2.1.1 平均变化率-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评课件PPT（北师大版）

第二章　导数及其应用 §1　平均变化率与瞬时变化率 1.1　平均变化率 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　平均速度 1．一质点的位移s与时间t之间的关系是s＝4－2t2，则时间t从1变为1＋Δt的平均速度为(　　) A．2Δt＋4 B．－2Δt＋4 C．2Δt－4 D．－2Δt－4 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 4 2．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．6 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 5 3．已知某物体运动的位移x(单位：m)是时间t(单位：s)的函数，而且t＝0．2时，x＝0．32；t＝0．7时，x＝4．52． (1)当时间t从0．2变为0．7时，这个物体的平均速度是多少？ (2)估计出t＝0．4时物体的位移． 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 6 知识点二　函数的平均变化率 4．函数f(x)＝x3的自变量x从－1变为1的平均变化率为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 7 5．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的自变量x从－2变为1的平均变化率为______，函数f(x)的自变量x从－2变为3的平均变化率为______． 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 8 ③ 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 9 知识点三　平均变化率的实际应用 7．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，上面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？ 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 10 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 12 2．质点运动规律s(t)＝t2＋3，当时间t从3变为3．3时，质点运动的平均速度为(　　) A．6．3 B．36．3 C．3．3 D．9．3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 13 3．已知函数y＝f(x)＝－x2＋2x，当自变量x从2变为2＋Δx时，函数f(x)的平均变化率为(　　) A．2－Δx B．－2－Δx C．2＋Δx D．(Δx)2－2Δx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 15 5．[多选]一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h(t)＝2t2＋2t，则下列说法正确的是(　　) A．前3 s内球滚下的垂直距离的增量Δh＝20 m B．当时间t从2变为3时，球滚下的垂直距离的增量Δh＝12 m C．前3 s内球在垂直方向上的平均速度为8 m/s D．当时间t从2变为3时，球在垂直方向上的平均速度为12 m/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 17 二、填空题 6．已知曲线y＝5x2＋3上的两点P(1，8)和Q，点Q的横坐标为1＋Δx，则割线PQ的斜率是_________(用含Δx的式子表示)． 10＋5Δx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 18 7．一质点的位移s与时间t之间的关系为s＝t2＋3，当时间t从1变为m时，该质点运动的平均速度为3，则m的值为_____． 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 19 8．如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则下列说法正确的是________(填序号)． ①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度； ③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度． ②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 20 三、解答题 9．已知函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝3x，f4(x)＝x3，当自变量x从2变为4时，分别计算这四个函数的平均变化率，并比较它们的大小． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 21 10．路灯距地面8 m，一个身高为1．6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上射影点C沿某直线离开路灯． (1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10 s内身影的长度y相对于x的平均变化率． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 23 　　　　　　　　　　　　　 R 解析：平均速度eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(4－2（1＋Δt）2－4＋2×12,Δt)＝eq \f(－4Δt－2（Δt）2,Δt)＝－2Δt－4． 解析：由已知，得eq \f(s（3）－s（2）,3－2)＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1．故选B． 解：(1)所求平均速度为eq \f(4.52－0.32,0.7－0.2)＝eq \f(4.2,0.5)＝8．4(m/s)． (2)将t在[0．2，0．7]上的图象看成直线，则由(1)可知，直线的斜率为8．4，且直线通过点(0．2，0．32)，因此x与t的关系可近似地表示为x－0．32＝8．4(t－0．2)． 在上式中令t＝0．4，可求得x＝2，即物体的位移可以估计为2 m． 解析：由函数的平均变化率的公式，可得eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（1）－f（－1）,1－（－1）)＝eq \f(1－（－1）,2)＝1．故选C． 解析：从题图中可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，所以函数f(x)的自变量x从－2变为1的平均变化率为eq \f(f（1）－f（－2）,1－（－2）)＝eq \f(1－（－1）,3)＝eq \f(2,3)，从－2变为3的平均变化率为eq \f(f（3）－f（－2）,3－（－2）)＝eq \f(3－（－1）,5)＝eq \f(4,5)． 6．四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝eq \f(1,x)，当自变量x从1变为1．3时，平均变化率最大的是________(填序号)． 解析：当自变量x从1变为1．3时，函数y＝x的平均变化率k1＝1，函数y＝x2的平均变化率k2＝2．3，函数y＝x3的平均变化率k3＝3．99，函数y＝eq \f(1,x)的平均变化率k4＝－eq \f(10,13)．∵k3>k2>k1>k4，∴当自变量x从1变为1．3时，函数y＝x3的平均变化率最大． 解：山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝eq \f(10－0,50－0)＝eq \f(1,5)，山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝eq \f(15－10,70－50)＝eq \f(1,4)，∴hBC>hAB． ∴山路从B到C比从A到B要陡峭得多． 一、选择题 1．函数y＝f(x)＝eq \r(2x)的自变量x从eq \f(1,2)变为2的平均变化率为(　　) A．2 B．eq \f(2,3) C．eq \f(2\r(2),3) D．eq \r(2) 解析：由题意，知Δy＝f(2)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \r(2×2)－eq \r(2×\f(1,2))＝2－1＝1，∴函数f(x)＝eq \r(2x)的自变量x从eq \f(1,2)变为2的平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(1,2－\f(1,2))＝eq \f(2,3)．故选B． 解析：s(3)＝12，s(3．3)＝13．89，∴平均速度eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(s（3.3）－s（3）,3.3－3)＝eq \f(1.89,0.3)＝6．3．故选A． 解析： eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝eq \f(－（2＋Δx）2＋2（2＋Δx）－（－4＋4）,Δx) ＝eq \f(－4－（Δx）2－4Δx＋4＋2Δx,Δx)＝eq \f(－（Δx）2－2Δx,Δx)＝－Δx－2．故选B． 4．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，当时间t从t0变为t1，从t1变为t2，从t2变为t3时，平均速度分别为eq \o(v,\s\up6(－))1，eq \o(v,\s\up6(－))2，eq \o(v,\s\up6(－))3，则三者的大小关系为(　　) A．eq \o(v,\s\up6(－))1>eq \o(v,\s\up6(－))2>eq \o(v,\s\up6(－))3 B．eq \o(v,\s\up6(－))3>eq \o(v,\s\up6(－))2>eq \o(v,\s\up6(－))1 C．eq \o(v,\s\up6(－))2>eq \o(v,\s\up6(－))1>eq \o(v,\s\up6(－))3 D．eq \o(v,\s\up6(－))2>eq \o(v,\s\up6(－))3>eq \o(v,\s\up6(－))1 解析：eq \o(v,\s\up6(－))1＝eq \f(s（t1）－s（t0）,t1－t0)＝kOA，eq \o(v,\s\up6(－))2＝eq \f(s（t2）－s（t1）,t2－t1) ＝kAB，eq \o(v,\s\up6(－))3＝eq \f(s（t3）－s（t2）,t3－t2)＝kBC，由图象知kBC＞kAB＞kOA．故选B． 解析：前3 s内，Δt＝3 s，Δh＝h(3)－h(0)＝24 m，此时球在垂直方向上的平均速度为eq \f(Δh,Δt)＝eq \f(24,3)＝8 m/s，A错误，C正确；当时间t从2变为3时，Δt＝1 s，Δh＝h(3)－h(2)＝12 m，此时球在垂直方向上的平均速度为eq \f(Δh,Δt)＝eq \f(12,1)＝12 m/s，B，D正确．故选BCD． 解析：割线PQ的斜率kPQ＝eq \f(Δy,Δx)＝eq \f([5（1＋Δx）2＋3]－（5×12＋3）,Δx)＝10＋5Δx． 解析：由已知得eq \f(m2＋3－（12＋3）,m－1)＝3，∴m＋1＝3，∴m＝2． 解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(s0,t0)，故①错误，②正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为eq \f(s2－s0,t1－t0)，乙的平均速度为eq \f(s1－s0,t1－t0)．因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以eq \f(s2－s0,t1－t0)>eq \f(s1－s0,t1－t0)，故③正确，④错误． 解：当自变量x从2变为4时，设fn(x)的平均变化率为kn，则k1＝eq \f(f1（4）－f1（2）,4－2)＝eq \f(24－22,2)＝6，k2＝eq \f(f2（4）－f2（2）,4－2)＝eq \f(42－22,2)＝6，k3＝eq \f(f3（4）－f3（2）,4－2)＝eq \f(34－32,2)＝36，k4＝eq \f(f4（4）－f4（2）,4－2)＝eq \f(43－23,2)＝28．所以当自变量x从2变为4时，平均变化率由大到小依次为k3>k4>k2＝k1． 解：(1)如图所示，设人从点C运动到点B的路程为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m， 由于CD∥BE，则eq \f(AB,AC)＝eq \f(BE,CD)， 即eq \f(y,y＋x)＝eq \f(1.6,8)，所以y＝eq \f(1,4)x． (2)84 m/min＝1．4 m/s，Δx＝x2－x1＝1．4×10－1．4×0＝14， 所以eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\f(1,4)×14－\f(1,4)×0,14)＝eq \f(1,4)， 即人离开路灯的第一个10 s内身影的长度y相对于x的平均变化率为eq \f(1,4)． $