重难专题 数列的七大创新题型：公共项、插项、删项、数阵、取整、存在性及新定义问题(7大基础题型+能力提升+拓展提升）（专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

培优专题03 数列中的七大创新题型：公共项、插项、删项、数阵、取整、存在性及新定义问题 题型一 公共项数列 1．（23-24高二下·辽宁·期中）已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东·阶段练习）设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列，所有被4除余1的自然数从小到大组成数列，设这两个数列的公共项构成集合，则集合中元素的个数为（    ） A．167 B．168 C．169 D．170 3．（2025高三·全国·专题练习）设所有被除余的自然数从小到大组成数列，所有被除余的自然数从小到大组成数列队，把和的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A． B． C． D． 题型二 增项问题 1．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且． (1)求； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，记的前项和，求的值． 2．（24-25高三上·山东枣庄·月考）已知数列满足，公差不为0的等差数列满足成等比数列， (1)证明：数列是等比数列． (2)求和的通项公式． (3)在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列，求中前60项的和． 题型三 减项问题 1．已知有限项等差数列的首项，公差为2，其所有项的算术平均值是2011.若从中删去一项后，该数列剩余各项的算术平均值为整数.则删项的方法有 种. 2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知正项数列的前项和为，且． (1)求； (2)若，从中删去中的项，按照原来的顺序构成新的数列，求的前100项和． 3．已知，数列满足，数列满足；又知数列中，，且对任意正整数，，． （1）求数列和数列的通项公式； （2）将数列中的第项，第项，第项，，第项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和． 题型四 数阵问题 1．（24-25高二下·北京·期中）已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列；若，则该数阵中九个数的和为（    ） A．18 B．27 C．45 D．54 2．（24-25高二下·河南焦作·期中）观察如图所示的数阵，则下列选项中的数不在该数阵中的是（    ） A．91 B．101 C．111 D．121 3．(多选)（24-25高二下·安徽·阶段练习）将个数排成行列的一个数阵，如：             …                 …                 …     …    …    …    …    …             …     该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，记这个数的和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 题型五 取整数列 1．对于实数，用表示不超过的最大整数，如，，若，，为数列的前项和，则为（   ） A． B． C． D． 2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数．在数列中，记为不超过的最大整数，则称数列为的取整数列，设数列满足，，记数列的前项和为，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 3．已知正项数列的前n项和为，且． (1)求； (2)设表示不超过x的最大整数，例如，，求． 题型六 存在类问题 1．已知在数列中，，，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 3．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，试判断并说明的符号； (3)请问是否存在正整数，使得为数列中的项？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 题型七 新定义问题 1．（23-24高二上·江苏·课前预习）斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，….则该数列的第10项为（    ） A．34 B．55 C．68 D．89 2．（2023·黑龙江大庆·三模）定义，已知数列为等比数列，且，，则（    ） A．4 B．±4 C．8 D．±8 3．（2025高二·全国·专题练习）已知有限数列，，，，为其前项和，定义为的“凯森和”，若有336项的数列，，，的“凯森和”为2022，则有337项的数列，，，，的“凯森和”为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）若数列满足，则称是“紧密数列”．已知数列的前项和为，且． (1)试判断是否为“紧密数列”，并说明理由． (2)若数列是“紧密数列”，已知（为常数），且，求的前项和． 1．（24-25高二下·山东淄博·阶段练习）把正整数按一定的规律排成三角形数阵，如图所示.设是这个三角形数阵中从上往下数第行、从左往右数第个数，如，若，则与的和为（    ）    A．109 B．110 C．111 D．112 2．（2025·江苏·模拟预测）将数列和的公共项从小到大排列得到数列，则下列所给的值中，使得的前100项和最小的为（   ） A． B． C．1 D．4 3．(多选)（2024·全国·模拟预测）函数是取整函数，也被称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，.若在函数的定义域内，均满足在区间上，是一个常数，则称为的取整数列，称为的区间数列.下列说法正确的是（    ） A．的区间数列的通项 B．的取整数列的通项 C．的取整数列的通项 D．若，则数列的前项和 4．(多选)（2024·全国·模拟预测）设，，，为集合的个不同子集，为了表示这些子集，作行列的数阵，规定第行第列的数为．则下列说法中正确的是（    ） A．数阵中第一列的数全是0，当且仅当 B．数阵中第列的数全是1，当且仅当 C．数阵中第行的数字和表明集合含有几个元素 D．数阵中所有的个数字之和不超过 5．(多选)（2025·四川绵阳·模拟预测）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列是递增数列 C．存在正整数，使得 D．存在正整数，使得 6．（24-25高二下·山东淄博·阶段练习）如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中从左向右数的第个数，那么的值是 ． 7．（2024·全国·模拟预测）已知，，，若将数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为 ． 8．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列为公差不为的等差数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设数列是以为首项，为公比的等比数列，若数列和的公共项为，记从小到大构成数列，求的前项和. 9.（25-26高三上·北京·阶段练习）已知数列前项和为，满足；数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使得成等差数列. （i）求； （ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或数列中的项？若存在，请求出所有满足条件的的值（直接写出结论即可）.若不存在，请说明理由. 10．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足：，求数列的通项公式； (3)若存在实数，使不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 1．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，简称数阵，数阵是由幻方演化出来的另一种数字图，有圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合，变幻多端，由若干个互不相同的数构成等腰直角三角形数阵，如图，其中第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数……以此类推，一共10行，设是从上往下数第行中的最大数，则的概率为 . 2．（2025·全国·模拟预测）已知数列的通项公式为（表示不超过实数的最大整数），数列的通项公式为. (1)写出数列的前6项； (2)试判断与是否为数列中的项，并说明理由； (3)证明：数列与数列的公共项有无数多个. 3．（I）设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当时，求的数值；②求的所有可能值； （II）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列． 4．（2025·广东中山·模拟预测）已知序列，，，，，（其中）对应的数阵为： 定义：是序列阵列中从到的经过各数和的最大值（每次经过的数只能往右或往下移动），且． (1)若，，求； (2)已知序列，和，，若，，，四个数中最小的数为或，求证：； (3)请给出数对，，，，组成的所有序列中的最小值，并说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题03 数列中的七大创新题型：公共项、插项、删项、数阵、取整、存在性及新定义问题 题型一 公共项数列 1．（23-24高二下·辽宁·期中）已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因数列是首项为1，公差为2的等差数列，而数列是首项为1，公差为3的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为6的等差数列， 故. 故选：D. 2．（24-25高二下·广东·阶段练习）设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列，所有被4除余1的自然数从小到大组成数列，设这两个数列的公共项构成集合，则集合中元素的个数为（    ） A．167 B．168 C．169 D．170 【答案】C 【解析】由题意可知，数列：2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、...， 数列：1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、...， 将集合中的元素由小到大进行排序，构成数列：5、17、29、...， 易知数列是首项为5，公差为12的等差数列，则， 由，可得， 因此，集合中元素的个数为169. 故选：C 3．（2025高三·全国·专题练习）设所有被除余的自然数从小到大组成数列，所有被除余的自然数从小到大组成数列队，把和的公共项从小到大排列得到数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】根据题意，结合余数的相关性质，数列是首项为，公差为的等差数列， ， 数列是首项为，公差为的等差数列，， 数列与的公共项从小到大排列得到数列， 故数列是首项为，公差为的等差数列，则． 对于A，，，，故A错误； 对于B，，，，故B正确； 对于C，，，，，故C正确； 对于D，，，，，故D错误． 故选：BC． 题型二 增项问题 1．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且． (1)求； (2)若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，记的前项和，求的值． 【答案】(1)，；(2)55 【解析】（1）由题意，得， 又时，，符合题意，所以. 设数列的公比为，又，， 即，解得，所以. （2）根据题意，在与之间插入个1， 即在1和2之间插入个1； 在2和3之间插入个1； 在3和4之间插入个1； 在4和5之间插入个1， 此时刚好有45项，则. 所以的值为55. 2．（24-25高三上·山东枣庄·月考）已知数列满足，公差不为0的等差数列满足成等比数列， (1)证明：数列是等比数列． (2)求和的通项公式． (3)在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列，求中前60项的和． 【答案】(1)证明见解析；(2)，；(3) 【解析】（1）数列中，， 则，而， 所以数列是等比数列，其首项为，公比为； （2）由（1）知，，， 所以数列的通项公式为. 设等差数列的公差为， 由成等比数列，得， 即，则有， 又，即，于是， 所以数列的通项公式为； （3）依题意，数列中，前有数列中的前项， 有数列中的前项， 因此数列中，前共有项， 当时，， 当时，， 因此数列的前项中有数列中的前项，有数列中的前项， 所以 . 题型三 减项问题 1．已知有限项等差数列的首项，公差为2，其所有项的算术平均值是2011.若从中删去一项后，该数列剩余各项的算术平均值为整数.则删项的方法有 种. 【答案】3 【解析】根据题意得. 解得. 于是，该数列所有项的和为. 设从数列中删去第项后剩余项的算术平均值为整数，即. 注意到.则上式等价于. 因为，所以，的取值集合为. 2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知正项数列的前项和为，且． (1)求； (2)若，从中删去中的项，按照原来的顺序构成新的数列，求的前100项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）依题意， 所以 ， 由于，所以. 而符合，故. （2）由（1）得，， 是单调递增数列， 又因为是奇数列，，而， 所以数列的前项中有数列的项，即， 所以. 3．已知，数列满足，数列满足；又知数列中，，且对任意正整数，，． （1）求数列和数列的通项公式； （2）将数列中的第项，第项，第项，，第项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和． 【答案】（1），；（2）； 【解析】（1）数列满足，所以当为奇数时，，当为偶数时，， 又数列满足， 所以 由题意知：又知数列中，，且对任意正整数，，． 令，则，，，， 若，则，，所以恒成立， 若，当，不成立，所以 ； （2）由题知将数列中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列， 新数列中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是，，公比均是， 记数列的前项和为， 所以 题型四 数阵问题 1．（24-25高二下·北京·期中）已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列；若，则该数阵中九个数的和为（    ） A．18 B．27 C．45 D．54 【答案】C 【解析】由题设得，则； ，则； ，则； 所以, ，则， 于是，所有这九个数的和为. 故选：C. 2．（24-25高二下·河南焦作·期中）观察如图所示的数阵，则下列选项中的数不在该数阵中的是（    ） A．91 B．101 C．111 D．121 【答案】A 【解析】由题，观察可知第行有个数，且第行最后一个数为，每行的数列是公差为的等差数列，所以第11行有11个数，最后一个数为，故排除D选项； 设第11行的数构成等差数列，则，所以，故排除B选项； 因为，令，则，解得，即111为第11行的第6个数，故排除C选项； 因为第10行有10个数，最后一个数为，设第10行的数构成等差数列，则，所以， 因为，设，解得，不为正整数，故不在该数阵中， 故选：A 3．(多选)（24-25高二下·安徽·阶段练习）将个数排成行列的一个数阵，如：             …                 …                 …     …    …    …    …    …             …     该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）．已知，记这个数的和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，所以，解得（舍去），故A正确； ，，故B错误； ，，故C正确； ， 故D正确． 故选：ACD． 题型五 取整数列 1．对于实数，用表示不超过的最大整数，如，，若，，为数列的前项和，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，，，， ，，， ，，， ，， ，，，， ． 故选：A 2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数．在数列中，记为不超过的最大整数，则称数列为的取整数列，设数列满足，，记数列的前项和为，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，数列满足，则，同理可得， 所以，所以， 则， 则数列的前项和为 . 故选：C. 3．已知正项数列的前n项和为，且． (1)求； (2)设表示不超过x的最大整数，例如，，求． 【答案】(1) (2)24 【解析】（1）数列中，，，则当时，，即，解得， 当时，，于是， 即，整理得，而，则， 因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以通项公式. （2）由（1）知，当，2时，；当，4，5时，； 当，7时，；当，9，10时，；当，12时，， 所以. 题型六 存在类问题 1．已知在数列中，，，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在， 【解析】设， 因为． 若数列是等比数列，则必须有（常数）， 即，即. 此时， 所以存在实数，使数列是等比数列． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在， 【解析】设， 因为． 若数列是等比数列，则必须有（常数）， 即，即. 此时， 所以存在实数，使数列是等比数列． 3．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，试判断并说明的符号； (3)请问是否存在正整数，使得为数列中的项？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)的符号为正. (3)不存在，理由见解析 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得 解得 则， 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，，故， 因此， 所以的符号为正. （3）由题知. 若为数列中的项，则必定有为的整数倍，即或3或9， 解得或或. 又为正整数，故不存在正整数，使得为数列中的项. 题型七 新定义问题 1．（23-24高二上·江苏·课前预习）斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，….则该数列的第10项为（    ） A．34 B．55 C．68 D．89 【答案】B 【解析】观察数列：1,1,2,3,5,8,13,21，…，发现从第3项起，每一项均为其前2项的数之和， 则第9项：13＋21＝34，第10项：21＋34＝55. 故该数列的第10项为55． 故选：B. 2．（2023·黑龙江大庆·三模）定义，已知数列为等比数列，且，，则（    ） A．4 B．±4 C．8 D．±8 【答案】C 【解析】依题意得， 又，所以． 故选：C． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知有限数列，，，，为其前项和，定义为的“凯森和”，若有336项的数列，，，的“凯森和”为2022，则有337项的数列，，，，的“凯森和”为 ． 【答案】2018 【解析】  令， 则． 所以． 4．（2025高三·全国·专题练习）若数列满足，则称是“紧密数列”．已知数列的前项和为，且． (1)试判断是否为“紧密数列”，并说明理由． (2)若数列是“紧密数列”，已知（为常数），且，求的前项和． 【答案】(1)是“紧密数列”，理由见解析 (2) 【解析】（1）是“紧密数列”．理由如下： 因为， 当时，， 所以， 当时，，满足上述关系式， 所以，则， 又，所以是紧密数列． （2）由（1）知，， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 因为数列是“紧密数列”，所以， 又因为，即，整理得， 解得（舍去）或，则，， 因此， 故数列的前项和为． 1．（24-25高二下·山东淄博·阶段练习）把正整数按一定的规律排成三角形数阵，如图所示.设是这个三角形数阵中从上往下数第行、从左往右数第个数，如，若，则与的和为（    ）    A．109 B．110 C．111 D．112 【答案】B 【解析】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，且第行有个数， 记为第个奇数，则， 又，所以为第个奇数， 又前个奇数行，共有奇数， 又前个奇数行，共有奇数， 则，，故在第行，且列， 即，所以. 故选：B. 2．（2025·江苏·模拟预测）将数列和的公共项从小到大排列得到数列，则下列所给的值中，使得的前100项和最小的为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【解析】由题意知：是公差为的等差数列， 故其前100项和. 所以要使数列的前100项和最小，只需使其首项最小即可. 当时，数列为：；数列为：， 此时，数列的首项； 当时，数列为：；数列为：， 此时，数列的首项； 当时，数列为：；数列为：， 此时，数列的首项； 当时，数列为：；数列为：， 此时，数列的首项. 故当时，数列的首项最小，此时数列的前100项和最小. 故选：B. 3．(多选)（2024·全国·模拟预测）函数是取整函数，也被称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，.若在函数的定义域内，均满足在区间上，是一个常数，则称为的取整数列，称为的区间数列.下列说法正确的是（    ） A．的区间数列的通项 B．的取整数列的通项 C．的取整数列的通项 D．若，则数列的前项和 【答案】BD 【解析】对于A中，因为在上，，，所以； 在上，，所以， 在上，，，所以，所以A错误； 对于B中，由选项A知，，所以B正确. 对于C中，因为， 所以，所以C错误； 对于D中，由选项A知，可得， 则， 所以， 两式相减，所以D正确. 故选：BD. 4．(多选)（2024·全国·模拟预测）设，，，为集合的个不同子集，为了表示这些子集，作行列的数阵，规定第行第列的数为．则下列说法中正确的是（    ） A．数阵中第一列的数全是0，当且仅当 B．数阵中第列的数全是1，当且仅当 C．数阵中第行的数字和表明集合含有几个元素 D．数阵中所有的个数字之和不超过 【答案】ABD 【解析】选项A：数阵中第一列的数全是，当且仅当，，，，，故A正确． 选项B：数阵中第列的数全是1，当且仅当，，，，，故B正确． 选项C：数阵中第列的数字和表明集合含有几个元素，故C错误． 选项D：当，，，中一个为本身，其余个子集为互不相同的元子集时， 数阵中所有的个数字之和最大，且为，故D正确. 故选：ABD 5．(多选)（2025·四川绵阳·模拟预测）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列是递增数列 C．存在正整数，使得 D．存在正整数，使得 【答案】ABD 【解析】∵， ∴，整理得， ∵，∴，则，A选项正确， ，，B选项正确， ∵，令， ∵，当时，， ∴函数在上单调递增，且， ∴函数在无零点，即不存在正整数，使得，C选项错误， ，即，解得， ∴存在正整数，使得，D选项正确. 故选：ABD. 6．（24-25高二下·山东淄博·阶段练习）如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数应该排在从上向下数的第行，是该行中从左向右数的第个数，那么的值是 ． 【答案】 【解析】根据图中规律可知，每一行的最后一个数为，且个数为， 则第n行的最后一个数为，个数为，， 因为， 所以排在第行最后一个， 又第行个数为， 所以， 所以. 7．（2024·全国·模拟预测）已知，，，若将数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为 ． 【答案】 【解析】因为数列是正奇数组成的数列， 所以数列中所有的奇数是数列和数列的公共项， 当为奇数时，设，则，为奇数； 当为偶数时，设，则，为偶数； 综上所述：. 则， 所以． 8．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列为公差不为的等差数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设数列是以为首项，为公比的等比数列，若数列和的公共项为，记从小到大构成数列，求的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）设首项为，公差为d，因， 则 解得或（舍）. 则； （2）由时，令， 当时，， 则此时； 当时，， 则 综上， （3）由题意得，， 因为，所以，即， 因此，   所以. 9.（25-26高三上·北京·阶段练习）已知数列前项和为，满足；数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使得成等差数列. （i）求； （ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或数列中的项？若存在，请求出所有满足条件的的值（直接写出结论即可）.若不存在，请说明理由. 【答案】(1)（为常数）； (2)（i）；（ii）不存在满足条件的正整数. 【解析】（1）已知数列的前项和， 当时，，故， 当时，， 由，得：，整理得：，即， 通过累乘法可得：， 验证：， 而，两者相等，故的通项公式为（为常数）； （2）（i）在和之间插入个数，形成等差数列，共项，设公差为， 则：解得， 是该等差数列的第项（从开始计数为第项）， 故：代入， 得：； （ii）由（常数列），为（自然数倍数的数列）， 分析： 若，则，即，解得，无正整数解， 若，则（为正整数），即， 化简得，由于非整数，故左边非整数，矛盾， 综上，不存在正整数满足条件. 10．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足：，求数列的通项公式； (3)若存在实数，使不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【解析】（1）数列的前n项和为，由，得，解得， 当时，，整理得， 因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以. （2）由（1）知，则化为， 当时，，两式相减得，即， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式是. （3）令，则， 当时，，即， 当时，，则，递增，即， 当n是偶数时，由对任意正整数n恒成立，得，而递增， 即，且，因此； 当n是奇数时，由对任意正整数n恒成立，得， 而，当时，递增，即，因此，解得， 所以的取值范围是. 1．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，简称数阵，数阵是由幻方演化出来的另一种数字图，有圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合，变幻多端，由若干个互不相同的数构成等腰直角三角形数阵，如图，其中第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数……以此类推，一共10行，设是从上往下数第行中的最大数，则的概率为 . 【答案】 【解析】一共 10 行，第10行需要 10 个数， 则最大数在第10行的概率为, 第9行需要 9 个数， 则剩余数中最大数在第9行的概率为 第n行需要 n个数， 则剩余数中最大数在第n行的概率为 满足的概率为. 2．（2025·全国·模拟预测）已知数列的通项公式为（表示不超过实数的最大整数），数列的通项公式为. (1)写出数列的前6项； (2)试判断与是否为数列中的项，并说明理由； (3)证明：数列与数列的公共项有无数多个. 【答案】(1)，，，，，； (2)不是数列中的项，是数列中的项，理由见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）依题意，数列的通项公式为， 所以，，， ，，； （2）不是数列中的项，是数列中的项，理由如下： 由，，则， 又，，，则不是数列中的项； 又，， 又，，， 则，故是数列中的项； （3）先证明存在无穷多个正整数使得，（其中表示的小数部分）， 假设只有有限个正整数使得， 不妨设， 则当任意的,时，， 不妨设某个，，且，为正自然数， 不妨设为一个具体的常数，且，故 由于为正整数，故， 的取值为， 由于，因此一定存在某个使得， 故，这与矛盾. 故假设不成立， 因此存在无穷多个正整数使得， 对于每个满足的正整数，令， 则有， 所以有，即， 从而， 所以数列与数列的公共项有无数多个. 3．（I）设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当时，求的数值；②求的所有可能值； （II）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列． 【答案】（I）①；②（II）见解析. 【解析】解：（1）①当时，，，，中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出． 若删去，则，即化简得，得 若删去，则，即化简得，得 综上，得或． ②当时，，，，，中同样不可能删去，，，，否则出现连续三项． 若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去； 当时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列，，，，，，中，由于不能删去首项或末项， 若删去，则必有，这与矛盾； 同样若删去也有，这与矛盾； 若删去，，中任意一个，则必有，这与矛盾．（或者说：当时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项） 综上所述，． （2）假设对于某个正整数，存在一个公差为的项等差数列，，，其中，，为任意三项成等比数列，则，即，化简得 由知，与同时为0或同时不为0 当与同时为0时，有与题设矛盾． 故与同时不为0，所以由得 因为，且、、为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数． 于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列． 例如项数列1，，，，满足要求． 4．（2025·广东中山·模拟预测）已知序列，，，，，（其中）对应的数阵为： 定义：是序列阵列中从到的经过各数和的最大值（每次经过的数只能往右或往下移动），且． (1)若，，求； (2)已知序列，和，，若，，，四个数中最小的数为或，求证：； (3)请给出数对，，，，组成的所有序列中的最小值，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【解析】（1）由题意，得． （2）因为，， ①当，，时，所以， 因为，， 所以； ②当，，时，所以， 因为，， 所以． （3）考察序列，，，，． 所以， ， ． 设，所以． 对于数对，，，，组成的所有序列，要使最小，应使得，最小，从而，应在其中，如下表： 2 6 5 4 如是，要是前面较小，则进一步确定表中数据： 2 8 11 11 6 5 11 16 11 4 所以． 下面证明， 不妨设存在，，，，组成的数对序列为：， 使得， 若，则，矛盾； 若，，则，矛盾； 若，，则，矛盾． 综上分析，， 所以的最小值为52． 14 / 27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $