4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教A版）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 4．2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和 知识点一　等差数列前n项和公式的简单应用 1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn＝(　　) A．－n2＋ B．－n2－ C.n2＋ D.n2－ 答案：A 解析：易知{an}是等差数列且a1＝－1，所以Sn＝＝＝－n2＋.故选A. 2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝35，则a4＝(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 答案：D 解析：∵S7＝×7＝35，∴a1＋a7＝10，∴a4＝＝5. 3．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 答案：B 解析：设等差数列{an}的公差为d.∵a1＝1，a3＋a5＝2a1＋6d＝14，∴d＝2，∴Sn＝n＋×2＝100，∴n＝10. 4．[多选]已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，则下列结论一定正确的是(　　) A．a10＝0 B．S10>0 C．S7＝S12 D．S19＝0 答案：ACD 解析：设等差数列{an}的公差为d.∵2a1＋3a3＝S6，∴5a1＋6d＝6a1＋15d，∴a1＋9d＝0，即a10＝0，A正确；S10＝10a1＋＝－45d，可能大于0，也可能小于等于0，B不正确；S12－S7＝12a1＋d－7a1－d＝5a1＋45d＝5(a1＋9d)＝0，即S7＝S12，C正确；S19＝＝19a10＝0，D正确．故选ACD. 知识点二　等差数列前n项和的综合问题 5．各项均不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，则S2n－1－4n＝(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 答案：A 解析：∵{an}是等差数列，∴2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．又an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，∴2an－a＝0.∵an≠0，∴an＝2，∴S2n－1－4n＝(2n－1)×2－4n＝－2.故选A. 6．已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，＝，则＝________． 答案： 解析：由题意，可得＝＝＝＝＝＝. 7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，当整数n＞1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S15＝________． 答案：211 解析：∵数列{an}中，当整数n＞1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立⇔Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2⇔an＋1－an＝2(n＞1)．∴{an}从第2项起是公差为2的等差数列，∴S15＝14a2＋×2＋a1＝14×2＋×2＋1＝211. 8．在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，5a1a3＝(2a2＋2)2. (1)求d，an； (2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|. 解：(1)因为a1＝10，5a1a3＝(2a2＋2)2， 所以d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4. 故an＝－n＋11或an＝4n＋6. (2)设数列{an}的前n项和为Sn. 因为d<0，所以由(1)得d＝－1，an＝－n＋11. 则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n； 当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110. 综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝ 一、单项选择题 1．在等差数列{an}中，S10＝120，则a2＋a9＝(　　) A．12 B．24 C．36 D．48 答案：B 解析：∵S10＝＝5(a2＋a9)＝120，∴a2＋a9＝24. 2．在1和2两数之间插入n(n∈N*)个数，使它们与1，2组成一个等差数列，则当n＝10时，该数列的所有项的和为(　　) A．15 B．16 C．17 D．18 答案：D 解析：设该数列为{an}，前n项和为Sn，由题意得，该等差数列共有12项，首项a1＝1，末项a12＝2，故S12＝×12＝18.故选D. 3．一同学在电脑中打出如下图案： ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●… 若将此图案依此规律继续下去，那么在前120个图案中●的个数是(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 答案：C 解析：∵S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋n＝＋n≤120，∴n(n＋3)≤240，又n∈N*，∴n的最大值为14.故选C. 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，S7＝5a4＋10，则S4＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案：B 解析：因为数列{an}为等差数列，则S7＝＝＝7a4，又S7＝5a4＋10，则7a4＝5a4＋10，即a4＝5，则S4＝＝＝8.故选B. 5．将数列{3n－1}中与数列{6n＋5}相同的项剔除，余下的项按从小到大的顺序排列得到数列{an}，则数列{an}的前10项和为(　　) A．205 B．234 C．239 D．290 答案：C 解析：设数列{3n－1}中第i项与数列{6n＋5}中第j项相同，则3i－1＝6j＋5，所以i＝2j＋2，即数列{3n－1}中的第4项、第6项、第8项、…被剔除，所以数列{an}的前10项为2，5，8，14，20，26，32，38，44，50，所以数列{an}的前10项和为5＋×9＝239.故选C. 二、多项选择题 6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若a2＝4，S5＝30，则下列结论正确的是(　　) A．{an}是递减数列 B．d＝2 C．a1＝2 D.＝3 答案：BC 解析：由解得故B，C正确；因为d＝2>0，所以{an}是递增数列，故A错误；＝＝＝，故D错误．故选BC. 7．设{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7，则下列结论正确的是(　　) A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．a6＋a10<0 答案：ABD 解析：S6＝S5＋a6>S5，则a6>0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6<0，则a8＝a7＋d<0，a6＋a9＝a7＋a8＝a8<0，所以a6＋a7＋a8＋a9＝2a8<0，所以S5>S9.由a8<0，a6＋a10＝2a8，知a6＋a10<0.故选ABD. 三、填空题 8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a17＝a19＋3，则S29＝________． 答案：87 解析：解法一：设数列{an}的公差为d，则2(a1＋16d)＝a1＋18d＋3，得a1＋14d＝3，即a15＝3，则S29＝＝29a15＝87. 解法二：2a17＝a15＋a19＝a19＋3，则a15＝3，故S29＝29a15＝29×3＝87. 9．在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an＜0，则S10＝________． 答案：－15 解析：由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，∵an＜0，∴a3＋a8＝－3，∴S10＝＝＝＝－15. 10．等差数列，－，－，…的前n项的绝对值之和为50，则n＝________． 答案：12 解析：因为a1＝，a2＝－，则公差d＝a2－a1＝－，所以等差数列{an}的通项公式为an＝＋(n－1)×＝，设数列{|an|}的前n项和为Sn，当n＝1时，S1＝|a1|＝≠50，不符合题意；当n≥2时，an<0，可得Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1－(a2＋…＋an)＝－＝，令Sn＝＝50，解得n＝12或n＝－(舍去)．综上所述，n＝12. 四、解答题 11．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝－a5. (1)若a3＝4，求{an}的通项公式； (2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 解：(1)设{an}的公差为d. 由S9＝－a5，得a1＋4d＝0. 由a3＝4，得a1＋2d＝4. 于是a1＝8，d＝－2. 因此{an}的通项公式为an＝10－2n. (2)由(1)，得a1＝－4d， 故an＝(n－5)d，Sn＝. 由a1>0，知d<0， 故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0， 解得1≤n≤10. 所以满足条件的n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}． 12．已知各项均不为0的数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别是等差数列{bn}的第8项和第16项，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. 解：(1)由已知可得＝2， 所以＝2，＝2，＝2，…，＝2(n≥2，n∈N*)． 将以上各式相乘，得＝2n－1(n≥2，n∈N*)， 所以an＝2n(n≥2，n∈N*)， 又a1＝2符合上式，故数列{an}的通项公式为an＝2n. (2)设数列{bn}的公差为d，由(1)得，a3＝8，a5＝32， 所以b8＝a3＝8，b16＝a5＝32， 即解得 所以bn＝－13＋3(n－1)＝3n－16， Sn＝＝. 13．已知数列{an}和{bn}都是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝________． 答案： 解析：因为数列{an}和{bn}都是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，由＝，可设Sn＝λn(3n＋1)＝3λn2＋λn，λ≠0，则Tn＝λn(2n＋5)＝2λn2＋5λn，故＝＝＝＝×＝×＝. 14．已知Sn是公差为2的等差数列{an}的前n项和，若数列为等差数列． (1)求an； (2)求数列{S2n}的通项公式． 解：(1)因为数列为等差数列， 所以2·＝＋， 因为Sn是公差为2的等差数列{an}的前n项和， 所以2·＝1＋， 解得a1＝2. 故an＝2＋2(n－1)＝2n. (2)由(1)，得Sn＝＝n2＋n， 故S2n＝4n＋2n， 故数列{S2n}的通项公式为S2n＝4n＋2n. 7 学科网（北京）股份有限公司 $