第四章 基本平面图形题型总结培优讲义（线段、角度压轴题）2025-2026学年北师大版七年级数学上册

北师大版七年级上第四章 基本平面图形题型总结培优讲义（线段、角度压轴题） 【题型一】与线段、射线、直线相关的压轴题 【例1】（2023秋•宁江区期末）已知：如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点， （1）若线段AB＝a，CE＝b，|a﹣15|+（b﹣4.5）2＝0，求a，b； （2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE； （3）如图2，若AB＝15，AD＝2BE，求线段CE． 【例2】（2023秋•潮南区期末）如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，MB＝10cm，点M，N分别为AC，BC的中点． （1）求线段BC，MN的长； （2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝a cm，M，N分别是线段AC，BC的中点，请画出图形，并用a的式子表示MN的长度． 【变式1】（德城区期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点． （1）求线段MN的长度； （2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度； （3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？ 【变式2】（长春期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒． （1）当t＝2时，①AB＝　4　 cm．②求线段CD的长度． （2）在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由． 【题型二】与角度有关的压轴题 【例1】（2024秋•碑林区校级月考）如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD． （1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，∠MON＝　 　 °； （2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数； （3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜120），则n＝　 　 时，∠MON＝2∠BOC． 【例2】（2024秋•雁塔区校级月考）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． （1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　 　 ． （2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ （3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【变式1】（2024秋•宿城区期末）如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°） （1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝　 　 °； （2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数； （3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值． 【变式2】（2024秋•西峡县期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的n+1分位线．例如：如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的5分位线；∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的5分位线． （1）若∠AOB＝45°，OP为∠AOB的3分位线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝　 　 ． （2）如图2，点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，OP，OQ分别为∠AOC与∠BOC的4分位线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）． ①已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝　 　 ． ②若∠AOC＝α，当α变化时，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． （3）如果点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，已知射线OM、ON分别为∠AOC与∠BOC的5分位线，且∠MON＝87°，请直接写出∠AOC的度数． 【变式3】（2024秋•思明区校级期末）【阅读理解】 射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线． 【知识运用】 （1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝　 　 °； （2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止； ①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②当射线OC、OD相遇后，射线OC、OD中恰好有一条射线是另一条射线的友好线，求此时t的值． 【课后练习】 1．（2023秋•湖北期末）【问题引入】对于数轴上的线段AB和点C（点C不在线段AB上），给出如下定义：P为线段AB上任意一点，我们把C，P两点间距离的最小值称为点C关于线段AB的“靠近距离”，记作d1；把C，P两点间距离的最大值称为点C关于线段AB的“远离距离”，记作d2． 已知点A表示的数为﹣5，点B表示的数为2． 若点C表示的数为3，如图，则d1＝1，d2＝8． 【问题解决】 （1）若点C表示的数为﹣7，则d1＝　 　 ，d2＝　 　 ； （2）①若点C表示的数为m，d1＝3，则m的值为 　 　 ； ②若点C表示的数为n，d2＝12，则n的值为 　 　 ； 【问题迁移】 （3）若点E和点F为数轴上的两点（点E和点F均不在线段AB上），点E表示的数为x，点F表示的数为x+2，t1表示点E关于线段AB的“靠近距离”，t2表示点F关于线段AB的“远离距离”．若t2是t1的3倍，求x的值． 2．（2024秋•巨野县期末）数形结合A，B，C三个住宅区分别住有某公司职工30人、15人、10人，且这三个住宅区在一条大道上（A，B，C三点共线），如图所示，已知AB＝100m，BC＝200m，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此区间内设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（　　） A．点A B．点B C．点A，B之间 D．点B，C之间 3．（2023秋•锦江区校级期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M1N1+M2N2+…+M10N10＝（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•惠州期末）如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且a、b满足|a+8|+|b﹣4|＝0 （1）点A表示的数为　 　 ，点B表示的数为　 　 （2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时运动，并且在点C处相遇，试求点C所表示的数． （3）在P、Q运动的过程中，当P、Q两点的距离为2个单位长度时，求点Q表示的数． 5．（2024秋•秦都区期末）如图，点C，E是线段AB上两点，点D为线段AB的中点，AB＝6，CD＝1． （1）求BC的长； （2）若CE＝3AE，求AE的长． 6．（2023秋•广汉市期末）【新知理解】 如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点　 　 这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝　 　 cm； 【解决问题】 （3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由 7．（2024秋•自贡校级期末）如图，A，B，C，D是直线l上的四个点，M，N分别是AB，CD的中点． （1）如果MB＝2cm，NC＝1.8cm，BC＝5cm，则AD的长为　 　 cm； （2）如果MN＝10cm，BC＝6cm，则AD的长为　 　 cm； （3）如果MN＝a，BC＝b，求AD的长，并说明理由． 8．（和平区期末）如图，点C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝13cm，BC＝3cm． （1）图中共有　 　 条线段； （2）求AC的长； （3）若点E在直线AD上，且EA＝4cm，求BE的长． 9．（2023秋•西岗区期末）如图，点B、C是线段AD上的两点，点M和点N分别在线段AB和线段CD上． （1）当AD＝8，MN＝6，AM＝BM，CN＝DN时，BC＝　 　 ； （2）若AD＝a，MN＝b ①当AM＝2BM，DN＝2CN时，求BC的长度（用含a和b的代数式表示） ②当AM＝nBM，DN＝nCN（n是正整数）时，直接写出BC＝　 　 ．（用含a、b、n的代数式表示） 10．（2024秋•大理州期末）如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点． （1）若AM＝1，BC＝4，求MN的长度． （2）若AB＝6，求MN的长度． 11．（2024秋•铁岭县期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）． （1）当t＝2时，①AB＝　 　 cm．②求线段CD的长度． （2）①点B沿点A→D运动时，AB＝　 　 cm； ②点B沿点D→A运动时，AB＝　 　 cm．（用含t的代数式表示AB的长） （3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化，若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由． 12．（2024秋•任丘市期末）如图，线段AB＝21，BC＝15，点M是AC的中点． （1）求线段AM的长度； （2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2．求MN的长． 13．（2024秋•嵊州市期末）如图，点C、D、E在线段AB上，且满足AC＝CD＝DB，点E是线段DB的中点，若线段CE＝6cm，求线段AB的长． 14．（2024秋•安阳期末）如图，B，C两点把线段AD分成2：4：8三部分，点E是AD的中点，CD＝16，求EC的长． 15．（丰都县期末）大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　 　 ；数轴上表示﹣3和15的两点之间的距离是　 　 ； （2）点A、B在数轴上分别表示数x和﹣1． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果|AB|＝2，求x值． 16．（桥东区校级期中）观察图，回答下列问题： （1）在图①中有几个角？ （2）在图②中有几个角？ （3）在图③中有几个角？ （4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？ 17．（2024秋•鹿寨县期末）某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120°，他做完作业后还是6点多钟，且时针和分针的夹角还是120°，此同学做作业大约用了（　　） A．40分钟 B．42分钟 C．44分钟 D．46分钟 18．（沧州期末）如图，是小明家（图中点O）和学校所在地的简单地图，已知OA＝2cm，OB＝2.5cm，OP＝4cm，C为OP的中点． ①请用距离和方向角表示图中商场、学校、公园、停车场分别相对小明家的位置； ②若学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 19．（2024秋•巨野县期末）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝60°，∠BOE∠BOC，∠BOD∠AOB，则∠DOE＝ 　 　 °．（用含n的代数式表示） 20．（2024秋•渭滨区期末）如图所示，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，求∠MON的度数． 21．（2024秋•和平区校级期末）已知∠AOB＝110°，∠COD＝30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角） （1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数； （2）按以下条件画图并完成探究： 探究一：当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜70）时，∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； 探究二：当∠COD从图1所示位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜140，且n≠30，n≠110）时，是否存在n使得∠AOD+∠EOF＝5∠COD，若存在请求出n的值，若不存在，请说明理由． 22．（2024秋•市中区校级期末）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转． （1）试说明：∠DPC＝90°； （2）如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF． （3）如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/s．同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/s，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 23．（2023秋•中原区校级期末）如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…． 例如：当α＝30°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4＝120°； 当α＝20°时，OA1，OA2，OA3，OA4，OA5的位置如图3所示， 其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4＝80°，而OA5恰好与OA2重合． 解决如下问题： （1）若α＝35°，在图4中借助量角器画出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是 　 　 ； （2）若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3，OA4并求出α的值； （3）若α＜36°，且∠A2OA4＝20°，则对应的α值是 　 　 ． 24．（大竹县校级期末）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． （1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝　 　 ； （2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数； （3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC∠AOM，求∠NOB的度数． 25．（鼓楼区校级月考）（1）已知射线OA，从点O处再引两射OB、OC，使∠AOB＝60°，∠BOC＝20°．求∠AOC的度数． （2）已知∠AOB＝30°，∠BOC＝24°，∠AOD＝15°，锐角∠COD的度数是　 　 ． 26．（花都区期末）将一副三角板ABC和三角板BDE（∠ACB＝∠DBE＝90°，∠ABC＝60°）按不同的位置摆放． （1）如图1，若边BD、BA在同一直线上，则∠EBC＝　 　 ； （2）如图2，若∠EBC＝165°，那么∠ABD＝　 　 ； （3）如图3，若∠EBC＝120°，求∠ABD的度数． 27．（2025春•绥棱县期末）尺规作图：已知∠AOB，求作∠A′O′B′．使∠A′O′B′＝∠AOB．（保留作图痕迹，写出作法） 28．（长宁区校级期末）如图1，已知∠AOB＝180°，射线ON，尺规作出∠BON的平分线OC，∠AON的平分线OD． （1）如果∠AON＝52°，射线OA、OB分别表示从点O出发东、西两个方向，那么射线OD表示 　 　 方向，射线OC表示 　 　 方向． （2）如果将∠AOB沿着ON剪开分为两个角，再将∠AON逆时针旋转n°，到图2中∠AON′的位置，求此时∠COD＝　 　 °．（用n表示） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级上第四章 基本平面图形题型总结培优讲义（线段、角度压轴题） 【题型一】与线段、射线、直线相关的压轴题 【例1】（2023秋•宁江区期末）已知：如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点， （1）若线段AB＝a，CE＝b，|a﹣15|+（b﹣4.5）2＝0，求a，b； （2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE； （3）如图2，若AB＝15，AD＝2BE，求线段CE． 【考点】两点间的距离；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．版权所有 【分析】（1）由|a﹣15|+（b﹣4.5）2＝0，根据非负数的性质即可推出a、b的值； （2）根据（1）所推出的结论，即可推出AB和CE的长度，根据图形即可推出AC＝7.5，然后由AE＝AC+CE，即可推出AE的长度，由D为AE的中点，即可推出DE的长度； （3）首先设EB＝x，根据线段中点的性质推出AD、DE关于x的表达式，即AD＝DE＝2x，由图形推出AD+DE+BE＝15，即可得方程：x+2x+2x＝15，通过解方程推出x＝3，即BE＝3，最后由BC＝7.5，即可求出CE的长度． 【解答】解：（1）∵|a﹣15|+（b﹣4.5）2＝0， ∴|a﹣15|＝0，（b﹣4.5）2＝0， ∵a、b均为非负数， ∴a＝15，b＝4.5， （2）∵点C为线段AB的中点，AB＝15，CE＝4.5， ∴ACAB＝7.5， ∴AE＝AC+CE＝12， ∵点D为线段AE的中点， ∴DEAE＝6， （3）设EB＝x，则AD＝2BE＝2x， ∵点D为线段AE的中点， ∴AD＝DE＝2x， ∵AB＝15， ∴AD+DE+BE＝15， ∴x+2x+2x＝15， 解方程得：x＝3，即BE＝3， ∵AB＝15，C为AB中点， ∴BCAB＝7.5， ∴CE＝BC﹣BE＝7.5﹣3＝4.5． 【例2】（2023秋•潮南区期末）如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，MB＝10cm，点M，N分别为AC，BC的中点． （1）求线段BC，MN的长； （2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝a cm，M，N分别是线段AC，BC的中点，请画出图形，并用a的式子表示MN的长度． 【考点】两点间的距离．版权所有 【分析】（1）根据“点M是AC的中点”，先求出MC的长度，再利用BC＝MB﹣MC，CN＝12BC，MN＝CM+CN即可求出线段BC，MN的长度． （2）先画图，再根据线段中点的定义得MCAC，NCBC，然后利用MN＝MC﹣NC得到MNa cm． 【解答】解：（1）∵M是AC的中点， ∴MCAC＝3cm， ∴BC＝MB﹣MC＝7cm， 又N为BC的中点， ∴CNBC＝3.5cm， ∴MN＝MC+NC＝6.5cm； （2）如图1（或图2）： ∵M是AC的中点， ∴CMAC， ∵N是BC的中点， ∴CNBC， ∴MN＝CM﹣CNACBC（AC﹣BC）a cm． 【变式1】（德城区期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点． （1）求线段MN的长度； （2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度； （3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？ 【考点】两点间的距离．版权所有 【分析】（1）（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：（1）∵线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点， ∴CMAC＝5厘米，CNBC＝3厘米， ∴MN＝CM+CN＝8厘米； （2）∵点M，N分别是AC，BC的中点， ∴CMAC，CNBC， ∴MN＝CM+CNACBCa； （3）设运动t秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点． ①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4； ②当5＜t时，P为线段CQ的中点，2t﹣10＝16﹣3t，解得t； ③当t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t＝3t﹣16，解得t； ④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4（舍）， 综上所述：t＝4或或． 【变式2】（长春期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒． （1）当t＝2时，①AB＝　4　 cm．②求线段CD的长度． （2）在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由． 【考点】两点间的距离．版权所有 【分析】（1）①根据AB＝2t即可得出结论；②先求出BD的长，再根据C是线段BD的中点即可得出CD的长； （2）直接根据中点公式即可得出结论． 【解答】解：（1）①∵B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动， ∴当t＝2时，AB＝2×2＝4cm． 故答案为：4； ②∵AD＝10cm，AB＝4cm， ∴BD＝10﹣4＝6cm， ∵C是线段BD的中点， ∴CDBD6＝3cm； （2）不变； ∵AB中点为E，C是线段BD的中点， ∴EBAB，BCBD， ∴EC＝EB+BC（AB+BD） AD10＝5cm． 【题型二】与角度有关的压轴题 【例1】（2024秋•碑林区校级月考）如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD． （1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，∠MON＝　 　 °； （2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数； （3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜120），则n＝　 　 时，∠MON＝2∠BOC． 【考点】角的计算．版权所有 【分析】（1）根据∠MON＝∠BOM+∠BON计算即可； （2）分两种情形分别计算即可； （3）分两种情形分别计算即可； 【解答】解：（1）由题意；∠MON∠AOB∠COD＝80°+20°＝100°， 故答案为100； （2）①当0＜n＜60°时，如图1中， ∠AOC＝120°﹣n°，∠BOD＝60°﹣n°， ∴∠MON＝∠MOC+∠COB+∠BON（120°﹣n°）+n°（60°﹣n°）＝100°， ②当60°＜n＜120°时，如图2中， ∠AOC＝120°﹣n°，∠COD＝60°，∠BOD＝n°﹣60°， ∴∠MON＝∠MOC+∠COD+∠DON（120°﹣n°）+60°（n°﹣60°）＝100°． 综上所述，∠MON＝100°； （3）①0°＜n＜60°时，∠BOC＝n°，∠MON＝2n°， ∠MON（120°+n°）+60°（60°+n°）＝100°， ∴n＝50°． ②当60°＜n＜120°时，∠AOC＝360°﹣（120°+n°）＝240°﹣n°，∠BOD＝60°+n°， ∴∠MON＝360°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠BON＝360°（240°﹣n°）﹣120°（60°+n°）＝140° ∴n＝70°． 综上所述，n的值为50°或70°． 故答案为50°或70°． 【例2】（2024秋•雁塔区校级月考）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． （1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　20°　 ． （2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ （3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【考点】角的计算．版权所有 【分析】（1）根据“内半角”的定义，可求出∠COD的度数，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD，可得出结论； （2）由旋转可分别求出∠BOC和∠AOD的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等式，即可求出α的值； （3）由旋转可知，分四种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间． 【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的内半角， ∴∠COD∠AOB＝35°， ∵∠AOC＝15°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣15°﹣35°＝20°； 故答案为：20°． （2）如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝α， ∴∠BOC＝63°﹣α，∠AOD＝63°+α， ∵∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即63°﹣α， 解得α＝21°， 当旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角； （3）能，理由如下， 由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝3t°；根据题意可分以下四种情况： ①当射线OC在∠AOB内，如图4， 此时，∠BOC＝30°﹣3t°，∠AOD＝30°+3t°， 则∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即30°﹣3t°（30°+3t°）， 解得t（秒）； ②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6， 如图5，此时，∠BOC＝3t°﹣30°，∠AOD＝30°+3t°， 则∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即3t°﹣30°（30°+3t°）， 解得t＝30（秒）； 如图6，此时，∠BOC＝360°﹣3t°+30°，∠AOD＝360°﹣3t°﹣30°， 则∠AOD是∠BOC的内半角， ∴∠AOD∠BOC，即360°﹣3t°﹣30°（360°﹣3t°+30°）， 解得t＝90（秒）； 综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒． 【变式1】（2024秋•宿城区期末）如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°） （1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝　100　 °； （2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数； （3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值． 【考点】角的计算．版权所有 【分析】（1）当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，可得∠MON＝∠MOB+∠BON，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），分两种情况画图：①当0＜n＜60时，如（图1），②当60＜n＜120时，如（图2），结合（1）进行角的和差计算即可； （3）根据∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），∠MON＝2∠BOC，分两种情况画图：①当0＜n＜60时，如图3，②当60＜n＜180时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【解答】解：（1）∵∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD， ∴∠MOC∠AOC，∠DON∠BOD， 当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2， ∴∠MON＝∠MOB+∠BON ∠AOCBOD 120°60° ＝80°+20° ＝100°； 故答案为：100°； （2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60）， ①当0＜n＜60时，如（图1）， ∵∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°， ∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣n°， ∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON （120°﹣n°）+n°（60°﹣n°） ＝100°； ②当60＜n＜120时，如（图2）， ∵∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°， ∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝n°﹣60°， ∴∠MON＝∠MOC+∠DOC+∠DON （120°﹣n°）+60°（n°﹣60°） ＝100°； 综上所述：∠MON的度数为100°； （3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），∠MON＝2∠BOC， ①当0＜n＜60时，如图3， ∵∠BOC＝n°， ∴∠MON＝2∠BOC＝2n°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°， ∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°， ∴∠MON＝∠MOC+∠DOC﹣∠DON （120°+n°）+60°（n°+60°） ＝100°， ∴2n°＝100° ∴n＝50； ②当60＜n＜120时，如图4， ∵∠BOC＝n°， ∴∠MON＝2∠BOC＝2n°， ∴∠AOC＝360°﹣（∠AOB+∠BOC）＝360°﹣（120°+n°）＝240°﹣n°， ∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°， ∴∠MON＝360°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠BON ＝360°（240°﹣n°）﹣120°（60°+n°） ＝140°， ∴2n°＝140°， ∴n＝70； 当120＜n＜180时，如图5， ∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣120°﹣n°﹣60°＝180°﹣n°， ∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝180°﹣n°+60°＝240°﹣n°，∠BOD＝∠AOD+∠AOB＝180°﹣n°+120°＝300°﹣n°， ∵∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD， ∴∠AOM＝80°n，∠BON＝100°n， ∴∠MON＝∠BOM﹣∠BON ＝（∠AOB+∠AOM）﹣∠BON ＝（120°+80°n）﹣（100°n） ＝100°， ∴2n°＝100°， ∴n＝50； 综上所述：n的值为50或70． 【变式2】（2024秋•西峡县期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的n+1分位线．例如：如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的5分位线；∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的5分位线． （1）若∠AOB＝45°，OP为∠AOB的3分位线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝　30°　 ． （2）如图2，点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，OP，OQ分别为∠AOC与∠BOC的4分位线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）． ①已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝　135°　 ． ②若∠AOC＝α，当α变化时，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． （3）如果点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，已知射线OM、ON分别为∠AOC与∠BOC的5分位线，且∠MON＝87°，请直接写出∠AOC的度数． 【考点】角的计算．版权所有 【分析】（1）根据题意可写出∠BOP＝2∠POA，且∠AOB＝45°，进而求得∠BOP； （2）根据题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，①因为∠AOC＝120°，可求得∠POQ＝135°； ②写出∠POQ用α表达的表达式，可以看出α的大小并不影响∠POQ的大小，即∠POQ的大小并不会随着∠AOC的大小变化而变化； （3）因为OM、ON的位置不确定，所以分4种情况讨论，第一种情况又分2种即：∠AOM＝4∠COM，时，∠BON＝4∠CON或4∠BON＝∠CON，第二种情况又分2种即：4∠AOM＝∠COM，时，∠BON＝4∠CON或4∠BON＝∠CON，再利用等式∠AOM+∠MON+∠BON＝180°求解． 【解答】解：（1）∵由题可得：∠BOP＝2∠POA，且∠AOB＝45° ∴∠BOP＝30°，∠POA＝15°． （2）∵由题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ ①当∠AOC＝120°时，可求得∠COP＝90°，∠AOP＝30°，∠BOC＝180°﹣120°＝60°，∠COQ＝45°，∠BOQ＝15° 所以∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°． ②不会发生变化．当∠AOC＝α时， （3）设∠MOC＝α，则∠NOC＝87°﹣α ∵射线OM、ON分别是∠AOC与∠BOC的5分位线 ∴∠COM＝4∠AOM，∠BON＝4∠CON ∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180° ∵OM、ON的位置不确定，所以分4种情况讨论 第一种情况又分2种即：∠AOM＝4∠COM，时，∠BON＝4∠CON或4∠BON＝∠CON， ①当∠BON＝4∠CON时 设∠MOC＝α，则∠NOC＝87°﹣α，∠AOM＝4α，∠BON＝4（87°﹣α） 又∵∠AOM+∠MON+∠BON＝180° ∴4α+87°+4（87°﹣α）＝180° ∴α＝任意解，不符合实际情况，舍去 ②当4∠BON＝∠CON时 设∠MOC＝α，则∠NOC＝87°﹣α，∠AOM＝4α，∠BON（87°﹣α） 又∵∠AOM+∠MON+∠BON＝180° ∴4α+87°（87°﹣α）＝180° ∴α＝19° ∴∠AOC＝5α＝5×19°＝95° 第二种情况又分2种即：4∠AOM＝∠COM，时，∠BON＝4∠CON或4∠BON＝∠CON ③当∠BON＝4∠CON时 设∠MOC＝α，则∠AOMα，∠CON＝87°﹣α，∠BON＝4（87°﹣α） 又∵∠AOM+∠MON+∠BON＝180° ∴α+87°+4（87°﹣α）＝180° ∴α＝68° ∴∠AOCα+α68°+68°＝85° ④当4∠BON＝∠CON时 设∠MOC＝α，则∠AOMα，∠CON＝87°﹣α，∠BON（87°﹣α） 又∵∠AOM+∠MON+∠BON＝180° ∴α+87°（87°﹣α）＝180° ∴α＝任意解，不符合实际情况，舍去 综上所述：∠AOC＝85°或95°． 【变式3】（2024秋•思明区校级期末）【阅读理解】 射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线． 【知识运用】 （1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝　40　 °； （2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止； ①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； ②当射线OC、OD相遇后，射线OC、OD中恰好有一条射线是另一条射线的友好线，求此时t的值． 【考点】角的计算．版权所有 【分析】（1）根据新定义直接可得答案； （2）①分两种情况：在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，即可解得答案； ②分2种情况：若OD是OC的友好线，3t°+2t°﹣180°2t°，若OC是OD的友好线，3t°+2t°﹣180°3t°，解方程可得答案． 【解答】解：（1）∵射线OM是射线OA的友好线， ∴∠AOM∠AOB＝40°， 故答案为：40； （2）射线OD与射线OA重合时，t＝60（秒）， ①存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，有两种情况： 在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°， ∴t＝28； 在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°， ∴t＝44， 综上所述，当t为28秒或44秒时，∠COD的度数是40°； ②若OD是OC的友好线，则∠COD∠AOC， ∴3t°+2t°﹣180°2t°， ∴t， 若OC是OD的友好线，则∠COD∠BOD， ∴3t°+2t°﹣180°3t°， ∴t＝45； 综上所述，当t为秒或45秒时，射线OC、OD中恰好有一条射线是另一条射线的友好线． 【课后练习】 1．（2023秋•湖北期末）【问题引入】对于数轴上的线段AB和点C（点C不在线段AB上），给出如下定义：P为线段AB上任意一点，我们把C，P两点间距离的最小值称为点C关于线段AB的“靠近距离”，记作d1；把C，P两点间距离的最大值称为点C关于线段AB的“远离距离”，记作d2． 已知点A表示的数为﹣5，点B表示的数为2． 若点C表示的数为3，如图，则d1＝1，d2＝8． 【问题解决】 （1）若点C表示的数为﹣7，则d1＝　2　 ，d2＝　9　 ； （2）①若点C表示的数为m，d1＝3，则m的值为 　﹣8或5　 ； ②若点C表示的数为n，d2＝12，则n的值为 　﹣10或7　 ； 【问题迁移】 （3）若点E和点F为数轴上的两点（点E和点F均不在线段AB上），点E表示的数为x，点F表示的数为x+2，t1表示点E关于线段AB的“靠近距离”，t2表示点F关于线段AB的“远离距离”．若t2是t1的3倍，求x的值． 【考点】直线、射线、线段；数轴．版权所有 【分析】分两种情况，C在A左侧，和C在B右侧两种． 【解答】解：（1）∵点C表示的数为﹣7， ∴d1（点C，线段AB）＝CA＝﹣5﹣（﹣7）＝2，d2（点C，线段AB）＝CB＝2﹣（﹣7）＝9， 故答案为：2，9． （2）①当点C在点A的左侧：有AC＝3， ∴m＝﹣8；当点C在点B的右侧：有BC＝3， ∴m＝5， ∴m的值为﹣8或5． ②当点C在点A的左侧：有BC＝12， ∴n＝﹣10；当点C在点B的右侧：有AC＝12， ∴n＝7， ∴n的值为﹣10或7． （3）分两种情况：当点E在点A的左侧，t2（点F，线段AB）＝BF＝2﹣（x+2）＝﹣x，t1（点E，线段AB）＝AE＝﹣5﹣x， ∵t2（点F，线段AB）是t1（点E，线段AB）的3倍， ∴﹣x＝3（﹣5﹣x）， ∴x＝﹣7.5， 当点E在点B的右侧，t2（点F，线段AB）＝AF＝x+2﹣（﹣5）＝x+7， t1（点E，线段AB）＝EB＝x﹣2， ∵t2（点F，线段AB）是t1（点E，线段AB）的3倍， ∴x+7＝3（x﹣2）， ∴x＝6.5， 综上所述：x的值为：﹣7.5或6.5． 2．（2024秋•巨野县期末）数形结合A，B，C三个住宅区分别住有某公司职工30人、15人、10人，且这三个住宅区在一条大道上（A，B，C三点共线），如图所示，已知AB＝100m，BC＝200m，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此区间内设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（　　） A．点A B．点B C．点A，B之间 D．点B，C之间 【考点】两点间的距离．版权所有 【分析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理． 【解答】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米）， ②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米）， ③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米）， ④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500， ⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500． ∴该停靠点的位置应设在点A； 故选：A． 3．（2023秋•锦江区校级期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M1N1+M2N2+…+M10N10＝（　　） A． B． C． D． 【考点】两点间的距离；规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】根据线段中点定义先求出M1N1的长度，再由M1N1的长度求出M2N2的长度，从而找到MnNn的规律，即可求出结果． 【解答】解：∵线段MN＝20，线段AM和AN的中点M1，N1， ∴M1N1＝AM1﹣AN1 AMAN （AM﹣AN） MN 20 ＝10． ∵线段AM1和AN1的中点M2，N2； ∴M2N2＝AM2﹣AN2 AM1AN1 （AM1﹣AN1） M1 N1 20 20 ＝5． 发现规律： MnNn20 ∴M1N1+M2N2+…+M10N10 202020 ＝20（） ＝20（） ＝20（1） ＝20 故选：A． 4．（2024秋•惠州期末）如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且a、b满足|a+8|+|b﹣4|＝0 （1）点A表示的数为　﹣8　 ，点B表示的数为　4　 （2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时运动，并且在点C处相遇，试求点C所表示的数． （3）在P、Q运动的过程中，当P、Q两点的距离为2个单位长度时，求点Q表示的数． 【考点】两点间的距离；数轴；非负数的性质：绝对值．版权所有 【分析】（1）直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案； （2）直接利用两点之间的距离为12，进而得出等式求出答案； （3）直接利用两点相遇前或相遇后分析得出答案． 【解答】解：（1）∵在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，a、b满足|a+8|+|b﹣4|＝0， ∴a+8＝0，b﹣4＝0， 解得：a＝﹣8，b＝4， 则点A表示的数为：﹣8，点B表示的数为：4； （2）设x秒时两点相遇， 则3x+x＝4﹣（﹣8）， 解得：x＝3， 即3秒时，两点相遇， 此时点C所表示的数为：﹣8+3×3＝1； （3）当两点相遇前的距离为2个单位长度时， 3x+x＝10， 解得：x， 此时此时点Q所表示的数为：4﹣11.5； 当两点相遇后的距离为2个单位长度时， 3x+x＝14， 解得：x， 此时此时点Q所表示的数为：4﹣10.5； 综上所述：点Q表示的数为：1.5或0.5． 5．（2024秋•秦都区期末）如图，点C，E是线段AB上两点，点D为线段AB的中点，AB＝6，CD＝1． （1）求BC的长； （2）若CE＝3AE，求AE的长． 【考点】两点间的距离；线段的和差．版权所有 【分析】（1）先根据点D 为线段AB的中点，求出BD的长，进而得出答案； （2）先求出AC的长，再由CE＝3AE得到AC＝4AE＝4，即可求解． 【解答】解：（1）由中点可知，，AB＝6， ∵CD＝1， ∴BC＝BD﹣CD＝3﹣1＝2； （2）由条件可知AC＝6﹣2＝4， ∵CE＝3AE， ∴AC＝AE+CE＝4AE＝4， ∴AE＝1． 6．（2023秋•广汉市期末）【新知理解】 如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）线段的中点　是　 这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝　4或6或8　 cm； 【解决问题】 （3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由 【考点】两点间的距离．版权所有 【分析】（1）根据“巧点”的定义即可求解； （2）分点C在中点的左边，点C在中点，点C在中点的右边，进行讨论求解即可； （3）分①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除；②当P为A、Q的巧点时；③当Q为A、P的巧点时；进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）如图，当C是线段AB的中点，则AB＝2AC， ∴线段的中点是这条线段的“巧点”． 故答案为：是； （2）∵AB＝12cm，点C是线段AB的巧点， ∴AC＝124cm或AC＝126cm或AC＝128cm； 故答案为：4或6或8； （3）t秒后，AP＝2t，AQ＝12﹣t（0≤t≤6） ①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除． ②当P为A、Q的巧点时， Ⅰ．APAQ，即，解得s； Ⅱ．APAQ，即，解得s； Ⅲ．APAQ，即，解得t＝3s； ③当Q为A、P的巧点时， Ⅰ．AQAP，即，解得s（舍去）； Ⅱ．AQAP，即，解得t＝6s； Ⅲ．AQAP，即，解得s． 7．（2024秋•自贡校级期末）如图，A，B，C，D是直线l上的四个点，M，N分别是AB，CD的中点． （1）如果MB＝2cm，NC＝1.8cm，BC＝5cm，则AD的长为　12.6　 cm； （2）如果MN＝10cm，BC＝6cm，则AD的长为　14　 cm； （3）如果MN＝a，BC＝b，求AD的长，并说明理由． 【考点】两点间的距离．版权所有 【分析】（1）根据线段的和，可得（MB+CN）的长，根据线段中点的性质，可得AB与MB的关系，CD与CN的关系，根据线段的和，可得答案； （2）先根据线段的和与差，计算出BM+CN的长，再根据线段中点的性质，可得AB与MB的关系，CD与CN的关系，根据线段的和，可得答案； （3）根据（2）的解题过程，即可解答． 【解答】解：（1）∵MB＝2cm，NC＝1.8cm， ∴MB+NC＝3.8， ∵M，N分别是AB，CD的中点， ∴AB＝2BM，CD＝2CN， ∴AB+CD＝2BM+2CN＝2（BM+CN）＝7.6， ∴AD＝AB+CD+BC＝7.6+5＝12.6（cm）， 故答案为：12.6； （2）∵MN＝10cm，BC＝6cm， ∴BM+CN＝MN﹣BC＝10﹣6＝4， ∵M，N分别是AB，CD的中点， ∴AB＝2BM，CD＝2CN， ∴AB+CD＝2BM+2CN＝2（BM+CN）＝8， ∴AD＝AB+CD+BC＝8+6＝14（cm）， 故答案为：14； （3）∵MN＝a，BC＝b， ∴BM+CN＝a﹣b， ∵M，N分别是AB，CD的中点， ∴AB＝2BM，CD＝2CN， ∴AB+CD＝2BM+2CN＝2（BM+CN）， ∴AB+CD＝2（a﹣b）， ∵AD＝AB+CD+BC， ∴AD＝2（a﹣b）+b＝2a﹣2b+b＝2a﹣b． 8．（和平区期末）如图，点C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝13cm，BC＝3cm． （1）图中共有　6　 条线段； （2）求AC的长； （3）若点E在直线AD上，且EA＝4cm，求BE的长． 【考点】两点间的距离；直线、射线、线段．版权所有 【分析】（1）图中的线段有AC、AB、AD、CB、CD、BD这6条； （2）先根据中点得出CD＝2BC＝6cm，继而由AC＝AD﹣CD可得答案； （3）分点E在AC上和点E在CA延长线上两种情况，先求得AB＝AC+BC＝10，再分别根据BE＝AB﹣AE、BE＝AB+AE可得答案． 【解答】解：（1）图中的线段有AC、AB、AD、CB、CD、BD这6条， 故答案为：6； （2）∵点B为CD的中点、BC＝3cm， ∴CD＝2BC＝6cm， ∵AD＝13cm， ∴AC＝AD﹣CD＝13﹣6＝7（cm）． （3）如图1，当点E在AC上时， ∵AB＝AC+BC＝10cm、EA＝4cm， ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣4＝6（cm）； 如图2，当点E在CA延长线上时， ∵AB＝10cm、AE＝4cm， ∴BE＝AE+AB＝14cm； 综上，BE的长为6cm或14cm． 9．（2023秋•西岗区期末）如图，点B、C是线段AD上的两点，点M和点N分别在线段AB和线段CD上． （1）当AD＝8，MN＝6，AM＝BM，CN＝DN时，BC＝　4　 ； （2）若AD＝a，MN＝b ①当AM＝2BM，DN＝2CN时，求BC的长度（用含a和b的代数式表示） ②当AM＝nBM，DN＝nCN（n是正整数）时，直接写出BC＝　ba　 ．（用含a、b、n的代数式表示） 【考点】两点间的距离．版权所有 【分析】（1）根据BC＝AD﹣（AB+CD），只要求出AB+CD即可； （2）根据BC＝AD﹣（AB+CD），只要求出AB+CD即可； （3）根据BC＝AD﹣（AB+CD），只要求出AB+CD即可； 【解答】解：（1）∵AD＝8，MN＝6， ∴AM+DN＝AD﹣MN＝8﹣6＝2， ∵AM＝BM，CN＝DN， ∴AB+CD＝2AM+2DN＝4， ∴BC＝AD﹣（AB+CD）＝8﹣4＝4， 故答案为4． （2）①∵AD＝a，MN＝b， ∴AM+DN＝AD﹣MN＝a﹣b， ∵AM＝2BM，DN＝2CN， ∴AB+CD（AM+DN）（a﹣b）， ∴BC＝AD﹣（AB+CD）＝a（a﹣b）ba． ②∵AD＝a，MN＝b， ∴AM+DN＝AD﹣MN＝a﹣b， ∵AM＝nBM，DN＝nCN， ∴AB+CD（AM+DN）（a﹣b）， ∴BC＝AD﹣（AB+CD）＝a（a﹣b）ba． 故答案为ba． 10．（2024秋•大理州期末）如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点． （1）若AM＝1，BC＝4，求MN的长度． （2）若AB＝6，求MN的长度． 【考点】两点间的距离．版权所有 【分析】（1）由已知可求得CN的长，从而不难求得MN的长度； （2）由已知可得AB的长是NM的2倍，已知AB的长则不难求得MN的长度． 【解答】解：（1）∵N是BC的中点，M是AC的中点，AM＝1，BC＝4 ∴CN＝2，AM＝CM＝1 ∴MN＝MC+CN＝3； （2）∵M是AC的中点，N是BC的中点，AB＝6， ∴NM＝MC+CNAB＝3． 11．（2024秋•铁岭县期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）． （1）当t＝2时，①AB＝　4　 cm．②求线段CD的长度． （2）①点B沿点A→D运动时，AB＝　2t　 cm； ②点B沿点D→A运动时，AB＝　20﹣2t　 cm．（用含t的代数式表示AB的长） （3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化，若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由． 【考点】两点间的距离．版权所有 【分析】（1）①根据速度乘以时间等路程，可得答案；②根据线段的和差，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得答案； （2）①根据速度乘以时间等路程，可得答案； ②根据线段的和差，可得AB的长； （3）根据线段中点的性质，可得BE的长，BC的长，根据线段的和差，可得答案． 【解答】解：（1）当t＝2时，①AB＝2×2＝4cm； ②BD＝AD﹣AB＝10﹣4＝6cm， 由C是线段BD的中点，得 CDBD6＝3cm； （2））①点B沿点A→D运动时，AB＝2tcm； ②点B沿点D→A运动时，AB＝20﹣2tcm； （3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长不变， 由AB中点为E，C是线段BD的中点，得 BEAB，BCBD． EC＝BE+BC（AB+BD）10＝5cm． 12．（2024秋•任丘市期末）如图，线段AB＝21，BC＝15，点M是AC的中点． （1）求线段AM的长度； （2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2．求MN的长． 【考点】两点间的距离．版权所有 【分析】（1）根据图示知AMAC，AC＝AB﹣BC； （2）根据已知条件求得CN＝5，然后根据图示知MN＝MC+NC＝3+5＝8． 【解答】解：（1）线段AB＝21，BC＝15， ∴AC＝AB﹣BC＝21﹣15＝6． 又∵点M是AC的中点． ∴AMAC6＝3，即线段AM的长度是3． （2）∵BC＝15，CN：NB＝1：2， ∴CNBC15＝5． 又∵点M是AC的中点，AC＝6， ∴MCAC＝3， ∴MN＝MC+NC＝3+5＝8，即MN的长度是8． 13．（2024秋•嵊州市期末）如图，点C、D、E在线段AB上，且满足AC＝CD＝DB，点E是线段DB的中点，若线段CE＝6cm，求线段AB的长． 【考点】两点间的距离．版权所有 【分析】根据线段中点的性质，可得DE与BD的关系，根据线段的和差，可得关于AB的方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：由点C、D、E在线段AB上，且满足AC＝CD＝DB，得 AC＝CD＝DBAB． 由点E是线段DB的中点，得 DEDBAB． 由线段的和差，得 CE＝CD+DE＝6， 即ABAB＝6， 解得AB＝12． 线段AB的长是12cm． 14．（2024秋•安阳期末）如图，B，C两点把线段AD分成2：4：8三部分，点E是AD的中点，CD＝16，求EC的长． 【考点】两点间的距离．版权所有 【分析】根据AB：BC：CD＝2：4：8，设AB的长度为2a，由CD＝16，求出a的值，再由线段间的关系即可求出结论． 【解答】解：设线段AB长度为2a，则BC＝4a，CD＝8a， ∵CD＝16＝8a， ∴AB＝2a＝4，BC＝4a＝8， EC＝AE﹣AB﹣BCAD﹣AB﹣BC（4+8+16）﹣4﹣8＝2． 答：EC的长度为2． 15．（丰都县期末）大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　3　 ；数轴上表示﹣3和15的两点之间的距离是　18　 ； （2）点A、B在数轴上分别表示数x和﹣1． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果|AB|＝2，求x值． 【考点】两点间的距离；数轴；绝对值．版权所有 【分析】（1）根据题意，可得数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5﹣2|＝3；数轴上表示﹣3和15的两点之间的距离是：|15﹣（﹣3）|＝18． （2）①根据点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1，可得表示A、B两点之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|． ②如果|AB|＝2，则|x+1|＝2，据此求出x的值是多少即可． 【解答】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5﹣2|＝3； 数轴上表示﹣3和15的两点之间的距离是：|15﹣（﹣3）|＝18． 故答案为：3，18． （2）①|AB|＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|． ②如果|AB|＝2， 则|x+1|＝2， x+1＝2或x+1＝﹣2， 解得x＝1或x＝﹣3． 16．（桥东区校级期中）观察图，回答下列问题： （1）在图①中有几个角？ （2）在图②中有几个角？ （3）在图③中有几个角？ （4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？ 【考点】角的概念．版权所有 【分析】解答此题首先要弄清楚题目的规律：当角内有n条射线时，每条射线都与（n﹣1）条射线构成了（n﹣1）个角，则共有n（n﹣1）个角，由于两条射线构成一个角，因此角的总数为：，可根据这个规律，直接求出（1）（2）（3）的结论； 在解答（4）题时，首先要弄清图中共有多少条射线，已知角内共n条射线，那么图中共有（n+2）条射线，代入上面的规律，即可得到所求的结论． 【解答】解：由分析知： （1）①图中有2条射线，则角的个数为：1（个）； （2）②图中有3条射线，则角的个数为：3（个）； （3）③图中有4条射线，则角的个数为：6（个）； （4）由前三问类推，角内有n条射线时，图中共有（n+2）条射线，则角的个数为个． 17．（2024秋•鹿寨县期末）某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120°，他做完作业后还是6点多钟，且时针和分针的夹角还是120°，此同学做作业大约用了（　　） A．40分钟 B．42分钟 C．44分钟 D．46分钟 【考点】钟面角．版权所有 【分析】根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，可列方程求解． 【解答】解：设开始做作业时的时间是6点x分， ∴6x﹣0.5x＝180﹣120， 解得x≈11； 再设做完作业后的时间是6点y分， ∴6y﹣0.5y＝180+120， 解得y≈55， ∴此同学做作业大约用了55﹣11＝44分钟． 故选：C． 18．（沧州期末）如图，是小明家（图中点O）和学校所在地的简单地图，已知OA＝2cm，OB＝2.5cm，OP＝4cm，C为OP的中点． ①请用距离和方向角表示图中商场、学校、公园、停车场分别相对小明家的位置； ②若学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 【考点】方向角．版权所有 【分析】①根据方向角定义及图中线段的长度即可得知； ②根据学校距离小明家400m而图中对应线段OA＝2cm可知图中1cm表示200m，再根据OB、OP的长即可得． 【解答】解：①商场在小明家 北偏西30° 方向，距离2.5cm位置； 学校在小明家 北偏东45°方向，距离2cm位置； 公园在小明家 南偏东60°方向，距离2cm位置； 停车场在小明家 南偏东60°方向，距离4cm位置； ②∵学校距离小明家400m，且OA＝2cm， ∴图中1cm表示200m， ∴商场距离小明家2.5×200＝500m， 停车场距离小明家4×200＝800m． 19．（2024秋•巨野县期末）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝60°，∠BOE∠BOC，∠BOD∠AOB，则∠DOE＝ 　（）　 °．（用含n的代数式表示） 【考点】角的计算；列代数式．版权所有 【分析】根据各个角之间的关系，设∠BOE＝x°，表示∠BOC、∠AOB、∠BOD，进而求出∠DOE的大小即可． 【解答】解：设∠BOE＝x°， ∵∠BOE∠BOC， ∴∠BOC＝nx°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝60°+nx°， ∵∠BOD∠AOB（60°+nx°）x°， ∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOEx°﹣x°（）°， 故答案为：（）． 20．（2024秋•渭滨区期末）如图所示，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，求∠MON的度数． 【考点】角的计算．版权所有 【分析】根据条件可求出∠COD的度数，利用角平分线的性质可求出∠MOC与∠DON的度数，最后根据∠MON＝∠MOC+∠COD+∠DON即可求出答案． 【解答】解：∵∠AOC+∠COD+∠BOD＝180°， ∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝90°， ∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线， ∴∠MOC∠AOC＝15°，∠DON∠BOD＝30°， ∴∠MON＝∠MOC+∠COD+∠DON＝135° 21．（2024秋•和平区校级期末）已知∠AOB＝110°，∠COD＝30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角） （1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数； （2）按以下条件画图并完成探究： 探究一：当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜70）时，∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； 探究二：当∠COD从图1所示位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜140，且n≠30，n≠110）时，是否存在n使得∠AOD+∠EOF＝5∠COD，若存在请求出n的值，若不存在，请说明理由． 【考点】角的计算．版权所有 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠EOB和∠COF的度数，然后根据∠EOF＝∠EOB+∠COF求解； （2）探究一：∠AOE﹣∠BOF的值是定值．由题意得：∠AOB＝110°，∠COD＝30°，∠BOC＝n°，∠AOC＝110°+n°，∠BOD＝n°+30°，再运用角平分线定义即可求得答案； 探究二：分三种情况讨论：①当0＜n＜30时，②当30＜n＜110时，③当110＜n＜140时． 【解答】解：（1）如图1，当OB、OC重合时， ∵∠AOB＝110°，∠COD＝30°， ∴∠AOC＝∠AOB＝110°，∠BOD＝∠COD＝30°， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠BOE∠AOC＝55°，∠BOF∠BOD＝15°， ∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝55°+15°＝70°； （2）探究一：∠AOE﹣∠BOF的值是定值．理由如下： 如图2，∵∠AOB＝110°，∠COD＝30°，∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝110°+n°，∠BOD＝∠BOC+∠COD＝n°+30°， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠AOE∠AOC＝55°n°，∠BOF∠BODn°+15°， ∴∠AOE﹣∠BOF＝（55°n°）﹣（n°+15°）＝40°， ∴∠AOE﹣∠BOF的值为40°，是定值； 探究二： ①当0＜n＜30时，如图3，∠BOC＝n°，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝110°﹣n°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝30°﹣n°， ∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝110°+30°﹣n°＝140°﹣n°， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠EOC∠AOC＝55°n°，∠BOF∠BOD＝15°n°， ∴∠EOF＝∠EOC+∠BOC+∠BOF＝（55°n°）+n°+（15°n°）＝70°， ∵∠AOD+∠EOF＝5∠COD， ∴140°﹣n°+70°＝5×30°， 解得：n＝60（不符合题意，舍去）； ②当30＜n＜110时，如图4，∠BOC＝n°，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝110°﹣n°，∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝n°﹣30°， ∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝110°﹣（n°﹣30°）＝140°﹣n°， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠EOC∠AOC＝55°n°，∠DOF∠BODn°﹣15°， ∴∠EOF＝∠EOC+∠COD+∠DOF＝（55°n°）+30°+（n°﹣15°）＝70°， ∵∠AOD+∠EOF＝5∠COD， ∴140°﹣n°+70°＝5×30°， 解得：n＝60，符合题意； ③当110＜n＜140时，如图5，∠BOC＝n°，∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝n°﹣110°，∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝n°﹣30°， ∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝110°﹣（n°﹣30°）＝140°﹣n°， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， ∴∠EOA∠AOCn°﹣55°，∠DOF∠BODn°﹣15°， ∴∠EOF＝∠EOA+∠AOD+∠DOF＝（n°﹣55°）+140°﹣n°+（n°﹣15°）＝70°， ∵∠AOD+∠EOF＝5∠COD， ∴140°﹣n°+70°＝5×30°， 解得：n＝60（不符合题意，舍去）； 综上所述，n的值为60． 22．（2024秋•市中区校级期末）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转． （1）试说明：∠DPC＝90°； （2）如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF． （3）如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/s．同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/s，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 【考点】角的计算．版权所有 【分析】（1）利用含有30°、60°的三角板得出∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，进而求出即可； （2）设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y，则∠APF＝∠DPF＝2x+y，进而利用∠CPA＝60°求出即可； （3）首先得出值不变，设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，表示出∠CPD和∠BPN的度数即可得出答案． 【解答】解：（1）∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°， ∴∠DPC＝180°﹣30°﹣60°＝90°； （2）设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y， 则∠APF＝∠DPF＝2x+y， ∵∠CPA＝60°， ∴y+2x+y＝60°， ∴x+y＝30° ∴∠EPF＝x+y＝30° （3）不变． 设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t， ∴∠BPN＝180﹣2t，∠APN＝3t． ∴∠CPD＝360﹣∠DPB﹣∠BPN﹣∠CPA﹣∠APN＝90﹣t， ∴． 23．（2023秋•中原区校级期末）如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…． 例如：当α＝30°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4＝120°； 当α＝20°时，OA1，OA2，OA3，OA4，OA5的位置如图3所示， 其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4＝80°，而OA5恰好与OA2重合． 解决如下问题： （1）若α＝35°，在图4中借助量角器画出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是 　45°　 ； （2）若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3，OA4并求出α的值； （3）若α＜36°，且∠A2OA4＝20°，则对应的α值是 　（ ）°或（ ）°或（ ）°　 ． 【考点】角的计算；规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可； （2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可； （3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出α的度数即可； 【解答】解：（1）解：如图所示．∠a＝45°， 故答案为：45°； （2）解：如图所示． ∵α＜30°， ∴∠A0OA3＜180°，4α＜180°． ∵OA4平分∠A2OA3， ∴2（180°﹣6α）α＝4α，解得：α＝（ ）°． （3）分三种情况： ①OA4和OA3都不从ON回弹时，如图2， 3α+4α＝20， α＝（）°； ②OA4在OA2的右边时，如图3， 根据题意得：4α﹣2（180﹣6α）+20＝3α， α＝（）°； ③OA4在OA2的左边时，如图4， 根据题意得：4α﹣2（180﹣6α）＝3α+20， α＝（）°； 综上，对应的α值是（）°或（ ）°或（ ）°； 故答案为：（ ）°或（）°或（）°． 24．（大竹县校级期末）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． （1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝　25°　 ； （2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数； （3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC∠AOM，求∠NOB的度数． 【考点】角的计算．版权所有 【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数． （2）根据OC是∠MOB的角平分线，∠BOC＝65°可以求得∠BOM的度数，由∠NOM＝90°，可得∠BON的度数，从而可得∠CON的度数． （3）由∠BOC＝65°，∠NOM＝90°，∠NOC∠AOM，从而可得∠NOC的度数，由∠BOC＝65°，从而得到∠NOB的度数． 【解答】解：（1）∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°， ∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°． 故答案为：25°． （2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分线， ∴∠MOB＝2∠BOC＝130°． ∴∠BON＝∠MOB﹣∠MON ＝130°﹣90° ＝40°． ∠CON＝∠COB﹣∠BON ＝65°﹣40° ＝25°． 即∠BON＝40°，∠CON＝25°； （3）∵∠NOC∠AOM， ∴∠AOM＝4∠NOC． ∵∠BOC＝65°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC ＝180°﹣65 ＝115°． ∵∠MON＝90°， ∴∠AOM+∠NOC＝∠AOC﹣∠MON ＝115°﹣90° ＝25°． ∴4∠NOC+∠NOC＝25°． ∴∠NOC＝5°． ∴∠NOB＝∠NOC+∠BOC＝70°． 25．（鼓楼区校级月考）（1）已知射线OA，从点O处再引两射OB、OC，使∠AOB＝60°，∠BOC＝20°．求∠AOC的度数． （2）已知∠AOB＝30°，∠BOC＝24°，∠AOD＝15°，锐角∠COD的度数是　69°或39°或21°或9°　 ． 【考点】角的计算．版权所有 【分析】（1）因为射线OC的位置不明确，所以分：①射线OC在∠AOB的外部，②射线OC在∠AOB的内部，两种情况进行讨论求解； （2）由于角的大小不同，以及角的位置可能不同，需要分为四种情况进行讨论． 【解答】解：（1）①如图1，射线OC在∠AOB的外部时， ∵∠AOB＝60°，∠BOC＝20°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝60°+20°＝80°； ②如图2，射线OC在∠AOB的内部时， ∵∠AOB＝60°，∠BOC＝20°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°﹣20°＝40°． 综上所示，∠AOC的度数为：80°或40°． （2）由题意，∠AOB＝30°，∠BOC＝24°，∠AOD＝15°，根据角的不同和位置的不同，有以下几种情况： ①如图（1）：∠COD＝∠AOB+∠BOC+∠AOD＝69°． ②如图（2）：∠COD＝∠AOB﹣∠AOD+∠BOC＝39°； ③如图（3）：∠COD＝∠AOB﹣∠BOC+∠AOD＝21°； ④如图（4）：∠COD＝∠AOB﹣∠BOC﹣∠AOD＝9°． 故答案为69°或39°或21°或9°． 26．（花都区期末）将一副三角板ABC和三角板BDE（∠ACB＝∠DBE＝90°，∠ABC＝60°）按不同的位置摆放． （1）如图1，若边BD、BA在同一直线上，则∠EBC＝　150°　 ； （2）如图2，若∠EBC＝165°，那么∠ABD＝　15°　 ； （3）如图3，若∠EBC＝120°，求∠ABD的度数． 【考点】角的计算．版权所有 【分析】（1）由∠EBC＝∠DBE+∠ABC，可得结果； （2）由∠ABD＝∠CBE﹣∠ABC﹣∠DBE，可得结果； （3）由∠ABD＝∠ABC+∠DBE﹣∠EBC可得结果． 【解答】解：（1）∠EBC＝∠DBE+∠ABC＝90°+60°＝150°； 故答案为：150°； （2）∠ABD＝∠CBE﹣∠ABC﹣∠DBE＝165°﹣90°﹣60°＝15°； 故答案为：15°； （3）∠ABD＝∠ABC+∠DBE﹣∠EBC＝90°+60°﹣120°＝30°． ∴∠ABD的度数为：30°． 27．（2025春•绥棱县期末）尺规作图：已知∠AOB，求作∠A′O′B′．使∠A′O′B′＝∠AOB．（保留作图痕迹，写出作法） 【考点】作图—基本作图．版权所有 【分析】①以点O为圆心，以任意长度为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．②画射线O′M．③以点O′为圆心，以OC为半径画弧，交O′M于点B′．④以点B′为圆心，以CD为半径画弧，与已知画的弧交点与点A′．⑤作射线O′A′，作∠A′O′B′即为所求； 【解答】解：如图∠A′O′B′即为所求； 【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 28．（长宁区校级期末）如图1，已知∠AOB＝180°，射线ON，尺规作出∠BON的平分线OC，∠AON的平分线OD． （1）如果∠AON＝52°，射线OA、OB分别表示从点O出发东、西两个方向，那么射线OD表示 　北偏东64°　 方向，射线OC表示 　北偏西26°　 方向． （2）如果将∠AOB沿着ON剪开分为两个角，再将∠AON逆时针旋转n°，到图2中∠AON′的位置，求此时∠COD＝　（90﹣n）　 °．（用n表示） 【考点】作图—基本作图；列代数式；方向角．版权所有 【分析】（1）根据方向角的定义判断即可； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，OC，OD即为所求； ∵∠AON＝52°，∠AOB＝180°， ∴∠BON＝180°﹣∠AON＝128°， ∵OC平分∠BON，OD平分∠AON， ∴∠BOC64°， 26°， ∴90°﹣26°＝64°， ∴射线OD表示北偏东64°方向， 射线OC表示北偏西26°方向． 故答案为：北偏东64°；北偏西26°； （2）根据旋转可知，∠MON＝n°，∠AON＝52°， ∵OD平分∠AON， ∴∠NOD26°， 由①知，∠BOC64°，∠BON＝128°， ∴∠DON＝∠NON′﹣∠N′OD＝n°﹣26°＝（n﹣26）°， ∴∠COD＝∠BON﹣∠DON＝128°﹣64°﹣（n﹣26）°＝（90﹣n）°． 故答案为：（90﹣n）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $