4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式及应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．已知数列{an}满足an＋1＝3an(n∈N*)，且a1＝2，则a1＋a2＋a3＋…＋an＝(　　) A．3n－1　　　　　　　　 B．3n C．3n－1 D．3n－1 解析：A　[由an＋1＝3an(n∈N*)可得数列{an}为等比数列，所以a1＋a2＋a3＋…＋an＝＝3n－1，故选A.] 2．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋1＝4Sn，a2＝3，则S2 024＝(　　) A．42 023 B．42 024 C. D. 解析：A　[数列{an}的前n项和为Sn，由Sn＋1＝4Sn，a2＝3，得a2＋a1＝S2＝4S1＝4a1，解得S1＝a1＝1，因此数列{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，Sn＝S1·4n－1＝4n－1，所以S2 024＝42 023.] 3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝(　　) A．11 B．5 C．－8 D．－11 解析：D　[由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，∵a1≠0，q≠0，∴q＝－2，则＝＝－11.] 4．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于(　　) A．－6(1－3－10) B.(1－3－10) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10) 解析：C　[由3an＋1＋an＝0，得＝－，故数列{an}是公比q＝－的等比数列．又a2＝－，可得a1＝4.所以S10＝＝3(1－3－10)．] 5．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　) A．若Sn＝n2＋1，则{an}是等差数列 B．若Sn＝3n－1，则{an}是等比数列 C．若{an}是等差数列，则S9＝9a5 D．若{an}是等比数列，且a1＞0，q＞0，则S1·S3＞S 解析：BC　[若Sn＝n2＋1，当n≥2时，an＝2n－1，a1＝2不满足an＝2n－1，故A错误；若Sn＝3n－1，则an＝a1＝2满足an＝2·3n－1，所以{an}是等比数列，故B正确；若{an}是等差数列，则S9＝＝9a5，故C正确； 若{an}是等比数列，S1·S3－S＝a(1＋q＋q2)－a(1＋q)2＝－aq＜0，故D错误．故选BC.] 6．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么S10＝________. 解析：根据等比数列性质得＝q5，∴＝25，∴S10＝33. 答案：33 7．等比数列{an}的前n项和为Sn，且数列{S5n＋5－S5n}的公比为32，则＝________. 解析：设{an}的公比为q，则{S5n＋5－S5n}的公比为＝ ＝＝q5＝32， 则{an}的公比q＝2，则＝q3＝8. 答案：8 8．在数列{an}中，设f(n)＝an，且f(n)满足f(n＋1)－2f(n)＝2n(n∈N*)，且a1＝1. (1)设bn＝，证明数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn. (1)证明：由已知得an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1，∴bn＋1－bn＝1. 又a1＝1，∴b1＝1， ∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列． (2)解：由(1)知，bn＝＝n，∴an＝n·2n－1. ∴Sn＝1＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1， 两边都乘2，得2Sn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n， 两式相减得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1， ∴Sn＝(n－1)·2n＋1. [能力提升练] 9．已知函数f(x)＝log3x，给出三个条件：①f(an)＝2n；②f(an)＝n；(3)f(an)＝.从中选出一个能使数列{an}成等比数列的条件，在这个条件下，数列{an}的n前项和Sn＝(　　) A．3n－1 B．2n＋1－1 C.(3n－1) D.(3n－1) 解析：D　[已知函数f(x)＝log3x，定义域为(0，＋∞)．若选①，则f(an)＝log3an＝2n，∴an＝，∴不是常数，则{an}不是等比数列；若选②，则f(an)＝log3an＝，∴an＝，∴＝不是常数，则{an}不是等比数列；若选③，则f(an)＝log3an＝n，∴an＝3n，∴＝＝3(n＋1)－n＝3是常数，则{an}是以a1＝3为首项，以3为公比的等比数列，则Sn＝＝(3n－1)．] 10．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法中正确的是(　　) A．若Sn＝n2，则{an}是等差数列 B．若Sn＝2n，则{an}是等比数列 C．若{an}是等差数列，则S2 025＝2 025a1 013 D．若{an}是等比数列，且a1＞0，q＞0，则S2n－1·S2n＋1＞S 解析：AC　[若Sn＝n2，则当n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1， 当n＝1时，a1＝S1＝1，符合an＝2n－1，故an＝2n－1， 则{an}是等差数列，故A正确； 若Sn＝2n，则a1＝S1＝2，a2＝S2－S1＝2，a3＝S3－S2＝4， 故≠，{an}不是等比数列，故B错误； 若{an}是等差数列，则S2 025＝＝2 025a1 013，故C正确； 若an＝1，符合{an}是等比数列，且a1＞0，q＞0， 此时S2n－1·S2n＋1＝(2n－1)(2n＋1)＝4n2－1，S＝4n2，不满足S2n－1·S2n＋1＞S，故D错误．] 11．以a1为首项、以q为公比的等比数列{an}满足a1＝，q＝－，设数列{an}的前n项和为Sn，若t≤Sn≤3t恒成立，则实数t的取值范围是　________　. 解析：由题意得Sn＝＝1－n，可得S2≤Sn≤S1，所以≤Sn≤，所以即≤t≤，故所求实数t的取值范围是. 答案： 12．已知{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，a1＝b2＝1，再从①a2＋a4＝10；②b2b4＝4；③b4＝a5这三个条件中选择________，________两个作为已知． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和． 解：选择条件①和条件② (1)设等差数列{an}的公差为d， ∴解得 ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*. (2)设等比数列{bn}的公比为q，q＞0， ∴解得 设数列{bn}的前n项和为Sn， ∴Sn＝＝2n－1－. 选择条件①和条件③： (1)设等差数列{an}的公差为d， ∴ 解得∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)b4＝a5＝9，设等比数列{bn}的公比为q，q＞0. ∴解得 设数列{bn}的前n项和为Sn， ∴Sn＝＝. 选择条件②和条件③： (1)设等比数列{bn}的公比为q，q＞0， ∴解得∴a5＝b4＝×23＝4. 设等差数列{an}的公差为d，∴a5＝a1＋4d＝4. 又a1＝1，故d＝. ∴an＝1＋(n－1)×＝n＋. (2)设数列{bn}的前n项和为Sn，由(1)可知Sn＝＝2n－1－. [素养培优练] 13.粗细都是1 cm的一组圆环依次相扣，悬挂在某处，最上面圆环的外直径是20 cm，每个圆环的外直径皆比它上面的圆环的外直径少1 cm，则从上向下数第3个环底部与第1个环顶部距离是　________　；记从上向下数第n个环底部与第一个环顶部距离是an cm，则an＝　________　. 解析：由题意，a1＝20，a2＝20＋19－2＝37，a3＝20＋19＋18－4＝53，则an＝20＋19＋18＋…＋(21－n)－2(n－1)＝－2(n－1)＝(1≤n≤18)． 答案：53 cm　(1≤n≤18，n∈N*) 14．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，数列{an}的前n项和为Sn，则的最大值为　________　. 解析：由题意得an＋1－an＝2n，则an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－2，an－2－an－3＝2n－3，…，a2－a1＝2，将以上各式相加，得an－a1＝2n－1＋2n－2＋2n－3＋…＋2＝＝2n－2，∴an＝2n，a1也适合．Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2，Sn＋2＝2n＋1≥4. 则的最大值为＝－2. 答案：－2 学科网（北京）股份有限公司 $$