专题02 解直角三角形的应用之仰俯角问题（4大题型）（专项训练）数学北师大版九年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02解直角三角形的应用之仰俯角问题 月录 A题型建模·专项突破 题型一、仰角俯角问题.】 题型二、坡度坡比问题 .5 题型三、方向角问题 10 题型四、坡度坡比与仰角俯角综合问题 16 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、仰角俯角问题 1.(24-25九年级上·河南周口期末)2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线 能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效， 其未来应用有望让无人机边飞边充电.如图，某人利用无人机测量大楼BC的高度，无人机在空中点A处， 测得点A与地面的距离为70m,测得点C的俯角∠EAC=15°；控制无人机水平移动至点D,测得 AD=15m,楼顶C点的俯角∠EDC=45°，点A,B,C,D在同一平面内，求大楼的高度BC.(参考数据： sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，√2≈1.41，结果精确到0.1m) A 77777777777777777777 2.(2025浙江杭州·二模)如图，高层大楼CD前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房AB.某 校数学实践活动小组想要测量高层大楼CD的高度，他们在楼房AB的窗户口点E处测得车库地面边缘点F 的俯角为20°，测得大楼CD顶端D的仰角为60°.已知BE=6m,车库长度CF=15m(点B,F,C在同一 水平直线上，参考数据：c0s20°≈0.94，tan20°≈0.36，√5≈1.73，结果精确到0.1) 3.(2025·湖南长沙模拟预测)在校园科技节中，小星和小麓设计了“制作测角仪，测量旗杆高度”的探究活 动.如图，小星在A处测得旗杆顶端C的仰角为30°，小麓在B处测得旗杆顶端C的仰角为45°，己知两人 所处位置的水平距离MN=33米，A处距地面的垂直高度AM=4米，B处距地面的垂直高度BN=3米，点 1/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M,F,N在同一条直线上. A 30 45B (1)求DE的长度； (2)求旗杆CF的高度.（结果保留根号） 4.(2025·江西模拟预测)如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年， 因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.数学实践小组要测量滕王阁的高度， 如图2，小组成员甲在点A处测得滕王阁最高点C的仰角∠CAE=45°，再沿正对滕王阁方向前进至B处 测得最高点C的仰角∠CBE=58°，AB=21.6m,小组成员乙在点G处竖立标杆FG,点D、标杆顶F、最高 点C在一条直线上，FG=1.6m,GD=2m. SD B 图1 图2 (1)求滕王阁的高度CE;(结果精确到1m,参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60) (2)求乙同学与滕王阁之间的距离EG. 题型二、坡度坡比问题 5.(24-25九年级上陕西咸阳·期末)如图，某超市门口要修建一座跨度为24米的人行天桥即AB=24米， CD∥AB,天桥架空高度为6米(CD与AB之间的距离为6米)，若天桥两边的斜坡AD,BC的坡度均为 2:3,求人行天桥的桥面CD的长度. D C B 6.(2024广东·二模)阳光下，电线杆AB落在一段斜坡和水平地面上的影子分别是CD和BC,小亮量得 CD=8m,BC=20m,斜坡CD的坡度为1：√3，小亮的身高1.65m,此时他在水平地面上的影子长为3.3m, 求电线杆的长度（结果保留根号）. 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 7.(2025山东·模拟预测)如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长CD与AB交于E点，己知坡道AB 的坡比i=1:2.4,AC的长为7.2米，CD的长为04米。 B E (I)请求出DE的长： (②)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到 AB的距离) 8.(2025·湖南长沙三模)今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿 斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图，斜坡AB的长为200V3米，斜坡BC的 长为200√2米，坡度是1：1，已知A点海拔121米，C点海拔721米. A M (①)求斜坡AB的坡度； (2)为了方便上下山，若在A到C之间架设一条钢缆，求钢缆AC的长度. 题型三、方向角问题 9.(25-26九年级上·重庆·阶段练习)中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆.中秋佳节将至，明月湖公园设置 了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方 向，D在A的北偏东30°方向且在C的北偏西45°方向，DC=22千米，BC=1千米. 北 西个→东 南 459 30% A: B 3/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (①)求AB的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以2km/h的速度从D打卡点沿D→A方向步行至A打卡 点，小开以4km/h的速度从A打卡点沿A→B方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米 后恰好与小开相距2√3千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：√2≈1.41，√5≈1.73） 10.(2025广东深圳模拟预测)如图为某景区五个景点A、B、C、D、E的平面示意图，点B、A在C的 正东方向，点D在点C的正北方向，D、E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C、D相距 10003m,E在BD的中点处. →东 45o, Bi Ai (1)求景点B、E之间的距离； (2)求景点B、A之间的距离（结果保留根号）. 11.(25-26九年级上·重庆阶段练习)“梨花风起正清明，游子寻春半出城”.如图，某校在公园开展了寻春活 动，小依和小钟同时从公园大门(A地)步行出发，约定在停车场(D地)汇合.小依先沿北偏东60°的方 向走600√2m到达和善亭(B地)，然后继续向东北方向走200m到达和雅亭(C地)，到达C地后停留了3 分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场(D地)，D地在C地的南偏东30方向.小钟从A地出 发后，先沿正东方向到达和志亭(E地)，再沿北偏东15°方向到达D地，E地恰在C地的正南方向. 45 B 159 609 (1)请求出CE的长度：（结果保留根号） (②)若小依步行的速度为1.5m/s,小钟步行的速度为1.2/s,请问小依和小钟谁先到达停车场(D地)？通 过计算说明.（计算结果保留到整数，参考数据：√2≈1.41，√5≈1.73，√6≈2.45） 12.(2025·山西临汾模拟预测)如图，A,B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇 险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上， 且测得C点与观测点A的距离为25√2海里. 4/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 15 60° B D (1)求观测点B与C点之间的距离： (2)有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立 即前往营救，其航行速度为60海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间. 题型四、坡度坡比与仰角俯角综合问题 13.(2025九年级四川宜宾.专题练习)校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动.如图，大楼的顶部竖 有一块广告牌CD,小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到 B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1:√3，AB=12米，AE=24米.（测角器的高 度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：21.41,3173，m53°行，os53,an53° 3 D >45 口n口u口 53 A E (I)求点B距水平地面AE的高度； (2)求广告牌CD的高度， 14.(24-25九年级上·辽宁阜新·期末)如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传 牌CD.该校九年级1)班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角 为56°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，AB=8米，AE=16米，已知斜坡AB的坡 角为45°，（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.5，√2≈1.41；精确到0.01米） C 5/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求综合楼的高度DE; (2)求宣传牌的高度CD. 15.(25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试)如图，大楼AN上悬挂一条幅AB,小颖在坡面D处测得条幅 顶部A的仰角为30，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部 B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米.己知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1:√5（即 tan∠DEM=1:V3),且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上. B 大 楼 D30° 6459 M C (I)求D点距水平面EN的高度？（保留根号） (2)求条幅AB的长度？（结果精确到1米）（参考数据：√5≈1.73，√2≈1.41） 16.(2025四川广元模拟预测)如图，信号塔CD坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度， 他在山脚下的点A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着坡度为i=1√3的斜坡向上走了100米到达点B处，此 时测得塔尖D的仰角为60°.（图中各点均在同一平面内） 0 B609 30° 45 ()求点B到地面的距离： (②)求信号塔CD的高度（结果保留根号）： (3)若维护人员从点A处沿水平方向前行一段距离到点F处，测得塔尖D的仰角为30°，求AF的长度. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(2025江苏镇江·中考真题)如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B,则 她沿垂直方向升高了() 6/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 10° A a侧ui0米 A.、120 B.、120 米 C.120tanl0°米 D.120sinl0°米 sinl0° 2.(2025湖南长沙模拟预测)如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方 向上，若AB=25千米，则点P到直线AB距离PC为() 北 309 60° B A.3千米 B.千米 C.2千米 D.1千米 3.(24-25九年级上·广东·阶段练习)如图，一艘军舰在A处测得小岛P位于南偏东60°方向，向正东航行 40海里后到达B处，此时测得小岛P位于南偏西75°方向，则小岛P离观测点A的距离是()海里 A 609 75 A.202 B.20V3-20 C.20V5 D.205-20√2 4.(2025海南·模拟预测)在广场上矗立着一尊铜像.某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测 量铜像的高度.如图，在点C处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32，从热 气球C看铜像顶部A的俯角为45°，看铜像底部B的俯角为63.4°.己知底座BD的高度为4m,求铜像AB的 高度为()（结果保留整数.参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，√2≈1.41） G 45o0 63.4 F E A.10 B.12 C.14 D.16 5.(2018辽宁抚顺模拟预测)如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C 处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，己知斜坡CD的长度为20， 7/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 sin∠DcE=,.f 则树AB的高度是()m. B D[30 G 人60°d C A A.30 B.20W5 C.305 D.40 二、填空题 6.(24-25九年级上·黑龙江绥化期末)如图，海中有个小岛A,一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小 岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60° 方向，求轮船航行的路程BD为海里. 北 →东 45 60° B 7.(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)如图，扶梯AB的坡度为4：3，滑梯CD的坡度为1：2，滑梯的高 BE=CF,设AE=3米，BC=3米，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过的路程为 米.（结果保留根号） F D 8.(2024湖北模拟预测)如图，已知某校博学楼层高5米，弘毅楼层高16米，此刻明明在距离博学楼不 远的操场上，估计他自己的身高为1.5米，此刻测得他看博学楼顶部的仰角为30°，一无人机在弘毅楼顶部 观察他的俯角为45°.若楼宽忽略不计，则两栋教学楼之间相距 米.（保留根号） 时 弘毅楼 45 博学楼 30 9.(2025湖北一模)小樱一家人周末先去图书城看书，然后去公园游玩.如图，图书城（图中点A处）在她 8/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 家（图中点B处）的北偏西20°方向，且距离她家2k,公园（图中点C处）在她家的北偏东25°方向和图书城 的北偏东62°方向的交汇处，那么，她家与公园的距离约为km.(结果精确到01km.参考数据： sin37°≈0.6，c0s37°≈0.8，tan37°≈0.75，√2≈1.414) 162° 20° 25 10.(25-26八年级上山东滨州阶段练习)如图，天琪家与阿权家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算出 所住楼对面商业大厦的高度MN，进行了如下操作：他俩在天琪家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰 角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数.于是，他俩上楼来到 阿权家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竞然发现∠1与∠2恰好相等.已知A,B,C三点 共线，CA⊥AM,NM⊥AM,AB=31m,BC=18m,商业大厦的高度MN=m. 、、M 三、解答题 11.(25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习)如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆AB的高度， 他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上 的影子长BC=20.2米，斜坡坡面上的影子CD=5.2米，太阳光AD与水平地面BC成30°角，斜坡CD的坡 度为1：2.4，求旗杆AB的高度.（√3=1.73精确到1米）. A D B 12.(2025·河南·模拟预测)商字是被誉为“三商之源·华商之都”商丘市的城市地标（如图①).某数学活动小 组借助测角仪和皮尺开展了测量商字高度的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图②，商字高度为AB,点C,E分别在商字两侧(A,C,E在同一水平线上).CD,EF均 9/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为同一测角仪的高度 实地测量：在F处测得商字顶部B的仰角为60°，在D处测得商字顶部B的仰角为40°， EC=34.5m,CD=EF=1.5m. 夕 F60 40°1 D E y 图① 图② ()请根据上述方案及测量数据计算出商字的高度（结果保留一位小数，参考数据： sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，√5≈1.73)： (②)为使测量结果更加准确，你认为他们在测量过程中应注意哪些事项.（写出一条即可） 13.(25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习)为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡 航管理.如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在 北偏东45°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上 30s 459 东 (I)求B处到灯塔P的距离； (2)己知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由， 14.(25-26九年级上·重庆阶段练习)国庆假期，小明和小蓝怀着对革命历史的崇敬，从某红色景区入口A ,开启红色之旅.因参观的景点不同，两人决定各自沿不同路线参观，再到达位于入口A正东方向的景点 C处汇合.如图为路线平面示意图，小明从入口A出发，沿北偏东15°方向走4km到达景点B,参观24分钟， 接着沿东南方向到达景点C、小蓝从入口A出发，沿北偏东60°方向到达景点D,参观15分钟后，沿南偏 西30°方向到达景点C.(参考数据：√2=1.41，√5≈1.73，√6≈2.45) 北 西东 南 159 309 60° A 10/13 专题02 解直角三角形的应用之仰俯角问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、仰角俯角问题 1 题型二、坡度坡比问题 5 题型三、方向角问题 10 题型四、坡度坡比与仰角俯角综合问题 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、仰角俯角问题 1.（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电．如图，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为，测得点C的俯角；控制无人机水平移动至点D，测得，楼顶C点的俯角．点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】约为 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用．延长交于点F，分别在和中，利用正切定义求出，，可构建关于的方程，求解即可． 【详解】解：延长交于点F， 根据题意，得，， 在中，， 在中，， ，解得， ， 答：大楼的高度约为． 2.（2025·浙江杭州·二模）如图，高层大楼前面建有一层地上车库，车库的对面有一幢低层楼房．某校数学实践活动小组想要测量高层大楼的高度，他们在楼房的窗户口点处测得车库地面边缘点的俯角为，测得大楼顶端D的仰角为．已知，车库长度（点B，F，C在同一水平直线上，参考数据：，，，结果精确到） 【答案】高层大楼的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯角仰角问题．过点E作于点H，在中，解直角三角形求出，继而求出，在中，根据三角函数的定义求出，即可求出. 【详解】解：过点E作于点H，则四边形是矩形， 由题意得： ，，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵,， ∴， ∴ 答：高层大楼的高度约为． 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）在校园科技节中，小星和小麓设计了“制作测角仪，测量旗杆高度”的探究活动．如图，小星在处测得旗杆顶端的仰角为，小麓在处测得旗杆顶端的仰角为，已知两人所处位置的水平距离米，处距地面的垂直高度米，处距地面的垂直高度米，点在同一条直线上． (1)求的长度； (2)求旗杆的高度．(结果保留根号) 【答案】(1)（米） (2)旗杆的高度为米 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，理解图示，掌握解直角三角形的计算是关键． （1）根据题意得到四边形和四边形为矩形，结合图形即可求解； （2）根据题意，设长为x米，则（米），根据，，分别求出，结合列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴四边形和四边形为矩形， 米，米， （米）； （2）解：设长为x米，则（米）， ，，， ， ，， ， 由（1）得四边形和四边形为矩形， ， 米， ， 解得， 米， 答：旗杆的高度为米． 4.（2025·江西·模拟预测）如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年，因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．数学实践小组要测量滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点A 处测得滕王阁最高点 C 的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至 B 处测得最高点C的仰角，小组成员乙在点G处竖立标杆，点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，． (1)求滕王阁的高度；(结果精确到1m ，参考数据： (2)求乙同学与滕王阁之间的距离． 【答案】(1)滕王阁的高度约为58 m (2)乙同学与滕王阁之间的距离约为m 【分析】本题考查解直角三角形和相似三角形的应用，解题关键是利用仰角构造直角三角形，结合三角函数的定义以及相似三角形的判定与性质来建立等式求解． （1）在中，因为，根据等腰直角三角形的性质，可得．已知，所以．在中，利用正切函数，将代入，得到关于的方程，进而求解出的长度． （2）由题意可知，且，所以可判定．根据相似三角形的性质，对应边成比例，即，将已知的，，代入，求出的长度，最后用即可得到的长度． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ． 在 中，， 解得： 答：滕王阁的高度约为58 m； （2）由题意知，，， ∴， 即 解得 ． ， 答：乙同学与滕王阁之间的距离约为m． 题型二、坡度坡比问题 5.（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，某超市门口要修建一座跨度为24米的人行天桥即米，，天桥架空高度为6米与之间的距离为6米，若天桥两边的斜坡，的坡度均为，求人行天桥的桥面的长度． 【答案】人行天桥的桥面的长度为6米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；作出辅助线，根据坡度比例，进行计算可得米，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点D作于点E，过点C作于点F， 由题意得：，米， ∵天桥两边的斜坡，的坡度均为， ∴, ∴米， ∵米， ∴米， ∴人行天桥的桥面的长度为6米． 6.（2024·广东·二模）阳光下，电线杆落在一段斜坡和水平地面上的影子分别是和，小亮量得，斜坡的坡度为，小亮的身高，此时他在水平地面上的影子长为，求电线杆的长度（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，三角函数，相似三角形的应用，利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即在同一时刻物高与影长的比相等．过点D作交的延长线于点E，于F， 根据坡度的定义可得，再根据三角函数可得，再根据相似三角形的性质可得，即可得解． 【详解】解：过点D作，交的延长线于点E，于F， 则， 四边形为矩形， ， 在中，斜坡的坡度为， 则， ， ，， ， ∵小亮的身高，此时他在水平地面上的影子长为， ， ， ， 答：电线杆的长度为． 7.（2025·山东·模拟预测）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 【答案】(1)2.6米 (2)该车库入口的限高数值为2.4米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线． （1）根据，得出，即，求出米，得出（米）； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米．　　 ∵米， ∴（米）； （2）解：过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米， ∴， 解得， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为2.4米 8.（2025·湖南长沙·三模）今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿斜坡到达B点，再从B点沿斜坡到达山顶C点，路线如图，斜坡的长为米，斜坡的长为米，坡度是，已知A点海拔121米，C点海拔721米． (1)求斜坡的坡度； (2)为了方便上下山，若在A到C之间架设一条钢缆，求钢缆的长度． 【答案】(1) (2)1000米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度问题，勾股定理的应用，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，利用斜坡的坡度，求出，的长，结合已知条件，得到，的长，从而得到结果； （2）根据题意，得到，的长，利用勾股定理得到结果． 【详解】（1）解：作于点，作 于点，作于点，连接， 斜坡的长为米，坡度是， ，， 米， 点海拔121米，点海拔721米， 米， （米， 斜坡的长为米， （米， ， 即斜坡的坡度是； （2）解：米，（米）， （米）， 答：钢缆的长度是1000米． 题型三、方向角问题 9.（25-26九年级上·重庆·阶段练习）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，作出辅助线并正确地进行计算是解题关键． （1）如图，过D作于H，过C作于E，证明四边形为矩形，分别求解，，，，可得答案； （2）如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点M作于点F，分别用含x的代数式表示出、、，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：过D作于H，过C作于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意得，，，而千米， ∴（千米）， ∴千米，（千米）， ∵， ∴千米， ∴（千米）； （2）解：如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点M作于点F， 由（1）可得千米， ∴千米，在左边， ∵， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴千米； 即小南出发千米后恰好与小开相距千米． 10.（2025·广东深圳·模拟预测）如图为某景区五个景点、、、、的平面示意图，点、在的正东方向，点在点的正北方向，、在的北偏西方向上，在的西北方向上，、相距，在的中点处． (1)求景点、之间的距离； (2)求景点、之间的距离(结果保留根号)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用问题，通过作适当的辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题解决；解直角三角形中，三角函数的概念、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识要熟练掌握． （1）利用角的正弦即可求得的长，从而易得的长； （2）过点作于点，在中利用三角函数可求出、的长，在等腰中即可求得． 【详解】（1）解：由题意得，，，． ， ， ． 点在的中点处， （m）； （2）解：如图，过点作于点． 在中， ． 在中，， (m)． 11.（25-26九年级上·重庆·阶段练习）“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小依和小钟同时从公园大门（A地）步行出发，约定在停车场（D地）汇合．小依先沿北偏东的方向走到达和善亭（B地），然后继续向东北方向走到达和雅亭（C地），到达C地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场（D地），D地在C地的南偏东方向．小钟从A地出发后，先沿正东方向到达和志亭（E地），再沿北偏东方向到达D地，E地恰在C地的正南方向． (1)请求出的长度：（结果保留根号） (2)若小依步行的速度为，小钟步行的速度为，请问小依和小钟谁先到达停车场（D地）？通过计算说明．（计算结果保留到整数，参考数据：） 【答案】(1) (2)小依先到停车场，说明见过程 【分析】本题考查了解直角三角形，正确做出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作于点E，过点B作于点G，则四边形是矩形，解直角三角形求得即可解答； （2）延长交于点I，过点E作于点H，解直角三角形求得小依和小钟走过的路程，再计算时间即可． 【详解】（1）解：过点B作于点F，过点B作于点G，则四边形是矩形， ∴， 根据题意得：， 在中，， 在中，， ∴； （2）解：小依先到停车场，说明如下： 如图，延长交于点I，过点E作于点H， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 则小依走过的路程为， ∴小依所用的时间约为， 小钟走过的路程为， ∴小钟所用的时间约为， ∵， ∴小依先到停车场． 12.（2025·山西临汾·模拟预测）如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在点处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，且测得点与观测点的距离为海里． (1)求观测点与点之间的距离； (2)有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距海里的点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为海里小时，求救援船到达点需要的最少时间． 【答案】(1)海里 (2)小时 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义． （1）过点作于点，根据题意可得，海里，根据勾股定理可得海里，由，即可得结论； （2）作于点，证明四边形是矩形，可得海里，海里，根据勾股定理求出的长，进而可得救援船到达点需要的最少时间． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 根据题意可知：，海里， 海里， ， 海里， 海里． 答：观测点与点之间的距离为海里； （2）解：如图，作于点， ，，， 四边形是矩形， 海里，海里， 海里， 在中，根据勾股定理，得 海里， 小时． 答：救援船到达点需要的最少时间是小时． 题型四、坡度坡比与仰角俯角综合问题 13.（2025九年级·四川宜宾·专题练习）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，， ，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)求广告牌的高度． 【答案】(1)6米 (2)米 【分析】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段． （1）过点B作，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果； （2）先推导出，在中可求得的长，从而可得；再由，可得，进而得的长；在中由三角函数知识可求得，根据即可求得的长． 【详解】（1）解：如图，过点作，，垂足分别为， ∴， ∵， ∴， ∴米， 即点距水平地面的高度为6米； （2）由（1）及题意，得， ∴四边形是矩形， ∴米， （米）， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， 在中，，米， ∴（米）， ∴ （米） 答：广告牌的高约8.4米． 14.（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 【答案】(1)综合楼的高度为 (2)宣传牌的高度为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正切的定义求出； 过点B作于F，，交的延长线于G，解求出，进而求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】（1）解：在中，，米， ， ， 答：综合楼的高度约为； （2）解：如图，过点B作于F，，交的延长线于G， 则四边形为矩形， ，， 由题意得，而米， ∴在中，， ， ，， ， ， 答：宣传牌的高度约为． 15.（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 【答案】(1)米 (2)米 【分析】此题是解直角三角形的应用—仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． （1）利用坡度和直接求出点距水平面的高度； （2）借助（1）得出的结论，可求出的长，在直角三角形中，可求出的长，进而可求出的长，在直角三角形中可求出的长，利用计算即可． 【详解】（1）如图，过点作于， 在中，坡面米，山坡的坡度， ， ， 米，米； 点距水平面的高度为米． （2）如图，过点作于， 由（1）知，米，则米， 米，， 米， 米， ， 米， 米， 答：条幅的长度是米． 16.（2025·四川广元·模拟预测）如图，信号塔坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度，他在山脚下的点处测得塔尖的仰角为，再沿着坡度为的斜坡向上走了米到达点处，此时测得塔尖的仰角为．(图中各点均在同一平面内) (1)求点到地面的距离； (2)求信号塔的高度(结果保留根号)； (3)若维护人员从点处沿水平方向前行一段距离到点处，测得塔尖的仰角为，求的长度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作，垂足为，根据得出，进而根据．即可求解； （2）设米，得出)米，米，解，即可求得的长； （3）解，得出米，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为． 坡度，米， ， ． 在中． 米． （2）由（1）可得，米． 如图，过点作，垂足为． 设米， ， 米． )米，米． 在中，， 米． （3）在中，， 即 米． 由（2）可得(米)． (米)． 一、单选题 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【答案】A 【分析】本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． 3．（24-25九年级上·广东·阶段练习）如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（ ）海里 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作，交的延长线于，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， 则， 由题意可知：，海里， ∴海里，， ∵， ∴， ∴, ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 4．（2025·海南·模拟预测）在广场上矗立着一尊铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部A的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度为（    ）（结果保留整数．参考数据：，，，） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的实际应用——测量高度，根据题意可得，从而求出，再求出即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴铜像的高度是； 故选：C． 5．（2018·辽宁抚顺·模拟预测）如图，学校环保社成员想测量斜坡旁一棵树的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为，已知斜坡的长度为，，则树的高度是（  ）m． A．30 B． C． D．40 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，三角形外角的性质，平行线的性质， 作，先求出，可得，再根据三角形外角的性质求出，然后根据，求出，接下来根据可得答案. 【详解】解：过点D作于点F， 在中，， . ∵， ∴. 在中，. ∵是的外角， ∴， ∴. 在中，， 则， 即. 在中，， 则， 即. 故选：A. 二、填空题 6．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西方向，求轮船航行的路程为 海里． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 过点A作，根据方位角及三角函数即可求解． 【详解】解：如图，过点A作， 依题意可得， ∴是等腰直角三角形，（海里）， ∴（海里）， 在中，， ∴ （海里）， ∴（海里）， 故答案为： ． 7．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，扶梯的坡度为，滑梯的坡度为．滑梯的高，设米，米，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过的路程为 米．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握坡比的定义是解决此题的关键．根据坡度和已知条件即可求出和，再根据勾股定理即可求出和，从而得出结论． 【详解】解：∵扶梯的坡度（与长度之比）为，米， ∴米， ∴米， ∵米，的坡度（与长度之比）为，米， ∴米， ∴米， ∴经过的路程米． 故答案为：． 8．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知某校博学楼层高5米，弘毅楼层高16米，此刻明明在距离博学楼不远的操场上，估计他自己的身高为米，此刻测得他看博学楼顶部的仰角为，一无人机在弘毅楼顶部观察他的俯角为．若楼宽忽略不计，则两栋教学楼之间相距 米．（保留根号） 【答案】 【分析】过点C作，交于点F，根据题意得出四边形为矩形，，确定米，米，再由特殊角的三角函数求解即可． 题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． 【详解】解：过点C作，交于点F， ∴， ∴四边形为矩形， ∵自己的身高为米， ∴， ∵博学楼层高5米，弘毅楼层高16米， ∴米，米， ∵他看博学楼顶部的仰角为，一无人机在弘毅楼顶部观察他的俯角为， ∴， ∴，， ∴米， 故答案为：． 9．（2025·湖北·一模）小樱一家人周末先去图书城看书，然后去公园游玩．如图，图书城(图中点A处)在她家(图中点B处)的北偏西方向，且距离她家，公园(图中点C处)在她家的北偏东方向和图书城的北偏东方向的交汇处，那么，她家与公园的距离约为 ．（结果精确到.参考数据：） 【答案】3.3 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，过点 A 作于点D，则，求出可得． 【详解】如图，过点 A 作于点D，则， 由题意，得 ∴. ∵， ∴， ． 即她家与公园的距离约为． 故答案为：3.3． 10．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，天琪家与阿权家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算出所住楼对面商业大厦的高度，进行了如下操作：他俩在天琪家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到阿权家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角的度数，竟然发现与恰好相等．已知A，B，C三点共线，，商业大厦的高度 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是构造直角三角形和矩形，得出． 过点C作于点E，过点B作于点F，可得四边形和四边形均为矩形，可以证明，得，进而可得商业大厦的高． 【详解】解：如图，过点C作于点E，过点B作于点F， ∴， ∵， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：商业大厦的高为． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长米，斜坡坡面上的影子米，太阳光与水平地面成角， 斜坡的坡度为， 求旗杆的高度．（精确到1米）． 【答案】16米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是作出辅助线得到的影长．延长，两线交于E，过点D作于点Q，利用坡比，解直角三角形的知识点解答即可． 【详解】解：延长，两线交于E，过点D作于点Q， ∵太阳光与水平地面成角， ∴， ∵米， 斜坡的坡度为， ∴, 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴（米） ∵米， ∴（米）， ∴， ∴ （米）， ∴旗杆的高度约为16米． 12．（2025·河南·模拟预测）商字是被誉为“三商之源·华商之都”商丘市的城市地标（如图①）．某数学活动小组借助测角仪和皮尺开展了测量商字高度的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图②，商字高度为，点C，E分别在商字两侧（A，C，E在同一水平线上）．均为同一测角仪的高度． 实地测量：在F处测得商字顶部B的仰角为，在D处测得商字顶部B的仰角为，． (1)请根据上述方案及测量数据计算出商字的高度（结果保留一位小数，参考数据：，）； (2)为使测量结果更加准确，你认为他们在测量过程中应注意哪些事项．（写出一条即可） 【答案】(1) (2)多次测量角度求其平均值 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是关键． （1）设，则，根据题意得到方程，解方程即可得到答案； （2）根据平均值的意义进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点M． 由题意可知，四边形，均为矩形． 设，则． 在中，， ∴，即 在中，， ∴，即， ∵， ∴， 解得． 答：商字的高度约为m； （2）多次测量角度求其平均值；皮尺应拉直等．（答案不唯一） 13．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求B处到灯塔P的距离； (2)已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 【答案】(1)B处到灯塔P的距离为海里 (2)海监船继续向正东方向航行是不安全的，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． （1）过点P作于点D，求出的度数，设海里，则海里，利用锐角三角函数进行列方程求解即可； （2）在中，解直角三角形求出的值即可判定． 【详解】（1）解：过点P作于点D， 由题意得，海里，，， 设海里，则海里， 在中， ， 在中，， ∴， 解得， 在中，． 答：B处到灯塔P的距离为海里． （2）解：不安全，理由如下： 由（1）可知 ， ∵， ∴海监船继续向正东方向航行是不安全的． 14．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）国庆假期，小明和小蓝怀着对革命历史的崇敬，从某红色景区入口．开启红色之旅．因参观的景点不同，两人决定各自沿不同路线参观，再到达位于入口A正东方向的景点处汇合．如图为路线平面示意图，小明从入口出发，沿北偏东方向走到达景点，参观24分钟，接着沿东南方向到达景点、小蓝从入口出发，沿北偏东方向到达景点，参观15分钟后，沿南偏西方向到达景点．（参考数据：，， (1)求入口与景点之间的距离；（结果精确到） (2)若小明步行的速度为，小蓝步行的速度为，且两人同时出发，请计算并说明小明和小蓝谁先到达景点？（结果精确到） 【答案】(1) (2)小蓝先到 【分析】该题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，，，如图，过点作，求出，，再根据勾股定理即可求解． （2）如图，过点作交的延长线于点，则，根据，求出，从而求出，根据（1）可得，再分别算出小明和小蓝的步行时间，比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，，， 如图，过点作， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作交的延长线于点， 则， ∴， ∴， 解得：， ∴， 根据（1）可得， ∴小明步行时间， 小蓝步行时间， ， ∴小蓝先到． 15．（2025·四川成都·模拟预测）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2所示，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头的高度，识别的最远水平距离．( 参考数据：，， ，，，) (1)若直立站在离摄像头水平距离的点C处，请求出该人脸识别系统能识别的最大身高； (2)小兰身高，头部高度为，无法被该人脸识别系统识别，所以物业将摄像头的仰角、俯角都调整为 (如图3)，此时小兰能被识别吗？请计算说明． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用、锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等知识点，熟练掌握相关概念、性质是解题的关键． （1）如图：过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E、D，交水平线于点F，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出最大身高； （2）如图：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，则，根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，再求出长度，然后与头部以下身高比较即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E、D，交水平线于点F， 在中，． ． ， ∴， ， ， ∴该人脸识别系统能识别的最大身高． （2）解：能，理由如下： 如图：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，则， 在中，， ， ， ， ， ． ∵， ∴ ∴小兰能被识别． 16．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，、、、是长安街沿线的四个观看点且位于同一平面内，已知位于的正东方向且位于的西北方向上，位于的北偏东方向上且位于的北偏东方向上，位于的南偏东方向上．经测量，两点相距米．（参考数据：，，）． (1)求的长度（结果保留整数）； (2)小明和小亮同时从出发去往处，小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为，请问小明和小亮谁先到达处，并说明理由． 【答案】(1) (2)小亮早到，理由见解析 【分析】本题考查利用锐角三角函数解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）延长交于，由题意，则在中，可求，进而在中，可求长，利用题目可解． （2）作，可求，，在和在中利用三角函数则线段可求，两人所走的距离即可求，除以各自的速度求出时间作比较即可． 【详解】（1）解：延长交于， 由题意， 在中， ∵米， ∴米， 米， 在中， ， ， 米，米， ， ， ， ， 米， 答：的长度为米； （2）解：， ∴，， ，， ， 作， 在中， 米， 米， 在中， 米， 米， 米， 小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为， 米， 小明用时：， 米， 小亮用时， ， ∴小亮早到． 17．（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角． （）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 【答案】（）米；（） 【分析】（）过点作交于点，由平行线的性质可得，进而由即可求解； （）延长交于点，可得四边形为平行四边形，得到，由坡度的定义可得米，解可得米，再根据线段的和差关系即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，平行四边形的判定和性质，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：（）解：如图，连接，过点作交于点，则， ， ， ， （米）， 答：，之间的距离要大于米； （）解：如图，延长交于点， ∵段和段的坡度相同， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵段和段的坡度， （米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：平台的最大长度约为米． 18．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）【阅读理解】在学习《直角三角形的边角关系》一章时，小明用了如下的思路方法计算出了的值．如图1，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，，．设，则，， 【类比探究】（1）仿照小明的思路，可以计算出______________． （2）如图2，在中，，设，，由上述小明思路的启发，你能算出_____________．_______________． 【拓展应用】（3）在实际生活中，如图3，为了测量一棵树的高度，小红站在点D处仰望树梢，此时测得仰角为，．然后她向后退到处 ，测得此时的仰角为 ，接着，她向前移动到处，测得此时的仰角变为．在此过程中，小红同学的眼睛位置始终保持在同一水平线（即点共线且与地面平行），若小红眼睛到地面的距离为米（即米），后退与前进的距离之和为21米（即米），请求出这棵树的高度． 【答案】（1）；（2），；（3）米 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用． （1）如图，，，在上截取，设，可得，进一步求解即可． （2）如图，作的角平分线，在上截取，设，则，可得，进一步求解即可．如图，在中，，设，，在上截取，设，则，设，利用，可得：，进一步求解即可． （3）如图，延长交于，结合题意可得：，，，，结合，，，设，，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）如图，，，在上截取， ∴， ∴， 设， ∴， ∴． （2）如图，作的角平分线，在上截取， ∴，， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在中，，设，， 在上截取， ∴，， ∵， ∴设，则，设， ∴， 解得：， ∴， ∴． （3）如图，延长交于， 结合题意可得：，，，， ∵， ∴， 同理：， ∵，，， 设，， ∴，，，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴，即树的高度为米． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $