精品解析：广西北海市第一中学2025-2026学年上学期10月月考八年级数学试卷

2025-2026学年第一学期八年级第一次学情了解（数学） （考试形式：闭卷考试时间：90分钟满分：120分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题4个选项中只有一项是符合要求的） 1. 将多项式进行因式分解，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 对任意整数n，都能（ ） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 6. 若分式无意义，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 7. 一个纳米粒子的直径是米，用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 是分式方程的解，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 9. 已知，那么a，b，c之间大小关系是（　　） A. B. C. D. 10. “五一”前夕，某校社团进行爱心义卖活动，先用800元购进第一批康乃馨，包装后售完，接着又用400元购进第二批康乃馨，已知第二批所购数量是第一批所购数量的，且康乃馨的单价比第一批的单价多1元，设第一批康乃馨的单价是x元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（ ） A. 用全部7块纸板 B. 加上3块型纸板 C. 拿掉2块型纸板 D. 加上1块型纸板 12. 已知，， 则P与Q 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分、共12分．） 13. 因式分解：__________ 14. 若，则的值为__________． 15. 计算：______． 16. 已知，则的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 解分式方程： （1）； （2）． 20. 某超市用5000元购进一批新品种葡萄进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金第二次购进该品种葡萄，但第二次的进货价比试销时每千克多了0.5元，第二次购进葡萄数量是试销时的2倍． （1）求试销时该品种葡萄的进货价是每千克多少元？ （2）求两次共购进葡萄多少千克？ 21. 如图，在一块边长为米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪． （1）用代数式表示草坪的面积． （2）利用因式分解计算当，时，草坪的面积． 22. 阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ∵， ∴当时，的值最小，最小值为0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为1984， ∴代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． （1）根据上面材料学习的方法进行下列题目的分解因式： ①； ② （2）若，求的最小值； 23. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如． 解决下列问题： （1）分式是　　（填“真分式”或“假分式”）； （2）将假分式化为带分式； （3）先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期八年级第一次学情了解（数学） （考试形式：闭卷考试时间：90分钟满分：120分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题4个选项中只有一项是符合要求的） 1. 将多项式进行因式分解，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 【分析】A. ，左边为乘积形式，右边为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B. ，左边为，正确分解应为，而选项B的分解结果为，与原式不等，故本选项不符合题意； C. ，右边为与的和，未形成整式的积，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D. ，左边为完全平方式，正确分解为两个的乘积，符合因式分解的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．根据因式分解的方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，根据分母中含有字母的式子是分式进行解答即可． 【详解】在，，，中，是分式的是， 故选：D． 5. 对任意整数n，都能（ ） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式因式分解，根据平方差公式，分解因式后判断，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴故一定能被3整除， 故选：A． 6. 若分式无意义，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件．根据分式无意义，分母等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意可得出， 解得：， 故选：D． 7. 一个纳米粒子的直径是米，用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：米用科学记数法表示为：米． 故选：A． 8. 是分式方程的解，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解和解分式方程，熟知使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解题的关键．先化简得，再把代入分式方程，求出的值即可． 【详解】解：， ， ， 是分式方程的解， ， 解得． 经检验，则，是原分式方程的解， 故选：B． 9. 已知，那么a，b，c之间大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂和乘方运算，有理数比较大小，先根据相关运算法则，进行计算后，再比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴； 故选C． 10. “五一”前夕，某校社团进行爱心义卖活动，先用800元购进第一批康乃馨，包装后售完，接着又用400元购进第二批康乃馨，已知第二批所购数量是第一批所购数量的，且康乃馨的单价比第一批的单价多1元，设第一批康乃馨的单价是x元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设第一批康乃馨的单价是x元，则第二批康乃馨的单价是元，根据第二批所购数量是第一批所购数量的三分之一列出方程即可． 【详解】设第一批康乃馨的单价是x元，则第二批康乃馨的单价是元， 根据题意， 故选：A 11. 如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（ ） A. 用全部7块纸板 B. 加上3块型纸板 C. 拿掉2块型纸板 D. 加上1块型纸板 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，根据各选项，列出代数式，进行因式分解即可． 【详解】解：A、用全部7块纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； B、加上3块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； C、拿掉2块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； D、加上1块型纸板，总面积为：，即可以拼出一个长为，宽为的大长方形； 故选D． 12. 已知，， 则P与Q 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先利用分式的运算法则化简、，再计算与的差，最后分类讨论得结论． 【详解】解析：， ， ∵， ∴时，， 即； 当且时，， 即． 故无法确定P 与 Q的大小关系， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分、共12分．） 13. 因式分解：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，先得到，进而因式分解得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的加法运算．先通分，再利用同分母分式的加法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 16. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的通分，分式的基本性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．由已知方程 出发，通过合并分式和交叉相乘，得到，然后对进行通分，转化为，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． （1）利用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算． （1）根据分式的乘方法则计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）无解． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，特别是注意验根是解题的关键． （1）两边同时乘以，去分母转化为整式方程，求解即可； （2）两边同时乘以，去分母转化为整式方程，求解即可． 【小问1详解】 解：去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为； 【小问2详解】 解：去分母得：， 去括号得：， 即， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根，故分式方程无解． 20. 某超市用5000元购进一批新品种葡萄进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金第二次购进该品种葡萄，但第二次的进货价比试销时每千克多了0.5元，第二次购进葡萄数量是试销时的2倍． （1）求试销时该品种葡萄的进货价是每千克多少元？ （2）求两次共购进葡萄多少千克？ 【答案】（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克5元； （2）3000 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用． （1）设试销时该品种葡萄的进货价是每千克元，则实际进货价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题意列式求解即可． 【小问1详解】 解：设试销时该品种葡萄的进货价是每千克元，则实际进货价为元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：试销时该品种苹果的进货价是每千克5元； 【小问2详解】 （千克） ∴两次共购进葡萄3000千克． 21. 如图，在一块边长为米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪． （1）用代数式表示草坪的面积． （2）利用因式分解计算当，时，草坪的面积． 【答案】（1）平方米 （2）平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）正方形空地面积减去四个小正方形面积求出草坪的面积， （2）因式分解后将a与b的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意，草坪的面积为平方米． 【小问2详解】 当，时， 草坪的面积为平方米 22. 阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ∵， ∴当时，的值最小，最小值为0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为1984， ∴代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． （1）根据上面材料学习的方法进行下列题目的分解因式： ①； ② （2）若，求的最小值； 【答案】（1）①；② （2）的最小值28 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式以及平方差公式，准确理解题意的配方法是解题的关键． （1）①根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可；②根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可； （2）根据题例进行配方，根据平方大于等于0的性质进行判断即可． 【小问1详解】 解：① ； ② ． 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴当时，的值最小，最小值为0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为28， ∴的最小值是28． 23. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如． 解决下列问题： （1）分式是　　（填“真分式”或“假分式”）； （2）将假分式化为带分式； （3）先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）真分式 （2） （3）化简得；当时，该式的值为整数． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简及分式的分离整数法，理解材料并掌握分式的运算是解题关键． （1）根据真分式的定义判断即可； （2）根据材料给出的方法运算即可； （3）先化简，再将分式化为带分式，最后再求解，注意分式有意义的条件． 【小问1详解】 解：因为分式的分子次数0小于分母次数1， 所以分式是真分式， 故答案为：真分式； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ∵是整数， ∴， 解得：或， ∵，，或3时，原分式无意义， ∴， 即当时，该式的值为整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $