1.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（北师大版）

等差数列前n项和的应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 能构造等差数列求和模型，解决实际问题；能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　等差数列前n项和的实际应用 题型(二)　等差数列前n项和的 最值问题 题型(三)　求数列{|an|}的前n项和 4 课时跟踪检测 题型(一)　等差数列前n项和的 实际应用 01 [例1]　某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 解：从第一辆车投入工作算起各车工作时间（单位：小时）依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1=24， 公差d=-.25辆翻斗车完成的工作量为a1+a2+…+a25=25×24+25×12×=500， 而需要完成的工作量为24×20=480.∵500>480， ∴在24小时内能构筑成第二道防线. |思|维|建|模|　应用等差数列解决实际问题的一般思路 针对训练 1.老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月1号开始慢跑，第一天跑步3公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若老张打算用20天跑完98公里，则预计这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为 （　　） A.8 B.9 C.13 D.14 √ 解析：由已知可得这20天日跑步量成等差数列，记为{an}，设其公差为d，前n项和为Sn，且a1=3，则S20=20a1+d，即20×3+d=98，解得d=，所以an=a1+（n-1）d=3+（n-1）·=+.由an>5，得+>5，解得n>11，所以这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为20-11=9，故选B. 题型(二)　等差数列前n项和的 最值问题 02 1.等差数列前n项和公式的函数特征 由Sn=na1+d=dn2+n，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且不含常数项，即Sn=An2+Bn（A≠0）；当d=0时，Sn=na1，Sn是关于n的一次函数. 2.等差数列前n项和的最值 （1）若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项（或0），所以将这些项相加即得{Sn}的最小值. （2）若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项（或0），所以将这些项相加即得{Sn}的最大值. 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值. [例2]　在等差数列{an}中，a10=18，前5项的和S5=-15. （1）求数列{an}的通项公式； 解：设等差数列{an}的公差为d，由题意得 解得∴an=3n-12. （2）求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值. 解：法一　Sn==（3n2-21n）=-，∴当n=3或4时，前n项和取得最小值，最小值为S3=S4=-18. 法二　设Sn最小，则即 解得3≤n≤4，又n∈N+，∴当n=3或n=4时，前n项和取得最小值，最小值为S3=S4=-18. 　　[变式拓展] 1.在本例中，根据第（2）题的结果，若Sn=0，求n. 解：法一　因为S3=S4=-18为Sn的最小值，由二次函数的图象可知，其对称轴为x=，所以当x=0和x=7时，图象与x轴的交点为（0，0），（7，0），又n∈N+，所以S7=0，所以n=7. 法二　因为S3=S4，所以a4=S4-S3=0，故S7=×7×（a1+a7）=7a4=0，所以n=7. 2.将本例变为：等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3=S11，则当n为多少时，Sn最大？ 解：法一　要求数列前多少项的和最大，从函数的观点来看，即求二次函数Sn=an2+bn的最大值，故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时，Sn最大.由S3=S11，可得3a1+d=11a1+d，即d=-a1.从而Sn=n2+n=-（n-7）2+a1，又a1>0，所以-<0.故当n=7时，Sn最大. 法二　由于Sn=an2+bn是关于n的二次函数，由S3=S11，可知Sn=an2+bn的图象关于n==7对称.由法一可知a=-<0，故当n=7时，Sn最大. 　　|思|维|建|模| 等差数列前n项和的最值问题的三种解法 （1）利用an：当a1>0，d<0时，前n项和有最大值，可由an≥0且an+1≤0，求得n的值；当a1<0，d>0时，前n项和有最小值，可由an≤0且an+1≥0，求得n的值. （2）利用Sn：由Sn=n2+n（d≠0），利用二次函数配方法求取得最值时n的值. （3）利用二次函数的图象的对称性. 针对训练 2.[多选]设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1>0且S6=S9，则 （　　） A.d>0　　　　　　　　　　 B.a8=0 C.S7或S8为Sn的最大值 D.S5>S6 √ √ 解析：a1>0且S6=S9，∴6a1+d=9a1+d，化为a1+7d=0，可得a8=0，d<0.S7或S8为Sn的最大值，S5<S6.故选BC. 题型（三）　求数列{|an|}的前 n项和 03 [例3]　已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n，求数列{|an|}的前n项和Tn. 解：a1=S1=-×12+×1=101.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=-3n+104. ∵n=1也适合上式，∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104. 由an=-3n+104≥0得n≤34，即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0. 法一　①当n≤34时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n. ②当n≥35时，Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=（a1+a2+…+a34）-（a35+a36+…+an）=2（a1+a2+…+a34）-（a1+a2+…+an）=2S34-Sn=2-=n2-n+3 502. 故Tn= 法二　①当n≤34时，同法一. ②当n≥35时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=（a1+a2+…+a34）-（a35+a36+…+an）=-=n2-n+3 502.故Tn= 　　|思|维|建|模| 由等差数列{an}求数列{|an|}的前n项和的技巧 　　常先由Sn的最值判断出哪些项为正，哪些项为负或先求出an，解an≥0得n的取值范围判断出哪些项为正，哪些项为负. （1）等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{|an|}就等于数列{an}，可以直接求解. （2）若前k项为负，从k+1项开始以后的项非负，则{|an|}的前n项和Tn= （3）若前k项为正，以后各项非正，则Tn= （4）也可以分别求出an≥0与an<0的和再相减求出|an|的和. 针对训练 3.已知数列{an}的前n项和Sn=14n-n2+1，若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|，则T30= （　　） A.578 B.579 C.580 D.581 √ 解析：当n=1时，a1=S1=14，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=15-2n（n≥2），经检验n=1时，不成立，故得到an=令an<0，则15-2n<0，解得n>，且n≥2，n∈N+.当n≤7时， Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an=+1=（14-n）n+1；当n≥8时，Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= a1+…+a7-（a8+a9+…+an）=S7-（Sn-S7）=2S7-Sn=100-（14n-n2+1）=n2-14n+99.故Tn=T30=579.故选B. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.等差数列{an}中，d=2，S3=-24，其前n项和Sn取最小值时n的值 为 （　　） A.5 B.6 C.7 D.5或6 √ 解析：由d=2，S3=3a1+3d=-24，得a1=-10.令an=-10+（n-1）×2=0，解得n=6，所以a6=0.从而S5=S6均为最小值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知等差数列{an}是无穷数列，若a1<a2<0，则数列{an}的前n项和Sn （　　） A.无最大值，有最小值 B.有最大值，无最小值 C.有最大值，有最小值 D.无最大值，无最小值 √ 解析：由数列{an}为等差数列，且a1<a2<0，得公差d=a2-a1>0，故数列{an}为递增数列，且a1<0，所以Sn有最小值，无最大值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.若数列{an}满足an+1=an+2，且a3+a10=4，那么数列{an}的前n项和Sn的最小值是 （　　） A.S1 B.S5 C.S6 D.S11 √ 解析：根据an+1=an+2，可得an+1-an=2，所以数列{an}是公差为2的等差数列，再由a3+a10=2a1+11d=4，可得a1=-9，所以an=2n-11，Sn=-9n+× 2=n2-10n=（n-5）2-25，所以前n项和Sn取得最小值时，n=5.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.某工厂计划今年1月份生产某产品100件，以后每个月都比上个月多生产k（k∈N）件，为保证今年该产品的总产量超过1 800件，则k的最小值为 （　　） A.10 B.11 C.12 D.13 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为该工厂计划今年1月份生产某产品100件，以后每个月都比上个月多生产k（k∈N）件，所以每月的产量构成以今年1月份的产量100件为首项，k为公差的等差数列，由今年该产品的总产量超过 1 800件，所以12×100+·k>1 800，解得k>.又k∈N，所以k的最小值为10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2 023>0，S2 024<0，则当Sn最大时，n= （　　） A.1 010 B.1 011 C.1 012 D.1 013 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由S2 023>0可得S2 023==2 023a1 012>0， 即a1 012>0.由S2 024<0可得S2 024==1 012（a1 012+a1 013）<0，即a1 012+a1 013<0，所以a1 013<0，则数列{an}是前1 012项为正数，从第1 013项开始为负数的递减数列，故当Sn最大时，n=1 012， 故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=11，a5=3，则 （　　） A.S5=35 B.an=13-2n C.|an|的最小值为0 D.Sn的最大值为36 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设等差数列{an}的公差为d，则a5=a1+4d=11+4d=3，解得d= -2.S5=5a1+d=5×11+10×（-2）=35，A正确；an=a1+（n-1）d=11-2（n-1）=13-2n，B正确；|an|=|13-2n|=故当n=6或7时，|an|取最小值1，C错误；Sn=na1+=11n-n（n-1）= -n2+12n=-（n-6）2+36，故当n=6时，Sn取得最大值36，D正确.故选ABD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.（2025·天津高考）若数列{an}的前n项和为Sn=-n2+8n，则数列{|an|}的前12项和为 （　　） A.112 B.48 C.80 D.64 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为Sn=-n2+8n，所以当n=1时，a1=S1=-12+8×1=7， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-n2+8n-[-（n-1）2+8（n-1）]=-2n+9. 经检验，a1=7满足上式，所以an=-2n+9（n∈N+），令an=-2n+9≥0⇒n≤4，an=-2n+9≤0⇒n≥5.设数列{|an|}的前n项和为Tn，则数列{|an|}的前4项和为T4=S4=-42+8×4=16，数列{|an|}的前12项和为T12=|a1|+|a2|+…+|a12|=a1+a2+a3+a4-a5-a6-…-a12 =2S4-S12=2×16-（-122+8×12）=80. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，n>（n+1）Sn（n∈N+），且<-1，则在Sn中（　　） A.最小值是S7 B.最小值是S8 C.最大值是S8 D.最大值是S7 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由n>（n+1）Sn，得>，即->0.而-=，所以d>0.因为<-1，所以<0，即a7（a7+a8）<0.由于d>0，因此数列{an}是递增数列，所以a7<0，a7+a8>0，所以a7<0，a8>0，所以在Sn中最小值是S7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S8=-556，an+2-an=6，则 （　　） A.an=3n-83 B.{Sn}中的最小值为S28 C.使Sn<0的n的最大值为52 D.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a54|=37 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：依题意，等差数列{an}的公差d==3，由S8=-556，得8a1+28×3=-556，解得a1=-80，数列{an}的通项公式an=a1+（n-1）d=3n-83，A正确；显然等差数列{an}是递增数列，且a27<0，a28>0，则{Sn}中的最小值为S27，B错误；又Sn==，由Sn<0，得0<n<，又n∈N+，故n的最大值为54，C错误；|a1|+|a2|+|a3|+…+|a54|=S54-2S27=-2×=81×27=37，D正确.故选AD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.（5分）在等差数列{an}中，已知a5>0，a4+a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为________.  S5 解析：∵ ∴∴Sn的最大值为S5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则前10年维修费总和为________万元.  300 解析：由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元，即每年的维修费构成以12为首项，4为公差的等差数列，则S10=10×12+×10×9×4=300（万元）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）在等差数列{an}中，已知公差d>0，a3+a5=-4，a2a6=-12，则数列{|an|}的前4项和S4=________.  20 解析：由 解得或（舍去）. 故an=2n-10，当n≤4时，an<0，∴S4=-=20. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（10分）等差数列{an}满足a4=11，a7=2，前n项和为Sn. （1）求数列{an}的通项公式；（5分） 解：设首项为a1，公差为d， 因为等差数列{an}满足a4=11，a7=2， 所以解得 所以an=20-3（n-1）=23-3n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）求Sn的最大值.（5分） 解：因为当n≤7时，an=23-3n>0， 当n≥8时，an=23-3n<0， 所以Sn的最大值为S7. 因为a7=23-3×7=2，所以S7=×7=77. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（10分）（2023·全国乙卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=11，S10=40. （1）求{an}的通项公式；（4分） 解：设{an}的公差为d，则 解得a1=13，d=-2. 所以{an}的通项公式为an=13+（n-1）·（-2）=15-2n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）求数列{|an|}的前n项和Tn.（6分） 解：由（1）得|an|= 当n≤7时，Tn=13n+×（-2）=14n-n2， 当n≥8时，Tn=T7+1+3+5+…+（2n-15）=T7+1+3+5+…+[2（n-7）-1]=14×7-72+=98-14n+n2. 综上，Tn= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（15分）某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同公顷数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同公顷数的土地沙化，具体情况如下表所示：   2022年 2023年 2024年 新植公顷数 1 000 1 400 1 800 沙地公顷数 25 200 24 000 22 400 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 而一旦植完，则不会被沙化. （1）每年沙化的土地公顷数为多少？（7分） 解：依题意，每年比上一年多造林400公顷，其中2023年新植1 400公顷， 故当年沙地应为25 200-1 400=23 800公顷，而实际沙地面积为24 000公顷，所以2023年沙化土地面积为24 000-23 800=200公顷，同理可得2024年沙化土地面积也为200公顷. 所以每年沙化的土地面积为200公顷. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）到哪一年可绿化完全部荒沙地？（8分） 解：设2024年及其以后各年的造林面积分别为a1，a2，a3，…，an，则an=1 800+（n-1）×400=400n+1 400，所以n年造林的面积总和为Sn=1 800n+×400，由（1）知，每年林木的“有效面积”应比实际面积少200公顷，依题意可得Sn-200n≥24 000，化简得n2+7n-120≥0，解得n≥8.故到2031年可绿化完全部荒沙地. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $