4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教A版）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 4．3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和 知识点一　等比数列前n项和公式的简单应用 1．已知公比为q(q≠1)的等比数列{an}的前n项和为Sn，则数列的前n项和为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：数列仍为等比数列，且公比为，所以数列的前n项和Sn′＝＝＝＝. 2．等比数列{an}的公比q＜0，已知a2＝1，an＋2＝an＋1＋2an，则{an}的前2025项和S2025＝(　　) A．2025 B．－1 C．1 D．0 答案：B 解析：由an＋2＝an＋1＋2an，得qn＋1＝qn＋2qn－1，即q2－q－2＝0，解得q＝－1或q＝2.∵q＜0，∴q＝－1.又a2＝1，∴a1＝－1，∴S2025＝＝－1. 3．已知等比数列{an}是递增数列，且a2a6＝16，a3＋a5＝10，则数列{an}的前n项和Sn＝(　　) A．2n－2－ B．2n－1－ C．2n－1 D．2n＋1－2 答案：B 解析：设等比数列{an}的公比为q.∵a2a6＝16，∴由等比数列的性质可得a3a5＝16，又a3＋a5＝10，联立解得a3＝2，a5＝8或a3＝8，a5＝2，∵等比数列{an}是递增数列，∴a3＝2，a5＝8，∴q＝2，a1＝，∴Sn＝＝2n－1－.故选B. 知识点二　等比数列前n项和的有关计算 4．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：C 解析：由an＝a1qn－1，得96＝3qn－1，故q≠1，且qn－1＝32，故Sn＝＝＝＝189，解得q＝2，∴2n－1＝32，∴n＝6.故选C. 5．若等比数列{an}共有2n项，它的各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________． 答案：2 解析：设{an}的公比为q，由已知可得q≠±1，则奇数项也构成首项为a1，公比为q2的等比数列，S2n＝，S奇＝.由题意，得＝，∴1＋q＝3，∴q＝2. 6．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则a1＝________，n＝________． 答案：3　5 解析：由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，得解得a1＝3，n＝5. 知识点三　等比数列前n项和公式的综合应用 7．[多选]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，a5＝a2，则下列说法正确的是(　　) A．{an}的公比为 B．S4＝ C．存在正整数n，使得Sn为 D．数列{Sn－2}是等比数列 答案：ABD 解析：设等比数列{an}的公比为q，∵a5＝a2，且a5＝a2q3，∴q3＝，∴q＝，A正确；∵{an}是首项为1，公比为的等比数列，∴Sn＝＝2－，S4＝2－＝，B正确；令Sn＝，即2－＝，得2n＝－4，该方程无解，∴不存在正整数n，使得Sn为，C不正确；Sn－2＝－，＝＝，∴数列{Sn－2}是等比数列，D正确．故选ABD. 8．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2an}的前n项和Sn. 解：(1)由题设，知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列，得＝，即＝， 解得d＝1或d＝0(舍去)． 故数列{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×1＝n. (2)由(1)知2an＝2n， 所以数列{2an}是以2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的前n项和公式，得Sn＝＝2n＋1－2. 一、单项选择题 1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5＝(　　) A．33 B．72 C．84 D．189 答案：C 解析：设等比数列{an}的公比为q.∵S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，∴q2＋q－6＝0，又q>0，∴q＝2，∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22×21＝84.故选C. 2．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　) A.或5 B.或5 C. D. 答案：C 解析：若公比q＝1，则9S3＝9×3a1＝27≠S6＝6，不符合题意．由题意可知＝，解得q＝2，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列．由求和公式可得数列的前5项和为＝.故选C. 3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　) A．16(1－4－n) B．16(1－2－n) C.(1－4－n) D.(1－2－n) 答案：C 解析：设等比数列{an}的公比为q.∵{an}是等比数列，a2＝2，∴a5＝a2q3＝2q3＝，则q＝，a1＝4，a1a2＝8，∵＝q2＝(n≥2)，∴数列{anan＋1}是以8为首项，为公比的等比数列，∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n)．故选C. 4．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5＝641×6700417，不是质数．现设an＝log4(Fn－1)(n＝1，2，…)，Sn表示数列{an}的前n项和．若32Sn＝63an，则n＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：B 解析：因为Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…)，所以an＝log4(Fn－1)＝log4(22n＋1－1)＝log422n＝2n－1，所以{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以Sn＝＝2n－1，所以32(2n－1)＝63×2n－1，解得n＝6. 5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝＝2，则a2025＝(　　) A. B．2 C．2025 D．22024 答案：B 解析：因为＝＝2，则S2＝4，S6＝12，设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，当q≠1时，整理得q4＋q2－2＝0，即(q2＋2)(q2－1)＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－1，若q＝－1，则S2＝a1＋a2＝a1＋a1q＝0≠4，所以q≠－1.当q＝1时，解得a1＝2，所以a2025＝a1q2024＝2.综上，a2025＝2.故选B. 二、多项选择题 6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S2＝，＝，则下列说法正确的是(　　) A．a1＝ B．q＝ C．a7＝ D．S5＝ 答案：BCD 解析：由＝，可知q≠1，故＝，得1＋q3＝，得q3＝，得q＝，故B正确；由S2＝，得a1(1＋q)＝，又q＝，故a1＝＝1，故A错误；a7＝a1q6＝1×＝，故C正确；S5＝＝＝，故D正确．故选BCD. 7．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn＝＋a，则下列说法正确的是(　　) A．a＝－2 B．{Sn}中任意奇数项的值始终大于任意偶数项的值 C．{Sn}中的最大项为S1＝3，最小项为S2＝ D．a1a2＋a2a3＋…＋a10a11＝6 答案：BCD 解析：由题意可知，等比数列的公比q≠1，设前n项和公式为Sn＝－A·qn＋A，又Sn＝－2·＋a，故a＝2，故A错误；Sn＝－2·＋2＝可得{Sn}中，奇数项递减，且始终大于2，最大项为S1＝3，偶数项递增，且始终小于2，最小项为S2＝，故B，C正确；由Sn可得an＝－，令bn＝anan＋1＝－＝－，因为＝＝，b1＝－，所以{bn}是首项为－，公比为的等比数列，所以a1a2＋a2a3＋…＋a10a11＝b1＋b2＋…＋b10＝＝6，故D正确．故选BCD. 三、填空题 8．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且3an＋1＋2Sn＝3(n∈N*)，则Sn＝________． 答案：－ 解析：∵3an＋1＋2Sn＝3(n∈N*)，∴3an＋2Sn－1＝3，n≥2，∴3an＋1－an＝0，即＝，n≥2.又a1＝1，当n＝1时，3a2＋2S1＝3，∴a2＝，∴＝，∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，∴Sn＝＝－. 9．已知数列{an}是递减的等比数列，Sn是{an}的前n项和，若a2＋a5＝18，a3a4＝32，则S5＝________． 答案：62 解析：设数列{an}的公比为q.因为a2a5＝a3a4＝32，a2＋a5＝18，又数列{an}是递减的等比数列，所以a2＝16，a5＝2，所以＝＝q3＝，故q＝，a1＝32，所以S5＝＝62. 10．已知{an}，{bn}均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，总有＝，则＝________． 答案：9 解析：设{an}，{bn}的公比分别为q，q′，∵＝，∴当n＝1时，a1＝b1；当n＝2时，＝＝；当n＝3时，＝＝7，∴解得或(舍去)，∴＝＝9. 四、解答题 11．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝. (1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝； (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式． 解：(1)证明：因为an＝×()n－1＝， Sn＝＝， 所以Sn＝. (2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－. 所以数列{bn}的通项公式为bn＝－. 12．在等比数列{an}中，前n项和为2，紧接着后面的2n项和为12，再紧接着后面的3n项和S是多少？ 解：设数列{an}的公比为q，显然q≠1， 则 解得或 当n为偶数时，只有qn＝2，＝－2符合题意， 故S＝－(2＋12)＝(－2)×(1－26)－14＝112； 当n为奇数时，qn＝2，＝－2或qn＝－3，＝， 相应地，有S＝－(2＋12)＝(－2)×(1－26)－14＝112或S＝－(2＋12)＝×[1－(－3)6]－14＝－378. 13．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，S4＝10S2，设Tn＝λ＋an，若Tn为某一等比数列的前n项和，则实数λ的值为(　　) A. B．－ C．2 D．－2 答案：B 解析：设等比数列{an}的公比为q(q>0)，则S4＝10S2，即a1(1＋q＋q2＋q3)＝10a1(1＋q)，即a1(1＋q)(1＋q2)＝10a1(1＋q)，因为q>0，所以q＝3，故an＝2×3n－1，所以Tn＝λ＋an＝λ＋2×3n－1.设Tn为等比数列{bn}的前n项和，则b1＝λ＋2，当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝(λ＋2×3n－1)－(λ＋2×3n－2)＝4×3n－2，则b2＝4，＝＝3，所以＝3，即b2＝3b1，即3(λ＋2)＝4，解得λ＝－.故选B. 14．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝14，S6＝126. (1)求{an}的通项公式； (2)若a＋Sn>958，求n的最小值． 解：(1)设等比数列{an}的公比为q， 由S3＝14，S6＝126，得a4＋a5＋a6＝S6－S3＝112， 而a1＋a2＋a3＝14，则q3＝8， 解得q＝2， 又a1(1＋q＋q2)＝14， 解得a1＝2， 所以{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝2n. (2)由(1)知，Sn＝＝2n＋1－2， 由a＋Sn>958，得22n＋2n＋1－2>958， 即(2n)2＋2×2n－960>0， 整理得(2n－30)(2n＋32)>0， 而2n>0， 因此2n>30， 又n∈N*，则n≥5， 所以n的最小值为5. 4 学科网（北京）股份有限公司 $