专题01 锐角三角函数（5大题型）（专项训练）数学北师大版九年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01锐角三角函数 月录 A题型建模·专项突破 题型一、求角的正弦、余弦、正切值.1 题型二、由正弦、余弦、正切值求边长…。 题型三、含特殊角的三角函数值的混合运算6 题型四、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状… .9 题型五、锐角的三角函数中的新定义问题… B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、求角的正弦、余弦、正切值 1.(24-25九年级上广东中山期末)已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=6,那么下列各式中， 正确的是（). 2 A.sin B= 3 B.cosB= 2-3 C.tan B= D.不确定 2.(25-26九年级上山东泰安阶段练习)如图，A,B,C是小正方形的顶点，每个小正方形的边长为1，则 sin ZACB的值为() A. V10 B. c.30 5 3-5 5 3.(25-26九年级上·重庆·开学考试)在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，CD=6,BD=9, 则cosA的值为() B A A.3 D.23 13 c 13 4.(25-26九年级上山东淄博·阶段练习)如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB,点M,N分别在边 BC,AD上.连接MN,将四边形CMND沿MN翻折，点C,D分别落在点A,E处.则tan∠AMN的值是() 1/8 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E N ---D M A.2 B.√2 C.5 D.5 题型二、由正弦、余弦、正切值求边长 26九年级上山东东营开学考试)在A8C中，若∠C=90,BC=2,simA4,则AB的长为 4.月 B.2 C.8 D.10 6.(24-25九年级上陕西西安阶段练习)己知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=2,AC=6,则BC等于 () A.3 B.6 C.12 D.16 九年级上甘肃兰州期末)如图，在R△ABC中，∠C=90,AB=6,cosB=,则BC的长 A.4.5 B.5 C.4 D.3√5 8.(24-25九年级下·重庆大足·期末)如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE,过A作 4G上BE于点G,延长4G交BC的延长线于点F,若AB=6an∠A8E=},则CF等于() B A.2 B. c 2/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三、含特殊角的三角函数值的混合运算 9.(2025九年级山东济南·专题练习)计算：（π-2025）°+2cos30°+ 2 -tan60°-3到+38。 10.(25-26九年级上·山东淄博·阶段练习)计算： (1)cos30°.tan60°-4sin30°+tan45°； (2)3tan30°+tan245°-2sin60°. 11.(2024广东模拟预测)计算 1 (0)2sin60°-tan45°+2cos30°+iam30° (2)1-2024π)°+V12+2sin60°-(-3) 12.(25-26九年级上全国期中)(1)计算：(3tan30°+tan45）(2sin60°-1). (2)已知a是锐角，且sima= 2 ,求3cos2au+sin(a-15)tan(a+15)-V5cos(a-15)的值。 题型四、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 13.(2025九年级下全国专题练习)在ABC中，∠A、LB满足：(2sinA-5+2cosB-1=0,则 ABC的形状为」 14（2024江苏准安一模)在ABC中，若osA- +(1-tanB)=0,∠A,∠B都是锐角，则ABC是 2 三角形， 152公24九年级上山东威海阶段练习》左A8C中，若血4习9s8=0,∠4，∠B都是 22 锐角，则ABC的形状是 16(25-26九年级上全国课后作业)已知4BC中的∠4与∠B满足0-tan4+5inB-5-0. 2 (I)试判断ABC的形状， (2)求2cos2A-(1+tanB)2+(3-tanC)°的值. 题型五、锐角的三角函数中的新定义问题 17.(2025四川攀枝花中考真题)如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c. 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 b (1)根据锐角三角函数的定义，证明：sin2A+cos2A=1; 1 ②若s血4=3， 求cosA的值， 18.(24-25九年级上·上海闵行阶段练习)新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方 形的顶点称为格点.如图，己知在5×5的网格图形中，ABC的顶点A、B、C都在格点上.请按要求完 成下列问题： ()①S。Bc=;sin ZABC= (②请仅用无刻度的直尺在线段B上求作一点P,使S,(不要求写作法，但保留作图痕迹，写出 结论). 19.(24-25九年级上全国·随堂练习)阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： 2’c0s30=3 1 sin30° ,则sin230°+c0s230°= ；① 2 sin45 ’cos45=2 则sin245°+cos245°- ； ② 2 2 sin600=3 2 c0s60°=1 '则sin260°+c0s260°=：③ 观察上述等式，猜想：对于任意锐角A,都有sin2A+cos2A= ·④ B (1)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想. (2)已知∠A为晚角，且sm4=号，求c0s4的位， 20.(2025广西南宁.三模)【定义】有一个内角是36°的等腰三角形是黄金三角形，图1和图2是黄金三角形 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的两种分类 【判定】(1)如图3，在△ABC中，AB=AC,点D在BC边上，且AB=BD,AD=CD,请写出图中存在 的黄金三角形并说明理由； 【性质】(2)在(1)的条件下，若BC=1,求AB的长度； 【应用】(3)如图4，在RtAABC中，∠C=90°，∠B=36°，求cos36°， A 36 B B6 1369 AB=AC,∠A=36°AB=AC,∠B=36° 图1 图2 图3 图4 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25九年级上安徽六安：阶段练习)cos45°的值等于() A.月 B. 迈 C. D.1 2 2.(25-26九年级上江苏淮安阶段练习)在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2BC,那么tanA的值是() A B.2 C.v5 D.25 5 5 3.(24-25九年级上河南阶段练习)已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,那么下列等式正 确的是() A.sin=3 3 B.cosA= 3 C.tan 4 5 D.tanB=4 4.(2023广东茂名模拟预测)若ABC中，AB所对的边是C,AC所对的边是b,满足 eos4b-ef=0,则48c是《) A.等腰三角形B.直角三角形 C.等边三角形 D.不能确定 5.(25-26九年级上山东聊城阶段练习)如图，在ABC中，AC⊥BC,LABC=30°，点D是CB延长线上 的一点，且BD=BA,则tan∠DAC的值为() D B 5/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2+V5 B.2-5 C.3+V5 D.3-V5 6.(2023·广东清远一模)如图，在ABC中，∠ABC=90°，tanA=2,直尺的一边与BC重合，另一边分 别交AB、AC于点D、E.点B、C、D、E处的读数分别为15、12、0、1，则直尺宽BD的长为() 5 4 1 B A.1 B.5 C.2 D.5 二、填空题 7.(25-26九年级上福建阶段练习)若a=sin48°，b=cos48°，c=tan48°，则a,b,c由小到大的顺序为 8.(25-26九年级上山东阶段练习)若2cosA-V5+(tanB-V5=0,则ABC是 _三角形 g.(25-26九年级上江苏苏州阶段练习》如图，在ABC中，乙8C=30,amC=4B=4,则8C的长 为 B 10.(25-26九年级上山东聊城阶段练习)如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A, B,C均在格点上，则tanC的值是一 B 11.(25-26九年级上重庆阶段练习)如图，在矩形ABCD中，DE1AC,垂足为点E,若sin∠4DE= 5 AD=5,则AB的长为 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12.(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)如图，在正方形纸片ABCD中，E是边AB的中点，将正方形纸 片沿EC折叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q,则tan∠DCQ的值为 B-------- 三、解答题 13.(25-26九年级上·重庆阶段练习)计算： (1)2sin30°+3tan45°-2cos60° 22sin60-tan45°+.cos30+tan30° 14.(25-26九年级上全国课后作业)在ABC中，4D是4BC的高线，若an∠C1D=背AB=5,AD=3, 求BC的长. 15.(24-25九年级上四川达州阶段练习)如图，已知反比例函数y=k(k≠0，x<0)的图象与直线4B 交于点C,A,B两点分别在x轴和y轴的正半轴上，B为AC的中点，OA=OB=1. B (I)求反比例函数的解析式： (2)求直线AC的表达式和cosLBOC的值 16.(24-25九年级上·吉林长春·期末)图①、图②、③都是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1 ,每个小正方形的顶点叫做格点，ABC的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按 下列要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法 B B 图① 图② 图③ (I)在图①中的ABC的内部找到一个格点D,以点D为直角顶点作△4CD,使an∠ACD= 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)在图②中的ABC的内部找到一个格点E,以点E为直角顶点作△ABE,使tan∠ABE=1. 3)在图⑧中的ABC的外部我到一个格点F,作钝角BCF,使an∠CBF三 17.(24-25九年级下，辽宁抚顺阶段练习)如图1，在矩形ABCD中，点E为边AD上不与端点重合的一动 点，点F是对角线BD上一点，连接BE,AF交于点O,且∠ABE=∠DAF. 图1 图2 (I)判断AF与BE的位置关系，并说明理由. ②若4B=3,40-5,DF=F,求DE的长. (3)如图2，若矩形ABCD是正方形，DF=BF时，求以下值， ①求4二的值； AD ②求sin ZEBD的值. 18.(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨阶段练习)我们定义：在ABC内有一点P,连接PA,PB,PC,在 所得的△ACP,△ABP,△BCP中，有且只有两个三角形相似，则称点P为ABC的相似心. B 图1 图2 (1)如图1，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，ABC的顶点在格点上，若点P为ABC的相 似心，则下列结论正确的是 A.△BAP∽△ACP B.△BAPn△BCPC.△BPC∽△CPA (2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,P是Rt△ABC内一点，且点P是Rt△ABC的相似心， △APB∽△BPC. ①求∠APB的度数， ②直接写出tan∠PAC的值. 8/8 专题01 锐角三角函数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求角的正弦、余弦、正切值 1 题型二、由正弦、余弦、正切值求边长 4 题型三、含特殊角的三角函数值的混合运算 6 题型四、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 9 题型五、锐角的三角函数中的新定义问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求角的正弦、余弦、正切值 1.（24-25九年级上·广东中山·期末）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ）． A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义．先求出，再根据三角函数的定义分别求出的四个三角函数值，进而即可得出答案． 【详解】解：在中，，，，如图所示： 由勾股定理得：， ∴，，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 2.（25-26九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，A，B，C是小正方形的顶点，每个小正方形的边长为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和求三角函数值．过点A作于点D，根据，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 根据题意得：，，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 3.（25-26九年级上·重庆·开学考试）在中，，是斜边上的高，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数的应用，同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，然后在中，求得，然后． 【详解】解：在中，，是斜边上的高， ， ， 在中，，，， ， ． 故选：D． 4.（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，在矩形中，，点分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点分别落在点处．则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数等，连接交于点，设，则，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，垂直平分，，，，再利用勾股定理求出即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：连接交于点， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折，点分别落在点处， ∴点与点关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型二、由正弦、余弦、正切值求边长 5.（25-26九年级上·山东东营·开学考试）在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 6.（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知在中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，直接利用正切的定义解答即可，正确理解正切的定义是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故选：． 7.（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角函数求线段长. 根据，可得，再把的长代入可以计算出的长． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 8.（24-25九年级下·重庆大足·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，过作于点，延长交的延长线于点．若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，先由正方形的性质得到，，再导角证明，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 题型三、含特殊角的三角函数值的混合运算 9.（2025九年级·山东济南·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、立方根、特殊角三角函数值的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 根据负整数指数幂、立方根、特殊角三角函数值的混合运算法则即可求解． 【详解】解： ． 10.（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：， ， ， ． 11.（2024·广东·模拟预测）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的计算．熟练掌握特殊角的三角函数值，实数的运算顺序和法则，是解题的关键． （1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入，再计算得出答案； （2）直接利用零指数幂、二次根式性质、特殊角的三角函数值分别求出每一部分的值，再计算得出答案. 【详解】（1）解： ； （2） 12.（25-26九年级上·全国·期中）（1）计算：． （2）已知是锐角，且，求的值． 【答案】（1）2（2） 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算出，再代入原式，接着计算特殊角的三角函数值，最后根据实数的混合运算计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）且是锐角， ， ． 题型四、由特殊角的三角函数值判断三角形的形状 13.（2025九年级下·全国·专题练习）在中，满足：，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据三个内角的关系判断出其形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 14.（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 15.（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是钝角三角形； 故答案为钝角三角形． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 16.（25-26九年级上·全国·课后作业）已知中的与满足． (1)试判断的形状． (2)求的值． 【答案】(1)是锐角三角形． (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质求出及的值，再根据特殊角的三角函数值求出及的度数，进而可得出结论； （2）根据（1）中及的值求出的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， 是锐角三角形． （2）， 原式． 题型五、锐角的三角函数中的新定义问题 17.（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 18.（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点、、都在格点上．请按要求完成下列问题： (1)　　；　　； (2)请仅用无刻度的直尺在线段上求作一点，使（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）． 【答案】(1)4， (2)作图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，设计三角形面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定定理． （1）由正方形面积减去三个直角三角形面积可求，过A作于D，用面积法可求的长，在中可得； （2）取格点E，F，连接交于P，由可知，从而，即可得，故P是满足条件的点． 【详解】（1）解：由图可得：， 过作于，如图： ， ， ， 故答案为：4，； （2）解：如图： 点即为所求点． 19.（24-25九年级上·全国·随堂练习）阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： ，，则________；① ，，则________；② ，，则________；③ …… 观察上述等式，猜想：对于任意锐角A，都有________．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想． （2）已知为锐角，且，求的值． 【答案】1，1，1，1；（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． ①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； ④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角，都有； （1）过点作于，则．利用锐角三角函数的定义得出，，则，再根据勾股定理得到，从而证明； （2）利用关系式，结合已知条件且，进行求解． 【详解】解：，， ；① ，， ；② ，， ．③ 观察上述等式，猜想：对任意锐角，都有．④ （1）如图，过点作于，则． ，， ， ， ， ． （2），，为锐角， ． 20.（2025·广西南宁·三模）【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形，图和图是黄金三角形的两种分类． 【判定】（）如图，在中，，点在边上，且，，请写出图中存在的黄金三角形并说明理由； 【性质】（）在（）的条件下，若，求的长度； 【应用】（）如图，在中，，，求． 【答案】和均为黄多三角形，理由见解析； ； ． 【分析】设，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质可以求出，又因为，，所以可知和均为黄多三角形； 因为，可证，根据相似三角形的性质可得：，解方程即可求出的长度； 过点作交于点，使，由可知，根据三角形内角和定理可得，可得：，根据余弦的定义即可求出的值． 【详解】和均为黄多三角形； 理由如下： ， ， 设， ， ， 是的外角， ， ， ， 在中，， ， 解得：， 且，， 和均为黄多三角形； ， ， ， ， ，， ， ， 解得：或(不符合题意，舍去)， 的长度是； 解：如下图所示，过点作交于点，使， 由可知，， 是的外角， ， ，， ， ， ， ． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）的值等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，直接根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：， 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）在中，，如果，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数定义，根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，如果， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·河南·阶段练习）已知在中，，，，那么下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，先求解，再利用锐角三角函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵，，， ∴， ，故A正确； ，故B错误； ；故C错误； ，故D错误； 故选：A． 4．（2023·广东茂名·模拟预测）若中，所对的边是，所对的边是，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了偶次方、绝对值、三角函数、等边三角形的判定等知识点，熟记等边三角形的判定是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形． 故选：C． 5．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，点D是延长线上的一点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题是解决本题的关键． 通过解直角得到与、间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求的值． 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ． 故选：A． 6．（2023·广东清远·一模）如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交、于点D、E．点B、C、D、E处的读数分别为15、12、0、1，则直尺宽的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键；由题意易得，然后根据可分别得出的长，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 二、填空题 7．（25-26九年级上·福建·阶段练习）若，，，则由小到大的顺序为 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·山东·阶段练习）若，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，关键是掌握角的各种三角函数值． 直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 9．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于点，设，根据题意可得，进而解直角三角形得出，，即可求解． 【详解】解：如图， 作于点， 设， ， ， ， ，． ． ． ． ． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中锐角的正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键． 根据题意构造直角三角形如图所示，点D在格点上，从而可以求出的值． 【详解】解：构造直角三角形如图所示，点D在格点上， 由图可得， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、解直角三角形；在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得的长即可解题． 【详解】解：在中， ∵，在中， ∵在矩形中，，， 又， ∴ 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，则的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，掌握以上知识并正确作出辅助线是解题关键． 证明，从而可证明，设，正方形的边长设为，在中利用勾股定理建立方程，解得，进而可求出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵在正方形纸片中，E是边的中点， ，， 由折叠性质可得，， ，， ． ， 设，正方形的边长设为， ， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了特殊三角函数的混合运算，有理数的四则混合运算，二次根式的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先代入特殊角的三角函数值，化为有理数的四则混合运算计算； （2）先代入特殊角的三角函数值，化为二次根式的四则混合运算计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，是的高线．若，求的长． 【答案】或 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 分两种情况进行讨论：高在内部；高在外部． 【详解】解：如图，分以下两种情况讨论： ①当高在内部时， 在Rt中，． 在Rt中， ∴， ； ②当高在外部时， 综上所述：的长为或． 15．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）如图，已知反比例函数（，）的图象与直线交于点C，A，B两点分别在x轴和y轴的正半轴上，B为的中点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)求直线的表达式和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）过点作轴于点，根据，两点分别在轴和轴的正半轴上，为的中点，证明，得出，代入中，即可求解； （2）根据直线过点，，两点的坐标分别为，，得出直线的表达式为，在中，由勾股定理，得，进而根据余弦的定义即可求解． 【详解】（1）解：过点作轴，交y轴于点D， 两点分别在轴和轴的正半轴上，为的中点， ∴ ∵，，， ， A，B两点的坐标分别为，， ， ． 把代入中，得． 反比例函数的解析式为； （2）设直线的表达式为， 直线过点B，A，B两点的坐标分别为，， ，， 即 即直线的表达式为， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，全等三角形的性质与判定，求角的余弦，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 16．（24-25九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的的内部找到一个格点，以点为直角顶点作，使． (2)在图②中的的内部找到一个格点，以点为直角顶点作，使． (3)在图③中的的外部找到一个格点，作钝角，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查网格中基本作图，涉及锐角三角函数、勾股定理，理解网格特点，正确作图是解答的关键． （1）根据网格特点，找格点D，可得，； （2）根据网格特点，找格点E，可得，，则； （3）根据网格特点，找格点F（如图中、、、），可得是钝角，且． 【详解】（1）解：如图，点D、即为所求作： （2）解：如图，点E、即为所求作： （3）解：如图，点F(如)即为所求作：（答案不唯一，、、也可以） 17．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图1，在矩形中，点E为边上不与端点重合的一动点，点F是对角线上一点，连接，交于点O，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，，求的长． (3)如图2，若矩形是正方形，时，求以下值． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)①；② 【分析】本题考查角度的转换，矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的证明及性质，全等三角形的证明及性质，引入参数法，三角函数的计算． （1）根据直角三角形两锐角互余，由证得，得垂直关系； （2）根据及矩形，延长与交于点，根据两个角对应相等的两个三角形相似得，，由对应边成比例求得，即可求得； （3）①设正方形边长为，延长与交于点，根据正方形对边平行，证得，由相似比表示出，与作比即可； ②由表示出，根据正方形的性质得到，由等面积法求得，再求，求即可得到的值． 【详解】（1）解： ， 理由：四边形是矩形， ， ． ， ， ， ； （2）如图1，延长交于点G， 四边形是矩形， ，， ，，． ，， ，，， ； （3）设正方形的边长为a，则， ①如图2，延长交于点G， ∵四边形是正方形，，， ， ， ，， ， ， ； ②，， 在与中， （）， ，， ． ， ， ． 18．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我们定义：在内有一点，连接，，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若点为的相似心，则下列结论正确的是_______． A．        B．        C． (2)如图2，在中，，，是内一点，且点是的相似心，． ①求的度数． ②直接写出的值． 【答案】(1)A (2)①；② 【分析】（1）取格点、，连接、、、，，，，由勾股定理求得，，则，而，即可证明，求得，由，，可知与不相似，与不相似，于是得到问题的答案． （2）①由题意得，由得，，，结合三角形的内角和定理即可求解；②由可得，由相似三角形的性质得，则，，进而得到，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，取格点、，连接、、、， 在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， ，，， ，，， ，，， ， ， ， 与中的最大角，与中的最大角， 与不相似，与不相似， 故答案为：A； （2）解：①在中，，， ， 点是的相似心，， ，，， ， ； ②， ， ， ， ，， ， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $