精品解析：江西省鹰潭市余江区正源学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级练习（一） 数学 说明：1．范围：1.1~2.4． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 对角线一定互相垂直平分的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 矩形、正方形 D. 菱形、正方形 3. 一个等腰三角形两腰长分别是关于x的一元二次方程的两个根，则n的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 4. 如图，已知在矩形中，于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 5. 用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知正方形的边长为4，点P是对角线上一点，于点，于点F，连接，．下列结论正确的是（ ） A. B. 四边形的周长为 C. D. 的最小值为 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一元二次方程的一般形式是_______． 8. 若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是_______． 9. 如图，在中，当______时，是矩形（填一个条件即可）． 10. 已知关于x的一元二次方程（m为实数）有实数根，则m的取值范围是________． 11. 如图，在矩形中，，延长到点E，连接交于点G，点F为的中点，连接，若，则的长为_______． 12. 在平面直角坐标系O中，过原点O及点A(0，2) 、C(6，0)作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D 点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动 设移动时间为t秒，当t为______时，为直角三角形． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，求a的值． 15. 如图，在菱形中，过点B作于点E，作于点F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 16. 如图，已知菱形，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，点E是边的中点，过点C作的中线； （2）在图2中，，垂足为点M，过点C画出边上的高． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程有一个不小于5的根，求实数k的取值范围． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 图1是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图2所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）．已知． （1）当时，求千斤顶高的长度； （2）当从变为时，千斤顶升高了多少？ 19. 如图，将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点E为上一点，再将沿折叠，使点A落到上的点F处，若． （1）求证：是等边三角形； （2）求的长． 20. 定义：如果关于x的方程（，，，是常数）与（，，，是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是．请根据上述内容，解决以下问题： （1）直接写出方程的“对称方程”：________； （2）已知关于x的方程与互为“对称方程”． ①________，_______； ②求方程的解． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，点D为的中点，过点D作，交于点E，过点A作，交的延长线于点F，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）当，时，求四边形的面积； （3）当满足什么条件时，四边形是正方形？ 22. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向终点C运动，它们到达终点后分别停止运动． （1）点P运动的时间是_______秒，点Q运动的时间是_______秒； （2）几秒后，P，D两点的距离是P，Q两点距离的2倍？ （3）是否存在时间使得的面积是？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）若，求的长和的面积； （3）当线段与正方形的某条边所在直线的夹角是时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级练习（一） 数学 说明：1．范围：1.1~2.4． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义．含有一个未知数，且未知数的最高次为二次的整式方程是一元二次方程，据此即可解答． 【详解】解：A：，当时，方程不是一元二次方程； B：，含有分式，不是一元二次方程； C：，根据一元二次方程的定义，此方程为一元二次方程； D：，此方程为二元二次方程． 故选：C． 2. 对角线一定互相垂直平分的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 矩形、正方形 D. 菱形、正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据菱形、正方形的性质求解． 【详解】解：菱形的对角互相垂直且互相平分，正方形的对角线互相垂直且互相平分， 故选：D． 3. 一个等腰三角形两腰长分别是关于x的一元二次方程的两个根，则n的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据题意可得该一元二次方程有两个相等的实数根，再由求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两腰长相等， ∴该一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 解得， 故选：B． 4. 如图，已知在矩形中，于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】先利用矩形的性质得到，再直角三角形两个锐角互余得到，，然后根据，求得，再根据垂直的意义与直角三角形两个锐角互余得到，，从而可求得，再结合等边对等角，三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， 解得：， ， ，， ， 解得：， ， 解得：， 又∵四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形两个锐角互余，等边对等角，三角形的内角和定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 5. 用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式．根据一元二次方程的求根公式即可求解． 【详解】解：形如的一元二次方程， 当时， 其两根为， ∵一元二次方程的根为， ∴， 故选：C． 6. 如图，已知正方形的边长为4，点P是对角线上一点，于点，于点F，连接，．下列结论正确的是（ ） A. B. 四边形的周长为 C. D. 的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 故A不正确； ∵，，， ∴和为等腰直角三角形， ∴，， ∴四边形的周长 ， 故B错误； 连接，如图， ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 故C正确； ， ∴当取最小值时，取得最小值， ∵点P是对角线上一点， ∴当，即点P为对角线的中点时，的值最小， 此时， ∴的最小值为， 故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一元二次方程的一般形式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，将一元二次方程化为一般形式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用多项式乘以多项式，再移项、合并同类项，将一元二次方程化为一般形式． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 故答案为：． 8. 若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值是_______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的意义，已知方程的解求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．先根据一元二次方程根的意义，得到关于、的式子，再求出即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 9. 如图，在中，当______时，是矩形（填一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据对角线相等的平行四边形为矩形得出答案即可，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，是矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 已知关于x的一元二次方程（m为实数）有实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据一元二次方程的概念，一元二次方程根的判别式，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m为实数）有实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 11. 如图，在矩形中，，延长到点E，连接交于点G，点F为的中点，连接，若，则的长为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据矩形的性质求得，根据直角三角形的性质求得，从而可求得，根据勾股定理得到的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴是直角三角形， ∵F是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：（负值已舍去）， 故答案为：9． 12. 在平面直角坐标系O中，过原点O及点A(0，2) 、C(6，0)作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D 点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动 设移动时间为t秒，当t为______时，为直角三角形． 【答案】秒或2秒 【解析】 【详解】由题易知，B(6，2)，P(t，t)，Q(2t，0) 则BP2=(6-t)2+(2-t)2；BQ2=(6-2t)2+4；PQ2=2t2； 当△PQB为直角三角形时， ①BP2=BQ2+ PQ2时， (6-t)2+(2-t)2=(6-2t)2+4+2t2 解得t=2；t=0(舍去) ②BP2+BQ2= PQ2时， (6-t)2+(2-t)2+(6-2t)2+4=2t2 解得： ②BP2+PQ2=BQ2时， (6-t)2+(2-t)2+2t2= (6-2t)2+4 解得：t=0(舍去) 综上，t=或t=2 故答案为：秒或2秒 【点睛】掌握两点之间的距离，一元二次方程的解法，直角三角形的判定是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用配方法求解； （2）利用公式法求解． 【小问1详解】 解：移项，得， 配方，得， 即， 两边开方，得， 即，或， 解得：． 【小问2详解】 解：， ， 解得：． 14. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，求a的值． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程的定义，把代入求得或，再结合，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：把代入，得， ， 解得或． ， ， 的值为或． 15. 如图，在菱形中，过点B作于点E，作于点F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，为对角线， 是的角平分线． ，， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由菱形的性质可得，为对角线，即是的角平分线，再由角平分线的性质定理可得，最后证明即可得证； （2）由菱形的性质可得，再由平行线的性质计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ． ，即， ． 同理可得， ． 16. 如图，已知菱形，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，点E是边的中点，过点C作的中线； （2）在图2中，，垂足为点M，过点C画出边上的高． 【答案】（1）中线即为所求： （2） 高为所求作： 【解析】 【分析】（1）先作出图形，再利用菱形的性质证明即可； （2）先作出图形，再利用菱形的性质证明四边形是矩形即可． 【小问1详解】 解：如图，连结，交于点O，交于点， ∵四边形是菱形， ∴与互相平分， 即是的边上的中线， 又点E是边的中点， ∴为边上的中线， 连结并延长交于点， 则就是所求作的，过点C作的中线； 【小问2详解】 如图，∵四边形是菱形， ∴与互相平分，即， ∵， ∴， 连结并延长交于点，连结， ∵四边形是菱形， ∴四边形是中心对称图形，为对称中心， ∴与为对应点， ∴， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 即为边上的高， 【点睛】本题考查了画三角形的高，利用矩形的性质证明，利用菱形的性质证明，无刻度直尺作图,画三角形的高等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程有一个不小于5的根，求实数k的取值范围． 【答案】（1） 证明：， ， ∴该方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）证出根的判别式 即可； （2）将k视为常数，求出方程的两个根，即可求出k的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ∵方程有一个不小于5的根， ， 解得． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 图1是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图2所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）．已知． （1）当时，求千斤顶高的长度； （2）当从变为时，千斤顶升高了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据菱形的性质得出，平分，再证明是等边三角形，从而可根据等边三角形的性质得出； （2）求出时，的长，结合（1）求得的的长，求出千斤顶升高的长度即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，交于点O． 由题意可知，四边形是菱形， ， 平分． 当时， 是等边三角形， ． 【小问2详解】 当时． 平分，， ． 在中，， ， ， ∴千斤顶升高了． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，含度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，利用菱形的性质求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 19. 如图，将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点E为上一点，再将沿折叠，使点A落到上的点F处，若． （1）求证：是等边三角形； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵长方形纸片沿对折， 垂直平分， ． 沿折叠， ，，， ， 是等边三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据折叠的性质，得出垂直平分，再根据垂直平分得到，再根据折叠的性质，，，从而可得，于是可得出是等边三角形； （2）先根据等边三角形的性质得到，，从而可得，再根据矩形，结合折叠的性质，得到，从而可得，再利用勾股定理求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等边三角形， ， ． ∵四边形是矩形， ， 由折叠知， ， 由勾股定理得， ， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，矩形与折叠问题，等边三角形的性质，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 20. 定义：如果关于x的方程（，，，是常数）与（，，，是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是．请根据上述内容，解决以下问题： （1）直接写出方程的“对称方程”：________； （2）已知关于x的方程与互为“对称方程”． ①________，_______； ②求方程的解． 【答案】（1） （2）①， ②， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，“对称方程”的定义，熟练掌握“对称方程”的定义是解此题的关键． （1）根据“对称方程”的定义即可得解； （2）①根据“对称方程”的定义即可得解；②将，代入，得，再解方程即可得解． 【小问1详解】 解：方程的“对称方程”； 【小问2详解】 解：①由，移项可得． 由互为“对称方程”的定义可得，，， 解得，． ②将，代入，得， 解方程得，． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，点D为的中点，过点D作，交于点E，过点A作，交的延长线于点F，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）当，时，求四边形的面积； （3）当满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】（1） 解：四边形是菱形．理由如下： ∵， ． ∵点D为的中点， ． 在和中 ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ，交的延长线于点F， ， ∴四边形是菱形． （2） （3）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定、角平分线的性质、正方形的判定等知识，证明是解题的关键． （1）由得，而即可根据“”证明得，则四边形是平行四边形，因为，所以四边形是菱形； （2）先根据菱形的性质、等腰三角形的判定与性质可证，即四边形的面积倍的面积，再求得的面积即可解答； （3）当时，四边形是正方形，由，点C与点E重合，则，所以当时，四边形是正方形，据此即可解得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，四边形是菱形， ， ， ∵，， ∴, ∵, ∴， ∴四边形的面积倍的面积． ，， 的面积， ∴四边形的面积． 【小问3详解】 解：∵四边形是菱形， ∴当时，四边形是正方形． ， ∴点C与点E重合， ， ∴当满足时，四边形是正方形（答案不唯一）． 22. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向终点C运动，它们到达终点后分别停止运动． （1）点P运动的时间是_______秒，点Q运动的时间是_______秒； （2）几秒后，P，D两点的距离是P，Q两点距离的2倍？ （3）是否存在时间使得的面积是？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5；8 （2）3秒或秒 （3）存在；2秒或5.6秒 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，再根据运动时间路程速度计算即可得解； （2）设t秒后，P，D两点的距离是P，Q两点距离的2倍，则，从而可得，由矩形的性质并结合勾股定理可得，．由题意可得，，则，再分两种情况：①时，②时，分别求解即可； （3）设t秒后，的面积是．分两种情况：①时，；②时．点P运动到点B停，分别计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，， ∴， ∵点P从点A出发沿以的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向终点C运动， ∴点P运动的时间是秒，点Q运动的时间是秒； 【小问2详解】 解：设t秒后，P，D两点的距离是P，Q两点距离的2倍， ，即． ∵四边形是矩形， ， ，． 由题意可得：，， ∴， ①时．， ， 解得，（不符合题意，舍去）． ； ②时． 时，点P运动到点B停止， ． ， ． ∵点Q从点B出发沿以的速度向终点C运动， ． 综上所述，3秒或秒后，P，D两点的距离是P，Q两点距离的2倍． 【小问3详解】 解：存在．求值如下： 设t秒后，的面积是． ①时． ， ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． ； ②时． 时，点P运动到点B停止， ， 解得． 综上所述，当t的值为2或5.6秒时，的面积是． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）若，求的长和的面积； （3）当线段与正方形的某条边所在直线的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】（1） 证明：如图1，过点E作于点于点Q． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ． ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴． 在和中 ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）；1 （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，，从而可得 ，求得，再根据矩形的性质得到，从而可利用证明，根据全等三角形的性质可得，从而可得矩形是正方形． （2）先根据正方形的性质可得， ，从而可得是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求得，接着利用证明，根据全等三角形的性质可得，从而可得．再证明四边形是矩形，根据矩形的性质可得，再利用勾股定理求得，然后求得，再根据三角形面积公式求解即可； （3）分与（或）的夹角为、与（或）的夹角为两种情形，分别求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，过点G作交延长线于点H． 由正方形的性质可得， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，即， ∴． 由（1）可得， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴的面积． 【小问3详解】 ①当与（或）的夹角为时，点F在边上，，如图3， 则． 在四边形中，由四边形内角和定理得； ②当与（或）的夹角为时，点F在的延长线上，，与交于点H，如图4． ∵，， ∴． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质综合（或），勾股定理，四边形的内角和定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $