精品解析：广东省惠州市实验中学2025-2026学年高三上学期10月阶段性检测数学试题

惠州市实验中学2026届高三（上）10月阶段性检测 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式解集是（ ） A B. C. D. 6. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在处取得极小值，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 0或1 8. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中为常数．在此条件下，已知训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（ ）. A. 2 B. 4 C. 20 D. 40 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式错误是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的值为______ 13. 若是函数极值点，则___________ 14. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，两点的横坐标分别为，. （1）写出，的值；（只需写出结果） （2）求的值； （3）求的余弦值. 16. 给定函数． （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）当时，求的值域； （3）求出方程解的个数． 17. 已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数的最小值； （2）若函数，对，，使成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）设，求曲线的斜率为2的切线方程； （2）若是的极小值点，求b的取值范围. 19. 已知函数的图象在定义域上连续不断，对任意，，若恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数.当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性.上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意个值，即若是上凸函数，则对任意，，…，恒有，若是下凸函数，则对任意，，…，，恒有，当且仅当时等号成立.应用以上知识解决下列问题： （1）判断函数，，在定义域上分别是上凸函数还是下凸函数（只写出结论，不需证明）； （2）利用（1）中的结论，在中，求的最大值； （3）判断并证明函数凹凸性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市实验中学2026届高三（上）10月阶段性检测 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求得正确答案. 【详解】由得， 所以，解得， 所以不等式的解集是. 故选：C 6. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 7. 已知函数在处取得极小值，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 0或1 【答案】C 【解析】 【分析】由导数为0求得，然后利用单调性再确定是极小值点即得． 【详解】由已知， 因此，或， 若，则， 时，，递增，时，，递减，是极大值点，不合题意， 若，则， 时，，递减，时，，递增，是极小值点，符合题意，因此 故选：C 8. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中为常数．在此条件下，已知训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（ ）. A. 2 B. 4 C. 20 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为， 则由题意， ， ， 所以由题，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由基本不等式结合特例即可逐项判断. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B和D，取，此时， ，故B和D错误； 对于C，，由基本不等式可得，故C正确. 故选：ABD 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 11. 已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着变化可能出现：，，，， 故选：B． 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的值为______ 【答案】 【解析】 分析】由，结合同角三角函数平方关系求出，即可得解. 【详解】由题意，知，，故，． 又，所以，所以，所以， 所以． 故答案为： 13. 若是函数的极值点，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 14. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，联立曲线和切线方程，根据方程只有一个解求解即可. 【详解】因为，所以， 所以当时，，即切线的斜率为2， 所以由点斜式得即， 联立整理得， 因为切线与曲线只有一个公共点， 所以方程只有一个根， 当时，方程为只有一个根，满足题意； 当时，，即，解得， 综上或， 故答案为: 或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，两点的横坐标分别为，. （1）写出，的值；（只需写出结果） （2）求的值； （3）求的余弦值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义，可得答案； （2）根据单位圆的性质，求得点的坐标，利用同角的商式关系与正切函数的二倍角公式，可得答案； （3）根据余弦的差角公式，可得答案. 【小问1详解】 设，则，， 由任意角三角函数的定义，则， 【小问2详解】 由（1）可知：，又， 则，即， . 【小问3详解】 由（1）可知：，又， 则， . 16. 给定函数． （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）当时，求的值域； （3）求出方程解的个数． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值； （2）； （3）当时，0个解；当或时，1个解；当时，2个解. 【解析】 【分析】（1）求导后分析导数符号确定单调性，进而得极值； （2）结合单调性、端点值和极限确定值域； （3）分析函数符号、图像与直线交点个数确定方程解的个数. 【小问1详解】 对求导，得.令，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由（1）知，在单调递减，在单调递增， 则在处取得最小值.又，当时，， 所以当时，的值域为. 【小问3详解】 由上述分析可知，当时，；当时，； 当时，.结合（1）中的单调性和极小值， 大致作出的图像如下图所示， 方程的解的个数等价于函数与直线的交点个数： 当时，无交点，方程无解； 当时，有2个交点，方程有2个解； 当或时，有1个交点，方程有1个解. 17. 已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数的最小值； （2）若函数，对，，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由单调性知在上恒成立，采用分离变量法知，由此可求得结果； （2）将问题等价于，根据二次函数性质可求得，利用导数可求得，由此构造不等式可求得结果. 【详解】（1）， 在上单调递增，在上恒成立，， 当时，，， 实数的最小值为. （2）对“，，使成立”等价于“当时，”， 在上单调递增，， ，当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，解得：，即实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ． 18. 已知函数. （1）设，求曲线的斜率为2的切线方程； （2）若是的极小值点，求b的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由切线斜率为2，结合导数知识可得切线过点，然后可得切线方程； （2）由是的极小值点，可得，然后据此讨论的单调性，分析得在时的极值情况，从而得解. 【小问1详解】 当时，，其中， 则，令， 化简得，解得（负值舍去）， 又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2， 则切线方程为，即. 【小问2详解】 由题可得定义域为，， 因是的极小值点，则， 则， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是极大值点，不满足题意； 若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极小值点，满足题意； 综上，是的极小值点时，. 19. 已知函数的图象在定义域上连续不断，对任意，，若恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数.当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性.上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意个值，即若是上凸函数，则对任意，，…，恒有，若是下凸函数，则对任意，，…，，恒有，当且仅当时等号成立.应用以上知识解决下列问题： （1）判断函数，，在定义域上分别是上凸函数还是下凸函数（只写出结论，不需证明）； （2）利用（1）中的结论，在中，求的最大值； （3）判断并证明函数的凹凸性. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）下凸函数 【解析】 【分析】（1）利用上凸函数、下凸函数的定义与几何意义，作差，结合和角及二倍角的正弦推理判断即可. （2）利用（1）的结论，结合三角形三内角和定理求出最大值. （3）作差，结合对数运算、对数函数性质，基本不等式及不等式性质推理判断即得. 【小问1详解】 对： ①当时，为上凸函数，为上凸函数，故为上凸函数； ②当时，为下凸函数，为下凸函数，故为下凸函数； 对： ， ，显然，则， 因此，函数是上凸函数. 【小问2详解】 由（1）知函数，是上凸函数， 在中，， 即，当且仅当取等号， 所以中，的最大值是. 【小问3详解】 函数的定义域是， 因为 ， 显然，则， 而，即，则， 又，有，则，， 所以函数是下凸函数． 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $