专题02 二次函数图象和性质与系数的四类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题02 二次函数图象和性质与系数的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中含参数的图像和性质 类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 类型三、二次函数图像与各项系数符号问题 类型四、二次函数中含参数的综合问题 压轴专练 类型一、二次函数中含参数的图像和性质 1.参数对图象形状与位置的影响：二次项系数a决定开口方向（a>0向上，a<0向下）和宽窄（|a|越大越窄）；一次项系数b和a共同影响对称轴（x=-）；常数项c决定图象与y轴交点（0,c）。 2.参数与函数性质的关联：结合a、b、c可确定顶点坐标（-，），进而分析最值（a>0有最小值，a<0有最大值）及增减区间（以对称轴为界）。 3.含参问题的常见类型：含参二次函数与坐标轴交点问题（判别式Δ=b²-4ac的应用）、区间最值讨论（需考虑对称轴与区间位置关系）等。 例1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）若抛物线经过和两点，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到新抛物线，则关于新抛物线下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．图象过点 C．在时，的最小值为 D．当时，随增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象，二次函数的性质，二次函数的平移，解决本题的关键是得到新抛物线的解析式． 先根据和求得二次函数对称轴，再利用平移的性质得到新函数解析式，根据二次函数的性质，逐一判断即可． 【详解】解：抛物线经过和两点， 抛物线对称轴为直线， 则， ， 将该抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到新抛物线， 新抛物线解析式为， ， 故抛物线开口向上，故A错误； 当时，， 故抛物线不经过，故B错误； 抛物线对称轴为直线， 在时，在顶点处取最小值，为，故C正确； 当时，随增大而增大，故D错误， 故选：C． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数，则下列说法错误的是（　　） A．该二次函数的图象与轴有交点 B．该二次函数的图象的对称轴与轴交于正半轴 C．若点在该二次函数的图象上，则 D．若点，都在的图象上，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，由判断A，由对称轴公式判断B，根据抛物线上点的坐标特征判断C、D． 【详解】解：A、令，则， ∵， ∴图象与x轴有两个交点，故A正确，不符合题意； B、∵抛物线的对称轴且， ∴，故B正确，不符合题意； C、∵点在的图象上， ∴， 若，则， ∵， ∴，故C不正确，符合题意； D、∵点、都在的图象上，， ∴，， ∵， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论：①该函数图象经过点：②若，则当时，随的增大而减小；③该函数图象与轴有两个不同的公共点；④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1；⑤若，则关于的方程的正数根只有一个．其中正确的是（   ） A．①④ B．②③⑤ C．①②③④ D．②④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，把代入函数解析式，求出值，判断①；求出二次函数的对称轴，判断出增减性，判断②，根据判别式，判断③；求出方程的根，判断④，图象法确定⑤即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 只有当时。，该函数图象才经过点， 故①错误； 当时，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； ∵， ∴， ∴抛物线与轴有1个或2个交点，故③错误； 当时， 当时，， ∵函数图象经过点， ∴的一个根为， ∴由根与系数的关系可知：方程的另一个根为， ∵， ∴，即：关于的方程有一个根大于0且小于1；故④正确； ∵， ∴当时，， 由④可知，当时，抛物线与轴的两个交点分别为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧， ∴当时，抛物线与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限， 故有一个正根， 当时，抛物线与直线有两个交点，一个为，一个在对称轴的左侧，即在第三象限， 故，则关于的方程的正数根只有一个；故⑤正确． 故选：D． 【变式1-3】（25-26九年级上·广东·阶段练习）关于二次函数．有下列三个结论： ①若，是该二次函数图象上任意的两个点，则； ②当时，该二次函数的图象与轴始终没有交点； ③若该二次函数的图象与轴交于，两点，且，则或． 以上结论正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，二次函数的图象与x轴的交点与一元二次方程之间的关系等知识，①根据抛物线的对称轴和点的对称性得出结果；②根据方程的根的判别式的取值得出结果； ③根据得出抛物线与x轴有两个公共点，设抛物线与x轴的交点是，，根据得出，进而求得m的范围，两者结合得出结果． 【详解】解：①抛物线的对称轴是直线， ， ，故①正确； ②令，可得， ， 令，即， 解得， 该二次函数的图象与轴始终没有交点，故②正确； ③该二次函数的图象与轴交于，两点， ， ， 或， 设抛物线与轴的交点是，， ， ， ， 或， 或时，，故③不正确． 故选：B． 类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题 1.各函数图象特征：一次函数y=kx+b（k≠0）是直线，k定倾斜方向（正增负减），b定与y轴交点；反比例函数y=k/x（k≠0）是双曲线，k正分布一三象限，负分布二四象限；二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）是抛物线，a定开口，对称轴和顶点影响位置。 2.参数关联性判断：同一坐标系中多函数共存时，需通过参数符号（如k、a正负）匹配图象位置，排除矛盾情况（如k正的一次函数与k负的反比例函数同存）。 3.交点与范围分析：利用函数交点坐标满足多解析式，结合图象高低判断函数值大小关系，辅助验证图象正确性。 例2．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象性质和二次函数的图象性质与系数的关系，根据每个选项中的图象特征判断一次函数和二次函数中系数之间的关系即可． 【详解】解：A项：由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，故选项A错误，不符合题意； B项：由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，故选项B错误，不符合题意； C项：由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，故选项C正确，符合题意； D项：由二次函数图象可知，，由一次函数图象可知，，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2-1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键． 根据反比例函数图象可得，进而分析出二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点，确定函数图象即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 函数的图象开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴， 故选：A． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，分，讨论即可． 【详解】解：当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴， 反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项A，B，C，D都不符合题意； 当时，二次函数的图象开口向上，顶点在y轴的正半轴， 反比例函数的图象在第二、四象限，故选项C符合题意． 故选：C． 【变式2-3】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数和反比例函数图象经过的象限求参数，二次函数图象与其系数的关系，根据一次函数与反比例函数图象经过的象限可得，，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴右侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∵对称轴为直线， ∴二次函数的对称轴在y轴右侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 类型三、二次函数图象与各项系数符号问题 1. 单个系数符号判断：a由抛物线开口方向决定（上正下负）；c是抛物线与y轴交点纵坐标（交y轴正半轴为正，负半轴为负）；b的符号需结合对称轴x=-与a的符号判断（对称轴在y轴左，a、b同号；右则异号）。 2. 特殊点与系数关系：当x=1时，y=a+b+c，其值正负对应抛物线在(1,y)的位置；x=-1时，y=a-b+c，同理可判断该表达式符号。 3. 判别式与交点关系：判别式Δ=b²-4ac的符号决定抛物线与x轴交点个数（Δ>0有两个，=0一个，<0无），间接反映系数间关系。 例3．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（为实数且）其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象和性质的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口方向和对称以及与y轴的交点情况可以对①进行判断；根据时，，可对②进行判断；利用抛物线的对称轴可得时，，可对③进行判断；由对称轴为直线可得b与a的关系，将代入可判断④；利用二次函数的最值则可对⑤进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴， 故①正确； ②当时，， ∴， 故②错误； ③∵抛物线的对称轴为直线， ∴与的函数值相同， ∴时，，即， 故③错误； ④∵， ∴， 将代入得， 故④正确； ⑤∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， 当时，， ∴， ∴（为实数且）， 故⑤正确． 综上，正确的有①④⑤，一共3个． 故选：C． 【变式3-1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为且经过点．下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则⑤其中，其中说法正确的是（   ） A．①②④⑤ B．①②④ C．②④⑤ D．③④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及其性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，抛物线与轴的交点在轴上方，得到，则可对①进行判断；利用抛物线经过点，得到，则可对③进行判断；同时得到，则可对②进行判断；通过比较点到直线的距离和点到直线的距离大小可对④进行判断；利用当时，函数值最大，可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线经过点， ∴，所以③错误； ∵， ∴，∴， ∴，所以②正确；∵点到直线的距离比点到直线的距离大， ∴，所以④正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，函数值最大， ∴， 即，其中，所以⑤正确； 正确的有①②④⑤． 故选：A ． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北·阶段练习）如图，二次函数的函数图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④当（）时，；其中正确的有（  ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，不等式的性质，根据二次函数的图象和性质，由函数图象可得，，，根据函数图象可知，对称轴，可得，进行判断①和②，当，，可判断③，当，则，推出，根据题意，二次函数的函数图象经过点，可得，，得到，进行判断，即可． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴 ∴，， ∵对称轴在轴和直线之间， ∴， ∴， ∴，，故①②错误； 由函数图象可知，当时，，故③错误； 由函数图象可知，当，， ∴， ∵二次函数的函数图象经过点， ∴当时，，即， ∴， ∵，对称轴在轴和直线之间， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有1个， 故选：A． 【变式3-3】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数的最小值为；；若，则；若，则；⑤一元二次方程的两个根为和 ．其中正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；根据、两点写出抛物线的交点式化简得，再配成顶点式，即可判断①；由和，即可判断②；当时，，根据二次函数的性质，即可判断③；利用二次函数的对称性及增减性即可判断④；由可知，，则可化为，，解方程即可判断⑤． 【详解】解：抛物线解析式化成交点式为， 即， 配成顶点式得， 当时，二次函数有最小值为，所以①正确； ∵对称轴为直线， ∴ ∴， 由得到， ∴ 故②错误， 当时，， 当，，所以③错误； 点的坐标为，点关于直线的对称点为， 若，则或，所以④错误； 由可知，，则可化为， ， 方程整理得：， 解得，，所以⑤正确． 综上分析可知：正确的有2个． 故选：B． 类型四、二次函数中含参数的综合问题 1.参数对图象与性质的影响：含参二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）中，a、b、c的符号决定开口方向、对称轴位置、顶点坐标及与坐标轴交点，需结合参数分析增减性、最值等。 2.分类讨论与转化思想：针对参数取值范围，讨论对称轴与给定区间的位置关系（同侧、异侧），确定区间最值；将含参问题转化为方程（如交点问题）或不等式（如取值范围）求解。 3.综合应用与关联知识：常结合一次函数、几何图形（如三角形、四边形面积），利用函数交点坐标、韦达定理及数形结合，解决存在性、最值等综合问题。 例4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线， (1)当时，求抛物线与x轴交点坐标； (2)求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值； (3)若点，点在抛物线上，且．求n的取值范围． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点纵坐标的最大值为 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）先求出抛物线的解析式，令，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称轴公式和顶点坐标公式，求出对称轴和顶点纵坐标，再利用二次函数求最值即可； （3）根据增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：， 当，则：， 当时，解得或， ∴抛物线与x轴交点坐标为； （2）∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴当时，顶点纵坐标的最大值为． （3）∵，对称轴为直线， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远函数值越大， ∵点，点在抛物线上，且， ∴， 解得． 【变式4-1】（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知二次函数（为常数）． (1)求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点； (2)当取什么值时，该函数的图象与轴的交点在轴的上方？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）由可得该函数的图象与x轴总有公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标． （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出≥0，根据判别式的意义即可证明； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ∴无论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）解：∵当时，， ∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为， ∴当， 解得， 即时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方． 【变式4-2】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知二次函数（m是常数）的图象是抛物线． (1)若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值； (2)为该抛物线上一点，当取得最大值时，求点Q的坐标； 【答案】(1)m的值为或 (2)点Q的坐标为 【分析】本题考查二次函数的性质（与x轴的交点、二次函数的最值）．解题用到的思想是代数方程思想，方法是利用判别式解决抛物线与x轴的交点问题，利用二次函数的顶点式求最值；解题关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数最值的求解方法；易错点是在计算判别式和二次函数最值时，容易因符号或运算错误导致结果出错． （1）根据抛物线与x轴只有一个公共点时判别式，先确定二次函数中a、b、c的值，代入判别式公式列出方程，进而求解m的值． （2）先将点代入抛物线解析式得到n关于m的表达式，再将其代入得到关于m的二次函数，最后根据二次函数的性质求出其最大值对应的m、n的值，从而得到点Q的坐标． 【详解】（1）由题意得，在函数中，，，，则： 令，即， 得， 解得或． （2）因为在抛物线上，所以将，代入，得： 则． 这是一个关于m的二次函数，开口向下，其最大值在顶点处取得． ． 将代入，得： ． 所以点Q的坐标为． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（为常数，）的图象为抛物线． (1)求证：不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的交点； (2)当时，，求的取值范围； (3)设点、，若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，解题的关键是利用数形结合的思想求解． （1）根据根的判别式证明即可； （2）先确定对称轴为直线，然后分两种情况讨论，根据二次函数的图象与性质分析求解； （3）令，问题转化为该函数在上与轴只有一个交点，然后分类讨论，画图分析即可求解． 【详解】（1）证明：当，则 ∴， ∴不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的交点； （2）解：对于二次函数， 对称轴为直线， ①当时，在时，随着的增大而增大， ∴当时，函数取得最大值，即， ∴要使得当时，，则， ∴， ∴； 当时，在时，随着的增大而减小， ∴当时，函数取得最大值，即， ∴要使得当时，，则， ∴， ∴， ∴当时，，的取值范围为或； （3）解：与联立得， 问题化为方程在只有一个实数根， 令，即该函数在上与轴只有一个交点， 当时，；时，， ①当时，如图： ∵抛物线经过， ∴只能是抛物线对称轴右侧的图象与轴交点在个范围内， ∴当时， ∴； ②当时，时，，如图： ∴只能顶点在轴上符合题意， ∴， ∴， 综上：的取值范围是或 一、单选题 1．二次函数的图象上有，两点．下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图像上的点和因式分解，比较点和的纵坐标大小，需分析二次函数对称轴及开口方向，结合不同a的取值区间判断函数值关系，解题的关键是比较两个数的大小用作差法； 【详解】解：求对称轴：二次函数的对称轴为. ∴   （代入），  （代入）. ∴   .    分析表达式的符号： 当：均为负，乘积为负，故，故选项A正确. 当：，乘积为正，故，故故选项B、C错误. 当：，乘积为负，故 ， 当：均为正，乘积为正，故，但选项D包含区间，故整体错误. 故选项：A 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象等知识点，灵活运用利用一次函数的性质和二次函数的性质是解题的关键． 根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数中a、b的正负情况与二次函数中a、b的正负情况，然后逐项判断即可解答． 【详解】解：A、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项A错误，不符合题意； B、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项B正确，符合题意； C、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项C错误，不符合题意； D、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 3．下列关于二次函数 （为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中正确的有 （    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．通过分析二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及特定点代入，逐一验证各结论的正确性． 【详解】解：二次函数形状由二次项系数决定，原函数为，其二次项系数为，与的系数相同，故两函数图象形状相同，结论①正确； 对于，当时，即，该函数的图象一定经过点，结论②正确； 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，结论③错误； 的顶点坐标为，对于二次函数，当时，，即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确； 综上，正确结论为①②④，共3个， 故选：C． 4．如图是抛物线的一部分，抛物线的对称轴为直线，有以下5个结论： ①；    ②；   ③； ④       ⑤，    其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系， 根据函数图像可知：，，由对称轴直线可知，可得出，进而可判断①②，由二次函数的对称性可判断③，当时，，结合可判断④，由二次函数的最大值可判断⑤． 【详解】解：根据函数图像可知：，， ∵， ∴， ∴，故①正确， ，故②正确， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，y值相等，且当时，， 即，故③正确， 当时，， ∵ ∴， ∴ 即 ∴，故④正确， ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y有最大值， 当时，， ∴ ∴，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确， 故选∶D 二、填空题 5．已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，利用顶点式求出二次函数的解析式，即可得到a和c的值，然后代入计算解题． 【详解】解：设抛物线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．已知点，，在二次函数的图象上，则，，之间的大小关系是 （用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， 故答案为：． 7．已知抛物线，点，是抛物线上两点，且． （1）抛物线的对称轴为 （用含有的式子表示）； （2）当时，始终满足，则的取值范围是 ． 【答案】 直线 或 【分析】本题考查了抛物线的对称性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）令，可求得抛物线与x轴的两个交点坐标，即可求得对称轴； （2）分与两种情况考虑，利用二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：（1）令，则； ∵， ∴； 即抛物线与x轴交于点， ∴抛物线的对称轴为直线； 故答案为：直线； （2）当时，， 抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小， ∵当，且时，始终满足， ∴， 解得：； ∴； 当时，， 抛物线开口向下，抛物线对称轴的右侧，函数值y随自变量的增大而减小； ∵当，且时，始终满足， ∴， 即， ∴； 综上，或； 故答案为：或． 8．如图，已知抛物线 图象的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．下列命题中：①；②；③对于任意实数m，都有；④是抛物线上的两个点，若 且 ＞2，则 ．真命题的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，根据二次函数的性质可得，可判断结论①；由可判断结论②；由处函数值最大可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵ ∴， ∴，故②错误； 由得函数的最大值为， ∵抛物线开口向下， ∴不论取何值，都有， ∴，故③正确； ∵对称轴是直线， ∴若，即时，则， ∴当时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ∵二次函数开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∴，故④错误． 综上所述，正确的选项是①③． 故答案为：①③． 三、解答题 9．已知二次函数（是常数且）． (1)若，求出该函数图象的顶点坐标； (2)若该函数图象经过原点，当时，函数的最大值恰好是，求的值． 【答案】(1) (2)或8 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）将代入即可得二次函数的解析式，再将二次函数的解析式化成顶点式即可得其顶点坐标； （2）先将点代入求出二次函数的解析式为，再分两种情况：①和②，利用二次函数的增减性求解即可得． 【详解】（1）解：当时，，即， 将二次函数的解析式化成顶点式为， 则该函数图象的顶点坐标为． （2）∵函数图象经过点， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴，其对称轴为直线， ∴时的函数值与时的函数值相等，即为， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 则分以下两种情况： 由①当时，则在内，当时，的值最大， ∴， 解得，符合题设； ②当时，则在内，当时，的值最大， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为或8． 10．在平面直角坐标系中，已知点在二次函数的图象上． (1)若，求二次函数的顶点坐标； (2)若对于，有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线上的点离对称轴越远近，判断函数值大小是解题关键， （1）根据顶点公式求解即可； （1）根据抛物线解析式可得：对称轴，开口方向向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，由此得出， 根据，得不等式组，分类根据的取值范围化简绝对值解不等式组即可． 【详解】（1）解：当 时，二次函数为 ， 顶点横坐标为 ， 代入 ，得 ， 故顶点坐标为 ． （2）∵抛物线的对称轴，开口方向向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 又∵点， ， ∴， 又∵， ∴， 当时，不等式组化为 ，不等式组无解， 当时，不等式组化为 ，解得：， 当时，不等式组化为 ，不等式组无解， 当时，不等式组化为 ，解得：， 综上所述： 的取值范围为 或 ． 11．已知二次函数为常数，且 (1)若函数图象过点，求a的值． (2)当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键． （1）把点代入解析式即可求得a的值； （2）把解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点为，即可求得时，，进而求得当时，，然后分两种情况列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ， （2）解：由题意，， 抛物线的顶点为， 时，， 当时，， 当时，当时，，， ， ， 当时，当时，，， ， ， 的值为或 12．已知二次函数． (1)若二次函数经过，求二次函数的解析式； (2)当时，函数有最大值为6，求t的值； (3)在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及待定系数法主函数解析式． （1）把点的坐标代入函数解析式中求出t即可； （2）根据二次函数解析式得抛物线开口向上，进而得或时，函数有最大值6，分别代入、，得到关于t的方程，解方程求出t的值，并验证此时最大值为6即可； （3）抛物线开口向上，得出称轴为直线，根据二次函数图象的增减性结合题意可得关于t的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：把代入函数解析式得， ， ∴， ∴函数解析式为：； （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，或时，函数有最大值6， 若当时，， 解得， 当时，，将代入得， ，符合题意； 若当时，， 解得， 当时，，将代入得， ，符合题意； 综上，t的值为8或； （3）解：∵二次函数， ∴二次函数图象的对称轴为， ∵当时，总有，开口向上， ∴当点，在对称轴同侧时，随的增大而减小，则都在对称轴的左侧，即，解得； 当点，在对称轴异侧时，则对称轴左右两端存在函数值的相等的两段范围，无法保证左边的函数值一定比右边大，即不合题意， 综上所述，． 13．已知二次函数（）． (1)若函数经过，求二次函数的解析式； (2)若点，点均在函数图象上，求的值； (3)当时，函数最大值为7，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的对称性和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； （1）把点代入，求出m即可得解； （2）由题意可得A、B两点关于抛物线的对称轴对称，求出抛物线的对称轴，进而求解； （3）分与两种情况，根据抛物线的性质得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：把点代入，得 ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点，点均在函数图象上， ∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得：； （3）解：当时，∵时，函数最大值为7，且抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，， ∴当时，函数取到最大值7， 即， 解得：； 当时，∵时，函数最大值为7，且抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，， ∴当时，函数取到最大值7， 即， 解得：； 综上：或． 14．已知，二次函数，x与y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … t m p n … (1)当时， ①若，求二次函数解析式． ②若，求证：． (2)若，且当时，函数y有最大值，求a的取值范围． 【答案】(1)①；②见解析 (2)或 【分析】本题主要考查求出函数解析式以及二次函数的性质，解答本题的关键要熟悉函数与坐标轴的交点，以及这些点代表的意义及函数特征． （1）①由可求出，再根据对称性求出，故可得抛物线的解析式； ②求得，，，由得，从而可得结论； （2）分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①当时， 若时，抛物线对称轴为直线， 解得 二次函数解析式为； ②当时，， 当时，， 当时，， ，即； （2）解：若时，二次函数解析式为， 此抛物线的对称轴为直线 若，函数有最大值， 且，解得 若，当时，函数有最大值顶点的纵坐标，解得 综上所述，或 15．已知二次函数（为常数）的图象的顶点坐标为． (1)求二次函数的表达式． (2)已知点在的图象上，． ①若，请比较与的大小并说明理由． ②若（为常数），当时，求的范围并说明理由． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法和二次函数的性质． （1）根据顶点坐标得出对称轴，求出，再将代入求解即可； （2）①根据，得出，根据，，得出．根据，得出，即可得．即可得出． ②根据，得出，根据， 得出，结合，得出，即．根据，即可得出． 【详解】（1）解：顶点坐标为， ， ． 将代入，得． ． （2）解：①， ， ， ， ． ， ， ． ， ． ②， ， ， ， ， ， ． ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次函数图象和性质与系数的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数中含参数的图像和性质 类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题 类型三、二次函数图像与各项系数符号问题 类型四、二次函数中含参数的综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、二次函数中含参数的图像和性质 1.参数对图象形状与位置的影响：二次项系数a决定开口方向(a>0向上，a<0向下)和宽窄(a越大 b 越窄)；一次项系数b和a共同影响对称轴(x= )：常数项c决定图象与y轴交点(0，c)。 2a 2.参数与函数性质的关联：结合a、b、c可确定顶点坐标（2 b 4ac-b),进而分析最值(a>0有 Aa 最小值，a<0有最大值)及增减区间（以对称轴为界）。 3.含参问题的常见类型：含参二次函数与坐标轴交点问题（判别式△=b2-4c的应用）、区间最值讨论 (需考虑对称轴与区间位置关系)等。 例1，《2526九年级上重庆阶段练习》若抛物线y=2+r+3经过川和3m两点，将该抛物线向 上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到新抛物线，则关于新抛物线下列说法正确的是() A.开口向下 B.图象过点(0,2) C.在-2≤x≤2时，y的最小值为-3D.当x>-1时，y随x增大而减小 【变式1-1】(25-26八年级上安徽阶段练习)已知二次函数y=?-r-1(b> ,则下列说法错误的是 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.该二次函数的图象与x轴有交点 B.该二次函数的图象的对称轴与x轴交于正半轴 C.若点m,川在该二次函数的图象上，则”≥-】 D.若点-3，，(2，都在y=-r-1的图象上，则>为 【变式1-2】（25-26九年级上江苏苏州阶段练习)已知二次函数'=心+(0-2到r-2(“为常数，且 口≠0).下列五个结论：①该函数图象经过点L,0:②若a=-1,则当x>-1时，y随'的增大面减小： ⑧该函数图象与轴有两个不同的公共点：④若a>2,则关于r的方程+a-2到x-2=0, 有一个根大于 0且小于1，⑤若a>2,则关于x的方程r+(a-2到x-2=2的正数根只有一个.其中正确的是() A.①④ B.②③⑤ C.①②③④ D.②④⑤ 【变式1-3】(25-26九年级上：广东阶段练习)关于二次函数'=mur+4mx-5m≠0) 有下列三个结论： ①若M-a-7,）,N(a+3,是该二次函数图象上任意的两个点，则少=为。 5 ②当4<m<0时，该二次函数的图象与轴始终没有交点： ®若该二次函数的图象与，轴交于p,O两点，且P四<8，则>1或m<- 4 以上结论正确的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题 1.各函数图象特征：一次函数y=kx+b(k≠0)是直线，k定倾斜方向（正增负减），b定与y轴交点： 反比例函数y=k/x(k≠0)是双曲线，k正分布一三象限，负分布二四象限；二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)是抛物线，a定开口，对称轴和顶点影响位置。 2.参数关联性判断：同一坐标系中多函数共存时，需通过参数符号（如k、正负）匹配图象位置，排 除矛盾情况（如k正的一次函数与k负的反比例函数同存）。 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.交点与范围分析：利用函数交点坐标满足多解析式，结合图象高低判断函数值大小关系，辅助验证图 象正确性。 y=bx-a 例2.(25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习)在同一平面直角坐标系中，一次函数 (a,b为常数， 且≠0)的图象与二次函数'=r- 的图象可能是() 【变式2-1】(25-26九年级上重庆阶段练习)已知反比例函数y=a≠0)的图象如图所示，则函数 y=ax2-a 的大致图象为() 衣B. C. 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽阜阳阶段练习)二次函数y=k22-k与反比例函数y=k≠0)在同 一平面直角坐标系中的大致图象是() 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-3】(2425九年级上湖南岳阳：阶段练习)一次函数y=心+6与反比例函数y=在同平面直角 坐标系中的图象如图所示，则二次函数'=a+r+c 图象在平面直角坐标系中的位置可能是() 今类型三、二次函数图象与各项系数符号问题 1.单个系数符号判断：a由抛物线开口方向决定（上正下负）；c是抛物线与y轴交点纵坐标（交y轴正 半轴为正，负半轴为负)：b的符号需结合对称轴Xb与a的符号判断（对称轴在y轴左，a、b同 2a 号：右则异号)。 2.特殊点与系数关系：当x=1时，y=a+b+c,其值正负对应抛物线在(1，y)的位置；x=-1时，y=a-b+c,同 理可判断该表达式符号。 3.判别式与交点关系：判别式△=b24ac的符号决定抛物线与x轴交点个数（△>0有两个，=0一个，<0 无)，间接反映系数间关系。 例3。(25-26九年级上浙江绍兴阶段练习)已知二次函数'=r+br+©(a≠0) 的图象如图所示，对称轴 为直线x=1.有下列5个结论：①abc>0;②a-b+c<0;③4a+2b+c>0;④3a+c>0;⑤ 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 川m+)>a+b,(”为实数且”≠1)其中正确的结论有(） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式3-l】(25-26九年级上重庆阶段练习)如图是二次函数"=r+br+c(a≠0) 图象的一部分，对称 轴为x=2且经过点(2,0).下列说法：①abc<0:②-2b+c=0:③4a+2b+c<0:④若 (〔⅓)是物线上的两点，则+>m+例其中m》 1 其中说法正确的是 () 、x一2 A.①②④⑤ B.①②④ C.②④⑤ D.③④⑤ 【变式3-2】(25-26九年级上湖北阶段练习)如图，二次函数'=ar+br+ca≠0) 的函数图象经过点 (1,2 ，且与轴交点的横坐标分别为，，其中1<<0,1<x<2 ,下列结论：①abc>0:②2a+b>0: ③4a-2b+c>0 ④当=m1<m<2、 ( )时，am+bm<a+b ;其中正确的有()个 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A O 2衣 A.1 B.2 C.3 D.4 【变式3=3】(25-26九年级上：安徽安庆阶段练习)如图，二次函数'=r+hr+c的图象经过点1-，0) 点B3,0)、点C4,若点D,是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数'=++C的 最小值为4，②3动-2c>0,③若156≤4，则0≤%≤50，@若为>%，则5>4： ,则 ;⑤一元二次方 程cx2+br+a=0的两个根为-1和3·其中正确结论的个数是（) 3 A.1 B.2 C.3 D.4 类型四、二次函数中含参数的综合问题 l.参数对图象与性质的影响：含参二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，a、b、c的符号决定开口方向、对 称轴位置、顶点坐标及与坐标轴交点，需结合参数分析增减性、最值等。 2.分类讨论与转化思想：针对参数取值范围，讨论对称轴与给定区间的位置关系（同侧、异侧），确定 区间最值：将含参问题转化为方程（如交点问题）或不等式（如取值范围）求解。 3.综合应用与关联知识：常结合一次函数、几何图形（如三角形、四边形面积），利用函数交点坐标、 韦达定理及数形结合，解决存在性、最值等综合问题。 例4。(25-26九年级上浙江杭州阶段练习)在平面直角坐标系中，抛物线'=(x-ax+a-2-a, 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)当a=1时，求抛物线与x轴交点坐标： (2)求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值： ③诺点4，点B3,在抛物线上，且<乃.求n的取值范围。 【变式4=】(2526九年级上安微蚌路阶段练习)已知二次函数”=-m+5)x+2m+6(m为常数). (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点： (2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？ 【变式4-2】(25-26九年级上·福建龙岩阶段练习)已知二次函数”=r-2mx+m+2 (m是常数)的图象 是抛物线， (I)若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值： 22(m,川为该抛物线上一点，当2m+”取得最大值时，求点Q的坐标： 【变式4-3】(25-26九年级上·浙江杭州阶段练习)已知二次函数 =ar-4r+30“为常数，a≠0) )的 图象为抛物线C. (1)求证：不论a为何值，抛物线C与x轴总有两个不同的交点； 2当2sxs6时y<5 时， ,求“的取值范围： )设点E1,5)、F4,5 ,若抛物线C与线段EF只有一个交点，结合函数图象，直接写出“的取值范围。 压轴专练 一、单选题 1.二次函数y=ar-6ax+2的图象上有1a）,B4两点。下列选项正确的是《() A.当a<0时，y<为 B.当0<a<l时，y<乃 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.当1<a<2时，片<为 D.当a>2时，%>为 2.在同一平面直角坐标系中，一次函数'=心+b ab为常数，且a0)的图象与二次两数"-r-心 的图象可能是() ·· 3.下列关于二次函数y=-(x-m+m+1(m为常数)的结论，①该函数的图象与函数y=-的图象 0,1 形状相同：②该函数的图象一定经过点 ,③当>0时，'随的增大而减小：④该函数的图象的顶点 在函数x2+1 的图像上，其中正确的有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图是抛物线少=ar+br+ 的一部分，抛物线的对称轴为直线=1，有以下5个结论： ①abc<0; ②2a+b=0;③4a+2b+c>0; ④3b>2 ⑤mam+b)≤a+b 其中正确的结论有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题 5.已知抛物线'=ar+br+ 关于t=l对称，其部分图象如图所示，则3a+c一 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.已知点-3，川，(0，)，(4y)在二次函数”=ar+2ar+c(a>0的图象上，则片，片，片之间的大 小关系是（用“<”连接）. 7.已知抛物线'=mx-4m(m≠0)，点P(,）,(,是抛物线上两点，且4<5≤6。 ,点 (1)抛物线的对称轴为」 (用含有m的式子表示)； (2)当方-2m 时，始终满足片<乃 ,则”的取值范围是 8.如图，已知抛物线y=ar+r+ca≠0 图象的对称轴是直线x=1,且过点0,2)，顶点在第一象限， 其部分图象如图所示.下列命题中：①c<0:②2如<-1③对于任意实数m,都有0+b≥m(a+), ④E(,,F(x)是抛物线'=a+x+ca≠0上的两个点，若X<5且+5>2，则片<乃 真命题的序号是一 y个x=1 三、解答题 9.已知二次函数=ar-4+口-1(“是数日a>0). (1)若a=2,求出该函数图象的顶点坐标； (2)若该函数图象经过原点，当-1≤x≤t时，函数的最大值恰好是4t,求t的值 10.在平面直角坐标系0中，已知点4a-2,,8m,:C2在二次函数y=-2的图象上 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()若a=-1,求二次函数=-2 的顶点坐标： 2若对于5<m<4,有1<片<乃，求实数“的取值范围. 1l.已知二次函数y=ar-4ax+2(a a≠0). 为常数，且 -1,0 (1)若函数图象过点 求a的值. (2)当2≤x≤6时，函数的最大值为M,最小值为N,若M-N=11,a的值. y=x2-x-3 12.已知二次函数 1)若二次函数经过，0 ,求二次函数的解析式： (2)当-1≤x≤5时，函数有最大值为6，求t的值： 3在二次函数图象上任取两点×，y,xy2,当≤x<≤1+3时，总有片>力，求1的取值范围。 13.已知二次函数'=mr-m-12m(m≠0). 2,5) (1)若函数经过 ,求二次函数的解析式： 2若点4-m, 点B6,川均在函数图象上，求'的值： (3)当-4≤x≤1时，函数最大值为7，求m的值. 14.已知，二次函数y=ar+br+c(a≠0 ,x与y的部分对应值如下表： 0 n (1)当a=1时， ①若m=n,求二次函数解析式. ②若b>-4,求证：n>m. (2)若b=-4a,且当2a-1≤x<a+3时，函数y有最大值，求a的取值范围. 15.已知二次函数”=r-2-C(4、c为常数)的图象的顶点坐标为 1,-4) (1)求二次函数的表达式. 10/11