专题02 勾股定理及其逆定理10大题型（专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题02 勾股定理及其逆定理 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据勾股定理求三角形问题（常考点） 1 题型二、勾股数（树）问题 9 题型三、勾股定理与面积问题 12 题型四、勾股定理与网格问题 16 题型五、勾股定理与折叠问题 21 题型六、勾股定理的证明 26 题型七、赵爽弦图的计算问题 32 题型八、勾股定理与数轴中的无理数问题 37 题型九、勾股定理及其逆定理的应用（重点） 42 题型十、勾股定理中最短路径问题（难点） 53 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据勾股定理求三角形问题（常考点） 1．已知中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断是直角三角形的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理，熟练掌握各定理是解决本题的关键．从三角形三边的关系利用勾股定理的逆定理和从角的关系利用三角形内角和定理逐个判断即可． 【详解】解：A．设，由三角形内角和为可知：，解得，故，是直角三角形，不符合题意； B．由三角形内角和定理可知：，即，此时是直角三角形，不符合题意； C．已知条件可变形为，由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，不符合题意； D．设，此时，无法构成三角形，符合题意； 故选：D． 2．直角三角形三边的长分别为4、5、x，则x可能取得的值为（   ） A．3 B．3或 C．3或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，分边长为5的边为斜边和边长为5的边为直角边两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当边长为5的边为斜边时，则， 当边长为5的边为直角边时，则， 综上所述，的值为3或， 故选：C． 3．如图，在中，，，，过点作于点，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．先利用勾股定理求出的长，再利用等面积法求出的长即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 故选：C． 4．在中，，，则的值为（    ） A．4 B．8 C． D．无法计算 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理并能熟练运用求解． 先根据勾股定理得到，再代入求值． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．如图，在四边形中，，若，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、勾股定理的应用以及几何图形中的垂直关系，证明，通过勾股定理计算出是解题的关键． 首先利用全等三角形对应边相等得到，再通过勾股定理求出的长度，最后依据全等三角形对应边相等得出的长度． 【详解】解：， ， ，且， ， ， ， 即是直角三角形， 在中， ， 即：， ， ， 故答案为：10． 6．若直角三角形的两条边的长分别为a、b，且满足，则该直角三角形第三边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理．根据非负性，，再分情况讨论，当为直角边时，当为斜边时，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 解得：，， 设直角三角形的第三边为， 当为直角边时， ， 当为斜边时，． 故答案为：或． 7．在中，，周长为60，斜边与一条直角边之比为，则这个三角形的面积是 ． 【答案】150 【分析】本题考查的是勾股定理，由斜边与一条直角边比是，设斜边是，直角边是，根据勾股定理，得另一条直角边是，根据周长列方程，求得两直角边的长，进而得出三角形面积即可． 【详解】解：设斜边是，直角边是， 根据勾股定理，得另一条直角边是， ∵周长为60， ∴， 解得：， ∴三角形的直角边边长分别是15，20， ∴三角形的面积， 故答案为：150． 8．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为 时， 为直角三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于，如图： 则四边形为长方形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，， ， 当时，， 即， ， 解得，； 当时，如图：作于， 由勾股定理得，，， ， 在中，， 即， ， 解得：； 当时，在中， 则， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 9．如图，四边形中，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握其相关知识点是解题的关键．先利用勾股定理求出，进而得到，即可证明为直角三角形，且，即可得出结论． 【详解】证明：在中， ， ∵ ∴， ∵在中，，， ， ∴为直角三角形，， ∴． 10．如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线性质，解题的关键是先证明直角，再根据垂直平分线性质转换线段，根据勾股定理列方程求解． （1）根据勾股定理逆定理即可证明； （2）连接，根据是的垂直平分线，得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； （2）解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 11．已知：如图，在中，，，，是斜边上的高． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)25 (2)12 【分析】本题主要考查了勾股定理： （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：在中，∵，，， ∴； （2）解：∵是斜边上的高，， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 12．如图，四边形中，，，，，．判断是否是直角，并说明理由． 【答案】是直角，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，连接,先由勾股定理求出，再证明得到即可． 【详解】解：是直角，理由： 连接， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 题型二、勾股数（树）问题 13．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．，， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此即可求解． 【详解】解：根据勾股数的定义，首先排除A、B选项； ∵， ∴C不符合题意；D符合题意； 故选：D 14．下列各组数中，勾股数是（   ） A．6，7，8 B． C． D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数的识别，若三个正整数满足较小的两个正整数的平方的和等于最大的数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴6，7，8这组数不是勾股数，不符合题意； B、和不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵，且， ∴这组数不是勾股数，不符合题意； D、∵， ∴5，12，13这组数是勾股数，符合题意； 故选：D． 15．请写出一组包含12的勾股数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查勾股数；根据勾股数的定义即可求出． 【详解】解：∵， ∴是一组包含12的勾股数； 故答案为：． 16．如图是美丽的勾股树及其形成过程，其中第1个图形是边长为1的正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，则第3个图形中所有正方形面积的和是 ． 【答案】3 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理，结合正方形的面积公式可得，，，，则，进而可求解． 【详解】解：如图，设A、B、C、D、E、F、P、Q为对应正方形的面积，则， 由勾股定理，得，，， ∴， 则第3个图形中所有正方形面积的和是， 故答案为：3． 17．如图，正方形M经过2次“生长”形成“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，面积分别记作，所有的三角形都是直角三角形． (1)正方形的面积之间有什么关系？ (2)第2次“生长”出来的4个正方形的面积与正方形M的面积有什么关系？ (3)随着这棵勾股树的不断“生长”，请你提出一个问题，并给出答案． 【答案】(1) (2) (3)这棵树每次“生长”增加的正方形面积之和是多少？答案：每次生长增加的正方形面积之和是 【分析】此题主要考查了三角形、正方形的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式． （1）根据正方形的面积公式及勾股定理得出、、之间的关系即可； 【详解】（1）解：正方形和是通过在正方形的边上构建直角三角形后形成的，根据勾股定理，直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上的正方形面积之和， 因此，正方形的面积等于正方形和的面积之和，即：． （2）解：正方形、、、是通过在正方形和 的边上构建直角三角形后形成的．根据勾股定理，正方形和的面积之和等于正方形的面积，而正方形、、、的面积之和等于正方形和的面积之和． 因此，正方形、、、的面积之和等于正方形的面积，即：． （3）解：这棵树每次“生长”增加的正方形面积之和是多少？ 答案：每次生长增加的正方形面积之和是． 题型三、勾股定理与面积问题 18．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是（   ）． A．336 B．164096 C．464 D．155904 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 根据勾股定理计算即可． 【详解】∵三个正方形围成一个直角三角形， ∴图中字母M所代表的正方形面积是， 故选A． 19．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（   ） A．18 B．16 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理，得到，即可求出答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， 在中，， ， 即阴影部分的面积是18． 故选：A． 20．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记，，．若，．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出． 由勾股定理得出，求出，进而求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴由图形可知，阴影部分的面积为． 故选：D． 21．如图，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当，时，则阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查勾股定理，求不规则图形的面积，勾股定理求出的长，根据阴影部分的面积等于两个小半圆的面积加上直角三角形的面积，再减去大半圆的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：4． 22．如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为，则的值为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、圆的面积问题．由勾股定理可得，再根据即可求解． 【详解】解： 中，， ， ， 故答案为：． 23．如图，在中，已知，以为直角边向外作（），分别以，，，为直径向外作半圆，面积分别记为，，，．已知，，，请问的大小是多少？ 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其应用，解题关键在于把握题中各半圆面积之间的隐含关系．先根据圆的面积公式将，，，分别用含，，，的式子表示，再根据勾股定理得出等式，再转化为，即可求出结果． 【详解】解： ，， 根据勾股定理，得． ， 同理可得，， ． 又 ，，， ． 24．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，连接，，，以为边向外做正方形，求正方形的面积． 【答案】正方形的面积为12.5． 【分析】本题考查的是勾股定理、正方形面积公式.熟记勾股定理是解题的关键． 由已知条件的和均为直角三角形，由两次勾股定理得出，得正方形面积． 【详解】解：∵，， 和均为直角三角形， ， ， ∴正方形的面积为12.5． 题型四、勾股定理与网格问题 25．如图所示网格中，已知，两个格点，现要在网格中另取一格点，使得，则这样的格点共有（   ）个    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理与网格问题，根据网格的特点，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，   设网格中每个小正方形的边长为，连接, 由图可知，, , , , , , ; 综上，共有个格点使得． 故选：C． 25．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形顶点上，则线段的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，结合正方形网格，逐一画图计算后判定即可． 【详解】A．如图，，该选项不符合题意； B．如图，，该选项不符合题意； C．在正方形网格中找不到这样的格点，使得，该选项符合题意； D． 如图，，该选项不符合题意； 故选：C． 26．如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，，，，，均为格点，连接、，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质．取格点，连接，，求得，推出，利用勾股定理及其逆定理求得是等腰直角三角形，求得，据此求解即可． 【详解】解：取格点，连接，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 27．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，则网格上的三角形中，边长不是有理数的有 条． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理计算各条边长，即可计算得出结果． 【详解】解：如下图所示， 在中，， 应用勾股定理可知， ，长度为有理数， 同理可得， ，长度为无理数， ，长度为无理数． 故答案为：． 28．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点． (1)在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长为，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案； （2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案． 【详解】（1）解：如图1所示：正方形即为所求； （2）如图2所示：三角形即为所求． 29．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； (3)在你所画的图中，求出斜边上的高（每个小正方形的边长为1）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，准确的理解勾股定理和构造直角三角形是解题的关键． （1）画一个边长为3,4,5的三角形即可； （2）利用勾股定理，找长为、和4的线段，画三角形即可； （3）根据等积法求出斜边上的高即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；（答案不唯一） ； （2）解：如图，即为所求作的三角形．（答案不唯一） ，； （3）解：设直角三角形斜边上的高为h，则， ∴． 题型五、勾股定理与折叠问题 30．如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出的长，由折叠的性质得到，根据列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 31．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解． 【详解】解：将此长方形折叠，使点与点重合， ∴． ∵． ∴， 根据勾股定理可知， 解得． ∴的面积为． 故选：A． 32．如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为 ． 【答案】或（或） 【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 由题意可知，需要分为点位于靠近点的三等分点和点位于靠近点的三等分点两种情况进行讨论，根据题意可得，的长度，设出的长度，由折叠的性质可依次求出，的长度，由勾股定理可知，，建立方程并解方程即可得解． 【详解】如图1所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， ， 由折叠的性质可知，， 设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 如图2所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， 由折叠的性质可知，， 此时，设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 综上所述，当点是边的三等分点时，的长为或． 故答案为：或（4.5或1.8）． 　 33．折叠矩形纸片，使点B 与点D 重合，折痕分别交于点 E，F，若 ，，则 【答案】5.8 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题；根据题意得到，设，利用勾股定理得到，计算求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴在中， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 34．