专题01 二次函数的图象和性质的六类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题01 二次函数的图象和性质的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数的图象和性质 类型二、画二次函数y=ax²+bx+c的图象 类型三、已知二次函数上对称的两点求对称轴 类型四、利用二次函数的性质比较大小 类型五、根据二次函数的增减性求最值 类型六、二次函数图象和性质的综合问题 压轴专练 类型一、二次函数的图象和性质 1. 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 2. 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 3. 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 例1．（2024·广东·二模）已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先将配方成顶点式，再根据二次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：，， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、B、D正确，不符合题意；C错误，符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．顶点坐标为 B．对称轴是直线 C．与轴交于正半轴 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据，可知其开口向上，对称轴为，其顶点坐标为，当时，随的增大而增大，从而判断出答案． 【详解】解：，， 其开口向上，对称轴为，其顶点坐标为，故A、B正确； 当时，随的增大而增大，故D错误； 当时，，与轴交于正半轴，故C正确； 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．对称轴是直线 B．对称轴是直线 C．对称轴是直线 D．对称轴是直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称轴为直线，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴是直线 故选：A 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数，则下列说法错误的是（　　） A．该二次函数的图象与轴有交点 B．该二次函数的图象的对称轴与轴交于正半轴 C．若点在该二次函数的图象上，则 D．若点，都在的图象上，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，由判断A，由对称轴公式判断B，根据抛物线上点的坐标特征判断C、D． 【详解】解：A、令，则， ∵， ∴图象与x轴有两个交点，故A正确，不符合题意； B、∵抛物线的对称轴且， ∴，故B正确，不符合题意； C、∵点在的图象上， ∴， 若，则， ∵， ∴，故C不正确，符合题意； D、∵点、都在的图象上，， ∴，， ∵， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：C． 类型二、画二次函数y=ax²+bx+c的图象 1. 列表取值：先确定二次函数y = ax2+bx + c（a≠0），选取关于对称轴x=-对称的自变量x的值，代入函数计算出对应的y值，形成坐标点列表。 2. 描点连线：将列表中的坐标点在平面直角坐标系中准确描出，再用平滑曲线按自变量从小到大顺序依次连接各点，得到二次函数图象。图象是抛物线，a>0开口向上，a<0开口向下 。 例2．（25-26九年级上·广东·阶段练习）已知二次函数 (1)用配方法将化成的形式写出过程； (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … ______ ______ ______ ______ ______ … y … ______ ______ ______ ______ ______ … (3)结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用配方法将函数解析式进行转换即可； （2）根据题意用描点法画出此抛物线；先列表，然后描点、连线即可； （3）根据二次函数图象的性质即可解答． 本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，找到顶点及对称轴，根据对称轴取点是画图的关键一步． 【详解】（1）解： ， 即； （2）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0      0 3 … 描点、连线： （3）由图象知，时，函数值y随x的增大而增大，时，函数值y随x的增大而减小， 故当时，函数值y的取值范围是； 故答案为：． 【变式2-1】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数，完成下列任务． (1)完成下表，并画出该函数的图象： x ．．． 0 ．．． y ．．． 3 3 ．．． (2)根据图象，完成下列填空： ①当x 时，y随x的增大而增大． ②当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1)，  画图见解析 (2)①  ② 【分析】本题考查了求二次函数的函数值，画二次函数的图象，二次函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）分别将的值代入函数解析式求出值，再描点，连线作出图象； （2）观察图象即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时， ， 描点画出函数图象如图： 故答案为：，； （2）解：①根据图象可得时，y随x的增大而增大； 故答案为：； ②根据图象可得当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·福建·阶段练习）已知二次函数 … … … … (1)在方格纸中画该函数的图象（注意对称）； (2)根据图象，完成下列填空： ①当时，的取值范围是________ ②当时，的取值范围是________ (3)若方程有两个不相等的正数根，的取值范围是________ (4)将该函数图象沿轴翻折，所得新图象的函数表达式为________． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了画二次函数图形，二次函数图象的翻折，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）先列表格，再描点、连线即可； （2）根据函数图象即可得解； （3）根据函数图象即可得解； （4）根据二次函数沿轴翻折，二次项、一次项、常数项的系数都要变成相反数即可得解． 【详解】（1）解：二次函数 … … … … 描点、连线，如图： （2）解：由图象可得：①当时，的取值范围是； ②当时，的取值范围是； （3）解：∵方程有两个不相等的正数根， ∴结合函数图象可得：； （4）解：将该函数图象沿轴翻折，所得新图象的函数表达式为． 【变式2-3】（25-26九年级上·甘肃平凉·阶段练习）方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式.观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 4 7 10 … … 0 4 3 0 … (1)【数学观察】根据表中信息填空：______； (2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象； (3)【独立思考】 ①二次函数与一次函数图象的交点坐标是______； ②方程的解为______； (4)【归纳总结】若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的______坐标可以看成关于的方程的解； (5)【巩固应用】若二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则关于的方程的解是______．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)见解析 (3)①或  ②或 (4)横 (5) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质，熟悉函数和不等式的关系是解题的关键． （1）把代入求出值即可； （2）根据表格数据描点连线绘制图象即可； （3）①根据表格信息得到交点坐标即可； ②根据交点坐标得到方程的解即可； （4）由（3）知，若两个函数交点的横坐标为方程的解； （5）联立两个函数表达式得 ，即可得到，求出，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：根据表格数据描点连线绘制图象如下： （3）解：①二次函数 与一次函数 图象的交点坐标是或， 故答案为：或； ②方程 的解为：或， 故答案为：或； （4）解：由（3）知，若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的横坐标可以看成关于的方程的解， 故答案为：横； （5）解：联立两个函数表达式得：，整理得， 由题意得， 则， 故方程为：，则， 故答案为：． 类型三、已知二次函数上对称的两点求对称轴 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 例3．（25-26九年级上·北京西城·阶段练习）二次函数（）的对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点问题，求对称轴，先确定抛物线与轴的交点为，即可写出对称轴． 【详解】解：∵二次函数解析式为， 当时， 解得： ∴抛物线与轴的交点为 ∴该抛物线的对称轴为：直线． 故答案为：直线． 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）若抛物线与轴只有一个交点，且过点，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的对称性，二次函数图像上点的坐标，根据对称点求出抛物线的对称轴为，然后得到抛物线的解析式为，然后把点的坐标代入计算即可． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴对称轴为直线， 又∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·安徽淮南·阶段练习）已知方程的两根分别为，则二次函数的图象的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键；由题意易得二次函数与x轴的交点坐标为，然后根据二次函数的对称性可进行求解． 【详解】解：令时，则有， ∵方程的两根分别为， ∴二次函数与x轴的交点坐标为， ∴二次函数的对称轴为直线； 故答案为． 【变式3-3】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． （1）此二次函数的对称轴为直线 ； （2）已知点和在此函数的图象上，若，则t的取值范围是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）令，可求出函数与x轴交点的横坐标，由二次函数的对称性可求出对称轴； （2）因为抛物线开口向上，所以抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，若，则，据此解答即可． 【详解】（1）∵二次函数， 令，即， ， ∴函数经过和是对称点， ∴对称轴为直线， 故答案为：． （2）∵二次函数， ∴二次项系数为， ∴函数图象开口向上， 又∵和在此函数的图象上，对称轴为直线， ∴， ∴， 故答案为：． 类型四、利用二次函数的性质比较大小 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 例4．（25-26九年级上·内蒙古·阶段练习）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，函数的对称性及增减性，解题的关键是利用对称性求解． 利用函数的对称性和增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点距离对称轴越近，纵坐标越大， 根据得， 对称轴为直线， 距离对称轴的距离为； 距离对称轴的距离为； 距离对称轴的距离为； ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】（25-26九年级上·陕西·阶段练习）若二次函数（为常数）的图象过，，三点，则，，的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，先确定二次函数的开口方向和对称轴，计算各点到对称轴的距离，再根据二次函数的增减性判断即可． 【详解】解：二次函数的开口方向向下，对称轴是， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 点距离对称轴的距离为：， 点距离对称轴的距离为：， 点距离对称轴的距离为：， 到对称轴的距离大于到对称轴的距离大于对称轴的距离， 二次函数的开口方向向下， 点到对称轴的距离越远，函数值越小， ． 故答案为：． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系（用“”连接） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 根据二次函数的对称轴及增减性求解即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知点在二次函数的图象上，则 ．（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象性质；确定对称轴，理解对称性是解题的关键． 根据二次函数的图象性质，得对称轴，结合对称性判断． 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为， ∵， ∴离函数对称轴距离越远则函数值越大， ∵， ∴． 故答案为：． 类型五、根据二次函数的增减性求最值 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 例5．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值问题，根据二次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，，函数有最小值为时，， 当时，函数有最大值为， ∴； 故答案为： 【变式5-1】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． 根据解析式可知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，由二次函数的图象和性质，结合的取值范围，可得当时，函数值最小，当时，函数值最大，代入计算可得最大值和最小值，从而可得的取值范围． 【详解】解：二次函数，开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随着增大，减小，当时，随着增大，增大， ∵，， ∴当时，取最小值，最小值为， 又∵， ∴当时，取最大值，最大值为， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 【变式5-2】（25-26九年级上·黑龙江·阶段练习）已知二次函数，当时，有最小值，则的值为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是分情况讨论的正负，根据二次函数的单调性求出最小值． 先将二次函数化为顶点式，确定对称轴，再分和两种情况，根据二次函数的单调性，结合给定的的取值范围，求出的最小值，进而得到的值． 【详解】解：将二次函数化为顶点式：，所以其对称轴为直线． 时，二次函数图象开口向上，在对称轴处取得最小值， 已知当时，有最小值，所以，解得， 当时，二次函数图象开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小． 所以在这个区间内，时，取得最小值． 把代入函数中，可得． 因为的最小值为，所以，解得． 综上，的值为5或． 故答案为：5或． 【变式5-3】（25-26八年级上·北京·阶段练习）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，则实数a的值为 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】解：∵， ∴二次函数对称轴为：直线， ∴在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而减小； ①当时，即，则最小值为，最大值为， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得（舍）， ②当时，即， 时，则最小值，最大值， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得（舍）或， 时，则最小值，最大值， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得或（舍）， ③当时，即，则最大值为，最小值为， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得（舍）， 综上所述，或， 故答案为：或． 类型六、二次函数图象和性质的综合问题 1. 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 2. 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 3. 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 例6．（25-26九年级上·河南商丘·阶段练习）已知二次函数（）的图象经过点． (1)若，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，点，在该函数图象上，且，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）代入条件可求得的值，进而求出顶点坐标； （2）代入，可得到，求出其对称轴，根据开口方向即可解题． 【详解】解：（1）若，则， 代入得：， 解得：， ∴， ∴顶点坐标为； （2）代入点，可得：， 整理得：， ∴， 对称轴为：直线， ∵时，图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， 若使，则点距离对称轴更远， 则应有：， 解得：或． 【变式6-1】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知抛物线． (1)若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值； (2)该抛物线一定经过的定点为____________； (3)当时，求证：该抛物线的对称轴一定在直线的右侧． 【答案】(1) (2)和 (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据顶点坐标公式，以及轴上点的纵坐标为求解即可； （2）将函数解析式变形为，由于抛物线过定点，则与无关，即可得到，再解方程即可求解； （3）根据抛物线对称轴公式即可证明． 【详解】（1）解：∵该抛物线的顶点在x轴上， 解得， ∴a的值为； （2）解：， ∵抛物线过定点， ∴， 解得或， 当；当， ∴抛物线过定点和， 故答案为：和； （3）证明：当时，抛物线的对称轴为：， ∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧． 【变式6-2】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知抛物线． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，y的最大值为6，求抛物线的函数表达式； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1)①直线；② (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）①将点代入函数表达式求得b的值，再把原式化为顶点式求解即可；②根据二次函数的开口方向和对称轴方程可得函数在时的最大值为，结合题意求得c的值，即可得到函数表达式； （2）先得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据题意分当时、当时和三种情况，分别利用二次函数的性质得到最大值和最小值，再根据最大值与最小值的差列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； ②由①可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，当，y有最大值，最大值为， ∵当时，y的最大值为6， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， ∵ ∴①当时，即， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得， ∵， ∴舍去； ②当时，即， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得， ∵， ∴舍去； ③当时，即， 当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最小值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得， 综上所述，当，最大值与最小值的差为时，b的值为． 【变式6-3】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知点是二次函数图象上的点． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的最大值与最小值的和； (3)当时，若函数的最大值与最小值的和为10，求的值． 【答案】(1) (2)8 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征，即可得到当时，，当时，，从而求得结论； （3）先求出点关于对称轴的对称点为，分三种情况讨论：当时；当时；当时．分别求出最大值和最小值，根据最大值与最小值的和为10，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵已知是二次函数图象上的点， ∴， 解得， ∴此二次函数的解析式为：， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴当时， ∴当时，有最小值，当时，有最大值， ∴当时，函数的最大值与最小值的和为； （3）解： 当时，， 当时，， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，点关于对称轴的对称点为， 分以下三种情况讨论： 当时，当时，随的增大而减小，当时，有最小值，当时，有最大值， ∴， 解得， ∴，； 当时，当时，有最小值，当时，有最大值， ，不符合题意； 当时，当时，有最大值，当时，有最小值， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，的值为或． 一、单选题 1．已知抛物线，下列结论中错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，y取最大值3 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，在中，对称轴为，顶点坐标为．根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A：抛物线中，系数，故开口向下，正确； B：顶点式为，对称轴为，此处，故对称轴为直线，正确； C：开口向下时，顶点处取得最大值，最大值为顶点纵坐标，当时，正确； D：开口向下时，对称轴右侧（），随增大而减小，而非增大，故错误． 故选：D． 2．关于二次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象开口向下 B．图象与y轴的交点为 C．当时，y随x的增大而增大 D．函数值有最小值 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】二次函数的二次项系数小于0， 图象开口向下，故A选项不符合题意； 当时，， 图象与y轴的交点为，故B选项不符合题意； 二次函数， 当时，y随x的增大而增大，有最大值，故C选项不符合题意，D选项符合题意． 故选D． 3．若二次函数的图象经过点，，，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是先确定二次函数的对称轴，再根据函数的增减性和点到对称轴的距离判断函数值大小． 先将二次函数化为顶点式，确定对称轴，再分别计算三个点到对称轴的距离，根据二次函数开口向上时，距离对称轴越远，函数值越大来判断的大小关系． 【详解】解：对于二次函数，根据配方法， ∴该二次函数的对称轴为直线，且二次项系数，函数图数开口向上， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ∵， ∴对应的函数值． 故选：A． 4．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据表格的数据，把代入，求出再根据二次函数的图象性质进行分析，得对称轴是直线，当时，函数取得最小值，，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：把代入， 得 解得 ∴二次函数的解析式为 函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴是直线 ∴当时，函数取得最小值， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 由以上分析知，B、C不符合题意， D符合题意； ， 故A不符合题意． 故选 D 5．已知抛物线，当时，的最大值与最小值之和为，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由解析式可得抛物线的对称轴为直线，再分、和三种情况，根据二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，，当和时，， ∴当时，的最大值为，最小值为， ∵的最大值与最小值之和为， ∴， 解得或，此种情况不合题意； 当时，的最大值为，最小值为，此时最大值与最小值的和为，不合题意； 当时，的最大值为，最小值为， ∵的最大值与最小值之和为， ∴， 解得（不合，舍去）或， ∴的值为， 故选：． 二、填空题 6．将二次函数化为顶点式 ，其顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数一般式，顶点式，顶点坐标的计算，掌握配方法的运用是关键． 运用配方法将一般式化为顶点式，根据顶点式的特点求解即可． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 故答案为：①；② ． 7．已知二次函数、且有、则、按从大到小的顺序排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，， ∴当时，值最小． 当 时，； 当 时，， ∴． 故答案为：． 8．已知函数，若函数在上的最大值是，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，属于“定范围动轴”的问题，正确分类讨论是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴为，再根据对称轴与的范围比较，分类讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：对称轴为直线， ①时， ∵， ∴函数在上，随的增大而减小， ∴当时，， 解得：或（舍）； ②当时，则， 此时当时，函数有最大值，则， 解得：； 当时，即， ∵， ∴函数在上，随的增大而增大， ∴当时，， 解得：（舍）， 综上：的值为或， 故答案为：或． 9．抛物线经过点． （1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ． （2）若对于，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意可知抛物线过点，，利用抛物线的对称性即可求解； （2）先求出抛物线的对称轴是直线，再分两种情况：当时；当时；分别结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，， 若，则抛物线过点，， 该抛物线的对称轴是直线， 故答案为：1； （2）抛物线经过点，，，， ， ， ， 抛物线的对称轴为直线， ①当时，此时抛物线开口向上， 当时，随着的增大而增大， 对于，，都有， ， ，不合题意，舍去； ②当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为， 对于，，都有， ， 解得， 综上，当时，都有． 故答案为：． 10．已知抛物线的图象如图所示，有下列结论： ①； ②二次函数图象的对称轴是直线； ③当时，y随x的增大而减小； ④方程的解为，． 其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据函数图象可得抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于与两点，即得，，二次函数图象的对称轴是直线，方程的解为，，再进一步判断即可求解. 【详解】解：根据函数的图象可得： 抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于与两点， ∴，，二次函数图象的对称轴是直线，方程的解为，，结论②④正确； ∴，当时，y随x的增大而增大，结论③错误； ∴， ∴，结论①正确； 故答案为：①②④. 三、解答题 11．已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点不在这个二次函数的图象上 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出，得到此二次函数的解析式； （2）把代入函数解析式计算，判断即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，． 解得， ∴此二次函数的解析式为； （2）解：当时， ， ∴点不在这个二次函数的图象上． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为． (1)求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； (2)当时，求自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质． （1）将点，代入得出方程组，求出解即可； （2）令，再结合图象开口方向解答即可． 【详解】（1）解：把点，代入， 得：， 解得：， 则抛物线所对应的二次函数的解析式为． （2）解：令，即， 整理得：， 解得：，， ∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下， ∴当时，． 13．如下图，已知抛物线． (1)在平面直角坐标系中画出该抛物线． (2)该抛物线开口向_________，对称轴是直线_________，顶点坐标是_________，有最_________值，最值为_________，当x_________时，函数y随x的增大而增大． (3)画出该抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位后的图象，并写出平移后对应的函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2)下；； ；大；3； (3) 【分析】本题主要考查了画函数图象、二次函数的性质、二次函数图象的平移等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据描点、连线即可解答； （2）根据二次函数的性质即可解答； （3）先平移得到函数图象，然后再写出函数解析式即可解答． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）解：该抛物线开口向向下，对称轴是直线，顶点坐标是，有最大值，最值为3，当x时，函数y随x的增大而增大． （3）解：如图：通过平移得到函数图象，则顶点坐标为， 则． 14．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，求a的值； (2)已知点和是抛物线上的两个点，其中．若且时，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质． （1）直接将代入计算即可； （2）先由求出，，，设对称轴为直线，则，计算得到，再分别判断每个因式的正负即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线经过点， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，，， 设对称轴为直线， 则，即， ∵点和是抛物线上的两个点， ∴ ∵， ∴， 即 ， ∵，， ∴，， 即， ∵，， ∴， 即． 15．已知某抛物线的解析式为，为实数． (1)若该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）把解析式化为顶点式得到对称轴和开口方向，从而得到离对称轴越远，函数值越大，进而可确定当时，，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴此抛物线的顶点坐标为． （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，的最大值为4， ∴当时，， ∴， 整理得：， ∴或， 故的值为或． 16．已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据对称轴公式进行求解即可； （3）分和，根据最值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得：； （2）由题意，对称轴为直线； （3）当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， 解得：； 当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最大，即：， 解得：； 综上：或． 17．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线对称轴为直线，求顶点坐标； (2)已知，是抛物线上两点，当且时．都有，求m的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）由对称轴可得，可得，从而可得答案； （2）由二次函数图象开口向上，对称轴为直线，根据对于，且，都有，即的中点在右侧，结合离对称轴越近，函数值越小，再进一步求解即可； （3）①当时，即时，如图，可得当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，②如图，当且时，时，当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，③如图，当且时，即时，当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，④如图，当时，即时，当时，函数有最大值：，当时，函数有最小值：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ， ， ∴顶点坐标为； （2）解：， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∵点为函数图象上任意两点， 若对于，且，都有， 又，即的中点在右侧， ∵离对称轴越近，函数值越小， 即． （3）解：①当时，即时，如图， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， （舍去）． ②如图，当且时，时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， ，（舍去）． ③如图，当且时，即时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， ，（舍去）． ④如图，当时，即时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， （舍去）． 综上所述：或． 18．在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（，为常数，）的顶点为． (1)当抛物线经过点A，时，求点的坐标； (2)若，抛物线上的点的横坐标为，且． （i）求的长； （ii）当时，平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值． 【答案】(1)点的坐标为 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）依据题意，由，在抛物线上，可得，进而可以抛物线的解析式，然后化成顶点式即可判断得解； （2）（i）依据题意，由，则抛物线，故，又，则设直线的解析式为，故可得，进而直线的解析式为，结合抛物线为，则，，又，故点的横坐标为，纵坐标为，则，从而，进而得解； （ii）依据题意，由可得，点，的坐标分别为，，则当时，点，的坐标分别为，，从而可得直线的解析式为，又设平移后所得抛物线对应的表达式为，故其顶点坐标为，又顶点在直线上，从而，故抛物线与轴交点的纵坐标，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：将点，点代入抛物线（，为常数，）， ，解得， 抛物线的解析式为， ， 顶点的坐标为； （2）解：（i）， 抛物线， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 联立， 则 解得，， ， 点的横坐标为，纵坐标为， ， ； （ii）由（i）知，点，的坐标分别为，， 当时，点，的坐标分别为，， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为． 设平移后所得抛物线对应的表达式为， 则其顶点坐标为， ∵顶点在直线上， ， 抛物线与轴交点的纵坐标， ， 有最大值， 当时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、二次函数图象与几何变换、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 19．已知二次函数的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点． ①求的值． ②若抛物线与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线的顶点到轴的距离为1，求的值． (2)对于抛物线上的任意两点，，对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，点到坐标轴的距离，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）①可证明抛物线经过点，则由对称性可求出对称轴；②根据①所求可得直线解析式为；根据对称轴计算公式得到，进而得到原抛物线顶点坐标为，则新抛物线的顶点坐标为，根据题意可得，解之即可得到答案； （2）当时，一定有；而当时，点到对称轴的距离一定小于到对称轴的距离，即此时一定有这种情况，当，一定存在点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，即此时一定存在这种情况，当时，一定有，据此可得答案． 【详解】（1）解：①在中，当时，， ∴抛物线经过点， 又∵抛物线经过点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴； ②由①得， ∵， ∴直线解析式为； ∵原抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴原抛物线顶点坐标为， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∵新抛物线的顶点到轴的距离为1， ∴， 解得或； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∵，， ∴， ∴当时，一定有； 当时，一定有， 当时，点到对称轴的距离一定小于到对称轴的距离，即此时一定有这种情况， 当，一定存在点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，即此时一定存在这种情况， 又∵对于抛物线上的任意两点，，对于，都有， ∴， 综上所述，． 20．已知抛物线的对称轴为直线． (1)若点在抛物线上，求的值； (2)若点，在抛物线上， ①当时，求的取值范围； ②若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①或② 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质等，熟悉二次函数图象和性质是本题解题的关键． （1）将点代入抛物线表达式，即可求解； （2）①当时，，即可求解；当时， 即，，同理可解； ②将点，代入抛物线表达式得：整理得到，进而求解． 【详解】（1）解：将点代入抛物线表达式得： ， 则 ∵对称轴 ∴ （2）①当时，， 则抛物线的表达式为：， 顶点坐标为 ∵点，在抛物线上 当时， 解得：； 当时， 即， 解得：， 故或； ②∵点，在抛物线上，， ∴，在对称轴的右边，且随的增大而增大， ∴ 将点，代入抛物线表达式得： 得 ， ， ， 由，整理得 则， ∵， 则， ∵ 则， 则 则， 综上 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01二次函数的图象和性质的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数的图象和性质 类型二、画二次函数y=ax2+bx+c的图象 类型三、已知二次函数上对称的两点求对称轴 类型四、利用二次函数的性质比较大小 类型五、根据二次函数的增减性求最值 类型六、二次函数图象和性质的综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、二次函数的图象和性质 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 y=ax2+bx+c (ax0) y=ax2+bx+c (a<o) 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=-b 直线x=-b 2a b b 顶点坐标 4ac-b2 4ac-b2 2a ’4a 2a'4a 2.二次函数的增减性 函数 y=ax2+bx+c (ax0) y=ax2+bx+c (as0) 当x<-力时，y随x的增大而减处 b 时，y随x的增大而增达： 2a 当x<- 增减性 0 当x> 时，y随x的增大而增大： 当x> 2a 时，y随x的增大而或少： 20 3.二次函数的最值 函数 y=ax2+bx+c (ax0) y=ax2+bx+c (a<) 1/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当x=-乡时，y有最大值4ac-分 最值 当x=名时，y有敏小值ac-B 2a 4a 2a 4a 无最大值； 无最小值 例1.（2024广东·二模)已知抛物线y=x2+4x-7,下列结论错误的是() A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=-2 C.当x>-2时，y随x的增大而减小 D.抛物线的顶点坐标为-2，-11 【变式1-1】(25-26九年级上·辽宁阶段练习)关于抛物线y=x2-6x+9,下列说法错误的是() A.顶点坐标为3,0 B.对称轴是直线x=3 C.与y轴交于正半轴 D.当x>3时，y随x的增大而减小 【变式1-2】(25-26九年级上浙江嘉兴阶段练习)关于抛物线y=-2x2+4x+1,下列说法正确的是() A.对称轴是直线x=1 B.对称轴是直线x=-1 C.对称轴是直线x=4 D.对称轴是直线x=2 1 【变式1-3】(25-26八年级上·安徽阶段练习)已知二次函数y=x2-bx-1(b>1),则下列说法错误的是() A.该二次函数的图象与x轴有交点 B.该二次函数的图象的对称轴与x轴交于正半轴 C.若点(m,n在该二次函数的图象上，则n≥-1 D.若点(-3，y),(2,y2)都在y=x2-bx-1的图象上，则y>y2 类型二、画二次函数Jy=2+b+c的图象 1. 列表取值：先确定二次函数y=mr2+hx+c(a≠0)，选取关于对称轴x是对称的自变量x的值，代 入函数计算出对应的y值，形成坐标点列表。 2.描点连线：将列表中的坐标点在平面直角坐标系中准确描出，再用平滑曲线按自变量从小到大顺序依 次连接各点，得到二次函数图象。图象是抛物线，a>0开口向上，a<0开口向下。 例2.(25-26九年级上广东阶段练习)已知二次函数y=x2-4x+3. (1)用配方法将y=x2-4x+3化成y=a(x-h)2+k的形式（写出过程）； (②)在坐标系中利用描点法画出此抛物线： 2/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5 ------1--1 3 3 -4-3-2-10 12345 2 3 (3)结合图象直接回答：当0<x<3时，则y的取值范围是 0 2 y 0 -1 0 3 【变式2-1】(25-26九年级上，安微阶段练习)己知二次函数y=-x2-2x+3,完成下列任务. (1)完成下表，并画出该函数的图象： -4 -3 2 -1 0 5 3 3 2 5-4-3-2-10 12345 4 5 (2)根据图象，完成下列填空： ①当x_时，y随x的增大而增大 ②当-3<x<0时，y的取值范围是_ 【变式2-2】(25-26九年级上福建阶段练习)已知二次函数y=x2-2x-3=(x-1)2-4 3/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 。。 (1)在方格纸中画该函数的图象（注意对称）： (2)根据图象，完成下列填空： ①当y<-3时，x的取值范围是 ②当-1<x<2时，y的取值范围是 (3)若方程x2-2x-3=k有两个不相等的正数根，k的取值范围是 (4)将该函数图象沿x轴翻折，所得新图象的函数表达式为 0 2 3 y 0 -3 -4 3 0 【变式2-3】(25-26九年级上·甘肃平凉阶段练习)方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则 研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式观察表格： … -2 -1 0 1 2 3 3x+1 -5 -2 4 7 10 -x2+2x+3 … -5 0 m 3 0 (I)【数学观察】根据表中信息填空：m= (2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数 y=3x十1的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数y=-x2+2x+3的图象； 4/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 2 -5-4-3-2-17 012345x 3 (3)【独立思考】 ①二次函数y=-x2+2x+3与一次函数y=3x+1图象的交点坐标是； ②方程x2+2x+3=3x+1的解为； (4)【归纳总结】若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象相交，则交点 的 坐标可以看成关于x的方程ax2+bx+c=kx+b(a≠0，k≠0)的解； (⑤)【巩固应用】若二次函数y=x2-4x+3的图象与一次函数y=2x+b的图象只有一个交点，则关于x的方 程x2-4x+3=2x+b的解是.（直接写出结果） 类型三、已知二次函数上对称的两点求对称轴 次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 y=ax2+bx+c (ax0) y=ax2+bx+c (a<0) 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=-b 2a 直线x=- 2a b 4ac-b2 b 顶点坐标 4ac-b2 2a’4a 2a 4a 例3.（25-26九年级上·北京西城阶段练习)二次函数y=a(x-2)(x+3)(a≠0)的对称轴是 【变式3-1】(25-26九年级上·安微安庆阶段练习)若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点 A(m,n,Bm-2,n,则n= 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3-2】(25-26八年级上·安徽淮南阶段练习)已知方程ax2+bx+c=0的两根分别为x=-1,2=5, 则二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线 【变式3-3】(25-26九年级上·安微阶段练习)在平面直角坐标系中，设二次函数y=(x+a(x-a-6),其 中a≠0. (1)此二次函数的对称轴为直线x= (2)己知点Pt,m)和Q(7,n在此函数的图象上，若m≤n,则t的取值范围是 类型四、利用二次函数的性质比较大小 次函数的增减性 函数 y=ax2+bx+c (ax0) y=ax2+bx+c (a<0) 当x< 时，y随x的增大而减小 当x<- 2a 时，y随x的增大而增大： 2a 增减性 当x> 时，y随x的增大而增太： 当x> 2a 时，y随x的增大而减小： 2a 例4.（25-26九年级上内蒙古阶段练习)点P(-1,y),P(3,y2),P（6,y)均在二次函数y=-(x-22+1 的图象上，则”，，的大小关系是一 【变式4-1】(25-26九年级上陕西阶段练习)若二次函数y=-x2+6x-7+m(m为常数)的图象过 A(-1,y),B(2,2),C(6,3)三点，则，，的大小关系是·（用“<”连接） 【变式4-2】(25-26九年级上浙江阶段练习)已知点A-2,y,)、B(0.5,y2)、C(2,y3)在二次函数 y=2x2-4x+c的图象上，则、、片的大小关系（用“<”连接） 【变式4-3】(25-26九年级上北京阶段练习)已知点(-1，m),(2,n在二次函数y=ax2-2ax+3a>0)的图 象上，则m n.（填“><”或“=”). 6/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型五、根据二次函数的增减性求最值 二次函数的最值 函数 y=ax2+bx+c (ax0) y=ax2+bx+c (a<0) 当x=-名时，y有最大值4ac-B 最值 当x=力时，y有最小值4ac-b 2a Aa 2a 无最大值； 无最小值， 例5.(25-26九年级上山东滨州阶段练习)已知二次函数y=-x2+6x-5,当1≤x≤4时，函数值y的取值 范围是」 【变式5-1】(25-26九年级上浙江杭州阶段练习)已知二次函数y=2x2+8x+13,当-3≤x≤0时，y的取 值范围是 【变式5-2】(25-26九年级上·黑龙江阶段练习)已知二次函数y=mx2+2mx+1m≠0)，当-2≤x≤2时， y有最小值-4，则m的值为 【变式5-3】(25-26八年级上北京阶段练习)当a≤x≤a+2时，二次函数y=x2+2ax-3的最大值与最小 值的差为〉，则实数a的值为 4 类型六、二次函数图象和性质的综合问题 二次函数的开口方向、对称轴、项点 函数 y=ax2+bx+c (ax0) y=ax2+bx+c (a<o) 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=-b 2a 直线x=-b 2a b 顶点坐标 b 4ac-b2 4ac-b2 2a'4a -2a'4a 2. 二次函数的增减性 函数 y=ax2+bx+c (ax0) y=ax2+bx+c (a<0) 7/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当x<-力时，y随x的增大面或处 2a 当x<一么时，y随x的增大而增太： 2a 增减性 当x> 时，y随x的增大而增大： 2a 当x> 时，y随x的增大而越小： 2a .二次函数的最值 函数 y=ax2+bx+c (ax0) y=ax2+bx+c (a<0) 最值 当x三2时，y有最小值4c-b 当x=之时，y有最大值4ac-b 4a 2a Aa 无最大值； 无最小值： 例6.(25-26九年级上河南商丘阶段练习)已知二次函数y=ax2+bx-5(a≠0)的图象经过点(-4，-5). (I)若a=1,求该函数图象的顶点坐标. (2)若a<0,点A-1y),B(m,y2)在该函数图象上，且y>y2,求m的取值范围. 【变式6-1】(25-26九年级上，安徽阶段练习)已知抛物线y=ax2-(3a+1x+3a≠0). (1)若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值； (②)该抛物线一定经过的定点为 3)当心0时，求证：该褪物线的对称釉一定在直线x三的右。 【变式6-2】(25-26九年级上·安微阶段练习)已知抛物线y=x2-4bx+c. (1)若点(3，c在抛物线上. ①求抛物线的对称轴： ②当1≤x≤4时，y的最大值为6，求抛物线的函数表达式： ②当05x51时，了=-46x+e0<b<川最大值与最小值的差为，求b的值。 【变式6-3】(25-26九年级上浙江绍兴阶段练习)己知点A2,-3)是二次函数y=x2+(2m-1x-2m图象 上的点。 (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当-1≤x≤4时，求函数的最大值与最小值的和： (3)当-1≤x≤t时，若函数的最大值与最小值的和为10，求t的值. 8/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 压轴专练 一、单选题 1.已知抛物线y=-(x+)+3,下列结论中错误的是() A.抛物线的开口向下 B.抛物线的对称轴为直线x=-1 C.当x=-1时，y取最大值3 D.当x>-1时，y随x的增大而增大 2.关于二次函数y=-x2+4x-5,下列说法错误的是（) A.图象开口向下 B.图象与y轴的交点为(0，-5) C.当x<2时，y随x的增大而增大 D.函数值有最小值 3.若二次函数y=x2-4x+c的图象经过点A(5,”),B(2,y2),C(-2,y),则下列大小关系正确的是() A.y2<片<3B.y1<y2<y3 C.y3<y2<y D.y2<3<y 4.已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： 0 3 5 -3 -4 则下列关于这个二次函数的结论正确的是() A.a-b+c=1 B.函数图象开口向下 C.当x>0时，y随的增大而减小 D.y的最小值是-4 5.已知抛物线y=x2+4x,当-3≤x≤a时，y的最大值与最小值之和为1，则a的值为() A.-5 B.-2或-1 C.-1 D.1 二、填空题 6.将二次函数y=x2-2x+3化为顶点式 其顶点坐标是 7已知=次话数y=-+m、且有合为小、小C(分为小则、⅓接从大到小的顾 序排列为 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.已知函数y=-4x2+4ax-4a-a2,若函数在0≤x≤1上的最大值是-5，则a的值为， 9.抛物线y=ax2+bx-2经过点A2a,-2),B(4a,y1),C(x2,y2) (1)若a=1,则该抛物线的对称轴是直线x=一 (2)若对于3a≤x2≤3+a,都有片<y2，则a的取值范围是。 10.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论： ①abc>0; ②二次函数图象的对称轴是直线x=-1; ③当x<-1时，y随x的增大而减小； ④方程ax2+bx+c=0的解为x,=-3,x3=1. 其中正确的结论有 三、解答题 11.已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点(1,0)，（-1,4. (1)试确定此二次函数的解析式： (2)请判断点P(-2,4)是否在这个二次函数的图象上，并说明理由. 面直角坐标系中，抛物线y=，+bx+c经过点A-2,0和点B(0 10/12