精品解析：吉林省市第五中学2025-2026学年上学期八年级月考数学试卷

初二第一次质量检测考试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义即可进行解答． 【详解】解：根据题意得： A为轴对称图形，B、C、D不是轴对称图形， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 2. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，4 B. 3，5，8 C. 4，4，9 D. 4，6，9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边的性质是解题的关键． 根据两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可求解． 【详解】解：A：，不能组成三角形，故此选项不符合题意； B：，不能组成三角形，故此选项不符合题意； C：，不能组成三角形，故此选项不符合题意； D：，能组成三角形，故此选项符合题意．   故选：D ． 3. 如图，这是黄河上某大桥的一部分，大桥上的钢架结构采用三角形的形状，这其中蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 垂线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，理解图示，掌握三角形的性质是解题的关键． 根据三角形具有稳定性求解即可． 【详解】解：根据题意可得，这其中蕴含的数学道理是三角形具有稳定性， 故选：B． 4. 如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（ ） A. 等边三角形，等腰直角三角形 B. 等腰直角三角形，钝角三角形 C. 等边三角形，钝角三角形 D. 锐角三角形，等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系和角的大小分类是解题的关键．根据三角形的分类进行分析即可． 【详解】将三角形按边的相等关系， 可以分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包含等边三角形， 将三角形按角的大小可以分为， 锐角三角形、直角三角形和钝角三角形， 两处“？”分别为等边三角形，钝角三角形， 故选：C． 5. 如图，与关于直线成轴对称，则以下结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 被垂直平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，垂直于同一直线的两直线平行等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质可得，，被垂直平分，不一定互相平行，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：与关于直线对称， 根据轴对称的性质可得：，，被垂直平分， 故A、B、D选项不符合题意， 则不一定互相平行 故C选项符合题意， 故选：C． 6. 如图，AB∥EF，BC＝DF，要使得△ABC≌△EFD，需要补充的条件不能是（ ） A. ∠A＝∠E B. AB＝DE C. AB＝EF D. AC∥DE 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，根据平行线和全等三角形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】∵AB∥EF ∴ A、∵∠A＝∠E 即 ∴ C、∵AB＝EF ∴ ∴ D、如图，与DE相交于点G ∵AC∥DE ∴ ∵AB∥EF ∴ ∴∠A＝∠E 同理，得； 而选项B不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、全等三角形的性质，从而完成求解． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，该轴对称图形有________条对称轴． 【答案】4##四 【解析】 【分析】本题考查了确定轴对称图形的对称轴，对称轴是对称点连线的垂直平分线，据此即可求解． 【详解】解：如图，该轴对称图形共有4条对称轴． 故答案为：4 8. 如图，有三条道路围成，其中，一个人从C处出发沿着行走了200 m到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为________m． 【答案】200 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离等知识．作于点E，由题意得．根据为的平分线，得到，问题得解． 【详解】解：如图，作于点E，由题意得． ∵， ∴， ∵AD为的平分线，， ∴， 即这个人到的最短距离为200m． 故答案为：200 9. 如图，在中，，点D在上，且，点E是上任意一点，则图中有________对全等三角形． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 首先利用判定，根据全等三角形的性质可得，，再判定，最后证明即可． 【详解】解：在和中，， ∴， ∴，， 在和中，， ∴， 在和中，， ∴， ∴共3对全等三角形， 故答案为3． 10. 如图，中，D，E分别是，的中点，若的面积是20，则的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的中线将三角形面积分为相等的两部分进行求解即可． 【详解】解：∵点D是的中点，的面积是20， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分为相等的两部分． 11. 如图，点B、C、D在同一直线上，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差，根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 如图，点B、C、E、F在一条直线上，，求证：． 【答案】 证明：， ∴， 即． 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的证明等知识．先证明，再根据 “”即可证明． 【详解】略 13. 开封风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色，图①是小华制作的风筝，图②是风，筝骨架的示意图，其中． （1）求证：； （2）小华发现AD平分，你觉得她的发现正确吗？请说明理由． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴； （2） 解：正确，理由： 由（1）得， ∴， 即平分， 所以小华的发现是正确的． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，然后根据角平分线定义即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 14. 如图，已知∠，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，在图形中正确找出三角形的外角是解题关键．先根据是的外角，求出,再根据是的外角，即可求出． 【详解】解：∵，是的外角， ∴, ∵是的外角， ∴． 15. 如图，已知点A、B、C、D在同条直线上，．用“”证明，需添加什么条件？并写出你的证明过程． 解：需要添加的条件是________________； 证明： 【答案】， 证明：， ， ， ，， ， 在和中 故答案为：． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是能正确理解所需条件． 先求出，，再根据定理推出即可． 【详解】略 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度． （1）画出关于x轴对称的（点A、B、C的对应点分别是点）； （2）以AB为边画一个，要求与全等，且点D在格点上． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中作已知图形的轴对称图形，全等三角形等知识． （1）根据求出关于x轴对称的对应点的坐标为，顺次连接即可得到； （2）根据“边边边”即可作出图形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在和中， ， ∴． 17. 如图，是等腰三角形，，点D是的中点，点E在边上，连接． （1）若，则________度； （2）若，试说明：． 【答案】（1）54 （2） 解：∵，点D是的中点， ∴平分， ． ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得，然后利用三角形的内角和定理即可得出答案； （2）根据三线合一可得，由等边对等角得，等量代换得，从而可得出结论． 【小问1详解】 解：， ， 又， ， 故答案为：54； 【小问2详解】 略 18. 如图，已知的边与的边在一条直线上，，，，请你从下列三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为结论，并证明． （1）你选择的结论是__________；（填序号） （2）根据你选择的结论，写出该结论的证明过程． 【答案】（1）①或③ （2） 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴或． 【解析】 【分析】（）根据题意及全等三角形的性质选择即可； （）利用证明即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：选择的结论是①或③， 故答案为：①或③； 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三线合一，三角形的内角和定理： （1）连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得的度数，进而可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 【问题情境】如图①，这是一个圆形喷水池，水池的中心O处有一喷水装置，数学活动小组计划使用皮尺测量水池的直径，但因喷水装置阻挡，无法直接测量，该如何准确测量呢？（水池边缘厚度忽略不计） 【方案设计】方案一：如图②，先在水池边上取A、B两点，使得A、O、B三点在同一条直线上，再在水池外取一点C，测得，的长，在射线，上分别取点D、E，使得，最后测得DE的长，便可求出AB的长；方案二：如图③，先在水池边上取A、B两点，使得A、O、B三点在同一条直线上，过点作的垂线，在上取，两点，使．接着过点作的垂线，交的延长线于点，最后测得的长，便可求出的长． 【问题解决】 （1）理论上，方案一是否可行？请说明理由： （2）小明同学提出，在方案二中，并不一定需要，只需要即可（其他条件不变），小明的想法是否可行？请说明理由． 【答案】（1） 解：方案一可行． 理由如下： 在和中， ， ∴， ， 即测得的长，便可求出的长； （2） 解：方案二可行． 理由如下： ，， ， 在和中， ， ∴， ， 即测得的长，便可求出的长； 小明的想法可行． 理由如下： ， ， 在和中， ， ∴， ， 即测得的长，便可求出的长． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据证明即可得出； （2）根据证明即可得出方案二和小明的想法可行． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. （1）【探究发现】如图①，在中，点P是内角和外角的平分线的交点． ①若，求的度数： ②试猜想与之间的数量关系，并直接写出结论（不需证明）： （2）【迁移拓展】如图②，在中，点P是内角和外角的n等分线的交点，即，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【应用创新】如图③，相交于点C，的平分线交于点P，若，，则________度． 【答案】（1）①，②； （2）． 证明：∵是外角，是外角， ∴； （3）38 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角定理等知识． （1）①根据角平分线定义得到，根据三角形外角定理和角的代换即可求出； ②根据角平分线定义得到，根据三角形外角定理和角的代换即可证明； （2）根据三角形外角性质和角的代换即可证明； （3）根据（1）②分别求出，，即可求出． 【详解】解：（1）①∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴， ∵是外角，是外角， ∴； ②∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴， ∵是外角，是外角， ∴； （2）略 （3）∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴由（1）②得； ∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴由（1）②得； ∴． 故答案为：． 22. 如图，的两条高与交于点O，，． （1）若，求的度数； （2）①求证：； ②的长为________； （3）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为（秒），当与全等时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）①证明：∵的两条高与交于点， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②6 （3）或时，与全等． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、同角的余角相等及解一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定定理并运用分类讨论的思想是解题关键． （1）根据的两条高与交于点，利用同角的余角相等得出即可得答案； （2）①先利用等角的余角相等求得，利用可证明即可； ②利用全等三角形的性质即可得答案； （3）分点在延长线上和点在线段上两种情况，利用全等三角形的性质，分别用表示出、，解方程求出值，即可得答案． 【小问1详解】 解：∵的两条高与交于点， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：①略 ②∵， ∴； 【小问3详解】 解：与全等时， ①如图，当点在延长线上时，， ∴，， ∵点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度， ∴，，， ∴， 解得：． ②如图，当点在线段上时，， ∴，， ∵点的速度为每秒1个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度， ∴，，， ∴， 解得：． 综上所述：或时，与全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二第一次质量检测考试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，4 B. 3，5，8 C. 4，4，9 D. 4，6，9 3. 如图，这是黄河上某大桥的一部分，大桥上的钢架结构采用三角形的形状，这其中蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 垂线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边 4. 如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（ ） A. 等边三角形，等腰直角三角形 B. 等腰直角三角形，钝角三角形 C. 等边三角形，钝角三角形 D. 锐角三角形，等边三角形 5. 如图，与关于直线成轴对称，则以下结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 被垂直平分 6. 如图，AB∥EF，BC＝DF，要使得△ABC≌△EFD，需要补充的条件不能是（ ） A. ∠A＝∠E B. AB＝DE C. AB＝EF D. AC∥DE 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，该轴对称图形有________条对称轴． 8. 如图，有三条道路围成，其中，一个人从C处出发沿着行走了200 m到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为________m． 9. 如图，在中，，点D在上，且，点E是上任意一点，则图中有________对全等三角形． 10. 如图，中，D，E分别是，的中点，若的面积是20，则的面积是_______． 11. 如图，点B、C、D在同一直线上，若，则_______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 如图，点B、C、E、F在一条直线上，，求证：． 13. 开封风筝历史悠久、种类繁多、做工精细、独具特色，图①是小华制作的风筝，图②是风，筝骨架的示意图，其中． （1）求证：； （2）小华发现AD平分，你觉得她的发现正确吗？请说明理由． 14. 如图，已知∠，求的度数． 15. 如图，已知点A、B、C、D在同条直线上，．用“”证明，需添加什么条件？并写出你的证明过程． 解：需要添加的条件是________________； 证明： 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度． （1）画出关于x轴对称的（点A、B、C的对应点分别是点）； （2）以AB为边画一个，要求与全等，且点D在格点上． 17. 如图，是等腰三角形，，点D是的中点，点E在边上，连接． （1）若，则________度； （2）若，试说明：． 18. 如图，已知的边与的边在一条直线上，，，，请你从下列三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为结论，并证明． （1）你选择的结论是__________；（填序号） （2）根据你选择的结论，写出该结论的证明过程． 19. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 【问题情境】如图①，这是一个圆形喷水池，水池的中心O处有一喷水装置，数学活动小组计划使用皮尺测量水池的直径，但因喷水装置阻挡，无法直接测量，该如何准确测量呢？（水池边缘厚度忽略不计） 【方案设计】方案一：如图②，先在水池边上取A、B两点，使得A、O、B三点在同一条直线上，再在水池外取一点C，测得，的长，在射线，上分别取点D、E，使得，最后测得DE的长，便可求出AB的长；方案二：如图③，先在水池边上取A、B两点，使得A、O、B三点在同一条直线上，过点作的垂线，在上取，两点，使．接着过点作的垂线，交的延长线于点，最后测得的长，便可求出的长． 【问题解决】 （1）理论上，方案一是否可行？请说明理由： （2）小明同学提出，在方案二中，并不一定需要，只需要即可（其他条件不变），小明的想法是否可行？请说明理由． 21. （1）【探究发现】如图①，在中，点P是内角和外角的平分线的交点． ①若，求的度数： ②试猜想与之间的数量关系，并直接写出结论（不需证明）： （2）【迁移拓展】如图②，在中，点P是内角和外角的n等分线的交点，即，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【应用创新】如图③，相交于点C，的平分线交于点P，若，，则________度． 22. 如图，的两条高与交于点O，，． （1）若，求的度数； （2）①求证：； ②的长为________； （3）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，设运动时间为（秒），当与全等时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $