第4章 4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

第4章　4.2　4.2.2　第1课时 [必备知识·基础巩固] 1．(2025·永州期末)记等差数列的前n项和为Sn，a2＋a3＝1，则S4＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　因为数列为等差数列，则S4＝＝＝2. 故选B． 答案　B 2．(2025·全国二卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(　　) A．－20 B．－15 C．－10 D．－5 解析　设等差数列{an}的公差为d，则由题可得⇒ 所以S6＝6a1＋15d＝6×5＋15×(－3)＝－15. 故选B． 答案　B 3．(多选题)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于(　　) A．－1 B．3 C．5 D．7 解析　由题意知a1＋(n－1)×2＝11，　① Sn＝na1＋×2＝35，　② 由①②解得a1＝3或a1＝－1. 答案　AB 4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2024，－＝2，则S2025＝(　　) A．0 B．2024 C．2025 D．－2026 解析　由等差数列的性质可得也为等差数列，设其公差为d，则－＝2d＝2， ∴d＝1.∴＝＋2024d＝－2024＋2024＝0，∴S2025＝0×2025＝0. 答案　A 5．(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＋a4＝7,3a2＋a5＝5，则 S10＝________. 解析　法一(基本量法)　设{an}的公差为d， 由a3＋a4＝a1＋2d＋a1＋3d＝2a1＋5d＝7， 3a2＋a5＝3(a1＋d)＋a1＋4d＝4a1＋7d＝5， 解得a1＝－4，d＝3，则S10＝10a1＋45d＝95. 法二(利用下标和性质)　设{an}的公差为d， 由a3＋a4＝a2＋a5＝7,3a2＋a5＝5， 得a2＝－1，a5＝8， 故d＝＝3，a6＝11， 则S10＝×10＝5(a5＋a6)＝5×19＝95. 答案　95 6．在等差数列{an}中，S10＝4S5，则＝________. 解析　设数列{an}的公差为d， 由题意得10a1＋×10×9d＝4， 所以10a1＋45d＝20a1＋40d， 所以10a1＝5d， 所以＝. 答案　 7．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________. 解析　数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A，当n＝1时满足，所以d＝2A． 答案　2A 8．已知等差数列{an}满足：a3＝6，a2＋a5＝14，{an}的前n项的和为Sn，求an及Sn. 解析　由得 ∴ 所以an＝2＋(n－1)×2＝2n， Sn＝na1＋d＝2n＋n(n－1)＝n2＋n. [关键能力·综合提升] 9．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析　等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝An2＋Bn，∴λ＝－1. 答案　B 10．(多选题)记Sn为等差数列{an}的前n项和，则(　　) A．S3，S6－S3，S9－S6成等差数列 B．，，成等差数列 C．S9＝2S6－S3 D．S9＝3(S6－S3) 解析　易知S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，A正确； 由＝＝a1＋d，＝＝a1＋d，＝＝a1＋4d，知，，成等差数列，B正确； 2S6－S3＝12a1＋30d－＝9a1＋27d≠S9，C错误； 3(S6－S3)＝3×＝9a1＋36d＝S9，D正确．故选ABD． 答案　ABD 11．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________. 解析　当n＝1时，S1＝a1＝－1，所以＝－1.因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以－＝1， 即－＝－1，所以是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝(－1)＋(n－1)·(－1)＝－n，所以Sn＝－. 答案　－ 12．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________. 解析　因为{an}是等差数列， 所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－a＝0，得2am－a＝0，由S2m－1＝38知am≠0，所以am＝2，又S2m－1＝38，即＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10. 答案　10 13．设Sn是数列{an}的前n项和且n∈N*，所有项an>0，且Sn＝a＋an－. (1)证明：{an}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明　当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3)． 所以4an＝a－a＋2an－2an－1， 即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝2(n≥2)． 所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列． (2)解析　由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. [核心素养·探索创新] 14．已知{an}是等差数列，首项为a1，其公差d<0，前n项和为Sn，设数列的前n项和为Tn. (1)若a1＝－4d，则当n＝________时，Tn有最大值； (2)若当且仅当n＝6时，Tn有最大值，则的取值范围是________. 解析　(1)易知＝n＋， 若a1＝－4d，则＝n－d， 由解得8≤n≤9. 即n＝8或9时，Tn有最大值； (2)若当且仅当n＝6时，Tn有最大值， 则 解得－3<<－. 答案　(1)8或9　(2) 15．记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)求使Sn>an成立的n的最小值． 解析　(1)由等差数列的性质可得：S5＝5a3， 则a3＝5a3，∴a3＝0， 设等差数列的公差为d，从而有 a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2， S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3＋d)＝－2d， 从而－d2＝－2d，由于公差不为零， 故d＝2， 数列的通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝2n－6. (2)由数列的通项公式可得a1＝2－6＝－4， 则Sn＝n×(－4)＋×2＝n2－5n， 则不等式Sn>an即n2－5n>2n－6， 整理可得(n－1)(n－6)>0， 解得n<1或n>6，又n为正整数， 故n的最小值为7. 学科网（北京）股份有限公司 $