精品解析：广东省佛山市南海区桂城街道石石肯初级中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

石肯中学2025—2026学年上学期九年级数学第一阶段反馈练习 （满分：120分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一元二次方程共有（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（　）． A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 3. 一个口袋中装有 4个白球，1个红球，7个黄球，搅匀后随机从袋中摸出 1个球是白球的概率是（ ）． A. B. C. D. 4. 根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 ax2+bx+c ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 5.25 13 A. 0＜x＜0.5 B. 0.5＜x＜1 C. 1＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜2 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 6. 某小组作“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　） A. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” D. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 7. 如图，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（ ） A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 8. 若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的一根，则这个三角形的周长为 ( ) A. 7 B. 3或7 C. 15 D. 11或15 9. 若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则x12﹣2017x1﹣2018x2的值为（　　） A. 2020 B. 2019 C. 2018 D. 2017 10. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（　　） A. 4 B. 4 C. 3 D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在正方形中，分别是的中点，若，则的长是__________． 12. 国庆节期间，某班x名同学互相发祝福短信，每人都给其它同学各发一条短信，一共发出2450条短信，则可列方程 ___________． 13. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球有______个． 14. 关于x的一元二次方程的一个根是a，则代数式的值是____． 15. 如图，在矩形ABCD中，BC＝4，∠BDC的平分线交BC于点P，作点P关于BD的对称点，若点落在矩形ABCD的边上，则AB的长为 _______． 三、解答题（一）（共3题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2＝0 （1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根． （2）当m为何值时方程有两个不同的实数根． 18. 如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长． 四、解答题（二）（共3题，每小题9分，共27分） 19. 随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响，为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》，为贯彻《通知》精神、某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”） 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为______人，_______； （2）请将条形统计图补充完整； （3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 20. “南国梨”素有“梨中之王”美称，主产于中国辽宁省的鞍山，某南国梨种植基地2020年种植64亩，到2022年的种植面积达到100亩． （1）求该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率． （2）某超市调查发现，当“南国梨”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每千克上涨0.5元，每周销售量减少10千克，已知该超市“南国梨”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过17元/千克．若使销售“南国梨”每周获利2400元，则售价应多少元/千克？ 21. 如图，在矩形中，，，动点、分别以、的速度从点、同时出发，点从点向点移动． 若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点、分别从点、同时出发，问经过多长时间、两点之间的距离是？ 若点沿着移动，点、分别从点、同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 五、解答题（三）（共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】 （1）小红将两个矩形纸片摆成图①的形状，连接、，则线段和线段的关系为_____； 【解决问题】 （2）如图②，正方形的边长为5，是边上一点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°至，作射线交的延长线于点，求的长； 【迁移应用】 （3）如图③，在菱形中，，是边上一点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转120°至，作射线交的延长线于点．若，求的长． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．在正方形的边上选一点，沿折叠，使点落在正方形的内部． （1）操作判断 ①如图①，当点落在正方形的对角线上的点处时，连接并延长，交的延长线于点，则________． ②如图②，改变点的位置，当点落在正方形的内部任意一点处时，________． （2）迁移探究 如图③，当点落在正方形的对角线上的点处时，过点作于点，于点，连接，，试猜想，的数量关系并证明． （3）拓展应用 延长交正方形的一边于点，已知正方形的边长为8，当是等腰三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石肯中学2025—2026学年上学期九年级数学第一阶段反馈练习 （满分：120分；考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，一元二次方程共有（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程是一元二次方程，根据定义判断即可． 【详解】解：①符合定义，是一元二次方程； ②含有两个未知数，不符合定义，不是一元二次方程； ③未知数的最高次数是3，不符合定义，不是一元二次方程； ④符合定义，是一元二次方程； 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键． 2. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（　）． A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】∵ABCD是菱形，∠BCD=120°， ∴∠B=60°，BA=BC． ∴△ABC是等边三角形． ∴△ABC的周长=3AB=15． 故选B． 3. 一个口袋中装有 4个白球，1个红球，7个黄球，搅匀后随机从袋中摸出 1个球是白球的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】白球所占的比例为4÷（4+1+7）=， 所以搅匀后随机从袋中摸出 1个球是白球的概率为． 故选B． 4. 根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝10（a、b、c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 ax2+bx+c ﹣15 ﹣8.75 ﹣2 5.25 13 A. 0＜x＜0.5 B. 0.5＜x＜1 C. 1＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜2 【答案】D 【解析】 【分析】根据ax2+bx+c的符号即可估算ax2+bx+c=10的解． 【详解】解：由表格可知：当x=1.5时，ax2+bx+c=5.25，则ax2+bx+c-10=-4.75， 当x=2时，ax2+bx+c=13，则ax2+bx+c-10=3， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=10（a≠0）的一个解x的范围是1.5＜x＜2， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的近似解． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形错误，如等腰梯形； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确； C、对角线相等的四边形是矩形错误，如等腰梯形； D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形错误，如一般四边形对角线也可以互相垂直且相等． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理，难度一般． 6. 某小组作“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　） A. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” D. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 【答案】A 【解析】 【分析】根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：A．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故本选项符合题意； B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，故本选项不符合题意； C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意； D．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球的概率为，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率等于所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 7. 如图，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（ ） A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到四边形一定是平行四边形，再推出一个角是直角，即可求解，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是对角线互相垂直，理由如下： 根据三角形的中位线定理得： ，，，， ∴，， ∴四边形一定是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 故选：C． 8. 若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的一根，则这个三角形的周长为 ( ) A. 7 B. 3或7 C. 15 D. 11或15 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用因式分解法计算出x的值，再根据三角形的三边关系确定出x的值，然后再计算出周长即可． 【详解】x2−10x+21=0， (x−3)(x−7)=0， 则x−3=0，x−7=0， 解得：x=3或7， 当x=3时，2+3=5<6，不能组成三角形，故x=3不合题意舍去， 当x=7时，2+6=8>7，可以组成三角形， 则三角形的周长为2+6+7=15， 故答案选C. 【点睛】本题考查了解一元二次方程与三角形的三边关系，解题的关键是熟练的掌握三角形的三边关系与根据因式分解法解一元二次方程. 9. 若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则x12﹣2017x1﹣2018x2的值为（　　） A. 2020 B. 2019 C. 2018 D. 2017 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得，根与系数的关系求得，代入求解即可． 【详解】 x1，x2是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根， ，， ． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 10. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（　　） A. 4 B. 4 C. 3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】证△ABE≌△ACF（ASA），得S△ABE＝S△ACF，再由S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC即可求解． 【详解】解：连接AC，如图所示， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°， ∴∠BAC＝∠DAC＝60°，BC＝AB＝4， ∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°， ∴∠1＝∠3， ∵∠BAD＝120°，BC∥AD， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°， ∴△ABC、△ACD为等边三角形， ∴∠4＝60°，AC＝AB， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）． ∴S△ABE＝S△ACF， 故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值， 过A作AH⊥BC于H，则BH＝BC＝2， ∴AH＝， S四边形AECF＝S△ABC＝BC•AH＝×4×2＝4， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和全等三角形的综合应用，结合勾股定理计算是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在正方形中，分别是的中点，若，则的长是__________． 【答案】4． 【解析】 【分析】连接BD，根据中位线性质求出BD，再根据正方形对角线相等可求AC． 【详解】解：连接BD， ∵分别是的中点， ∴BD=2EF=4， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD=4； 故答案为：4． 【点睛】本题考查正方形的性质和中位线性质，解题关键是连接对角线，构建中位线． 12. 国庆节期间，某班x名同学互相发祝福短信，每人都给其它同学各发一条短信，一共发出2450条短信，则可列方程 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】设该班级共有同学x名，互相发短信，每两个人之间产生2条短信，根据共发出2450条短信可得方程． 【详解】解：设该班级共有同学x名， 根据题意，得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 13. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球有______个． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到的摸到红球的概率建立方程，求解即可得到白球个数． 【详解】解：设口袋中白球的个数为个， ∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 故估计口袋中白球有个． 14. 关于x的一元二次方程的一个根是a，则代数式的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义求解即可，一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 【详解】关于x的一元二次方程的一个根是a， 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． 15. 如图，在矩形ABCD中，BC＝4，∠BDC的平分线交BC于点P，作点P关于BD的对称点，若点落在矩形ABCD的边上，则AB的长为 _______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可得，结合矩形的性质可得，则，在中，勾股定理即可求得． 【详解】四边形是矩形， ，， 平分∠BDC， ， 作点P关于BD的对称点，若点落在矩形ABCD的边上， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，求得是解题的关键． 三、解答题（一）（共3题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解方法，涉及了公式法和因式分解法，熟练掌握相关求解方法是解题的关键． （1）利用公式法求解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∴， 即， ∴，， 解得：，． 17. 关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2＝0 （1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根． （2）当m为何值时方程有两个不同的实数根． 【答案】（1）m=2，另一根是2 （2）m>且m≠1 【解析】 【分析】（1）将x=-1代入原方程求出m值，将m的值代入原方程利用分解因式法解方程即可得出结论； （2）根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数非零即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】解： (1)将x=−1代入原方程，得：m−1+1−2=0， 解得：m=2， ∴原方程为x2−x−2=(x+1)(x−2)=0， 解得：x1=−1，x2=2 ∴m的值为2，方程的另一个根为2 (2)∵方程(m−1)x2−x−2=0有两个不同的实数根， ∴， 解得：m>且m≠1 ∴当m>且m≠1时方程有两个不同的实数根． 18. 如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长． 【答案】（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，E是BC的中点， ∴AE＝CE＝BC， ∴四边形AECD是菱形； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）过A作AH⊥BC于点H， ∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10， ∴AC＝， ∵， ∴AH＝， ∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形， ∴CD＝CE＝5， ∵S▱AECD＝CE•AH＝CD•EF， ∴EF＝AH＝． 【点睛】此题考查菱形的判定和性质，关键是根据平行四边形和菱形的判定和性质解答． 四、解答题（二）（共3题，每小题9分，共27分） 19. 随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响，为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》，为贯彻《通知》精神、某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”） 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为______人，_______； （2）请将条形统计图补充完整； （3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）40，30； （2）补全统计图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）用B等级的人数除以对应百分比可得获奖总人数，再减去A、B、D的人数可得C等级的人数，除以获奖总人数可得对应百分比，即可得到m值； （2）求出C等级的人数，即可补全统计图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出抽出的恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：（1）8÷20%=40人， （40-4-8-16）÷40×100%=30%， 则m=30； （2）40-4-8-16=12人 （3）如图， 共有12种情况，恰好选中1名男生和1名女生的有6种， 所以恰好选中1名男生和1名女生的概率是． 【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，列表法或树状图法求概率等知识点，能正确画出条形统计图和树状图是解此题的关键． 20. “南国梨”素有“梨中之王”美称，主产于中国辽宁省的鞍山，某南国梨种植基地2020年种植64亩，到2022年的种植面积达到100亩． （1）求该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率． （2）某超市调查发现，当“南国梨”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每千克上涨0.5元，每周销售量减少10千克，已知该超市“南国梨”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过17元/千克．若使销售“南国梨”每周获利2400元，则售价应多少元/千克？ 【答案】（1）25% （2）16元/千克 【解析】 【分析】（1）设该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为x，利用该南国梨种植基地2022年种植面积=该南国梨种植面积基地2020年种植面积（1+该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价为y元/千克，则每千克的销售利润为（y-6）元，每周能售出（560-20y）千克，利用总利润=每千克的销售利润每周的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【小问1详解】 设该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为x， 依题意得：， 解得：， （不符合题意，舍去）． 故该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为25% 【小问2详解】 设售价为y元/千克，则每千克的销售利润为元，每周能售出千克， 依题意得：千克， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 故售价应为16元/千克 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 如图，在矩形中，，，动点、分别以、的速度从点、同时出发，点从点向点移动． 若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点、分别从点、同时出发，问经过多长时间、两点之间的距离是？ 若点沿着移动，点、分别从点、同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 【答案】（1）经过或、两点之间的距离是；（2）经过秒或秒的面积为． 【解析】 【分析】（1）如图，过点P作PE⊥CD于E，设x秒后PQ=10cm，利用勾股定理得出即可． （2）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时，根据面积列方程求解即可． 【详解】过点作于． 设秒后，点和点的距离是． 根据题意得：，即， ∴， ∴，； ∴经过或、两点之间的距离是； 连接．设经过后的面积为． ①当时，则， ∴，即， 解得； ②当时， ，，则 ， 解得，（舍去）； ③时，PC=3y-22， ， ∴， 解得（舍去）． 综上所述，经过秒或秒的面积为． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，熟练应用矩形的性质是解题关键． 五、解答题（三）（共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】 （1）小红将两个矩形纸片摆成图①的形状，连接、，则线段和线段的关系为_____； 【解决问题】 （2）如图②，正方形的边长为5，是边上一点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°至，作射线交的延长线于点，求的长； 【迁移应用】 （3）如图③，在菱形中，，是边上一点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转120°至，作射线交的延长线于点．若，求的长． 【答案】（1），，（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，，即可得到结论. （2）在上截取一点，使得，利用旋转性质证明，继而得到，即可得到答案； （3）过点作，与延长线交于点，利用菱形性质得，，证明，再得到是直角三角形，继而利用边关系即可得到答案． 【详解】解：（1），，理由如下： ∵两个完全相同的矩形纸片摆成图①的形状， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴. （2）在上截取一点，使得， ∵线段绕点顺时针旋转至， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为5， ∴. （3）过点作，与延长线交于点，    ， ∵四边形是菱形， ∴，， 由旋转性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴ ∵， ∴，即. 【点睛】本题考查矩形性质，等腰直角三角形判定及性质，旋转性质，全等三角形判定及性质，菱形性质，三角形内角和定理等．正确作出辅助线是解决本题的关键． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．在正方形的边上选一点，沿折叠，使点落在正方形的内部． （1）操作判断 ①如图①，当点落在正方形的对角线上的点处时，连接并延长，交的延长线于点，则________． ②如图②，改变点的位置，当点落在正方形的内部任意一点处时，________． （2）迁移探究 如图③，当点落在正方形的对角线上的点处时，过点作于点，于点，连接，，试猜想，的数量关系并证明． （3）拓展应用 延长交正方形的一边于点，已知正方形的边长为8，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）①；②； （2） ，证明如下： 如图③，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， （3）6或 【解析】 【分析】（1）①过点作于点，根据正方形的性质和折叠的性质，得到，，易证，得到，进而得出，即可求出的度数； ②过点作于点，同①可得出，即可求出的度数； （2）连接，根据正方形的性质，易证，得出，再证明四边形是矩形，得到，即可得出结论； （3）由题意可知，只有时，等腰存在，分两种情况讨论：①当点在边上时；②当点在边上时，设，利用勾股定理分别求解即可． 【小问1详解】 解：①如图①，过点作于点， 四边形是正方形， ，， 由折叠的性质可知，，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②如图②，过点作于点， 四边形是正方形， ，，， 由折叠的性质可知，，， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：正方形的边长为8， ，， 由折叠的性质可知，， 当是等腰三角形时， 由题意可知，， 即只有时，等腰三角形存在， ①如图④，当点在边上时， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即， ； ②如图⑤，当点在边上时， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即， ； 综上可知，当是等腰三角形时，的长为6或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作辅助线，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $