1.2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评课件PPT（北师大版）

第一章　数列 §2　等差数列 2.1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列的概念及其通项公式 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 解析：利用等差数列的定义去判断．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 4 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 5 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 6 知识点二　等差数列的通项公式 3．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1＝(　　) A．－9 B．－8 C．－7 D．－4 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 7 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 8 5．在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 9 6．在等差数列{an}中，a1＋a5＝6，a16＝55． (1)求数列{an}的公差及通项公式； (2)2025是否为数列{an}中的项？若是，则为第几项？若不是，请说明理由． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 10 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 11 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 12 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 13 40分钟综合练 一、选择题 1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 解析：因为数列{an}为等差数列，所以公差为an－an－1＝3－2n－(3－2n＋2)＝－2．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 16 3．等差数列{an}的公差d<0，且a2a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是(　　) A．an＝2n－2 B．an＝2n＋4 C．an＝－2n＋12 D．an＝－2n＋10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 20 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 21 8．等差数列{an}中，首项为33，若第12项为0，则数列的通项公式为___________；若公差为整数，前7项均为正数，第7项以后各项均为负数，则数列的通项公式为____________． an＝36－3n an＝38－5n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 22 三、解答题 9．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7． (1)求数列{an}的第10项； (2)112是数列{an}的第几项？ (3)在80到110之间有多少项？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 27 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　等差数列的概念 1．下列数列不是等差数列的是(　　) A．6，6，6，…，6，… B．－2，－1，0，…，n－3，… C．5，8，11，…，3n＋2，… D．0，1，3，…，eq \f(n2－n,2)，… 2．判断下列数列是否为等差数列． (1)an＝6n－4；(2)an＝eq \f(（－1）n ·（3n＋1）,2)； (3)an＝n2－2n． 解：(1)an＋1－an＝6(n＋1)－4－(6n－4)＝6，由n的任意性知，这个数列是等差数列． (2)a2－a1＝eq \f(（－1）2×（3×2＋1）,2)－eq \f(（－1）1×（3×1＋1）,2)＝eq \f(11,2)， a3－a2＝eq \f(（－1）3×（3×3＋1）,2)－eq \f(（－1）2×（3×2＋1）,2)＝－eq \f(17,2)． 因为a2－a1≠a3－a2，所以这个数列不是等差数列． (3)a2－a1＝22－2×2－(12－2×1)＝1， a3－a2＝32－2×3－(22－2×2)＝3． 因为a2－a1≠a3－a2，所以这个数列不是等差数列． 解析：设等差数列{an}的公差为d，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝－5，,a1＋5d＝a1＋3d＋6，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－8，,d＝3.))故选B． 4．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝1－eq \f(n,2) B．an＝eq \f(3,2)－eq \f(n,2) C．an＝eq \f(3,2)＋eq \f(n,2) D．an＝1＋eq \f(n,2) 解析：根据题意，得a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，∴a1＝1．又a3＝a1＋2d＝0，∴d＝－eq \f(1,2)．∴an＝a1＋(n－1)d＝eq \f(3,2)－eq \f(n,2)． 解：设等差数列{an}的公差为d， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝a1＋d＝5，,a8＝a1＋7d＝17，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝2.)) 所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1． 所以这个数列的公差为2，通项公式为an＝2n＋1． 解：(1)由题意，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d． 因为a1＋a5＝6，a16＝55， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋4d＝6，,a1＋15d＝55，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－5，,d＝4.)) 所以数列{an}的通项公式为an＝－5＋4(n－1)＝4n－9． (2)令an＝4n－9＝2025， 解得n＝508．5， 又n∈N＋，所以2025不是数列{an}中的项． 知识点三　等差数列的证明及应用 7．设正项数列{an}满足a1＝1，且naeq \o\al(2,n＋1)－(n＋1)aeq \o\al(2,n)＝n2＋n(n∈N＋)． (1)证明：数列2,n)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,n))) 是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：因为naeq \o\al(2,n＋1)－(n＋1)aeq \o\al(2,n)＝n2＋n＝n(n＋1)， 所以2,n＋1)eq \f(a,n＋1) －2,n)eq \f(a,n) ＝1，又a1＝1，故2,1)eq \f(a,1) ＝1， 所以数列2,n)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a,n))) 是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)得2,n)eq \f(a,n) ＝1＋(n－1)×1＝n，则an＝±n， 因为数列{an}是正项数列，所以an＝n． 8．数列{an}满足a1＝1，4anan＋1＋1＝3an＋an＋1． (1)求a2，a3； (2)证明eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2an－1)))是等差数列，并求{an}的通项公式． 解：(1)由a1＝1，4anan＋1＋1＝3an＋an＋1， 得4a2＋1＝3＋a2，解得a2＝eq \f(2,3)， 又4a2a3＋1＝3a2＋a3，解得a3＝eq \f(3,5)． (2)由已知得，an＋1＝eq \f(3an－1,4an－1)， ∵eq \f(1,2an＋1－1)－eq \f(1,2an－1)＝eq \f(1,2·\f(3an－1,4an－1)－1)－eq \f(1,2an－1) ＝eq \f(4an－1,2（3an－1）－（4an－1）)－eq \f(1,2an－1)＝eq \f(4an－1,2an－1)－eq \f(1,2an－1)＝2， 又eq \f(1,2a1－1)＝eq \f(1,2－1)＝1， ∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2an－1)))是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴eq \f(1,2an－1)＝2n－1，解得an＝eq \f(n,2n－1)． 2．等差数列－5，－eq \f(7,2)，－2，－eq \f(1,2)，…的第23项是(　　) A．－38 B．－28 C．28 D．eq \f(59,2) 解析：由a1＝－5，d＝－eq \f(7,2)－(－5)＝eq \f(3,2)，得a23＝a1＋22d＝－5＋22×eq \f(3,2)＝28． 解析：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2a4＝12，,a2＋a4＝8，,d＜0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝6，,a4＝2))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,d＝－2，))所以an＝8＋(n－1)×(－2)，即an＝－2n＋10． 4．等差数列{an}的首项为a，公差为1，数列{bn}满足bn＝eq \f(an,an＋1)．若对任意n∈N＋，bn≤b6，则实数a的取值范围是(　　) A．(－8，－6) B．(－7，－6) C．(－6，－5) D．(6，7) 解析：∵{an}是首项为a，公差为1的等差数列，∴an＝n＋a－1．∴bn＝eq \f(an,an＋1)＝1－eq \f(1,n＋a)．又对任意的n∈N＋，都有bn≤b6成立，可知eq \f(1,6＋a)≤eq \f(1,n＋a)，则必有6＋a＜0且7＋a＞0，∴－7＜a＜－6．故选B． 5．[多选]在数列{an}中，若a1＝1，a2＝eq \f(1,2)，eq \f(2,an＋1)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,an＋2)(n∈N＋)，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an}是等差数列 B．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列 C．an＝eq \f(1,n) D．an＝n 解析：由eq \f(2,an＋1)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,an＋2)，得eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,an＋2)－eq \f(1,an＋1)，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,a1)＝1，公差为eq \f(1,a2)－eq \f(1,a1)＝2－1＝1的等差数列，所以eq \f(1,an)＝n，即an＝eq \f(1,n)．故选BC． 二、填空题 6．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则eq \f(d1,d2)的值为_____． 解析：∵n－m＝3d1，d1＝eq \f(1,3)(n－m)．又n－m＝4d2，d2＝eq \f(1,4)(n－m)， ∴eq \f(d1,d2)＝eq \f(\f(1,3)（n－m）,\f(1,4)（n－m）)＝eq \f(4,3)． 7．等差数列{an}中，已知a1＝eq \f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，则n＝______． 解析：∵a1＝eq \f(1,3)，a2＋a5＝2a1＋5d＝eq \f(2,3)＋5d＝4，∴d＝eq \f(2,3)，又an＝a1＋(n－1)d＝ eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)(n－1)＝33，∴n＝50． 解析：由于a1＝33，a12＝0，则33＋11d＝0，得d＝－3，这时an＝33＋(n－1)× (－3)＝36－3n．若公差为整数，且前7项均为正数，第7项以后各项均为负数，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a7＝a1＋6d>0，,a8＝a1＋7d<0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(33＋6d>0，,33＋7d<0，))解得－eq \f(11,2)<d<－eq \f(33,7)，又d∈Z，∴d＝－5，∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n． 解：(1)设{an}的公差为d， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋4d＝8，,a1＋3d＝7，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝3，)) a10＝a1＋9d＝－2＋9×3＝25． (2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， 由112＝3n－5，解得n＝39． 所以112是数列{an}的第39项． (3)由80<3n－5<110，解得28eq \f(1,3)<n<38eq \f(1,3)， 因为n∈N＋， 所以n的取值为29，30，…，38，共10项． 10．已知数列{an}满足a1＝eq \f(1,5)，且当n>1，n∈N＋时，有eq \f(an－1,an)＝eq \f(2an－1＋1,1－2an)，设bn＝eq \f(1,an)，n∈N＋． (1)求证：数列{bn}为等差数列； (2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由． 解：(1)证明：当n>1，n∈N＋时， 由eq \f(an－1,an)＝eq \f(2an－1＋1,1－2an)得eq \f(1－2an,an)＝eq \f(2an－1＋1,an－1)， 即eq \f(1,an)－2＝2＋eq \f(1,an－1)， ∴eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝4，即bn－bn－1＝4，且b1＝eq \f(1,a1)＝5， ∴数列{bn}是首项为5，公差为4的等差数列． (2)由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1， ∴an＝eq \f(1,bn)＝eq \f(1,4n＋1)，n∈N＋， ∴a1＝eq \f(1,5)，a2＝eq \f(1,9)，∴a1a2＝eq \f(1,45)． 令an＝eq \f(1,4n＋1)＝eq \f(1,45)，解得n＝11，即a1a2＝a11， ∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项． $