如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： (1)的长． (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形，求三角形的面积，结合图形求解是解题关键． （1）根据长方形的性质得出，再由折叠的性质确定，利用勾股定理求解即可； （2）结合图形直接求面积即可． 【详解】（1）解：因为四边形为长方形， 所以． 由折叠的性质，得． 由勾股定理，得， 所以， 所以． 设，则． 所以， 解得， 所以． （2）． 题型六、勾股定理的证明 35．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 36．国际数学教育大会被誉为数学教育界的“奥林匹克”，于2021年首次在中国举办．其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法．图2是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形围成的一个大正方形，请用等面积法验证勾股定理： 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理、以弦图为背景的计算题、等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先用两种方法表示出大正方形的面积，根据表示的面积相等证明即可． 【详解】解：∵外面大正方形的面积， 里面小正方形的面积4个直角三角形的面积， ∴， ∴． 37．勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理．如图， (1)要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得______，用分割计算面积得______； (2)请尝试验证勾股定理． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明及整式的混合运算，熟练掌握勾股定理及整式混合运算的运算法则是解题的关键． （1）分别用两种方法“整体计算”和“分割计算”表示直角梯形的面积； （2）两种方法表示出的直角梯形的面积相等，列出等式，整理后证明出即可． 【详解】（1）用整体计算面积：直角梯形的面积， 用分割计算面积：三个直角三角形的面积， （2）直角梯形的面积为， 也可以表示为三个直角三角形的面积和，即， ， ． 38．【问题背景】 如图1是著名的赵爽弦图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）与按如图2所示位置放置，连接，其中，请你利用图2推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）问中，若，，，，，设，求x的值． 【答案】（1）见解析；（2）少0.16千米；（3）6 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，理解题意是解答的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）由，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 39． 活动目标 巧妙运用几何问题解决实际问题；通过对几何图形的观察、分析、研究，从中归纳代数恒等式 活动任务 任务一：测量河两岸A、B两点间的距离 测量工具：测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图：   测量步骤： ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为． 请你根据以上方案求出A、B两点间的距离 任务二：意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，图②的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图①中空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为．   （1）请用含a、b、c的代数式分别表示； （2）请利用达·芬奇的方法证明勾股定理 【答案】任务一：A、B两点间的距离为；任务二：（1），；（2）见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握三角形全等的方法． 任务一：证明，得出，根据，求出； 任务二：（1）根据图形利用正方形和直角三角形的面积公式即可求解； （2）由得，化简即可得出结论． 【详解】任务一： 解：， ， ． 在和中，， ， ． 又， ， 即A、B两点间的距离为； 任务二： （1）解：根据题意，得，． （2）证明：由得， ． 题型七、赵爽弦图的计算问题 40．如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为，根据勾股定理可得该直角三角形的斜边长为，然后可得小正方形的边长为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为， ∴该直角三角形的斜边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴它们的面积比为； 故选D． 41．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求得，进而可得，根据题意即可得出这个风车的外围周长． 【详解】解：如图， 由题意可知，． ， ． ∴这个风车的外围周长是． 故选：B． 42．在“赵爽弦图”中，，将四个全等直角三角形中的较长直角边向外延长一倍（即），得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据风车外围的周长可求出“数学风车”的斜边，再通过勾股定理可将“数学风车”的直角边求出，进而由勾股定理即可求出，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 43．如图，由多个直角三角形拼成的美丽图案，已知直角边，其它直角边，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的知识，掌握勾股定理的知识是解答本题的关键； 本题需要先分别求得，，，然后找到规律，即可求解； 【详解】解：由勾股定理可得：，，，， ∴， 故答案为：； 44．【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 【答案】(1)6 (2)①证明见解析；②37 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，可得，可求，即可求解； （2）①由可证，可得； ②由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25， ∴， ∴， ∴每个朱实的面积， 故答案为：6； （2）①证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∴阴影部分图形的面积， 故答案为：37． 45．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，求的值． 【答案】29 【分析】本题主要考查勾股定理，完全平方公式的变形运用，理解图示，掌握勾股定理，完全平方公式的变形计算是关键，根据题，，，运用完全平方公式的变形即可求解． 【详解】解：大正方形的面积是15，小正方形的面积是1， 四个直角三角形面积和为，即， ，， ． 46．如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 【答案】(1)④；⑤；② (2) 【分析】本题考查面积法验证勾股定理，完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由图可知，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，利用图中大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，列出方程可求，再利用完全平方公式求出，则题目可解． 【详解】（1）解：如图所示，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）解：设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， 由题意可知中间小正方形的边长为， ∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积， ∴， 所以． 由勾股定理，得， ∴． ∵， ∴， 则一个直角三角形的周长． 题型八、勾股定理与数轴中的无理数问题 47．如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1.3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键；根据勾股定理可得，然后问题可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴点A表示的数是； 故选D． 48．如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图-作相等线段等知识，熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 先由勾股定理求出，再由基本尺规作图得到，则，从而得到答案． 【详解】解：如图所示：于， 在中，，，，则由勾股定理可得， 以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点， ， 则， 点表示的数为， 故选：B． 49．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在数轴上找出表示数字2的点D，过点D作垂直于数轴，且，以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴原点右侧于一点，则该点大致位于数轴上的（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，无理数的估算，根据勾股定理求出的长，在利用夹逼法进行估算即可． 【详解】解：由题意和勾股定理，得：， ∵以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴原点右侧于一点， ∴该点表示的数为：， ∵， ∴， 故选B． 50．如图，正方形的边长是1，边在数轴上，点A表示，点B是原点．以点A为圆心，以正方形的对角线的长为半径画半圆交数轴于点P，Q，则点P表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据勾股定理在数轴上表示无理数． 根据正方形边长以及结合勾股定理求出，观察数轴得出点在点的左侧，再列式表示出点表示的数，即可作答． 【详解】解：正方形的边长是1， 正方形的对角线为， ， 观察数轴得出点在点的左侧， ∴点表示的数是． 故答案为：． 51．尺规作图：在数轴上找出表示的点． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了在数轴上表示无理数．根据，结合勾股定理即可进行解答． 【详解】解：如图，在数轴上找到表示的点A，将点A向上平移一个单位长度到点B，连接，以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于点P，P点即为所求． ． 52．如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点A． (1)写出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数____________（填写“”或“”）； (3)在数轴上找出对应的点，（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，实数大小比较，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出，然后得出点A表示的数即可； （2）先求出，，根据，得出即可； （3）过点D作，在上截取，连接，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点G，则点G即为所求作的点． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴点A所表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，点G表示的数为． ∵，，， ∴， ∴． 53．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴上右边两个边长为1的小正方形可以通过拆分拼接成左边一个大正方形． (1)这个大正方形的边长为______； (2)作图：在如图数轴上作出实数“”对应的点P（要求保留作图痕迹）； (3)在（2）的基础上，在答题卷备用图数轴上通过尺规作图来判断是正数还是负数？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)是正数，见解析 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，二次根式的乘法，掌握数轴表示数的方法是正确解答的关键． （1）根据勾股定理求出边长为1的正方形的对角线的长； （2）根据数轴表示数的方法以及尺规作图的方法进行解答即可； （3）在（2）的基础上截取，再观察点Q与数轴表示3的点的位置关系进行解答即可． 【详解】（1）解：∵大正方形的边长恰好是边长为1的正方形的对角线， ∴大正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：如图，设原点为O，以点O为圆心，以为半径画弧交数轴的正半轴于点P， 即 则点P所表示的数是； （3）解：是正数，作图验证如下： 如图，由（2）可得，再在点P的右侧的数轴上截取 则， 此时点Q在数轴上表示3的点的左侧， 即， ∴ 即是正数， 题型九、勾股定理及其逆定理的应用（重点） 54．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：B． 55．如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是，和，、是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想去点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面展开—最短距离问题，勾股定理的应用，把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键． 【详解】解：展开图为： 则，， 在中， ， ∴蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是. 故选：B． 56．如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积为（    ） A．24 B．36 C．72 D．90 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 连接，先利用勾股定理可得，则可得，再根据勾股定理的逆定理可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴这块地的面积 ， 故选：A． 57．如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设树高为，则可用表示出，利用勾股定理可得到关于的方程，求解即可．用树的高度表示出，利用勾股定理得到方程是解题的关键． 【详解】解：设树高为，则， 由题意可知：， ∴， 根据题意知：，即为直角三角形， ∴， 即， 解得：， 即这棵树高． 故答案为：． 58．一旗杆在离地面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，那么这根旗杆原来有 m高． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．根据勾股定理求出，则即为旗杆的高． 【详解】解：根据题意，在中，，， ， ， 即旗杆原来有高． 故答案为：16． 59．（24-25八年级下·湖南·期末）如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要 天才能把隧道凿通． 【答案】18 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：，，， ， （天)， 即需要18天才能将隧道凿通， 故答案为：18． 60．水池中有水，水面是一个边长为尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的池边，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？ 【答案】水池深尺，芦苇长尺 【分析】本题主要考查了勾股定理．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度尺， 答：水池深尺，芦苇长尺． 61．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； 【详解】（1）解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； （2）如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 62．消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 在中，根据勾股定理可得的长，从而得到的长，然后在中，根据勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 63．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 工具 绳子、皮尺等 测量示意图        说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1米 图2中的长度 5米 根据以上测量结果，请求出学校旗杆的高度． 【答案】米 【分析】此题考查勾股定理的应用，能够用一个未知数表示出未知的两条边，再根据勾股定理列方程求解． 设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米， 设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米 由图2可得，在中，， 解得，， 答：旗杆的高度为12米． 64．如图，在笔直的铁路上、两点相距，，为两村庄，于点，于点，，，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．求应建在距多远处？ 【答案】点应建在距 处 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．设，那么，由勾股定理，可知，，结合，列出方程，解出答案即可． 【详解】解：设， 在笔直的铁路上、两点相距， ， 在中，， ， 在中， ， ， 由题意得：， ， 解得：．             答：点应建在距 处． 65．如图，在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C，公路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．大货车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到公路的距离； (2)一辆大货车以的速度经过公路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【答案】(1) (2)会造成噪声污染，污染的时间为 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）在上取不同的两点E、F，连接，使得，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于D，如图所示， 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图所示，在上取不同的两点E、F，连接，使得． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 66．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵， ∴这辆小汽车超速行驶， 答：这辆小汽车超速了． 题型十、勾股定理中最短路径问题（难点） 67．如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（   ）． A． B． C．3 D．9 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理中最短路径问题，解题的关键是理解圆柱展开图，结合两点间线段最短得到最短线段．将圆柱展开，根据图形得到A，C两点的位置结合两点间距离公式及勾股定理直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段最短，连接，即为最短距离， ∵圆柱体的底面圆周长为，高为， ∴ ， 在中，由勾股定理，得：， 故选：A． 68．如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形．现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体表面爬行到顶点C处，则小虫爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平面展开——最短路径问题，勾股定理，化为最简二次根式，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再利用两点之间，线段最短，确定两点之间的最短路径．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题． 将立体图形展开，有两种不同的展法，连接，利用勾股定理求出的长，找出最短的即可． 【详解】解：①如图，将长方体的上面和右面或者前面和下面展开在同一平面内，    ∵，，， ∴； ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内， ∵，，， ∴， ∵ ∴小虫爬行的最短路程为． 故选：B． 69．如下图所示，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题以及勾股定理的应用，重点考查对立体图形展开图的理解以及勾股定理的实际运用能力． 需要将长方体的侧面展开，把立体图形问题转化为平面图形问题，然后利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路径． 【详解】解：把长方体的四个侧面展开，得到一个长方形． 这个长方形的长是长方体底面周长，宽是长方体的高， 已知长方体底面边长分别为和，高为， 则底面周长为，长方形的宽为． 蚂蚁从点经过个侧面爬行一圈到达点， 其最短路径是展开后长方形的一条对角线， 设蚂蚁爬行的最短路径长为， 在这个长方形中，两条直角边分别为和， 则有可得， 因为长度不能为负，所以舍去，得到． 故选：C． 70．如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是 ． 【答案】 【分析】此题考查平面展开-最短路径问题，画出正确的平面展开图，作出辅助线构造直角三角形利用勾股定理求解是解题关键．先把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点，根据两点之间线段最短得到最短路线长度为 的长度，然后根据勾股定理计算的长即可． 【详解】解：把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点， 作于H，则 ，， ， ∴， 在 中， ． 故答案为：． 71．如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为（即）的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为 m．（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） 【答案】17 【分析】本题考查了平面展开－最短路径问题，型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径的半圆的弧长，矩形的长等于，解决本题的关键是把型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：如图是其侧面展开图：， 在中，， 故他滑行的最短距离约为； 故答案为：17． 72．如图所示，四边形是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵墙，高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，求它至少要走多长的路程． 【答案】至少要走的路程 【分析】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．将图展开，连接，利用勾股定理求出的长，即可得出蚂蚱从点爬到点需要走的最短路程． 【详解】解：如图所示，将图展开，连接， 图形长度增加，原图长度增加，则， ∵四边形是长方形，，宽， ∴， ∴，负值舍去， 即蚂蚱从点爬到点，它至少要走的路程． 73．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 【答案】25尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先将葛藤缠绕的状态展开（见解析），再根据题意可得尺，尺，，然后利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】解：将葛藤缠绕的状态展开如图所示： 则一条直角边（即枯木的高）尺，另一条直角边（尺）． 由勾股定理，得， 所以， 所以尺（负值已舍）． 答：葛藤的最短长度为25尺． 74．如图是一个无盖圆柱形玻璃容器，底面周长为，高为．蚂蚁在容器上爬行，从容器外壁离容器上沿的点爬到容器内壁离容器底部的点处（点与点A相对），求蚂蚁爬行的最短路程． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：容器侧面部分展开图如下，作点A关于的对称点，连接． 根据对称性质可知，则． 当点在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长． 容器高为，底面周长为， 所以， 所以， ． 答：蚂蚁爬行的最短路程是． 75．（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为________． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是________．（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 故答案为：． 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 2．（2025·广东·一模）如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由折叠的性质得出，，，，推出，再由勾股定理求出，设，则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 3．（2025·江苏南京·二模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图），图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的加减，全等三角形的性质，根据已知得出用含，表示出，，，再利用求出答案是解决问题的关键．根据图形的特征设四边形的面积设为，其余八个全等的三角形面积中的一个设为，从而用含，的式子表示出，，，得出答案即可． 【详解】解：设四边形的面积为，其余八个全等的三角形面积中的一个设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， 得出，，， ， 故， ∴， 即． 故答案为：． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，分别以的两直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，三个半圆围成两个月牙形阴影，则两个月牙形阴影的面积之和等于的面积，这就是著名的“月牙定理”．若阴影部分的面积为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆的面积，由题意得出，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，一根筷子长，斜放在半径为的圆形水杯中，露出水杯外面的部分的长为，则水杯的高 ． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解决问题的关键． 根据题意，，利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，圆形水杯半径为2.5， ∴，， ∴水杯的高． 故答案为：12． 6．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形（如图1），且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图2，如此继续“生长”下去，则“生长”第次后所有正方形的面积和为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理，根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的面积之和等于；依此类推，经过次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的倍，进而得问题答案，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 【详解】解：如图： 设直角三角形的三条边分别是，，． 根据勾股定理，得， 即正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 所有正方形的面积之和为； 正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积 正方形的面积正方形的面积 正方形的面积 ， 所有正方形的面积之和为， …， 推而广之，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·陕西安康·期末）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“测量花园面积”的项目式学习活动．小组测量方案示意图及测量数据如表所示： 项目主题 为校园空地设计创意花坛 项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛． 实践工具 卷尺、铅笔等． 设计说明 如图，四边形是校园里的一块空地，线段是将该空地分割成两块区域的栅栏（宽度忽略不计），其中区域内种植矮牵牛，种植三色堇． 测量数据 ，，，． 项目任务 分别求种植矮牵牛和种植三色堇的面积． 请你完成项目任务． 【答案】种植矮牵牛的面积为，种植三色堇的面积为 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，由勾股定理求得，进而由勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， 在中，， 由勾股定理可得：， ∴， 又∵， ∴，则是直角三角形，， ∴种植矮牵牛的面积为， 种植三色堇的面积为． 8．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1． (1)请以，，作为三角形的三边长，在图中画出此三角形，使三角形的顶点均在格点上． (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了网格图形和勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． （1）借助网格，利用勾股定理画出三角形即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行判断直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：结论：是直角三角形． 理由：∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 9．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，我方侦察员在距离东西公路处的侦察站A进行侦察，突然发现一辆敌方汽车在公路上行驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得此时汽车正好在公路上与他相距的B处，16秒后，敌方汽车到达与他相距的D处． (1)求敌方汽车的速度； (2)侦察站A到东西公路只有一条长为的小路，侦察员发现敌方汽车后，立即联系我方队员，当敌方汽车到达D处时，我方队员同时开车从侦察站A出发，沿小路进行拦截，若我方队员车速为，能否成功在C点拦截敌方汽车？请通过计算进行说明． 【答案】(1)敌方汽车的速度为 (2)能成功在C点拦截敌方汽车，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点作于点，由勾股定理得，，则，即可解决问题； （2）在中，由勾股定理得，则，再求出敌方汽车的到达点的时间为，再求出我方队员到达点的时间，然后比较，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 则，， 由题意可知，，， 由勾股定理得：， ， ， ， 答：敌方汽车的速度为； （2）解：能成功在点拦截敌方汽车，理由如下： 由题意可知，， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，， ， 敌方汽车的到达点的时间为：， 我方队员车速为， 我方队员到达点的时间为：， ， 能成功在点拦截敌方汽车． 10．（24-25八年级下·广东广州·期末）实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为，且． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）图2若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 【答案】（1）绳子长；（2）滑块B向左滑动的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，则，在中，利用 求解，最后算出绳子长度即可； （2）由题意可知，（），在中，由勾股定理得，，最后算得长度即可． 【详解】解：（1）物体C到定滑轮A垂直距离为，且， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ，， 绳子长度（）． 答：绳子总长度为18分米． （2）如图2，由题意可知，， 若物体C升高，则此时（）， 在中，由勾股定理得，（）， （）． 答：滑块B向左滑动的距离为． 11．（2025·广东·三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 【答案】(1) (2) (3)该铅笔不能露出在外面，理由见解析 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图、勾股定理及两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据圆柱侧面积公式求解即可； （2）画出侧面展开图，根据勾股定理及两点之间，线段最短即可求解； （3）根据勾股定理求出斜放铅管能露出外面的最短长度，然后比较即可． 【详解】（1）解：裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积：， 答：裁剪出的包装纸的面积为； （2）解：如图，点D，点E为圆柱高的中点，连接，， 为圆柱的底面周长， 为圆柱高的，即， 由勾股定理得，， 所需绳子的最短长度为． （3）解：笔筒的直径是，高是， 斜放铅笔能露出外面的最短长度是， 而，故该铅笔不能露出在外面． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理及其逆定理 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据勾股定理求三角形问题（常考点） 1 题型二、勾股数（树）问题 3 题型三、勾股定理与面积问题 4 题型四、勾股定理与网格问题 6 题型五、勾股定理与折叠问题 7 题型六、勾股定理的证明 9 题型七、赵爽弦图的计算问题 11 题型八、勾股定理与数轴中的无理数问题 13 题型九、勾股定理及其逆定理的应用（重点） 15 题型十、勾股定理中最短路径问题（难点） 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据勾股定理求三角形问题（常考点） 1．已知中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断是直角三角形的是(   ) A． B． C． D． 2．直角三角形三边的长分别为4、5、x，则x可能取得的值为（   ） A．3 B．3或 C．3或 D． 3．如图，在中，，，，过点作于点，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 4．在中，，，则的值为（    ） A．4 B．