1.2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（北师大版）

§2 等差数列 2.1 等差数列的概念及其通项公式 第1课时 等差数列的概念及其通项公式 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 课前 预习学案 01 第一章 数 列 数学（BS）·选择性必修二 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课程标准 素养解读 1.理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的判定方法． 3．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项. 通过对等差数列概念及其通项公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [情境引入] 我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容(如单调性，奇偶性等)后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等常用的函数模型．类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列， 建立它们的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用． [知识梳理] [知识点一]　等差数列的概念　 等差数列概念 1．文字语言：对于一个数列，如果从第　2　项起，每一项与它的　前一项　的差都是　同一个　常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个　常数　为等差数列的　公差　，通常用字母　d　表示． 2．符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)． 1.(1)数列{an}的各项为：n,2n,3n,4n，…，数列{an}是等差数列吗？ (2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数，这个数列一定是等差数列吗？ [提示]　(1)不是，该数每一项与其前一项的差都是n，不是常数，所以不是等差数列． (2)不一定，当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时，这个数列才是等差数列．如数列：1,2,3,5,7,9，就不是等差数列． [知识点二]　等差数列的通项公式　 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝　a1＋(n－1)d　. 2.等差数列的通项公式一定是n的一次函数吗？ [提示]　不一定，当公差为0时，等差数列的通项公式不是n的一次函数，而是常数函数． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)常数列是等差数列．(　　) (2)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．(　　) (3)数列0,0,0,0，…不是等差数列．(　　) (4)若数列{an}是等差数列，则其公差d＝a7－a8.(　　) 答案　(1) √　(2) ×　(3)×　(4)× 2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝(　　) A．4－2n　　　　　　 B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 解析：C　[an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.] 3．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＝8，则公差d＝(　　) A．4 B．3 C．－4 D．－3 解析：B　[a3－a1＝8－2＝2d，故d＝3.] 4．已知在等差数列{an}中，d＝－eq \f(1,3)，a7＝8，则a1＝　________　. 解析：由a7＝a1＋6d＝8且d＝－eq \f(1,3)， 代入解得a1＝8－6d＝8＋2＝10. 答案：10 等差数列的概念 [例1]　判断下列数列是否为等差数列． (1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n. [解]　(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数， ∴数列{an}是等差数列． (2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数， ∴数列{an}不是等差数列． 定义法判定等差数列 (1)作差an＋1－an； (2)对差式进行变形； (3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列． [变式训练] 1．判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，… 解：　由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列． 等差数列的通项公式及其应用 [例2]　(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an； (2)已知数列{an}为等差数列，a3＝eq \f(5,4)，a7＝－eq \f(7,4)，求a15的值． [思路点拨]　设出基本量a1，d，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解． [解]　(1)∵a4＝7，a10＝25， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋3d＝7，,a1＋9d＝25，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝3，)) ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， ∴通项公式为an＝3n－5(n∈N＋)． (2)法一：(方程组法)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a3＝\f(5,4)，,a7＝－\f(7,4)，)) 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝\f(5,4)，,a1＋6d＝－\f(7,4)，))解得a1＝eq \f(11,4)，d＝－eq \f(3,4)， ∴a15＝a1＋(15－1)d＝eq \f(11,4)＋14×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq \f(31,4). 法二：(利用an＝am＋(n－m)d求解)由a7＝a3＋(7－3)d， 即－eq \f(7,4)＝eq \f(5,4)＋4d，解得d＝－eq \f(3,4)， ∴a15＝a3＋(15－3)d＝eq \f(5,4)＋12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq \f(31,4). 1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋m－1d＝a，,a1＋n－1d＝b，))求出a1和d，从而确定通项公式． 2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷． [变式训练] 2．在等差数列{an}中， (1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a2＝11，a8＝5，求a10. 解：(1)设{an}的公差为d.因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝15.,a1＋16d＝39，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝7，,d＝2.)) 所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5. 令2n＋5＝91，得n＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项． (2)设{an}的公差为d，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋d＝11，,a1＋7d＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝12，,d＝－1.)) ∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，所以a10＝13－10＝3. 判定与证明等差数列 [例3]　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2). (1)数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由； (2)求{an}的通项公式． [思路点拨]　①要判断数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列，需要先求eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)的表达式， ②求出数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的通项公式． [解]　(1)数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，∴eq \f(1,an＋1)＝eq \f(an＋2,2an)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,an)， ∴eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,2)，即eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,a1)＝eq \f(1,2)，公差为d＝eq \f(1,2)的等差数列． (2)由上述可知eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋(n－1)d＝eq \f(n,2)，∴an＝eq \f(2,n). [母体变式] 1．(变条件，变结论)将本例题中的条件“a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)”换为“a1＝4，an＝4－eq \f(4,an－1)(n＞1)，记bn＝eq \f(1,an－2)”． (1)试证明数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． [解]　(1)证明：bn＋1－bn＝eq \f(1,an＋1－2)－eq \f(1,an－2) ＝eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)))－2)－eq \f(1,an－2)＝eq \f(an,2an－2)－eq \f(1,an－2)＝eq \f(an－2,2an－2)＝eq \f(1,2). 又b1＝eq \f(1,a1－2)＝eq \f(1,2)，∴数列{bn}是首项为eq \f(1,2)，公差为eq \f(1,2)的等差数列． (2)由(1)知bn＝eq \f(1,2)＋(n－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)n. ∵bn＝eq \f(1,an－2)，∴an＝eq \f(1,bn)＋2＝eq \f(2,n)＋2. ∴数列{an}的通项公式为an＝eq \f(2,n)＋2. 2．(变条件)将本例题中的条件“a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)”换为“a1＝1，a2＝2,2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N＋)”试判断数列{an}是否是等差数列． [解]　当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝eq \f(3,2)，但a2－a1＝1≠eq \f(3,2)， 故数列{an}不是等差数列． 等差数列的判定方法有以下三种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)⇔{an}为等差数列； (2)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N＋)⇔{an}为等差数列． 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法． [变式训练] 3．已知函数f(x)＝eq \f(3x,x＋3)，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N＋)确定． (1)求证：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差数列； (2)当x1＝eq \f(1,2)时，求x2 023. 解：(1)证明：∵xn＝f(xn－1)＝eq \f(3xn－1,xn－1＋3)(n≥2且n∈N＋)， ∴eq \f(1,xn)＝eq \f(xn－1＋3,3xn－1)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,xn－1)，∴eq \f(1,xn)－eq \f(1,xn－1)＝eq \f(1,3)(n≥2且n∈N＋)， ∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是公差为eq \f(1,3)的等差数列． (2)由(1)知eq \f(1,xn)＝eq \f(1,x1)＋(n－1)×eq \f(1,3)＝2＋eq \f(n－1,3)＝eq \f(n＋5,3)， ∴eq \f(1,x2 023)＝eq \f(2 023＋5,3)＝eq \f(2 028,3)，∴x2 023＝eq \f(3,2 028). 等差数列的实际应用 [例4]　某市出租车的计价标准为1.2 元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付车费多少元？ [解]　根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元． 所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费． 令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2， 那么当出租车行至14 km处时，n＝11， 此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元． [母体变式] 1．(变条件)在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km处的目的地(不足1 km，按1 km计费)，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付车费多少元？ [解]　由题意知，当出租车行至18.5 km处时，按行至19 km计费，n＝16，此时需支付车费a16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元)．即需要支付车费29.2元． 2．(变结论)在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往n km(n∈N＋)处的目的地，求其需支付的车费an. [解]　当n∈{1,2,3}时，an＝10， 当n∈N＋，且n≥4时，an＝11.2＋(n－4)×1.2＝1.2n＋6.4. 所以an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(10，n∈{1，2，3}，,1.2n＋6.4，n≥4且n∈N＋.)) [方法总结]　应用等差数列解决实际问题的步骤 (1)审题，读懂题意，把握已知条件与求解问题． (2)将实际问题抽象为等差数列模型． (3)利用等差数列解决问题． (4)验证答案是否符合实际问题的意义． [变式训练] 4．某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的范围． 解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{ an }． 由已知条件，得an＝an－1－d(n≥2)． 所以数列{ an }是一个公差为－d的等差数列． 因为a1＝220－d，所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10≥11，a11＜11.　 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(220－10d≥11，,220－11d＜11，))解得19<d≤20.9， 所以d的取值范围为19<d≤20.9. [当堂达标] 1．(多选)下列数列中，是等差数列的是(　　) A．1,4,7,10　　　 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25,24,23,22 D．10,8,6,4,2 解析：ABD　[根据等差数列的定义，可得：A中，满足an＋1－an＝3(常数)，所以是等差数列；B中，lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2(常数)，所以是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足an＋1－an＝－2(常数)，所以是等差数列．] 2．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是(　　) A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 解析：B　[∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n. ∴a7＝2>0，a8＝－1<0. 故数列中第一个负数项是第8项．] 3．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于(　　) A．15 B．22 C．7 D．29 解析：A　[设数列{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝22，,a6＝a1＋5d＝7，)) 解得a1＝47，d＝－8.所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.] 4．已知数列{an}，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，判断数列{an}是否为等差数列？说明理由． 解：因为an＝an－1＋2(n≥3)，所以an－an－1＝2(常数)．又n≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，而a2－a1＝0≠a3－a2，所以数列{an}不是等差数列. $