第一章 直角三角形的边角关系（单元测试·基础卷）数学北师大版九年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章直角三角形的边角关系·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B D 9 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.3 2 12.√6 13.2 4月 15.28 16.26,3√5或3 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：c0s60-2sin245+3an230-sin30 11 =21+ 42 、3 3分 2)解：5-(4-x+2sin6+日 =5-1+2x5+4 =V3-1+V3+4 =2√5+3..6分 18. 1/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：如图，作AE⊥BC于点E, B E C D .∠AEB=∠AED=90°， :∠B=60°， ∠BAE=30°， AB=2, 8E=48=1,4E=-5 ∠BAC=75°， .LEAC=45°， .∴.∠ACE=45°， :EC=AE=3, BC=BE+EC=1+V5;3分 (2)解：：EC=AE=√5， AC=2AE=6, CD=CA=6, DE=5+6, tan∠D=E=v5 ED3+6 V2-1.6分 19. 【详解】(1)解：如图， B ∠C=90°，a=4,c=8, 2/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ..b=vc2-a2=43,sin A=- -BC=a=1. AB c 2' ∠A=30°；3分 (2)解：如图， B A ∠C=90°，c=10,∠B=45 ∠A=90-LB=45°，cosB=c0s45°-BC-9-V2 AB102 a=5V2.6分 20. 【详解】(1)解：如图，∠ABC即为所求；an∠ABC=4 1;…2分 D B B B 图① 图② 图③ (2)解：如图，∠ABD即为所求；tan∠ABD=2- 42；4分 (3)解：如图，∠ABE即为所求； :AF∥GH, △FAE∽aHGE, :AF=1,GH=2,AG=4, 怎品 :AB=4G=4 3 3 4 ÷an∠ABE=3=1.6分 43 21. 3/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：BD⊥AC, ∠ADE=90°， 在Rt△ADB中，AB=13,cos∠BAC=AD=5 AB131 AD=5, 由勾股定理得：BD=√AB2-AD2=V32-52=12, E是BD的中点， .ED=6, .在RIAADE中，由勾股定理得：AE=√AD2+ED2=√6I, ·cos∠EAD=AD-5-5V6T AEV6而61·4分 (2)解：如图所示，过点D作DG∥CF,交AF于点G, ∴.∠AGD=∠AFC,∠ADG=∠ACF,∠DGE=∠BFE, B C ·BE=DE,∠DEG=∠BEF, △DEG≌△BEF(AAS), .DG=BF, :∠AGD=∠AFC,∠ADG=∠ACF, △ADG∽△ACF, BF DG AD 5 CF CF AC 8 8分 22. 【详解】(1)证明：：4D-AE=1 ABAc3,∠A=LA, .△ADEn△ABC, ∴∠ADE=∠B, DE∥BC, :EF∥DC, 4/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .四边形CDEF是平行四边形；4分 (2)解：过点D作DG⊥BC于点G, B G :在Rt△DCG中，sin∠DCB=DC-2E,DC=5 DC 13 .DG=2, ∴.CG=VDC2-DG2=3, :在Rt△DGB中，tanB= DG 2 BG 5' BG=5, .BC=BG+CG=5+3=8, :△ADE∽△ABC, DE AD 1 ÷BC=AB3' :0E- :四边形CDEF是平行四边形， ·CF=DE= 。8分 23 【详解】(1)解：：O'C1AC, ∴∠AC0'=90°， :∠C40=37,in37°=0Cs0.6, O'A 0'C=A0'×sin∠0'AC≈0.6A0'=0.6×40=24cm, 答：0'C的长约为24cm;3分 (2)解：过点B作BD⊥A0交A0的延长线于D,如图所示： 5/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B' ● A 则∠0DB=90°， .:∠A0B=120°， .∠B0D=60°， .∠0BD=30°， :.OD=7OB=20cm ∴.BD=V0B2-0D2=20N5≈20×1.73=34.6(cm), 根据旋转可知：0'B'=0B=40cm, 根据解析(1)可知：0'C=24cm, .B'C=0'B'+0'℃≈40+24=64cm, 64-34.6=29.4cm, 答：显示屏顶部B比原来升高了约29.4cm.…8分 24. 【详解】(1)解：如图所示，过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E, 609 O 459 309 459 A 假设DE=x, ∴.CE=tan∠EDC.DE=tan60°.x=√3x, 6/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 CE AE= x=3x tan∠EAC 3 3 BD 100√2100√2 AD= sin∠BAD sin45o= =200 V2 y ..AE DE AD, 3x-x=200, 解得x=100, .AC=2CE=2√5×100=200V5, .AC的距离为200√5海里；6分 (2)解：设乙行驶的路程为s,则甲行驶的路程为2s,根据题意得， CD=2DE=200, 200-5=3×200V5-2s), 解得s=1203-40≈167.6， .乙巡逻艇距离D处167.6海里.12分 25. 【详解】(1)解：根据题意得，sad60°=1， 故答案为：1；3分 (2)解：如图3所示， 图3 当∠A=90°时，sadM=BC V2: AB 当∠A=180时，点A为线段BC的中点，此时BC=2,5adA接近于2： AB .sadA的取值范围是√2<sadA<2, 故答案为：√2<sad4<2;5分 (3)解：如图所示， 7/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 Bh 由amM=3得，BC-2 4 AB4’ 令BC=3,AB=4, 则由勾股定理得AC=VBC2+AB2=V32+42=5, 延长AB至点D,使AD=AC=5, .BD=AD-AB=1, 由勾股定理得CD=√BC2+BD2=√9+1=√10， ÷sad4=CD- ;8分 AD 5 (4)解：如图所示，在BC上截取BD=BA, D :AB=AC,∠BAC=108°， ∠B=∠C=X180°-∠BAC)=36 :∠BAD=∠BDA=}×180°-∠B=72, 2 ∠DAC=∠BAC-∠BAD=108°-72°=36°， .∠B=∠C=∠DAC=36°，LBAC=∠ADC=108°， ∴△ABCn△DAC, 令AD=CD=I,设AC=AB=BD=x, 则CD-AC、AC AC BC BD+CD' 即x xx+1 解得x=+5 2=，(负值己舍)， 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 、sadR AD-1=5一1 AB1+V52.12分 2 9/9………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章 直角三角形的边角关系·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．的值是（   ） A．1 B． C． D． 2．已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 3．在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．9 4．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 5．如图小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了100米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．在，已知、都是锐角，，那么是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 7．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D．2 9．如图，点是坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在中，，则的值是 ． 12．已知在中，，则AB的长为 ． 13．如图，点A，B，C是正方形网格中的格点，则的值为 ． 14．如图，在中，，易知，小明同学想求的值，他在上取点，使得，则 ． 15．综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的D处，测得操控者A的俯角为，测得楼楼顶C处的俯角为，又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米，则楼BC的高度是 米？(点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据：) 16．已知在中，，，P为直线上一点，且，则的长为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算 (1) (2) 18．如图，在中，．点D在的延长线上，且，连接． (1)求； (2)求． 19．在中，是的对边，是的对边，是的对边． (1)若，，，求和的度数； (2)若，，，求和的度数． 20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点在格点上，在图①、图②，图③中，只用无刻度的直尺按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中画，使； (2)在图②中画，使； (3)在图③中画，使． 21．已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F． (1)求的余弦值； (2)求的值． 22．如图，在中，，连接，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 23．综合与实践：居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图1所示，其侧面示意图如图2所示，，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，如图3所示，其侧面示意图如图4所示．已知、、C三点在一条直线上，且，（参考数据：，，，）． (1)求散热架的高度； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？ 24．如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向：（参考数据： (1)求的距离（结果保留根号）； (2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿AC往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留小数点后一位）？ 25．我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系．在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化．类似的：可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）． 如图2，在中，，顶角A的正对记作，这时， 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的；根据上述角的正对的定义，解答下列问题： (1)直接写出的值为 ； (2)若为钝角，则的正对值的取值范围是 ； (3)已知其中为锐角，求的值； (4)在中，，，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章 直角三角形的边角关系·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．的值是（   ） A．1 B． C． D． 2．已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 3．在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．9 4．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 5．如图小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了100米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．在，已知、都是锐角，，那么是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 7．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D．2 9．如图，点是坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在中，，则的值是 ． 12．已知在中，，则AB的长为 ． 13．如图，点A，B，C是正方形网格中的格点，则的值为 ． 14．如图，在中，，易知，小明同学想求的值，他在上取点，使得，则 ． 15．综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的D处，测得操控者A的俯角为，测得楼楼顶C处的俯角为，又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米，则楼BC的高度是 米？(点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据：) 16．已知在中，，，P为直线上一点，且，则的长为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算 (1) (2) 18．如图，在中，．点D在的延长线上，且，连接． (1)求； (2)求． 19．在中，是的对边，是的对边，是的对边． (1)若，，，求和的度数； (2)若，，，求和的度数． 20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点在格点上，在图①、图②，图③中，只用无刻度的直尺按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中画，使； (2)在图②中画，使； (3)在图③中画，使． 21．已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F． (1)求的余弦值； (2)求的值． 22．如图，在中，，连接，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 23．综合与实践：居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图1所示，其侧面示意图如图2所示，，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，如图3所示，其侧面示意图如图4所示．已知、、C三点在一条直线上，且，（参考数据：，，，）． (1)求散热架的高度； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？ 24．如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向：（参考数据： (1)求的距离（结果保留根号）； (2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿AC往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留小数点后一位）？ 25．我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系．在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化．类似的：可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）． 如图2，在中，，顶角A的正对记作，这时， 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的；根据上述角的正对的定义，解答下列问题： (1)直接写出的值为 ； (2)若为钝角，则的正对值的取值范围是 ； (3)已知其中为锐角，求的值； (4)在中，，，求的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章 直角三角形的边角关系·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊三角形的三角函数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据特殊三角形的三角函数求解． 【详解】解：， 故选：C． 2．已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键；根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：，， ， 故选：． 3．在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形中锐角三角函数的定义（正弦函数），解题的关键是明确正弦函数的核心关系——，并准确对应直角三角形中的边（对边为，斜边为，代入已知条件计算． 在中，先根据确定的对边是、斜边是；再根据正弦定义列出的等式；最后将、代入等式，求解的长度，匹配选项得出答案． 【详解】解：在中，，． 已知，，代入得：． 解得． 故选：B． 4．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 5．如图小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了100米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：由题意可知：在中，米，， ∵， ∴（米）， 故选：D． 6．在，已知、都是锐角，，那么是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，由题意得：，进而得，推出、即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴； ∴、； ∴； ∴是直角三角形； 故选：B 7．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．过点作于点，先利用三角函数的定义和勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，最后在中求出的度数． 【详解】如图所示，过点作于点， ，， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：C． 8．如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了网格与勾股定理，求正弦，证明是直角三角形是解题的关键．先根据勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，进而根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：根据网格可得： ，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 故选：C． 9．如图，点是坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过A、B作轴于E，轴于F，利用三角函数、勾股定理解可得，结合矩形的性质可得，再证，推出，根据反比例函数k的几何意义可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过A、B作轴于E，轴于F，如图： ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，反比例函数k的几何意义等，综合性强，有一定难度，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 10．如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度、仰角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，延长交于，在中，，设，则，由勾股定理求得，则米，米，延长交于，过作于，交于，求出（米），（米），然后证明四边形是矩形，则米，米，所以（米），在中，，则，即有（米），然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于， ∴， 在中，， ∴设，则， ∴， ∴， 解得， ∴米，米， ∴米， 延长交于，过作于，交于， ∵， ∴， 在中，米，， ∴米，（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在中，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．首先由勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】解：在中，，且，， ， ． 故答案为：． 12．已知在中，，则AB的长为 ． 【答案】. 【分析】本题主要考查了勾股定理和锐角三角函数定义，解题的关键是正确把握锐角三角函数的定义． 根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义及勾股定理求出即可. 【详解】解：如图所示： 在中， 故答案为：． 13．如图，点A，B，C是正方形网格中的格点，则的值为 ． 【答案】2 【分析】连接，设格点正方形的边长为1，根据勾股定理，得，，，且，故，解答即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，正切的定义，熟练掌握勾股定理及其逆定理，正切的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 设格点正方形的边长为1，根据勾股定理，得 ，，， 故， 故， 故， 故答案为：2． 14．如图，在中，，易知，小明同学想求的值，他在上取点，使得，则 ． 【答案】/ 【分析】根据三角形外角性质和等腰三角形性质得出，设，，利用勾股定理建立方程求出的值，再结合求解，即可解题． 【详解】解：，， ， ， 设， ， ， ， 解得， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质、三角形外角性质、勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 15．综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的D处，测得操控者A的俯角为，测得楼楼顶C处的俯角为，又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米，则楼BC的高度是 米？(点A，B，C，D都在同一平面内，参考数据：) 【答案】28 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用中的仰角和俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 延长交过D点的水平线于E点，过A点作，交的延长线于F点，在中求出，在中表示出，利用，得到方程，解方程得到结果． 【详解】解：如图，延长交过D点的水平线于E点，过A点作，交的延长线于F点， 在中，，，米， 米， 设米， 则米， 在中，，， 米， 米， ， ， 米， 即米， 楼的高度是28米． 故答案为： 16．已知在中，，，P为直线上一点，且，则的长为 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论思想的应用，关键在于正确分析点的位置，并利用几何关系求解． 分和两种情况讨论，同时要分点在线段上和线段的延长线上两种情况，结合图形逐一求解． 【详解】解：根据题意，的直角顶点不确定, ∴需分和两种情况讨论． ①当时，如图(1)，满足题意的点 P 有两个， 在直线上点B 的两侧，分别记为点，． ，， ②当时，如图(2)，满足题意的点 P 有两个，在直线上点B的两侧，分别记为点，． ，， ． ，， 是等边三角形， 综上，的长为、或3． 故答案为：、或3． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了特殊三角函数的混合运算，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． （1）代入特殊角度的三角函数值，计算可得； （2）先计算绝对值，零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再计算加减法． 【详解】（1）解： （2）解： ．　 18．如图，在中，．点D在的延长线上，且，连接． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点E，利用含角的直角三角形的性质求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）根据等腰三角形的性质求出斜边长度，再解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图，作于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．在中，是的对边，是的对边，是的对边． (1)若，，，求和的度数； (2)若，，，求和的度数． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质． （1）直接运用勾股定理即可求解，解直角三角形即可求解的度数； （2）先由直角三角形锐角互余求出度数，再直接解直角三角形即可求出． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴，， ∴； （2）解：如图， ∵，， ∴，， ∴． 20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点在格点上，在图①、图②，图③中，只用无刻度的直尺按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中画，使； (2)在图②中画，使； (3)在图③中画，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】该题是格点作图题，考查了角的正切，相似三角形的性质和判定． （1）取格点，使，连接，则即为所求； （2）取格点，使，连接，则即为所求； （3）取格点，连接交于点E，连接，则即为所求； 【详解】（1）解：如图，即为所求；； （2）解：如图，即为所求；； （3）解：如图，即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F． (1)求的余弦值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在 中，根据求出，再根据勾股定理求出，即可求出，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案； （2）过点作，交于点，根据“角角边”证明可得，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中， ，， ∴， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴． （2）解：如图所示，过点作，交于点， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了余弦的应用，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 22．如图，在中，，连接，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）先证明，则，继而得到，再结合已知条件即可证明平行四边形； （2）过点作于点，先解求出，再由求出，最后再根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 23．综合与实践：居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图1所示，其侧面示意图如图2所示，，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，如图3所示，其侧面示意图如图4所示．已知、、C三点在一条直线上，且，（参考数据：，，，）． (1)求散热架的高度； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，勾股定理，结合图形，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）利用计算即可； （2）过点B作交的延长线于D，先计算，再解，计算，得到，再计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答：的长约为； （2）解：过点B作交的延长线于D，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据旋转可知：， 根据解析（1）可知：， ∴， ， 答：显示屏顶部比原来升高了约． 24．如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向：（参考数据： (1)求的距离（结果保留根号）； (2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿AC往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)海里 (2)海里 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，含角的直角三角形的性质，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是掌握锐角三角函数． （1）过点作，交的延长线于点，假设，利用锐角三角函数求出相关线段的长度，然后利用，求出未知数的值求解即可； （2）设乙行驶的路程为，则甲行驶的路程为，根据距离的关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，交的延长线于点， 假设， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的距离为海里； （2）解：设乙行驶的路程为，则甲行驶的路程为，根据题意得， , ， 解得， ∴乙巡逻艇距离D处海里． 25．我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系．在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化．类似的：可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）． 如图2，在中，，顶角A的正对记作，这时， 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的；根据上述角的正对的定义，解答下列问题： (1)直接写出的值为 ； (2)若为钝角，则的正对值的取值范围是 ； (3)已知其中为锐角，求的值； (4)在中，，，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了新定义下的三角函数比，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解新定义的三角函数比． （1）根据顶角度数确定是等边三角形，然后求比值即可； （2）取和时的值即可确定取值范围； （3）画出图形，令，利用勾股定理求出相关线段的长度，然后求的值即可； （4）画出图形，得出相等的边和角，假设出未知数，利用相似三角形的判定和性质，利用对应边成比例，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：1； （2）解：如图3所示， 当时，； 当时，点为线段的中点，此时，接近于2； ∴的取值范围是， 故答案为：； （3）解：如图所示， 由得，， 令， 则由勾股定理得， 延长至点，使， ∴， 由勾股定理得， ∴； （4）解：如图所示，在上截取， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 令，设， 则， 即， 解得，（负值已舍）， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $