精品解析：湖北省襄阳市第三十五中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级上学期第一次学业水平测试数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定根的情况 3. 下列二次函数的图象中，开口向下，且开口较大的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线是（　　） A. B. C. D. 5. 下列关于二次函数，下列说法正确的是（ ）． A. 它的开口方向向下 B. 它的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，有最小值是3 6. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出方程是（　　） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③；④；其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 二次函数的x与y的部分对应值如下表： 则的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 5 D. 10 9. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 10. 某同学将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数 的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 抛物线的顶点坐标是_________． 12. 已知是二次函数，则实数______． 13. 抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为_______． 14. 如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的且互相垂直的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：___________ 15. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为_____． 16. 烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为_____s． 三、解答题． 17. 解下列方程： （1）； （2） （3）； （4）． 18. 的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两个实根，且，求的值． 19. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 20. 在平面直角坐标系中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B． （1）求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象； （2）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； （3）一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． 21. 如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡与水平方向的夹角为，O、两点相距米． （1）求出点的坐标及球的飞行路线所在抛物线的解析式； （2）请通过计算，判断小明这一杆能否把球直接打入球洞． 22. 市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． （1）求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； （2）此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 23. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设，矩形的面积为． （1）写出与的函数关系式（不需写出的取值范围）； （2）若花园的面积为，求的值； （3）若在处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 24. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）是直线上方抛物线上一动点，当时，求的面积． （3）将此抛物线沿水平方向平移，竖直方向平移，得到的新抛物线记为，设的顶点为，过作轴于，作轴于，设矩形的面积为． ①求关于的函数解析式； ②若对于的每一个取值，能且仅能找到两个满足条件的点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第一次学业水平测试数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列关于x的方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，根据一元二次方程的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、为一元一次方程，不符合题意； B、为一元二次方程，符合题意； C、为一元三次方程，不符合题意； D、，只有时，才是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 2. 一元二次方程根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号确定方程根的情况是关键． 根据方程的根的判别式，即可得出该方程没有实数根． 【详解】解：在方程中， ， 方程没有实数根． 故选：A． 3. 下列二次函数的图象中，开口向下，且开口较大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数开口向下，则a＜0，|a|越小开口越大，判断即可. 【详解】根据二次函数开口向下，则a＜0，故A、C错误； 根据|a|越小开口越大，，则开口较大，故选B. 【点睛】本题是对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）开口方向和大小的考查，a决定函数的开口方向，a＞0时，开口方向向上，a＜0时，开口方向向下，|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大． 4. 将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次函数图象的平移规律：上加下减，平移即可求解． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度， 得到的抛物线是， 即， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 5. 下列关于二次函数，下列说法正确的是（ ）． A. 它的开口方向向下 B. 它的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，有最小值是3 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】∵的一次项系数大于0 ∴函数开口向上，故选项A错误； ∵的顶点坐标为 ，即最小值为3 ∴选项B错误，选项D正确； 的对称轴为 当时，随的增大而减小 ∴选项C错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解． 6. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出每名同学赠的标本数，再求x名同学赠的标本总数，而已知全组共互赠了182件，根据等量关系可得到方程． 【详解】解：设全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：件， 那么x名同学共赠：件， 所以，， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际运用，理解题意，找出等量关系，列出一元二次方程是解决本题的关键． 7. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③；④；其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点问题，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，函数的增减性，二次函数图象与轴的交点个数，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，抛物线与轴交于负半轴，抛物线与轴有2个交点， ∴， ∴，当时，随的增大而增大，， 综上：只有③是正确的； 故选A． 8. 二次函数的x与y的部分对应值如下表： 则的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格数据可知，抛物线的对称轴为，由抛物线的对称性可知，时的值与时的值相等，即可求解． 【详解】解：有表格可知，当，，当，， 由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为， ∴时的值与时的值相等， ∴时的值为5，即的值为5， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象的对称性，解题关键是熟练掌握二次函数的性质． 9. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把原函数解析式化成项点式，然后根据三点与对称轴的位置关系，开口方向判断的大小． 【详解】∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∵三点中，点离对称轴较近，点在对称轴上，点离对称轴较远， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了抛物线线上点坐标的特征，找准对称轴以及利用抛物线的增减性是解题的关键． 10. 某同学将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数 的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知求得顶点坐标为，再结合，即可确定坐标轴的位置． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， ∵， ∴抛物线与的交点为顶点， ∴为y轴， ∵二次函数与y轴的交点为，且， ∴为x轴， 故答案为：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，平面直角坐标系中坐标轴与点的位置关系是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 抛物线的顶点坐标是_________． 【答案】（1，2） 【解析】 【分析】直接根据顶点公式的特点求顶点坐标即可得答案． 【详解】∵是抛物线的顶点式， ∴顶点坐标为（1，2）． 故答案为：（1，2） 【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法．解题的关键是熟知顶点式的特点． 12. 已知是二次函数，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义可得且，即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 13. 抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数图象确定相应方程根的情况．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据图象求与x轴的另一个交点坐标，然后根据图象与x轴交点坐标的横坐标为一元二次方程的根，进行作答即可． 【详解】解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于x的一元二次方程的两根为，， 故答案为：，． 14. 如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的且互相垂直的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：___________ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 把所修的两条道路分别移到矩形的最上边和最左边，根据平行四边形与矩形面积公式可知：路的面积没变，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：∵道路的宽应为， ∴由题意得，， 故答案为：． 15. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为_____． 【答案】15 【解析】 【详解】解：， 解得x1=3，x2=6， 当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15． 故答案是：15． 16. 烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为_____s． 【答案】5 【解析】 【分析】由， 可得当时，函数取最大值，从而可得答案. 【详解】解： ， 当时，最大高度为 所以从点火升空到引爆需要的时间为5s. 故答案为：5 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，利用二次函数的性质求解函数取得最大值时的值是解本题的关键. 三、解答题． 17. 解下列方程： （1）； （2） （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）将常数项移到等式右边，再根据直接开平方求解即可； （2）先移项，再对等式左边因式分解，再求解即可； （3）先移项，再对等式左边因式分解，再求解即可； （4）根据配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ； 【小问3详解】 解：， ， 或， ； 【小问4详解】 解：， ， ， ， 或， ． 18. 的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两个实根，且，求的值． 【答案】（1） 证明： ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）先计算根的判别式的值，再利用非负数的性质判断，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系得到，，则由得到，然后解关于的方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得，， ， ， 解得或， 即的值为或． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式． 19. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染了7个人；（2）第三轮将又有448人被传染 【解析】 【分析】（1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出， （2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数． 【详解】解：（1）设每轮传染中平均每人传染了人， 或（舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人； （2）（人． 答：第三轮将又有448人被传染． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． 20. 在平面直角坐标系中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B． （1）求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象； （2）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； （3）一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）， 描点，画出函数图象如下： （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，描点法画函数图象，利用二次函数图象与直线的交点确定不等式的解集，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用二次函数的性质求出图象与横轴的交点坐标即可，利用描点法画出函数图象； （2）利用二次函数图象和坐标轴的交点确定不等式的解集即可； （3）利用利用二次函数图象与直线的交点坐标确定不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：当时，得或， ∵点位于x轴正半轴， ∴； 列表得： 0 1 2 3 3 0 0 3 【小问2详解】 解：由图象得，当时，； 【小问3详解】 解：如图所示， 当时，． 21. 如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡与水平方向的夹角为，O、两点相距米． （1）求出点的坐标及球的飞行路线所在抛物线的解析式； （2）请通过计算，判断小明这一杆能否把球直接打入球洞． 【答案】（1）， （2）不能 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据含30度的直角三角形的性质，求出的长，进而求出点的坐标，设出顶点式，利用抛物线经过原点，待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）将点的横坐标代入解析式，求出函数值，进行判断即可． 【小问1详解】 解：由图可知：，由题意，， ∴，， ∴， 由题意，抛物线的顶点坐标为，且过原点， 设抛物线的解析式为，把代入，得，解得， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， ∴小明这一杆不能把球直接打入球洞． 22. 市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． （1）求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； （2）此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）根据增长率问题列方程，解方程，即可求解； （2）根据等量关系式：涨价后每个头盔的利润涨价后的销售量元，据此列方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月均增长率为x， 依题意，得， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的销售价为y元，依题意得 ， 解得，． 尽可能让顾客得到实惠， 不合题意，舍去． 故， 答：该品牌头盔的销售价应定为50元． 23. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设，矩形的面积为． （1）写出与的函数关系式（不需写出的取值范围）； （2）若花园的面积为，求的值； （3）若在处有一棵树与墙的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 【答案】（1） （2）的值为 12 或 16 （3）花园面积的最大值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后进行计算即可解答； （3）根据题意可得：，从而可得：，然后利用二次函数的最值进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：， ∴的值为 12 或 16 ； 【小问3详解】 解：由题意得：，解得：， ∵， 此时， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，， ∴花园面积的最大值为． 24. 如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）是直线上方抛物线上一动点，当时，求的面积． （3）将此抛物线沿水平方向平移，竖直方向平移，得到的新抛物线记为，设的顶点为，过作轴于，作轴于，设矩形的面积为． ①求关于的函数解析式； ②若对于的每一个取值，能且仅能找到两个满足条件的点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，作轴，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标，作轴，交于点，分割法求出三角形的面积即可； （3）①根据题意，新函数F的顶点为，易知新函数解析式为，进而可得，结合矩形的面积公式以及的取值范围，即可获得答案；②分、、三种情况，分别判定与的关系，可知当时，能找到两个以上满足条件的点P；当时，能且仅能找到两个满足条件的点P，即可获得答案． 【小问1详解】 解：将点，点代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 作轴于点，则：为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴， 作轴交于点， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ①根据题意，新函数F的顶点为， ∴新函数解析式为， ∵轴于M，轴于N， ∴， ∴， 当或时，， 当时，， ∴； ②当时，， ∵，且该函数图像的对称轴为， ∴当时，随的增大而增大，且． 如下图所示， ∴随的增大而增大，且； 当时，， ∵，且该函数图像的对称轴为，如图所示， ∴当时，； 当时，， ∵，且该函数图像的对称轴为，如图所示， ∴当时，随的减小而增大，且． 结合图像可知，当时，能找到两个以上满足条件的点P；当时，能且仅能找到两个满足条件的点P． ∴的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $