精品解析：广东省揭阳市惠来县溪西中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年第一学期八年级数学第一阶段检测试卷 （考试范围：第一二章 满分120分） 一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分．） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 在下列实数：中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 4. 下列选项中错误的是（ ） A. 16的平方根是 B. 的平方等于5 C. 27的立方根是 D. 4的算术平方根是2 5. 下列计算正确的是（　 ） A. B. C. D. 6. 下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. ， D. 8. 在中，，，则的长是（　　） A. 17 B. 或13 C. 17或 D. 13或17 9. 如图，矩形中，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，长方体的长，宽，高，点M在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 12. 的平方根是____． 13. 若x，y为实数， 且 ，则________． 14. 如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是_________． 15. 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，中，，，，是边上的高，则中边的“中偏度值”为______． 三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，求下列各式的值 （1） （2） 18. 已知是49的算术平方根，的立方根是． （1）求x，y的值； （2）求的立方根． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 如图，点在中，，，， （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 20. 探究实践：如图，在中，，，，求的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． （1）作于点，设，用含的代数式表示_____； （2）根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值； （3）利用勾股定理求出的长，再计算的面积． 21. 如图，已知四边形中，，，，，E为边上的一点，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点B运动，连接，设点P运动的时间为t秒． （1）求的长； （2）若为直角三角形，求t的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分．） 22. 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理． （2）如图2，在中，是边上的高，，求的长度； （3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值． 23. 【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 （1）仿照上面的解题过程，化简：________． （2）计算：． （3）已知，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期八年级数学第一阶段检测试卷 （考试范围：第一二章 满分120分） 一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分．） 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股数，根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，但边不是整数，所以不是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 2. 在下列实数：中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义及判定方法：无理数就是无限不循环小数，初中范围内学习的无理数有：①，等；②开方开不尽的数；③以及，等有这样规律的数．根据无理数的定义分析已知数据即可判定选择项． 【详解】解：， 在实数中， 无理数有共3个． 故选：C 3. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵25＜33＜36， ∴5＜＜6． 故选D． 【点睛】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 4. 下列选项中错误的是（ ） A. 16的平方根是 B. 的平方等于5 C. 27的立方根是 D. 4的算术平方根是2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，算术平方根，解题的关键在于熟练掌握相关知识； 根据平方根，立方根，算术平方根的运算法则，逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A. 16的平方根是，说法正确，不符合题意； B. 的平方等于5，说法正确，不符合题意； C. 27的立方根是，原选项说法错误，符合题意； D. 4的算术平方根是2，说法正确，不符合题意； 故选：C． 5. 下列计算正确的是（　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法、二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的性质，根据二次根式的乘法、二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的性质 判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 6. 下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项不符合题意； B、=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项不符合题意； C、，是最简二次根式；故C选项符合题意； D．=，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项不符合题意； 故选C． 7. 已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，以及三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理 ． 根据勾股定理逆定理和角度关系逐项判断是否为直角三角形 ． 【详解】解：选项A：由  变形得 ， 满足勾股定理逆定理，能判断是直角三角形； 选项B：当 ，， 时，计算得 ， 满足勾股定理逆定理，能判断是直角三角形； 选项C：设 ，则 ，， 由三角形内角和得 ，解得 ， 因此 ，，，能判断是直角三角形； 选项D：由 ，总份数为 ，每份为 ， 对应角度为 、、，均为锐角，无直角，不能判断是直角三角形 ． 故选：D ． 8. 在中，，，则的长是（　　） A. 17 B. 或13 C. 17或 D. 13或17 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，分和，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，， 若，则， 若，则； 综上，的长是17或． 故选：C． 9. 如图，矩形中，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，根据两点之间的距离求点表示的数，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及通过距离表示点的坐标． 根据矩形的性质和勾股定理得出，根据两个点之间线段的长度求出点的坐标即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ， 由勾股定理得， ， ∵点表示的数为， 点表示的数为， 故选：C． 10. 如图，长方体的长，宽，高，点M在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将长方体沿剪开，向右翻折，使面和面在同一个平面内，连接；或将长方体沿剪开，向上翻折，使面和面在同一个平面内，连接；或将长方体沿剪开，向下翻折，使面和下面在同一个平面内，连接，然后分别在与与，利用勾股定理求得的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程． 【详解】解：将长方体沿剪开，向右翻折，使面和面在同一个平面内，连接，如图1， 由题意可得：， 在中，根据勾股定理得：； 将长方体沿剪开，向上翻折，使面和面在同一个平面内，连接，如图2， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得：， 将长方体沿剪开，向下翻折，使面和下面在同一个平面内，连接，如图3， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得：， ∵， 则需要爬行的最短距离是． 故选：B． 【点睛】此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 12. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 13. 若x，y为实数， 且 ，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查非负数的性质，几个非负数的和为0，则每一个非负数同时为0．利用非负数的性质得到，，然后求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：． 14. 如图所示，梯子靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为，梯子的底端B到墙根O的距离为，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么的长是_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，又由题意可知利用勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：在直角三角形中， ，， ， ，， ， 在中 ， 故答案为：8． 15. 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，中，，，，是边上的高，则中边的“中偏度值”为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出边上的高和该边上的中点到高的距离．根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离，再求它们的比值即可． 【详解】解：作为的中线， ，，， ， ∵， ∴， ， ∴， 为斜边上的中线，， ∴， ∴， 即点到的距离为， 则中边的“中偏度值”为：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据立方根，算术平方根，绝对值性质化简各项，再去括号，最后进行加减运算； （2）根据二次根式的混合运算法则计算求解，即可解题． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了立方根，算术平方根，绝对值性质，二次根式的混合运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 17. 已知，求下列各式的值 （1） （2） 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可求出的值，再把所求式子利用完全平方公式分解因式得到，据此代入求值即可； （2）根据题意可求出和的值，再把所求式子利用平方差公式分解因式得到，据此代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴ ． 18. 已知是49的算术平方根，的立方根是． （1）求x，y的值； （2）求的立方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义，熟记概念并求出、的值是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出x，再根据立方根的定义求出y，即可解答； （2）将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【小问1详解】 解：∵是49的算术平方根， ， 解得， 的立方根是， ， 解得：． 【小问2详解】 解：，， ， ∴的立方根是． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 如图，点在中，，，， （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积； （1）根据勾股定理和，，，可以求出的长； （2）根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：∵，，， ， 【小问2详解】 ∵，， ， 是直角三角形，， ． 故图中阴影部分的面积为． 20. 探究实践：如图，在中，，，，求的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． （1）作于点，设，用含的代数式表示_____； （2）根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出的值； （3）利用勾股定理求出的长，再计算的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据可得答案； （2）在两个直角三角形中分别应用勾股定理可得方程，解方程可得的值； （3）先求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴在和中，根据勾股定理，， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：由（2）得：， ∴． 21. 如图，已知四边形中，，，，，E为边上的一点，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点B运动，连接，设点P运动的时间为t秒． （1）求的长； （2）若为直角三角形，求t的值． 【答案】（1）5 （2）当秒或秒时，为直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质与判定： （1）先求出，在中根据勾股定理计算即可； （2）分、两种情况，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：，， ， 在中，； 【小问2详解】 解：当时，如下图： ， ， ∵， ∴， 四边形为矩形， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点运动， ∴（秒， 当时，如图，过点P作于Q， 同理可得四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 由（1）得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 解得，， 当秒或秒时，为直角三角形． 五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分．） 22. 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理． （2）如图2，在中，是边上的高，，求的长度； （3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值． 【答案】（1） 如图1所示：     大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ；；； ，即； （2） （3）25 【解析】 【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证； （2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到； （3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2所示： 在中，，， ∴由勾股定理可得， 是边上的高， 由等面积法可得， ，， ∴； 【小问3详解】 解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，如图1所示： ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴，即的值为25． 【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键． 23. 【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 （1）仿照上面的解题过程，化简：________． （2）计算：． （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干分母有理化的步骤求解，即可解题； （2）根据分母有理化的步骤计算括号内式子，再结合平方差公式计算求解，即可解题； （3）根据分母有理化的步骤化简，再代入中结合完全平方公式计算求解，即可解题． 【小问1详解】 解：； 故答案为：． 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键在于正确理解分母有理化的步骤． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $