专题01 反比例函数的图象和性质的五类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级下册

专题01 反比例函数的图象和性质的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、根据反比例函数的定义求参数 类型二、判断反比例函数的图象和性质 类型三、比较反比例函数值或自变量的大小 类型四、根据反比例函数图象和性质求参数 类型五、反比例函数的图象和性质综合问题 压轴专练 类型一、根据反比例函数的定义求参数 1.认准标准形式： 反比例函数有两种形式：y= k/x和y= kx⁻¹。解题时，要将题目给的函数式与这两种形式对比。 2.排除特殊情况： 系数k不能为0。求出参数值后，要检查它是否使k变成了0。如果是，这个解就要舍去。 例1．若是反比例函数，那么m的值是 ． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、利用平方根解方程 【分析】本题考查反比例函数定义求参数，解不等式及绝对值方程等知识，由反比例函数定义得到，且，求解即可得到，熟记反比例函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：是反比例函数， ，且， ， 故答案为：． 【变式1-1】已知函数 是反比例函数，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．任意实数 【答案】B 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义的形式，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， 解得，， ∴， 故选：B ． 【变式1-2】若函数是反比例函数，则的值是 ． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，则即可求解，解题关键是将一般形式转化为的形式． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】已知是关于的反比例函数，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是（为常数，），先根据反比例函数的定义求出的值，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ∴， 故答案为：． 类型二、判断反比例函数的图象和性质 1.看 k 的符号，定图象位置和增减性： - 当 k > 0时，双曲线在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小。 - 当 k < 0时，双曲线在二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大。 2.用 k 的绝对值，定图象的"陡峭"程度： - |k|越大，双曲线越靠近坐标轴，图象越"陡"。 - |k|越小，双曲线离坐标轴越远，图象越"平缓"。 3.掌握不变的几何意义： - 双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线，形成的矩形面积恒等于|k| 。 - 这个三角形的面积恒等于|k|/2。 - 这是一个非常重要的隐含条件。 例2．关于反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点 C．图象是一条直线 D．的值随的值增大而减小 【答案】B 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数解析式得到反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大， ∴只有B选项符合题意， 故选：B ． 【变式2-1】关于反比例函数 ，下列说法错误的是（   ） A．图像经过点 B．图像位于第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解并掌握反比例函数的图像及性质是解题关键．根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：对于反比例函数，当时，可有， 即图像经过点， 因为，所以图该函数像位于第一、三象限，当时，y随x的增大而减小， 当时，， 故选项A、B、D正确，不符合题意，选项C错误，符合题意． 故选：C． 【变式2-2】已知反比例函数的图象经过点，则下列描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．y的值随x的值增大而增大 C．当时， D．点在该图象上 【答案】D 【知识点】求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质， 先求出关系式，再根据反比例函数图象的性质逐个分析即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为. 所以反比例函数的图象位于第一，三象限；在每一个象限内，函数值y随着x的增大而减小；当时，；当时，，可知点在反比例函数的图象上， 所以正确的是D， 故选：D. 【变式2-3】已知反比例函数，则下列结论不正确的是（   ） A．反比例函数的图象分别位于第二、四象限 B．图象关于原点成中心对称 C．若、为函数图象上两点，且则 D．图象关于直线成轴对称 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵反比例函数， ∴反比例函数的图象分别位于第二、四象限，原选项正确，不符合题意； 、图象关于原点成中心对称，原选项正确，不符合题意； 、若、为函数图象上两点，当，则，当，则；当，则，原选项不正确，符合题意； 、图象关于直线成轴对称，原选项正确，不符合题意； 故选：． 类型三、比较反比例函数值或自变量的大小 1. 先看象限，快速区分： - 函数值的正负由  k  的符号决定。 - 比较不同点的函数值时，先判断各点所在象限。 - 第一、三象限的函数值为正，第二、四象限为负。 - 正数值永远大于负数值，这是最快的判断方法。 2. 再看增减，同一象限内比较： - 若点在同一象限，可利用函数的增减性比较。 - 当  k > 0  时， y  随  x  增大而减小。 - 当  k < 0  时， y  随  x  增大而增大。 - 利用这个规律，通过比较自变量大小得出函数值大小，反之亦然。 例3．已知点、、在反比例函数的图象上，并且，则、、的大小关系为 （用<号表示） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟悉掌握反比例函数的增减性是解题关键． 在反比例函数中，，根据反比例函数的增减性即可确定． 【详解】∵在反比例函数中，， ∴在每一个象限内，随着增大而增大， ∵， ∴、两点在第二象限，在第三象限， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式3-1】若图象上有三个点，则大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大， ∵点在反比例函数图象上，且， ∴； 故选C． 【变式3-2】反比例函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象所在象限以及增减性判断即可． 【详解】解：由题意，反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵反比例函数的图象经过点，，，， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】已知点，，在函数的图象上，比较，，大小 （用“”连接）． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征．函数图像上点坐标都满足该函数解析式．把点的坐标分别代入函数解析式，代入函数解析式，求得、、的值，然后比较它们的大小即可． 【详解】解：点，，在函数的图象上， ，， 故答案为：． 类型四、根据反比例函数图象和性质求参数 1.利用函数图象的位置： - 观察双曲线所在的象限，可直接判断k的符号。 - 例如，若双曲线在第二、四象限，则k < 0 。 2.利用函数的增减性： - 题目描述增减性时，可反推出k的符号。 - 例如，"y 随 x 的增大而减小"意味着k > 0 。 3.利用 k 的几何意义： - 这是最常用且重要的方法。 - 题目给出特定三角形或矩形面积时，直接利用S = |k|/2或S = |k|求解。 - 先求出|k|的值，再结合图象位置确定k的正负。 例4．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m= ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质根据反比例函数的定义和图像经过的象限确定即可确定m的值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴，即， ∵函数图像经过第二、四象限， ∴，即， ∴． 故答案为． 【变式4-1】若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数：当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：. 【变式4-2】已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【详解】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围． 【点睛】解：∵反比例函数的图象上两点，，当时，， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式4-3】已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】根据，且，得到，解答即可． 本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据，且， ∴即， 解得， 故答案为：． 类型五、反比例函数的图象和性质综合问题 1.用好 k 的几何意义： - 这是综合题里的"万金油"。 - 题目里只要出现面积，立刻想到k的几何意义。 - 利用S = |k|或S = |k|/2来求k值或面积。 2.联立方程，求交点坐标： - 这是处理函数与函数、函数与几何图形关系的核心。 - 把反比例函数和一次函数解析式联立，解方程组。 - 得到的解就是它们的交点坐标，这是连接代数和几何的桥梁。 3.分析函数性质，比较大小： - 结合k的符号，判断函数增减性。 - 利用增减性来比较函数值或自变量的大小。 - 有时需要画出草图来辅助分析，这样更直观。 例5．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，即可求解； （2）当时，y随x的值增大而减小，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， ∴a的取值范围是：； （2）解：∵当时，y随x的值增大而减小， ， 解得：， ∴a的取值范围是：． 【变式5-1】已知函数． (1)当为何值时，此函数为正比例函数，且随的增大而增大？ (2)当为何值时，此函数为反比例函数，且图象经过第一、三象限？ 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、根据反比例函数的定义求参数、正比例函数的性质、正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了正比例和反比例函数的定义以及性质求解即可． （1）根据正比例函数的定义以及性质求解即可． （2）根据反比例函数的定义以及性质求解即可． 【详解】（1）解：当函数为正比例函数时， 则， 解得：， ∵随的增大而增大． ∴， ∴， ∴． （2）当函数为反比例函数时， 则， 解得：， ∵图象经过第一、三象限 ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】（1）画出函数的图象． ①列表： x … … y … … ②描点并连线． （2）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）上升；变大 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断（画）反比例函数图象 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，画反比例函数图象，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． （1）先列表，然后描点，最后连线即可得出反比例函数图象； （2）根据反比例函数的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）列表： x … … y … 1 2 3 6 … 函数图象如答图： （2）从图象可以看出，曲线从左向右上升，当x由小变大时随之变大． 故答案为：上升；变大． 【变式5-3】【综合与探究】 【研究背景】在学习一次函数、二次函数及反比例函数的图象与性质过程中，同学们学会了探究函数图象与性质的路径和方法．数学兴趣小组的同学运用学习过的知识，类比反比例函数图象与性质的研究路径，对函数的图象与性质进行探究． 【探究过程】 （1）确定函数自变量的取值范围； （2）绘制函数图象： ①列表：列出x与y的几组对应值； x … 0 1 2 … y … 3 2 m … ②描点：根据表中的数值在坐标系中描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象． （3）结合图象探究函数的性质． 【请完成以下任务】 (1)函数自变量x的取值范围是________； (2)表格中m的值是________； (3)把函数图象补充完整； (4)观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）； (5)若一次函数与函数相交于点，结合函数图象求出使不等式成立的x的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3)见解析 (4)减小 (5)或 【知识点】求自变量的取值范围、从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，不等式的解集，正确地画出函数的图象是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件即可得到结论， （2）把代入解方程得到即可； （3）根据题意画出函数的图象即可； （4）根据反比例函数的性质即可得到结论； （4）根据一次函数和反比例函数的交点即可得到结论． 【详解】（1）解：函数自变量x的取值范围是， 故答案为：； （2）解：把代入得， 故答案为：1； （3）解：把函数图象补充完整如图所示； （4）解：观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值y随x的增大而减小， 故答案为：减小； （5）解：一次函数过点，则， 由得：， ， 由图象得，不等式成立的x的取值范围为或 ， 故答案为：或． 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东·期中）函数是反比例函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义的基本条件是解题的关键．根据定义，得到，计算即可． 【详解】∵函数是反比例函数， ∴， 解得， 故选C． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象所在象限，结合图形判定函数值的大小的方法是关键． 根据反比例函数解析式得到函数图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象经过第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，如图所示， ∴， 故选：D ． 3．（24-25九年级上·全国·期末）若双曲线 的一支位于第三象限，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查已知反比例函数所经过的象限求参数，根据双曲线的一支位于第三象限，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵双曲线 的一支位于第三象限， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26九年级上·山东东营·开学考试）关于反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．图象经过 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案． 【详解】解：A、由于，则图象位于第一、三象限，正确，不符合题意； B、由于，图象在一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小，错误，符合题意； C、由，可得图象经过，正确，不符合题意； D、的图象关于直线对称，若点在它的图象上，则点也在它的图象上，正确，不符合题意． 故选：B． 二、填空题 5．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）若函数是反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据自变量的次数是，系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， ∴． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）函数与图象的一个交点坐标为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，分式的求值，根据函数解析式，可得，，进而得出，，即可求解． 【详解】解：∵函数与图象的一个交点坐标为， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 7．（2025九年级上·全国·专题练习）反比例函数，当时，随的增大而减小，则一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的性质，熟知一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质可得，再根据一次函数的图象与性质即可得． 【详解】解：∵反比例函数，当时，随的增大而减小， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：四． 8．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知点，在反比例函数 (k是常数)的图象上，当时，，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意可得，结合得出反比例函数图象分布在第一、三象限，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，在反比例函数 (k是常数)的图象上，且， ∴， ∵， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25九年级上·湖南·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该反比例函数图象上 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的定义得且，求解即可； 把代入反比例函数求得的y值，即可判断． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 10．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点，，都在该反比例函数图象上，请把a，b，c按从小到大的顺序进行排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数表达式，反比例函数图象上点的特征，掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点代入，求得k的值，即可求出反比例函数表达式； （2）将点代入函数中，求出a，b，c的值进行比较． 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得， ∴； （2）解：∵点，，都在图象上， ∴， ∴． 11．（24-25九年级上·福建福州·期末）已知点,点在反比例函数的图象上． (1)求的值； (2)点均在反比例函数的图象上,若,试比较,的大小． 【答案】(1) (2)当或时,；当时, 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式,反比例函数图象的性质,正确求出反比例函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出,把代入计算即可； （2）根据（1）可得反比例函数解析式为,进而得到反比例函数经过第二,四象限,在每个象限内y随x增大而增大,据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入得,, 解得：； ∴ 把代入,得, 解得： （2）∵, ∴反比例函数经过第二,四象限,在每个象限内y随x增大而增大, ∵点都在反比例函数的图象上, ∴当或时,；当时,． 12．（24-25九年级下·全国·期中）已知反比例函数(k为常数，k≠2)． (1)若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围； (2)若，试写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数（为常数）中，当时，在每一象限内随的增大而减小；当时，在每一象限内随的增大而增大是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质，当反比例函数（为常数）中时，在每一支上随的增大而增大，所以通过这个性质列关于的不等式求解． （2）先把代入函数解析式得到具体的反比例函数，再分别求出和时对应的的值，最后根据反比例函数的单调性确定的取值范围． 【详解】（1）解：反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大 ； （2）解：当时，反比例函数为 当时，，解得 当时，，解得 反比例函数在时，随的增大而减小 当时，． 13．（24-25九年级上·湖南·期中）一次函数交轴于点，交反比例函数于点，已知点的横坐标为1． (1)求反比例函数解析式； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合运用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先把点的横坐标为1代入，求出，再用待定系数法求出的值； （2）由可得是以为底，到距离为高的三角形面积，故把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点，对应直线间距离都与到距离相等，分别联立方程组，由此可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1，且点在函数图象上， ∴， 将点代入反比例函数，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵直线与轴交点为，而， ∴把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点， 即，解得：，（舍去） 或，解得：，（舍去） ∴点的坐标为或． 14．（2025·贵州贵阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴，交轴于点，连接，点为的中点，过点的反比例函数与相交于点． (1)点的坐标是___________； (2)求反比例的函数表达式； (3)求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法、反比例函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据点的坐标及点为的中点，即可求解； （2）根据（1）中点的坐标，结合待定系数法即可求解； （3）求出直线的解析式，结合（2）中反比例函数的解析式进行计算即可． 【详解】（1）解：点的坐标为，轴，点为的中点， 点的坐标为， 故答案为：； （2）将点代入得， ， 反比例的函数表达式为； （3）令直线的函数解析式为， 点的坐标为， 则， ， 直线的函数解析式为， 联立，解得， 点的坐标为． 15．（24-25九年级上·江西鹰潭·阶段练习）在函数的学习中，我们经历了从“函数表达式-画函数图象-利用函数图象研究函数性质-利用图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： … 0 … 2 3 5 … … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； (2)观察图象，发现：①当_____时，随的增大而_____（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为_____； (3)函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，的取值范围是_____． 【答案】(1)见解析 (2)①或，增大；② (3)或 【分析】本题考查了描点法画函数图象、中心对称图形、图象法解不等式，正确画出函数图象是解题的关键． （1）利用描点法画出函数图象即可； （2）观察图象即可解答； （3）当时，即，整理得到，再结合（1）中的图象即可解答． 【详解】（1）解：函数图象如图： （2）解：①当或时，随的增大而增大； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为； 故答案为：①或，增大；②； （3）解：当时，即， 整理得：， 由（1）中图象得，当或时，有， 当时，的取值范围是：或． 故答案为：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01反比例函数的图象和性质的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、根据反比例函数的定义求参数 类型二、判断反比例函数的图象和性质 类型三、比较反比例函数值或自变量的大小 类型四、根据反比例函数图象和性质求参数 类型五、反比例函数的图象和性质综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、根据反比例函数的定义求参数 1.认准标准形式： 反比例函数有两种形式：y=k/x和y=a·。解题时，要将题目给的函数式与这两种形式对比。 2.排除特殊情况： 系数k不能为0。求出参数值后，要检查它是否使k变成了0。如果是，这个解就要舍去。 例1.若y=(m-2)xm-5是反比例函数，那么m的值是 【变式1-1】己知函数y=(m-1)xm-2是反比例函数，则m的值为（) A.1 B.-1 C.1或-1 D.任意实数 【变式1-2】若函数y=2xm-1是反比例函数，则m的值是 【变式1-3】已知y=(m2+2m)x叶3是关于x的反比例函数，则(m-22= 类型二、判断反比例函数的图象和性质 1.看k的符号，定图象位置和增减性： 当k〉0时，双曲线在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小。 当k〈0时，双曲线在二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大。 2.用k的绝对值，定图象的”陡峭"程度： 1/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 - k越大，双曲线越靠近坐标轴，图象越”陡”。 - k越小，双曲线离坐标轴越远，图象越”平缓”。 3.掌握不变的几何意义： 双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线，形成的矩形面积恒等于k。 这个三角形的面积恒等于k/2。 这是一个非常重要的隐含条件。 例2.关于反比例函数y=-二，下列说法中正确的是() A.图象位于第一、三象限 B.图象与坐标轴没有交点 C.图象是一条直线 D.y的值随x的值增大而减小 【变式2-1】关于反比例函数y=2, 下列说法错误的是() A.图像经过点1,2 B.图像位于第一、三象限 C.当x>0时，y随x的增大而增大 D.当x>1时，0<y<2 【变式2-2】已知反比例函数y=k≠0)的图象经过点(3,4)，则下列描述正确的是() A.图象位于第二、四象限 B.y的值随x的值增大而增大 C.当y>0时，x<0 D.点(6,2)在该图象上 【变式23】已知反比例函数y=(化<0)，则下列结论不正确的是() A.反比例函数的图象分别位于第二、四象限 B.图象关于原点(0,0成中心对称 C.若(X,y1)、（x2,y2)为函数图象上两点，且<x2,则乃<y D.图象关于直线y=-x成轴对称 类型三、比较反比例函数值或自变量的大小 1.先看象限，快速区分： 函数值的正负由k的符号决定。 、 比较不同点的函数值时，先判断各点所在象限。 第一、三象限的函数值为正，第二、四象限为负。 正数值永远大于负数值，这是最快的判断方法。 2.再看增减，同一象限内比较： 2/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 。若点在同一象限，可利用函数的增减性比较。 当k>0时，y随x增大而减小。 当k<0时，y随x增大而增大。 利用这个规律，通过比较自变量大小得出函数值大小，反之亦然。 例3.已知点P,、Q(,,、M(x在反比例函数y=9的图象上，并且x<,<0<,则4、 2、⅓的大小关系为 (用<号表示) 【变式3】若)=图象上有三个点-3()行 则y.y大小关系是() A.月<2<3 B.y3<y2<y C.y3<y<y2 D.y<y<y3 【变式3-2】反比例函数y=k>0的图象经过点(-2，a,(-1,b,(3,c,则a,b,c的大小关系 为 【变式33】已知点(-2，)，(1，)，(5，在函数y=6的图象上，比较，，大小（用 “<”连接). 类型四、根据反比例函数图象和性质求参数 1.利用函数图象的位置： 观察双曲线所在的象限，可直接判断k的符号。 例如，若双曲线在第二、四象限，则k〈0。 2.利用函数的增减性： -题目描述增减性时，可反推出k的符号。 例如，"y随x的增大而减小”意味着k>0。 3.利用k的几何意义： - 这是最常用且重要的方法。 题目给出特定三角形或矩形面积时，直接利用S=k/2或S=k求解。 先求出k的值，再结合图象位置确定k的正负。 例4.若反比例函数y=（m-1x的图象经过第二、四象限，则m= 【变式41】若反比例函数y=m-的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 【变式4-2】已知点Ax,),B(x,)为反比例函数y=m+1图象上的两点，当x<,<0时，y>2, 则m的取值范围为一， 3/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式43】已知点A(x,,Bx,为反比例函数y=1-2m图象上的两点，当x<0<,时，片>，则 m的取值范围为」 类型五、反比例函数的图象和性质综合问题 1.用好k的几何意义： 这是综合题里的”万金油”。 题目里只要出现面积，立刻想到k的几何意义。 利用S=k或S=k/2来求k值或面积。 2.联立方程，求交点坐标： 这是处理函数与函数、函数与几何图形关系的核心。 把反比例函数和一次函数解析式联立，解方程组。 得到的解就是它们的交点坐标，这是连接代数和几何的桥梁。 3.分析函数性质，比较大小： 结合k的符号，判断函数增减性。 利用增减性来比较函数值或自变量的大小。 有时需要画出草图来辅助分析，这样更直观。 例5.已知反比例函数y=2a+6 (a为常数). (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当x>0时，y随x的值增大而减小，求a的取值范围. 【变式5-1】己知函数y=(m-2x8-m. (1)当m为何值时，此函数为正比例函数，且y随x的增大而增大？ (2)当m为何值时，此函数为反比例函数，且图象经过第一、三象限？ 【变式52】(1)画出函数y=-6(x<0)的图象. ①列表： -5 ②描点并连线. 4/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6 5 4 3 2 6543210123456 3 - 61 (2)从图象可以看出，曲线从左向右」 —（填上升或下降”)，当x由小变大时y=-(x<0)随之 (填变大”或“变小”) -6 -5 -4 3 -2 1 6 3 2 3 6 5 2 【变式5-3】【综合与探究】 【研究背景】在学习一次函数、二次函数及反比例函数的图象与性质过程中，同学们学会了探究函数图象 与性质的路径和方法.数学兴趣小组的同学运用学习过的知识，类比反比例函数图象与性质的研究路径， 对函数y=x ，的图象与性质进行探究. 【探究过程】 (1)确定函数自变量的取值范围； (2)绘制函数图象： ①列表：列出x与y的几组对应值； 3 -4 3 4 2 -2 1 3 0 1 2 2 1 1 -2 -3 3 2 m 3 2 2 ②描点：根据表中的数值在坐标系中描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象 1 (3)结合图象探究函数y= 中的性质。 5/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 -3 2 4321d12345x -2 【请完成以下任务】 1)函数y=1 自变量x的取值范围是 x+1 (2)表格中m的值是m=: 3)把函数y=】图象补充完整： x+1 (4)观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值y随x的增大而一（填“增大”或“减小”）： 5)若一次函数乃=x+b与函数为=相交于点(-2，-1，结合函数图象求出使不等式y<乃成立的x的取 x+1 值范围. 压轴专练 一、单选题 1.(24-25九年级上山东·期中)函数y=x-是反比例函数，则k的值为() A.2 B.1 C.0 D.-1 2.(2025湖南长沙模拟预测)若点Ax,-,Bx,CK,3)都在反比例函数y=3的图象上，则 x,xx的大小关系是() A.x1<x2<x3B.x2<x1<x3 C.x3<x2<x1 D.<x3<x2 3.(24-25九年级上全国期未)若双曲线y=《-2的一支位于第三象限，则k的取值范围是() A.k<2 B.k>2 C.0<k<2 D.k≤2 6/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 4.（25-26九年级上·山东东营·开学考试)关于反比例函数y=二，下列结论不正确的是() A.图象位于第一、三象限 B.y随x的增大而减小 C.图象经过(-1，-3) D.若点P(m,n在它的图象上，则点Qn,m也在它的图象上 二、填空题 5.(24-25九年级上·云南昭通阶段练习)若函数y=mx+m-是反比例函数，则= 6.(24-25八年级下江苏镇江期末)函数y=与y=x-3图象的一个交点坐标为(a,b),则上-的值 为 7.(2025九年级上全国专题练习)反比例函数y=(k≠0)，当x<0时，y随x的增大而减小，则一次函 x 数y=kx+k的图象不经过第象限. 8.(24-25八年级下吉林长春期末)已知点M(m,),N(m+1,,在反比例函数y=《k是常数)的图象 1 上，当m>0时，片>y2,则k的取值范围是 三、解答题 9.(24-25九年级上湖南期中)己知函数y=(m+2xm-3为反比例函数. (1)求m的值， (2)判断点P(-1,-2)是否在该反比例函数图象上. 10.(2425九年级下贵州六盘水阶段练习)在平面直角坐标系中，点(3，-4)在反比例函数y=的图象上. (I)求反比例函数的表达式： (②)已知点A(6,a),B(-3,b),C(2,c)都在该反比例函数图象上，请把a,b,c按从小到大的顺序进行排列. 1.(2425九年级上福建福州期末)已知点A2,-4),点8(m,6在反比例函数y=1二k的图象上 (1)求m的值； (2②点P(,,Q(x,,均在反比例函数y=1-的图象上，若x<,试比较片，5的大小. 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 k- 12.（24-25九年级下·全国·期中)已知反比例函数y= 二(k为常数，2) (1)若这个函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，求k的取值范围： (②)若k=8,试写出当-3≤y≤-2时，x的取值范围 13.(24-25九年级上湖南期中)一次函数y=x+3交x轴于点A,交反比例函数y=于点B,已知点B的 横坐标为1. A (1)求反比例函数解析式； 2②点C在反比例函数y=第一象限的图象上，若Sc,=Saoa,求点C的坐标。 14.(2025贵州贵阳·三模)如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为3,4)，过B点作BA⊥x轴，交x轴 于点A,连接OB,点C为AB的中点，过点C的反比例函数y=《(x>0)与OB相交于点D. B A (1)点C的坐标是 (2)求反比例的函数表达式： (3)求点D的坐标. 15.(24-25九年级上·江西鹰潭阶段练习)在函数的学习中，我们经历了从“函数表达式-画函数图象-利用函 数图象研究函数性质-利用图象和性质解决问题的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数y=一一 4 的图象 x-1 性质。 (1)根据题意，列表如下： -3 2 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2 4 -4 -2-1 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； (2)观察图象，发现：①当时，y随x的增大而 (填“增大”或“减少”)； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 ； 4 (3)函数y=- +2的图象可由函数y=- 的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数 x-1 x-1 4 x-1 +2图象，直接写出当y≥-2时，x的取值范围是一， 9/9