴点的运动轨迹是以点圆心，以的长为半径的圆上， 则， ∴当点、、三点共线时，有最大值，此时， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，解得：， ∴， 在中， ； 方法二：如图，连接，，    ∵，是直径， ∴， 又∵点是的中点， ∴， 当为直径时，有最大值， ∴ ， ∴， ∴， 在中， ； 故答案为：． 9．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，解决此题的关键是正确的计算；根据图形的规则先设空白部分的面积，再根据扇形的面积公式得到答案即可； 【详解】解：如图，两空白的面积相等， 设每一空白部分面积为，圆的半径为r， ∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为：，半圆的面积为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 10．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知，如图，是的弦，，点C在弦上，连结并延长交于点D，，则的度数是 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，解题的关键是构造出辅助线，本题属于基础题型．连接，根据圆的半径都相等即可求出答案． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点在上，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、圆的有关概念．连接，由圆的有关概念知，，然后根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 12．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，是的弦，半径，分别交于点，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．连接，，得到，，可以证明，根据全等三角形的对应边相等，可得到． 【详解】证明：连接，， ，是的半径， ， ， 又， ， ． 13．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，A玉米试验田是半径为的圆去掉宽为的排水沟后剩下的部分，B玉米试验田是半径为的圆中间去掉半径为的圆形水井后剩下的部分，这两块试验田的玉米都收了． (1)这两块试验田平均每平方米的产量分别是多少？ (2)A试验田平均每平方米的产量是B试验田平均每平方米产量的多少倍？ 【答案】(1)A玉米试验田平均每平方米的产量是，B玉米试验田平均每平方米的产量是 (2)A试验田平均每平方米的产量是B试验田平均每平方米产量的倍 【分析】本题考查了列代数式，圆的面积和分式的运算，读懂题意，列出式子，再进行分式的混合运算是关键． （1）利用圆环的面积计算方法求得试验田的面积，用总产量除以面积得出答案，再进一步把分母作差比较即可； （2）利用（1）的结果和式子，直接列式计算即可． 【详解】（1）解：A玉米试验田平均每平方米的产量是： ， B玉米试验田平均每平方米的产量是： ， 答：A玉米试验田平均每平方米的产量是，B玉米试验田平均每平方米的产量是． （2）解： ． 答：A试验田平均每平方米的产量是B试验田平均每平方米产量的倍． 14．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）连接，并延长交上于一点D，则是直径，符合题意，即可作答． （2）因为等腰 内接于中，，则连接，因为，则直线是的垂直平分线，记直线与的交点为，结合等腰三角形的三线合一，则是底边的中线，即可作答． （3）连接交于点O，连接交于点H，连接，即为线段的垂直平分线，即可作答． 本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题． 【详解】（1）解：是中一条最长的弦，如图所示： （2）解：底边的中线如图所示： （3）解：直线即为所求．如图所示： 15．（2025·江苏常州·模拟预测）综合与实践 【主题】曲轴连杆机构的运动分析与设计 【素材】 在某小型发动机的机构中，曲轴连杆的工作原理如图1所示：O为连杆轴，B为圆柱形气缸中活塞的圆心，直线平行于气缸内壁，连杆在活塞的带动下绕O轴匀速转动，连杆拖动活塞做往复运动．连杆长，连杆长． 【实践操作】 模拟曲轴连杆机构的运动过程，研究不同位置下连杆与活塞的关系． 【实践探索】 (1)活塞在气缸内最大移动的距离是__________． (2)点C为直线与的交点，当连杆从位置按顺时针方向旋转时，求活塞移动的距离．（计算结果保留根号） (3)如图2，发动机气缸底部开口的宽度为（与活塞直径相等），开口圆心为P，曲轴支点O位于气缸外部．当连杆支点A进入气缸内部时，需满足点A到气缸内壁的距离至少为，且活塞运动时不能脱离气缸．请确定满足条件时O、P之间距离的取值范围（结果保留一位小数）． 【答案】(1)12 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据，可得当点A在线段上时，有最大值，最大值为，求出此时的长即可得到答案； （2）过A作于H，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而得到的长即可得到答案； （3）当与相交时，点A进入气缸内部，且离气缸内壁最近，此时，在中，求出当时，的长；再由活塞不能脱离气缸，得到当A与C重合时，，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当点A在线段上时，有最大值，最大值为， ∴活塞在气缸内最大移动的距离是； （2）解：如图所示，过A作于H， 当连杆从位置按顺时针方向旋转时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴BH， ∴， ∴， ∴活塞移动的距离是． （3）J解：∵P为的中点 ∴， 当与相交时，点A进入气缸内部，且离气缸内壁最近，此时， ∴， ∵， ∴ 在中，当时， ∴， ∴ ∵活塞不能脱离气缸， ∴当A与C重合时，， ∴， ∴ ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $