4.1.3 独立性与条件概率的关系-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教B版）

数学　选择性必修·第二册　作业与测评(B版) 4．1.3　独立性与条件概率的关系 知识点一　利用条件概率判断事件的独立性 1．已知P(|B)＝0.4，P(A)＝0.6，则事件A与B的关系是(　　) A．事件A与B独立 B．事件A与B不独立 C．事件A与B对立 D．无法确定 答案：A 解析：由P(A)＝0.6，得P()＝0.4，即P(|B)＝P()，则事件与B相互独立，故事件A与B相互独立．故选A. 2．已知从某企业两个分厂生产的某产品中各抽取了500件，其产品质量如下表所示： 甲厂 乙厂 优质品 360 320 非优质品 140 180 从这些产品中随机抽取一个： (1)求抽到的产品为优质品的概率； (2)求抽到的产品来自乙厂的概率； (3)若已知抽到的产品来自乙厂，求该产品为优质品的概率； (4)判断“抽到的产品来自乙厂”与“抽到的产品为优质品”是否独立． 解：由题意得，产品总数为1000.记事件A为“抽到的产品为优质品”，事件B为“抽到的产品来自乙厂”． (1)优质品总数为360＋320＝680，故抽到的产品为优质品的概率P(A)＝＝. (2)因为乙厂产品为500件，故抽到的产品来自乙厂的概率P(B)＝＝. (3)所求概率为P(A|B)， 因为乙厂中优质品的产品数为320， 故P(A|B)＝＝. (4)由(1)和(3)的结果知，P(A|B)≠P(A)，故“抽到的产品来自乙厂”与“抽到的产品为优质品”不独立． 3．盒子中有10张奖券，其中3张有奖，甲、乙先后从中各抽取1张(不放回)，记“甲中奖”为事件A，“乙中奖”为事件B. (1)求P(A)，P(B)，P(AB)，P(A|B)； (2)事件A与B是否相互独立？说明理由． 解：(1)P(A)＝＝， P(B)＝×＋×＝＝， P(AB)＝＝， P(A|B)＝＝＝. (2)解法一：∵P(A|B)＝≠P(A)， ∴事件A与B不相互独立． 解法二：∵P(AB)＝≠P(A)P(B)， ∴事件A与B不相互独立． 知识点二　相互独立事件概率的应用 4．甲、乙两颗卫星同时独立地监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为(　　) A．0.95 B．0.6 C．0.05 D．0.4 答案：A 解析：解法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故所求事件的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.故选A. 解法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”，故所求事件的概率为1－(1－0.8)×(1－0.75)＝0.95.故选A. 5．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是________． 答案： 解析：设事件A表示“甲通过听力测试”，事件B表示“乙通过听力测试”．依题意知，事件A与B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝.设“有且只有一人通过听力测试”为事件C，则C＝A∪B，且A与B互斥．故P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝. 6．甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制(当一队得三场胜利时，该队获胜，比赛结束)，根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以3∶1获胜的概率是________． 答案：0.21 解析：根据题意，若甲队以3∶1获胜，则甲队在第四局获胜，前三局中获胜2局，则甲队以3∶1获胜的概率P＝0.6×0.6×(1－0.5)×0.5＋0.6×(1－0.6)×0.5×0.5＋(1－0.6)×0.6×0.5×0.5＝0.21. 7．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为，，，，且各轮问题能否正确回答互不影响． (1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率． 解：记事件Ai(i＝1，2，3，4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，由已知，得P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝. (1)记事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”， 则P(B)＝P(A1A23)＝P(A1)P(A2)P(3) ＝××＝. (2)记事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则P(C)＝P(1∪A12∪A1A23) ＝P(1)＋P(A12)＋P(A1A23) ＝＋×＋×× ＝. 一、单项选择题 1．已知A与B独立，且P(AB)＝，P(A)＝，则P(|A)＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为A与B独立，故P(AB)＝P(A)·P(B)，故P(B)＝＝＝.由A与B独立，可得A与独立，则P(|A)＝P()＝1－P(B)＝.故选A. 2．若甲、乙、丙三人在10分钟之内独立复原魔方的概率分别为0.7，0.6，0.5，则甲、乙、丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为(　　) A．0.26 B．0.29 C．0.32 D．0.35 答案：D 解析：甲、乙、丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为0.7×(1－0.6)×(1－0.5)＋(1－0.7)×0.6×(1－0.5)＋(1－0.7)×(1－0.6)×0.5＋(1－0.7)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.35.故选D. 3．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.7，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：根据题意，记“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，“目标被击中”为事件C，则P(C)＝1－P()P()＝1－(1－0.6)×(1－0.7)＝0.88，则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为P(AB|C)＝＝＝.故选A. 4.如图所示，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.8，且K，A1，A2互不影响，则系统正常工作的概率为(　　) A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 答案：B 解析：解法一：由题意知，K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8.因为K，A1，A2互不影响，所以K，A1，A2相互独立，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96，所以系统正常工作的概率为P(K)·[P(1A2)＋P(A12)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B. 解法二：A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P(12)＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96.所以系统正常工作的概率为P(K)[1－P(12)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B. 5．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1，2，3.由题意，事件Ai，Bi，Ci相互独立，则P(Ai)＝＝，P(Bi)＝＝，P(Ci)＝＝，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P＝AP(AiBiCi)＝6×××＝. 二、多项选择题 6．某中药材盒中共有包装相同的10袋药材，其中甲级药材有4袋，乙级药材有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，记事件A表示“第一次取到甲级药材”，事件B表示“第二次取到乙级药材”，则(　　) A．P(A)＝ B．P(B|A)＝ C．P(B)＝ D．事件A，B相互独立 答案：ABC 解析：对于A，P(A)＝＝，故A正确；对于B，P(B|A)＝＝＝，故B正确；对于C，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝，故C正确；对于D，因为P(B|A)≠P(B)，所以事件A，B不相互独立，故D错误．故选ABC. 7．将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，记事件A为“医生甲派往①村庄”，事件B为“医生乙派往①村庄”，事件C为“医生乙派往②村庄”，则(　　) A．事件A与B独立 B．事件A与C不独立 C．P(B|A)＝ D．P(C|A)＝ 答案：BD 解析：由已知，得试验的样本空间有CA＝36个样本点，事件A包含的样本点个数为A＋CA＝12，则P(A)＝＝，同理P(B)＝P(C)＝，事件AB包含的样本点个数为A＝2，则P(AB)＝＝，事件AC包含的样本点个数为C＋CC＝5，则P(AC)＝.对于A，P(A|B)＝＝≠P(A)，即事件A与B不独立，故A不正确；对于B，P(A|C)＝＝≠P(A)，即事件A与C不独立，故B正确；对于C，P(B|A)＝＝，故C不正确；对于D，P(C|A)＝＝，故D正确．故选BD. 三、填空题 8．机动车驾驶的考核过程中，科目三又称道路安全驾驶考试，是机动车驾驶人考试中道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目的简称．假设某人每次通过科目三的概率均为，且每次考试相互独立，则至多考两次就通过科目三的概率为________． 答案： 解析：第一类：考一次就通过的概率为；第二类：第一次未通过，第二次通过的概率为×＝.综上，至多考两次就通过科目三的概率为＋＝. 9．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________． 答案：0.09 解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，故所求概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09. 10．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________． 答案：0.46 解析：设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A12A3∪1A2A3发生，故所求概率为P＝P(A1A2A3∪A12A3∪1A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46. 四、解答题 11．从某校高二年级学生中随机抽取了100名学生，其中男生55名，女生45名，调查了他们是否爱运动，得到如下表格： 爱运动 不爱运动 总计 男生 45 10 55 女生 40 5 45 总计 85 15 100 设事件A表示“任意抽取一名学生，该学生爱运动”，事件B表示“任意抽取一名学生，该学生是男生”． (1)求P(AB)； (2)求P(B)，P(B|A)，并判断A与B是否独立． 解：(1)AB表示“任意抽取一名学生，该学生爱运动且是男生”，故P(AB)＝＝0.45. (2)P(B)＝0.55，P(B|A)＝＝＝. 因为P(B)≠P(B|A)，所以A与B不独立． 12．甲、乙、丙三位大学毕业生同时到一个用人单位应聘，其中被选中的概率分别为甲：P(A)＝；乙：P(B)＝；丙：P(C)＝，且各自能否被选中是无关的． (1)求三人都被选中的概率； (2)求只有两人被选中的概率； (3)三人中有几人被选中的事件最容易发生？ 解：(1)∵三个事件A，B，C相互独立， ∴三人都被选中的概率P(ABC)＝P(A)·P(B)P(C)＝××＝. (2)只有两人被选中的事件为BC＋AC＋AB. ∵事件BC，AC，AB彼此互斥，且A，B，C相互独立， ∴P(BC∪AC∪AB) ＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB) ＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P() ＝××＋××＋×× ＝. 故只有两人被选中的概率为. (3)∵三人都不被选中的概率P()＝P()P()P()＝××＝， ∴三人中有且仅有1人被选中的概率为 1－P(ABC)－P(BC∪AC∪AB)－P()＝. ∵>>， ∴三人中只有一人被选中的概率最大，此事件最容易发生． 13．如图，甲、乙做游戏，两人通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得往右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为(　　) 0 1 2 3 A. B. C. D. 答案：D 解析：设“第i(i∈N＋)次划拳甲赢”为事件Ai，“第i(i∈N＋)次划拳平局”为事件Bi，“第i(i∈N＋)次划拳甲输”为事件Ci，则P(Ai)＝P(Bi)＝P(Ci)＝，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为P＝2P(A1)P(B2)P(A3)＋2P(B1)P(A2)P(A3)＋P(B1)P(B2)P(B3)＋2P(A1)P(B2)P(B3)＋2P(B1)P(A2)P(B3)＋2P(B1)P(B2)P(A3)＋2P(C1)P(A2)P(A3)＝2×××＋2×××＋××＋2×××＋2×××＋2×××＋2×××＝.故选D. 14．甲、乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲、乙两人总共进行4局比赛． (1)求甲恰好有2局比赛获胜的概率； (2)求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率． 解：(1)记“甲在第i(i＝1，2，3，4)局获胜”为事件Ai，“甲恰好有2局比赛获胜”为事件M，则M＝A1A234＋A12A34＋A123A4＋1A2A34＋1A23A4＋12A3A4，则P(M)＝P(A1A234＋A12A34＋A123A4＋1A2A34＋1A23A4＋12A3A4)＝ P(A1A234)＋P(A12A34)＋P(A123A4)＋P(1A2A34)＋P(1A23A4)＋P(12A3A4) ＝×××＋×××＋×××＋×××＋×××＋×××＝. (2)记“甲获胜的局数比乙获胜的局数多”为事件N，则N＝A1A2A3A4＋1A2A3A4＋A12A3A4＋A1A23A4＋A1A2A34，则 P(N)＝P(A1A2A3A4＋1A2A3A4＋A12A3A4 ＋A1A23A4＋A1A2A34)＝P(A1A2A3A4)＋ P(1A2A3A4)＋P(A12A3A4)＋P(A1A23A4) ＋P(A1A2A34)＝×××＋×××＋×××＋×××＋×××＝. 即甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率为. 9 学科网（北京）股份有限公司 $