8 C． D．无法计算 5．如图，在四边形中，，若，则的长为 ． 6．若直角三角形的两条边的长分别为a、b，且满足，则该直角三角形第三边长为 ． 7．在中，，周长为60，斜边与一条直角边之比为，则这个三角形的面积是 ． 8．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为 时， 为直角三角形． 9．如图，四边形中，且．求证：． 10．如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 11．已知：如图，在中，，，，是斜边上的高． (1)求的长； (2)求的长． 12．如图，四边形中，，，，，．判断是否是直角，并说明理由． 题型二、勾股数（树）问题 13．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．，， C． D． 14．下列各组数中，勾股数是（   ） A．6，7，8 B． C． D．5，12，13 15．请写出一组包含12的勾股数： ． 16．如图是美丽的勾股树及其形成过程，其中第1个图形是边长为1的正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，则第3个图形中所有正方形面积的和是 ． 17．如图，正方形M经过2次“生长”形成“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，面积分别记作，所有的三角形都是直角三角形． (1)正方形的面积之间有什么关系？ (2)第2次“生长”出来的4个正方形的面积与正方形M的面积有什么关系？ (3)随着这棵勾股树的不断“生长”，请你提出一个问题，并给出答案． 题型三、勾股定理与面积问题 18．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是（   ）． A．336 B．164096 C．464 D．155904 19．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（   ） A．18 B．16 C．9 D．12 20．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记，，．若，．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．9 C． D． 21．如图，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当，时，则阴影部分的面积为 ． 22．如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为，则的值为 ．（结果保留） 23．如图，在中，已知，以为直角边向外作（），分别以，，，为直径向外作半圆，面积分别记为，，，．已知，，，请问的大小是多少？ 24．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，连接，，，以为边向外做正方形，求正方形的面积． 题型四、勾股定理与网格问题 25．如图所示网格中，已知，两个格点，现要在网格中另取一格点，使得，则这样的格点共有（   ）个    A． B． C． D． 25．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形顶点上，则线段的长不可能是（    ） A． B． C． D． 26．如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，，，，，均为格点，连接、，则 ． 27．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，则网格上的三角形中，边长不是有理数的有 条． 28．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点． (1)在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长为，，． 29．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； (3)在你所画的图中，求出斜边上的高（每个小正方形的边长为1）． 题型五、勾股定理与折叠问题 30．如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（   ） A． B．3 C． D．4 31．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 32．如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为 ． 33．折叠矩形纸片，使点B 与点D 重合，折痕分别交于点 E，F，若 ，，则 34．如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： (1)的长． (2)的面积． 题型六、勾股定理的证明 35．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 36．国际数学教育大会被誉为数学教育界的“奥林匹克”，于2021年首次在中国举办．其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法．图2是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形围成的一个大正方形，请用等面积法验证勾股定理： 37．勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理．如图， (1)要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得______，用分割计算面积得______； (2)请尝试验证勾股定理． 38．【问题背景】 如图1是著名的赵爽弦图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）与按如图2所示位置放置，连接，其中，请你利用图2推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）问中，若，，，，，设，求x的值． 39． 活动目标 巧妙运用几何问题解决实际问题；通过对几何图形的观察、分析、研究，从中归纳代数恒等式 活动任务 任务一：测量河两岸A、B两点间的距离 测量工具：测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图：   测量步骤： ①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A、B、C在一条直线上，且； ②测得； ③在的延长线上取点E，使得； ④测得的长度为． 请你根据以上方案求出A、B两点间的距离 任务二：意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成，图②的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图①中空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为．   （1）请用含a、b、c的代数式分别表示； （2）请利用达·芬奇的方法证明勾股定理 题型七、赵爽弦图的计算问题 40．如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 41．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 42．在“赵爽弦图”中，，将四个全等直角三角形中的较长直角边向外延长一倍（即），得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为，则的长为 ． 43．如图，由多个直角三角形拼成的美丽图案，已知直角边，其它直角边，则 ． 44．【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 45．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，求的值． 46．如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 题型八、勾股定理与数轴中的无理数问题 47．如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1.3 C． D． 48．如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 49．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在数轴上找出表示数字2的点D，过点D作垂直于数轴，且，以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴原点右侧于一点，则该点大致位于数轴上的（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 50．如图，正方形的边长是1，边在数轴上，点A表示，点B是原点．以点A为圆心，以正方形的对角线的长为半径画半圆交数轴于点P，Q，则点P表示的数是 ． 51．尺规作图：在数轴上找出表示的点． 52．如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点A． (1)写出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数____________（填写“”或“”）； (3)在数轴上找出对应的点，（保留作图痕迹） 53．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴上右边两个边长为1的小正方形可以通过拆分拼接成左边一个大正方形． (1)这个大正方形的边长为______； (2)作图：在如图数轴上作出实数“”对应的点P（要求保留作图痕迹）； (3)在（2）的基础上，在答题卷备用图数轴上通过尺规作图来判断是正数还是负数？ 题型九、勾股定理及其逆定理的应用（重点） 54．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（   ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 55．如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是，和，、是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想去点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是（   ） A． B． C． D． 56．如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积为（    ） A．24 B．36 C．72 D．90 57．如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 ． 58．一旗杆在离地面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，那么这根旗杆原来有 m高． 59．（24-25八年级下·湖南·期末）如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要 天才能把隧道凿通． 60．水池中有水，水面是一个边长为尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的池边，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？ 61．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 62．消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 63．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 工具 绳子、皮尺等 测量示意图        说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1米 图2中的长度 5米 根据以上测量结果，请求出学校旗杆的高度． 64．如图，在笔直的铁路上、两点相距，，为两村庄，于点，于点，，，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．求应建在距多远处？ 65．如图，在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C，公路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．大货车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到公路的距离； (2)一辆大货车以的速度经过公路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 66．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 题型十、勾股定理中最短路径问题（难点） 67．如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（   ）． A． B． C．3 D．9 68．如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形．现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体表面爬行到顶点C处，则小虫爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 69．如下图所示，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 70．如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是 ． 71．如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为（即）的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为 m．（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） 72．如图所示，四边形是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵墙，高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，求它至少要走多长的路程． 73．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺． 74．如图是一个无盖圆柱形玻璃容器，底面周长为，高为．蚂蚁在容器上爬行，从容器外壁离容器上沿的点爬到容器内壁离容器底部的点处（点与点A相对），求蚂蚁爬行的最短路程． 75．（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为________． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是________．（杯壁厚度不计） 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·一模）如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南京·二模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图），图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是 ． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，分别以的两直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，三个半圆围成两个月牙形阴影，则两个月牙形阴影的面积之和等于的面积，这就是著名的“月牙定理”．若阴影部分的面积为，，则 ． 5．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，一根筷子长，斜放在半径为的圆形水杯中，露出水杯外面的部分的长为，则水杯的高 ． 6．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形（如图1），且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图2，如此继续“生长”下去，则“生长”第次后所有正方形的面积和为 ． 7．（24-25八年级下·陕西安康·期末）为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“测量花园面积”的项目式学习活动．小组测量方案示意图及测量数据如表所示： 项目主题 为校园空地设计创意花坛 项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛． 实践工具 卷尺、铅笔等． 设计说明 如图，四边形是校园里的一块空地，线段是将该空地分割成两块区域的栅栏（宽度忽略不计），其中区域内种植矮牵牛，种植三色堇． 测量数据 ，，，． 项目任务 分别求种植矮牵牛和种植三色堇的面积． 请你完成项目任务． 8．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1． (1)请以，，作为三角形的三边长，在图中画出此三角形，使三角形的顶点均在格点上． (2)判断的形状，并说明理由． 9．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，我方侦察员在距离东西公路处的侦察站A进行侦察，突然发现一辆敌方汽车在公路上行驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得此时汽车正好在公路上与他相距的B处，16秒后，敌方汽车到达与他相距的D处． (1)求敌方汽车的速度； (2)侦察站A到东西公路只有一条长为的小路，侦察员发现敌方汽车后，立即联系我方队员，当敌方汽车到达D处时，我方队员同时开车从侦察站A出发，沿小路进行拦截，若我方队员车速为，能否成功在C点拦截敌方汽车？请通过计算进行说明． 10．（24-25八年级下·广东广州·期末）实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为，且． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）图2若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 11．（2025·广东·三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $