专题12 三角形和直角三角形相关含辅助线证明题（6种类型48道）（高效培优期末专项训练）八年级数学上学期湘教版2024

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题12三角形和直角三角形相关含辅助线证明题 (6种类型48道) 考点归纳 考点01倍长中线 考点02截长补短 考点03作垂直 考点04作平行 考点05半角模型 考点06探究边和角的数量关系 考点专练 考点01倍长中线 1.(1)如图①，在ABC中，D是BC的中点，过点C作直线CE,使CE∥AB,交AD的延长线于点E, 求证：AD=ED·请结合图①写出完整的证明过程 B 图① 图② (2)如图②，0A=OB,OC=OD,∠AOB=∠C0D=90°，连接AC、BD,E是AC的中点，延长EO交 BD于点F,OF=2,OE=4,则△BOD的面积为 【答案】(1)见解析；(2)8 【详解】解：(1)：CE∥AB, ∴.∠BAE=∠E,∠B=∠BCE, :D是BC的中点， ∴BD=CD, ∴△ABD≌△ECD(AAS), AD ED (2)如图，过点A作AG∥OC,交OE的延长线于点G, 1/94 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G YO B :AG∥0C, ∴∠G=∠COE,∠EAG=∠C, :点E是AC的中点， .AE CE, :△AEG≌△CEO(AAS), ..AG=OC,EG 0E =4, ∴.0G=8, 0C=0D, ·AG=OD, :∠A0C=∠A0G+∠C0E=∠A0G+∠G, ·∠0AG=180°-∠G-∠A0G=180°-∠A0C, :∠AOB=∠COD=90°， ∠B0D=360°-∠A0B-∠C0D-LA0C=180°-∠A0C, .∠0AG=∠B0D, :0A=0B, .△AOG≌OBD(SAS), .BD=0G=8,∠D=LG, :∠G=∠C0E, ∠D=∠C0E, .LD+LD0F=∠C0E+LD0F=180°-∠C0D=90°， ∴∠0FD=90°，即OF⊥BD, Sm=0F×m-3x2x8=8, 2 2 故答案为：8。 2.八年级数学兴趣小组在一次活动中对“倍长中线法”进行了探究试验活动，请你和他们一起参与本次探究 活动吧。 2/94 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B E B D B D 图1 图2 图3 【探究与发现】 (1)如图1，在ABC中，AD是ABC的中线，小聪同学表示：延长AD至点E,使ED=AD,连接BE, 就可以求证ADC≌EDB,请你帮助他写出证明过程. 【理解与应用】请你运用类似方法解决下列问题： (2)请你运用如图2，在ABC中，AD为中线，E为AB上一点，AD、CE交于点F,且AE=EF.求 证：AB=CF: (3)如图3，CD是ABC的中线，且AB=BE=AC,求证：CE=2CD. 【答案】(1)证明见详解： (2)证明见详解； (3)证明见详解， 【详解】(1)证明：：AD是ABC的中线，延长AD至点E, 使ED=AD, :BD=CD, 在BDE和△CDA中， BD=CD ∠BDE=∠CDA, ED-AD :△BDE≌CDA(SAS): (2)证明：在ABC中，AD为中线，如图2，延长AD至点G,使GD=AD, A BD=CD, B D 图2 G 在△BDA和△CDG中， 3194 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BD=CD ∠BDA=∠CDG, GD=AD △BDA≌△CDG(SAS, AB=CG,∠BAD=∠CGD, SAE=EF,∠EAF=∠AFE, :ZAFE ZDFC,:ZCFG=ZCGF :CF=CG=AB,即AB=CF; (3)证明：CD是ABC的中线，如图3，延长CD至点G,使GD=CD, :BD AD, E B D A 图3 G 在△BDC和△ADG中， BD=AD ∠BDC=∠ADG GD=CD ·△BDC≌△4DG(SAS), ∠DBC=LDAG,BC=AG, :AB=AC, :ZABC=ZACB, .∠ABC=∠ACB=LDAG, :LCBE是△BCE的一个外角， ∠CBE=∠ACB+∠BAC, LCAG=LDAG+∠BAC, .∠CBE=LCAG, 在BEC和△ACG中， BC=AG ∠CBE=∠CAG BE=CA .△BEC≌△ACG(SAS), :CE=CG=2CD,即CE=2CD. 4/94 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在ABC中，AB=7,AC=3,求BC边上的 中线AD的取值范围. M 图1 图2 图3 图4 (1)几何模型：小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长AD到Q使得DQ=AD: ②再连接BQ,把AB、AC、2AD集中在△ABQ中； ③利用三角形的三边关系可得4<AQ<10,则AD的取值范围是 (直接写出其取值范围)》 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条 件和所求证的结论集中到同一个三角形中， (2)初步运用：如图2，AD是ABC的中线，延长DA到点E,连接BE,使BE=AC,求证∠BEA=∠DAC ； (3)拓展提升：己知，如图3，AE是ABC的中线，AB=AD,AC=AF,∠BAD+∠FAC=180°，试探究线 段AE与DF的数量关系，并给予证明. (4)应用实践：如图4，张大爷有一块五边形苗圃ABCDE,其五个内角之和为 540°，测得∠ABC+∠AED=180°，且AB=BC,AE=ED,M为边CD的中点，BM=10米，EM=15米， 直接写出苗圃ABCDE的面积. 【答案】(1)2<AD<5 (2)证明见解析 (3)DF=2AE,证明见解析 (4)150平方米 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，多边形内角和与等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握全等 三角形的构造与证明是解决本题的关键 (1)直接利用不等式的性质即可求解； (2)倍长AD得AADC≌△FDB,结合BE=AC得出等腰△EBF,从而得证； (3)倍长AE得△AEB≌△PEC,结合∠DAB+∠CAF=180°，得出∠ACP=∠FAD,从而证得△FAD≌△ACP即 可得出DF=2AE; (4)倍长BM得△BMC≌△FMD,结合LABC+LAED=180°与五边形内角和得出 ∠BAE=∠FDE,从而证得△BAE≌△FDE,得出BE=FE,结合等腰三角形三线合一，得出EM⊥BF即可 5/94 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 求得苗圃ABCDE的面积为150平方米 【详解】1)解：AD=40,4<A0<10, 2<AD<5, 故答案为：2<AD<5; (2)证明：如图，延长AD至点F,使得DF=AD,连接BF, :AD是ABC的中线， :BD =CD, 在△ADC与△FDB中， AD=FD ∠ADC=∠FDB, CD=BD AADC≌△FDB(SAS)）, ∠CAD=LAFB,AC=BF, :BE=AC, :BE =BF, ∴.∠BEA=∠AFB=∠CAD, :ZBEA=ZDAC (3)解：DF=2AE,理由如下， 如图，延长AE至点P,使得EP=EA,连接CP, D A :AE是ABC的中线， B P :BE=CE, 6/94 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在AAEB与△PEC中， AE=PE ∠AEB=∠PEC, BE=CE ∴△AEB≌△PEC SAS), AB=CP,∠BAE=∠CPE, AD AB, :AD =CP, :∠DAB+∠CAF=180°， :∠DAF+∠BAC=180°， :∠BAC=∠BAE+∠CAP=∠CPE+∠CAP=I80°-∠ACP, LBAC+∠ACP=180°， ∴∠ACP=∠FAD, 在△FAD与△ACP中， FA=AC ∠FAD=∠ACP, AD=CP △FAD≌△ACP(SAS）, :DF AP=2AE; (4)解：如图，延长BM至点F,使得MF=MB,连接DF、EF、BE, B D M为CD中点， M :CM=DM, 在△BMC与△FMD中， BM=FM ∠BMC=∠FMD, CM=DM △BMC≌△FMD(SAS, .BC=DF,∠C=∠MDF, 7194 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠ABC+∠AED=180°，∠ABC+∠AED+∠BAE+∠C+∠MDE=540°， .∠BAE+∠C+∠MDE=540°-180°=360°， :∠FDE+∠MDF+∠MDE=360°， ∠BAE=∠FDE, :AB=BC,BC=DF, :AB=DF, 在△BAE与FDE中， AB=DF ∠BAE=∠FDE, AE=DE :△BAE≌△FDE SAS, .BE FE, :BM MF, .EM⊥BF, S.CMME+S.MDE=.E=BFXME, :BM=10米，ME=15米， :5m-号8F×ME=宁20x15=150平方米 ·苗圃ABCDE的面积为150平方米 4.如图，ABC中，∠CAB=Q,AC=BC,点D在AB上（不与A,B重合），取AD的中点F,连接 CD,CF,将线段CD绕点C顺时针旋转2a得到线段CE,连接AE,BE, A FD (1)依题意，请补全图形： (2)判断BE与CF的数量关系，并证明； (3)当α=45°，AC=BC=6时，设BE与CF相交于点H,则点D在AB上运动的过程中，线段AH的最小值 为 【答案】(1)见解析 (2)BE=2CF,证明见解析 (B)3V5-3 【分析】(1)按要求补全图形，即可求解： (2)延长CF至点G,使CF=GF,连接AG,证明△AFG≌△DFC得出相等的边和角，假设∠FAG=B, 8/94 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 表示出相关的角，证明△ACG≌△CBE,即可得出结论： (3)取BC的中点O,BE与CF的交点为H,连接OH,得出当A、H、O三点共线时，AH+OH最小，画 出图形，利用勾股定理进行求解即可 【详解】(1)解：补全图形如图所示： D B (2)解：BE=2CF,证明如下： 如图，延长CF至点G,使CF=GF,连接AG,则CG=2CF, E 点F是线段AD的中点， A D G :AF =DF, 在△AFG与△DFC中， CF=GF ∠AFG=∠DFC. AF=DF .△AFG≌△DFC, :AG=CD =CE, 设∠FAG=∠ADC=B, 则∠CAG=a+B, :AC=BC,∠CAB=a, ·LABC=LCAB=a, .∠BCD=B-a, :∠ECD=2a, ∠BCE=∠BCD+∠DCE=a+B, LCAG=∠BCE, 在△ACG与△CBE中， AG=CE ∠CAG=∠BCE, AC=BC ∴△ACG≌△CBE, 9/94 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :BE=CG=2CF; (3)解：如图所示，取BC的中点O,BE与CF的交点为H,连接OH, a0c=28C=3, D B 由(2)同理可证：∠ACF=∠CBE, .∠CAB=∠CBA=a=45°， ∠ACB=90°， ∴.∠ACF+∠BCF=90°， ∠CBE+∠BCH=90°， .∠BHC=90°， ∴.OH=5BC=3, 2 :当A、H、O三点共线时，AH+OH最小，如下图， 此时，AH+OH=OA, AH的最小值为AH=OA-OH, 由勾股定理得0A=√AC2+0C2=V62+32=3V5, AH=3V5-3, 故答案为：3V5-3. 【点晴】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，全等三角形的判定及性质， 勾股定理，能熟练利用“倍长中线法”构建全等三角形，并根据两点之间线段最短找出线段取得最小值的条件 是解题的关键。 5.(1)如图1，在ABC中，AD为BC边上的中线，AD=DE.求证：ADC≌EDB: (2)如图2，在ABC中，AD为BC边上的中线，AC=4,AB=6,设AD=x,则x的取值范围为 ； (3)如图3，已知D为ABC的边BC上一点，CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线，求证： AC=2AE. 10/94 专题12 三角形和直角三角形相关含辅助线证明题 （6种类型48道） 考点01 倍长中线 考点02 截长补短 考点03 作垂直 考点04 作平行 考点05 半角模型 考点06 探究边和角的数量关系 考点01 倍长中线 1．（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 2．八年级数学兴趣小组在一次活动中对“倍长中线法”进行了探究试验活动，请你和他们一起参与本次探究活动吧． 【探究与发现】 （1）如图，在中，是的中线，小聪同学表示：延长至点，使，连接，就可以求证，请你帮助他写出证明过程． 【理解与应用】请你运用类似方法解决下列问题： （2）请你运用如图，在中，为中线，为上一点，、交于点，且．求证：； （3）如图，是的中线，且，求证：． 3．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围． (1)几何模型：小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是_________（直接写出其取值范围） 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)初步运用：如图2，是的中线，延长到点E，连接，使，求证； (3)拓展提升：已知，如图3，是的中线， ，，，试探究线段与的数量关系，并给予证明． (4)应用实践：如图4，张大爷有一块五边形苗圃，其五个内角之和为 ，测得，且，，M为边的中点，米，米，直接写出苗圃的面积． 4．如图，中，，，点D在上不与A，B重合，取的中点F，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． (1)依题意，请补全图形； (2)判断与的数量关系，并证明； (3)当，时，设与相交于点H，则点D在上运动的过程中，线段的最小值为______． 5．（1）如图1，在中，为边上的中线，．求证：； （2）如图2，在中，为边上的中线，，设，则的取值范围为___________； （3）如图3，已知D为的边上一点，，，是的中线，求证：． 6．如图，已知在中，是边上的中线，分别以为直角边作直角和，其中，连接． (1)若，求的取值范围； (2)求证：． 7．（1）问题提出：在中，，，求边上的中线的取值范围． 思维点拨：延长中线至等长，构造全等三角形，把、、集中在中，利用三边关系，可得的取值范围． 问题解决1：在图1中找出与的数量关系并证明； 问题解决2：的取值范围是_____，和的位置关系是_____． （2）问题拓展：如图2，是的中线，，，，探究线段与的数量关系并加以证明． 8．我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形，如图，在和中，，，，． (1)和 兄弟三角形；（填“是”或“不是”） (2)取的中点P，连接，求证：，小林同学根据求证的结论，想起了老师上课讲的“中线倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题，试帮小林同学完成证明过程． 考点02 截长补短 9．已知在中，，射线、在内部，分别交线段于点、． (1)如图1，若，，作于点，分别交、于点、． ①求证：； ②若，连接，求的度数； (2)如图2，点为上一点，交于点，连接．若，求的值． 10．如图， ，平分，平分，点在上，求证：． 11．如图所示，在中，，是的平分线．求证：．    12．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 13．如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC． 14．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点． （1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 　 　． （2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明． （3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）． 15．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点． （1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形； （2）连CE，求证：BE＝AE+CE． 16．如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ． 考点03 作垂直 17．在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 18．定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．    (1)如图1所示，是中的遥望角，直接写出与的数量关系__________； (2)如图1所示，连接，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，四边形中，，点E在的延长线上，连，若已知，求证：是中的遥望角． 19．如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G． （1）求证：△EAF≌△DAF； （2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数． 20．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD=α°，∠ABC+∠ADC＝180°，AC、BD交于点E．将△CBA绕点C顺时针旋转α°得到△CDF． （1）求证：∠CAB＝∠CAD； （2）若∠ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，△BCE的面积为S1，△CDE的面积为S2，求S1：S2的值． 21．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 22．如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.    23．如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°． 24．已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，且DB⊥MN于点B，如图易证BD＋ABCB，过程如下： 解：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E ∵∠ACB＋∠BCD＝90°，∠ACB＋∠ACE＝90°， ∴∠BCD＝∠ACE． ∵DB⊥MN，∴∠ABC＋∠CBD＝90°， CE⊥CB，∴∠ABC＋∠CEA＝90°， ∴∠CBD＝∠CEA． 又∵AC＝DC， ∴△ACE≌△DCB（AAS）， ∴AE＝DB，CE＝CB， ∴△ECB为等腰直角三角形， ∴BECB． 又∵BE＝AE＋AB，∴BE＝BD＋AB， ∴BD＋ABCB． （1）当MN绕A旋转到如图（2）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并给予证明． （2）当MN绕A旋转到如图（3）位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请直接写出你的结论． 考点04 作平行 25．已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 26．如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 27．如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求证： 28． P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 29．如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D， (1)求证：DP=DQ； (2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长． 30．已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究： (1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论． (2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由； (3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系． 31．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边，如图1，并在边上任意取了一点（点不与点、点重合），过点作交于点，延长到，使得，连接交于点. （1）若，求的长度； （2）如图2，延长到，再延长到，使得，连接，，求证：. 32．综合探究 问题情境：是等边三角形，点D是上一点，点E在的延长线上，且，连接． 猜想证明： (1)如图1，当点D是的中点时， ________；（填“>”，“<”或“=”） (2)若点D为边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与全等来证明．以下是他们的部分证明过程： 证明：如图2，过点D作，交于点F．（请完成余下的证明过程） 考点05 半角模型 33．如图，在四边形中，，，，， (1)求的长； (2)点从点出发以每秒速度沿着射线运动，设运动时间为秒，点在射线上，且． ①如图1，若点E在线段上，判断线段之间的数量关系，并加以证明． ②在整个运动过程中，求的周长（结果可用含的式子表示）． 34．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 35．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且. （1）求证：； （2）连结AC，若，求的度数. 36．（2019秋•九龙坡区校级月考）如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD． 37．如图①，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=45°，易证：AE+CF=EF（不用证明）． （1）如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图③，在四边形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB与∠BCD互补，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=α，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证明． 38．如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，． （1）如图①，，，．求证：；          （2）如图②，，当周长最小时，求的度数； （3）如图③，若四边形为正方形，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度． 39．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． （1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG； （2）证明：EF＝BE＋DF 40．（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系； （2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：； （3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明． 考点06 探究边和角的数量关系 41．已知在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且，连接、． (1)填空：如图①，当点为中点时，线段与之间的数量关系是：______； (2)如图②，当点为边上任意一点时，过点作，交于点，写出线段与之间的数量关系，并证明； (3)当点为中点，时，点、分别为射线、射线上的动点，且，若，直接写出线段的长． 42．如图，的角平分线、相交于点F，若，交于A，交于B． (1)若，，则______（直接写出答案）． (2)线段与、有怎样的数量关系？写出说明理由． 43．在中，，． (1)如图1，于点D，于点E，求证：； (2)如图2，于点D，于点E，点G在上，，连接交于点H，若，，求的长； (3)如图3，点D在内部，于点D，，，连接交的延长线于点N，判断线段与线段的数量关系，并证明． 44．在中，． (1)如图1，若，D为上一点，过点B作，垂足为E，过点C作，垂足为F，，，求的长度． (2)如图2，M为中点，点P、Q分别为线段、上的动点（不与B、C重合），且，，，请猜想与的数量关系并说明理由． (3)在（2）的条件下，若，当D、Q、M三点共线时，直接写出的值． 45．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． (1)如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是______； (2)如图2，当是钝角，且时，探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当是钝角，且时，直接写出与之间的数量关系． 46．在等腰三角形中，，点是上一动点，在的延长线上取一点，满足，平分交于点． (1)如图，连接，求证：； (2)如图，当时，线段，，之间存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明； (3)如图，当时，平分，且，若，请直接写出线段的长是______（只填写结果）． 47．已知在中，，点是边上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点E，与相交于点．求证：； (3)在（2）的条件下，作的平分线，与边相交于点，请直接写出，，之间的数量关系____________． 48．（1）如图1，四边形中，，，E、F分别在、上，且，探究并直接写出、、之间的数量关系； （2）如图2，四边形中，，，E、F分别在、上，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，四边形中，，，若E在的延长线上，F在的延长线上，仍满足，直接写出与的数量关系． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $