4.1 第2课时 数列的递推公式与前n项和-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教A版）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 第2课时　数列的递推公式与前n项和 知识点一　利用数列的递推公式求数列的项 1．已知a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的第4项是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：∵an＋1＝，a1＝1，∴a2＝＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝. 2．[多选]已知数列{xn}满足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，则下列结论正确的是(　　) A．x2024＝－b B．x2025＝b－a C．x2026＝x16 D．x1＋x2＋…＋x2026＝－a 答案：BC 解析：x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a，x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b，x6＝x5－x4＝a－b，x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2，∴{xn}是周期数列，且周期为6，∴x2024＝x2＝b，A不正确；x2025＝x3＝b－a，B正确；x2026＝x4＝x16，C正确；x1＋x2＋…＋x2026＝x1＋x2＋x3＋x4＝2b－a，D不正确．故选BC. 3．已知f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，则a20＝________． 答案： 解析：因为a1＝，所以a2＝f(a1)＝f＝，a3＝f(a2)＝f＝，a4＝f(a3)＝f＝，a5＝f(a4)＝f＝，a6＝f(a5)＝f＝＝a1，所以数列{an}是以5为周期的周期数列，所以a20＝a5＝. 知识点二　利用数列的递推公式求通项公式 4．在数列{an}中，若a1＝2，且对所有n∈N*满足an＝an＋1＋2，则an＝________． 答案：－2n＋4 解析：由题意知an＋1－an＝－2，所以当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝－2(n－1)＋2＝－2n＋4，又a1＝2符合上式，所以an＝－2n＋4. 5．数列{an}满足递推公式an＝an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝5，则数列{an}的前4项依次为________，它的通项公式为________． 答案：5，，，2　an＝ 解析：因为a1＝5，an＝an－1，所以a2＝a1＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝2.由an＝an－1，得＝(n≥2，n∈N*)，所以＝，＝，…，＝(n≥2，n∈N*)，将以上各式累乘得＝××…×＝，所以an＝(n≥2，n∈N*)，又a1＝5符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝. 6．已知数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝－(n≥2)，求数列{an}的通项公式． 解：∵an－an－1＝－(n≥2)， ∴a2－a1＝1－，a3－a2＝－， a4－a3＝－，…，an－an－1＝－， 累加可得an－a1＝1－(n≥2)． 又a1＝1，∴an＝2－(n≥2)． 又a1＝1符合上式， ∴数列{an}的通项公式为an＝2－. 知识点三　数列{an}的前n项和Sn与an的关系 7．记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝则a6＝(　　) A．1 B．5 C．7 D．9 答案：A 解析：因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝则a6＝S6－S5＝(5×6－4)－52＝1.故选A. 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2(n∈N*)，则当n≥2时，下列不等式成立的是(　　) A．Sn＞na1＞nan B．Sn＞nan＞na1 C．na1＞Sn＞nan D．nan＞Sn＞na1 答案：C 解析：解法一：由an＝解得a1＝1，an＝5－4n，∴na1＝n，nan＝5n－4n2.∵当n≥2时，na1－Sn＝n－(3n－2n2)＝2n2－2n＝2n(n－1)＞0，Sn－nan＝3n－2n2－(5n－4n2)＝2n2－2n＞0，∴na1＞Sn＞nan. 解法二：∵Sn＝3n－2n2，∴a1＝S1＝1，S2＝－2，a2＝S2－S1＝－3，∴当n＝2时，Sn＝－2，na1＝2，nan＝－6，∴na1＞Sn＞nan. 一、单项选择题 1．数列1，，，，，…的递推公式可以是(　　) A．an＝(n∈N*) B．an＝(n∈N*) C．an＋1＝an(n∈N*) D．an＋1＝2an(n∈N*) 答案：C 解析：A，B是通项公式的形式，故A，B不符合题意；观察数列可知，数列从第2项起，每一项是前一项的，所以递推公式为an＋1＝an(n∈N*)，故C符合题意，D不符合题意．故选C. 2．已知数列{an}的首项为1，an＋1＝则a4＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案：A 解析：当n＝1时，∵a1＝1<3，∴a2＝2a1＝2；当n＝2时，∵a2＝2<3，∴a3＝2a2＝4；当n＝3时，∵a3＝4>3，∴a4＝a3－3＝1.故选A. 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则过P(1，a1)，Q(2，a2)两点的直线的斜率是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：∵Sn＝n2＋n，∴a1＝S1＝2，a2＝S2－S1＝6－2＝4.∴过P，Q两点的直线的斜率k＝＝＝2. 4．数列{an}的构成法则如下：a1＝1，如果an－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式an＋1＝an－2，否则用递推公式an＋1＝3an，则a6＝(　　) A．－7 B．3 C．15 D．81 答案：C 解析：由a1＝1，a1－2＝－1∉N，得a2＝3a1＝3.又a2－2＝1＝a1，故a3＝3a2＝9.又a3－2＝7∈N，故a4＝a3－2＝7.又a4－2＝5∈N，故a5＝a4－2＝5.又a5－2＝3＝a2，所以a6＝3a5＝15.故选C. 5．已知数列{an}的首项为2，且满足an＋1＝，其前n项和为Sn，则S144＝(　　) A．－49 B．42 C．－42 D．49 答案：C 解析：因为a1＝2，an＋1＝，所以a2＝，a3＝－，a4＝－3，a5＝2，…，所以数列{an}是周期为4的周期数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝－，因为144÷4＝36，所以S144＝36×＝－42.故选C. 二、多项选择题 6．已知数列{an}满足a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝4，则m所有可能的取值为(　　) A．4 B．5 C．21 D．32 答案：ABD 解析：若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，若a2为偶数，则＝1，a2＝2，若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)，若a1为偶数，则＝2，a1＝4；若a3为偶数，则＝4，a3＝8，若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)，若a2为偶数，则＝8，a2＝16，若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5，若a1为偶数，则＝16，a1＝32.故m所有可能的取值为4，5，32. 7．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－，数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则(　　) A．a5＝ B．an＋3＝an C．T2024＝1 D．S2025＝1011 答案：ABC 解析：因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－，则a2＝1－＝1－＝，a3＝1－＝1－2＝－1，a4＝1－＝1＋1＝2，a5＝1－＝1－＝，所以数列{an}是以3为周期的周期数列，即对任意n∈N*，an＋3＝an，故A，B正确；因为a1a2a3＝2××(－1)＝－1，且2024＝3×674＋2，所以T2024＝(a1a2a3)674·a1a2＝(－1)674×1＝1，故C正确；因为2025＝3×675，所以S2025＝675×(a1＋a2＋a3)＝675×＝，故D错误．故选ABC. 三、填空题 8．已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋2n＋1，则an＝________． 答案： 解析：a1＝S1＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2.由于a1＝6不适合此式，故an＝ 9．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋－，则an＝________． 答案：－＋1 解析：因为an＋1＝an＋－，所以an＋1－an＝－，所以a2－a1＝－，a3－a2＝－，…，an－an－1＝－，以上各式相加，得an－a1＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－，所以an＝－＋a1＝－＋1.又a1＝1也符合上式，所以an＝－＋1. 10．已知数列{an}中，a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an，则数列{an}的通项公式是________． 答案：an＝n 解析：由nan＋1＝(n＋1)an，可得＝，又a1＝1，∴当n≥2时，an＝a1···…·＝1×××…×＝n.又n＝1也符合上式，∴an＝n. 四、解答题 11．已知各项均不为0的数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，求数列{an}的通项公式． 解：∵anan－1＝an－1－an，且各项均不为0， ∴－＝1. ∴当n≥2时，＝＋＋＋…＋＝2＋＝n＋1. ∴＝n＋1，∴当n≥2时，an＝. 又a1＝也符合上式，∴an＝(n∈N*)． 12．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1＝1，an＋1＝2＋1. (1)求a2的值； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)∵a1＝1，an＋1＝2＋1， ∴a2＝2＋1＝2＋1＝3. (2)解法一：由an＋1＝2＋1， 得Sn＋1－Sn＝2＋1， 故Sn＋1＝(＋1)2. ∵an>0，∴Sn>0，∴＝＋1， 即－＝1，则－＝1(n≥2)， 由累加法可得＝1＋(n－1)＝n， ∴Sn＝n2(n≥2)． 又S1＝a1＝1，适合上式，∴Sn＝n2. 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. 又a1＝1适合上式，∴an＝2n－1. 解法二：由an＋1＝2＋1， 得(an＋1－1)2＝4Sn， 当n≥2时，(an－1)2＝4Sn－1， ∴(an＋1－1)2－(an－1)2＝4(Sn－Sn－1)＝4an， ∴a－a－2an＋1－2an＝0， 即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0. ∵an>0，∴an＋1－an＝2(n≥2)． 由累加法可得an＝3＋(n－2)×2＝2n－1(n≥3)． 又a1＝1，a2＝3均适合上式，∴an＝2n－1. 13．已知F(x)＝f－1是R上的奇函数．an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________． 答案：an＝n＋1 解析：因为F(x)是R上的奇函数，所以F(x)＋F(－x)＝0，所以f＋f＝2，即若a＋b＝1，则f(a)＋f(b)＝2.于是由an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)(n∈N*)，得2an＝[f(0)＋f(1)]＋＋…＋＋[f(1)＋f(0)]＝2n＋2，所以an＝n＋1. 14．已知数列{an}的前n项和Sn＝an，且a1＝4. (1)求a2，a3； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)由题意，得S2＝a2， 即a1＋a2＝a2， 解得a2＝12，同理可得a3＝32. (2)由题意，得 ①－②，得Sn－Sn－1＝an－an－1， an＝an－an－1，＝2×， an＝··…··a1＝2××2××…×2××4＝2n(n＋1)(n≥2)， 又a1＝4符合此式，∴an＝2n(n＋1)． 6 学科网（北京）股份有限公司 $