精品解析：广东省佛山市南海区南海实验中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度上学期初三第一次学情反馈 数学问卷 一、单选题（共10题每题3分共30分） 1. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 2. 若是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（　　） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2027 4. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 5. 方程的解的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有一个实数根 6. 如图，某小区有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，绿地的面积之和为．两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为，则可以列关于x的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A. B. C. D. 8. 如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个面积为的四边形，当时，则纸条的宽度是（ ） A. 2 B. C. D. 4 9. 一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（ ）． A. B. C. 2 D. 10. 如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 一元二次方程化为一般形式是：_____． 12. 菱形的周长是20，一条对角线的长为6，则它的面积为_____． 13. 如图所示，把沿平移到的位置，它们重合部分的面积是面积的，若，则此三角形移动的距离是____________． 14. 已知是一元二次方程的一个实数根，则代数式的值为___． 15. 如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为_______cm． 三、解答题（一）（共3题每题7分共21分） 16. 解方程：． 17. 如图，． （1）直接填空；的值为______，的值为______； （2）若，求和的长． 18. 如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短多少． 四、解答题（二）（共3题每题9分共27分） 19. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）     （1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 20. 如图，在中，对角线和相交于点，，，． （1）求证：是菱形； （2）延长至点，连接交于点，若．求的值． 21. 综合与实践 中国陶瓷美名远扬，请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案? 素材1 某商店以固定的进价购进一批龙泉青瓷茶杯，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每只龙泉青瓷茶杯的进价． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元? 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，现商店计划定价为160元，并保证日销售利润不低于3030元，请问方案是否可行，如可行，请设计方案并完成表格．如不可行，请说明理由． 销售单价（元） 的值 日捐款总额（元） 160 五、解答题（三）（共2题22题13分23期14分共27分） 22. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． （3）已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值． 23. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“白银线”． （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“白银线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点D，请你在图1中找出满足条件的点D，并画出这个四边形．保留画图痕迹（找出1个即可）； （2）如图2，在四边形中，，，对角线平分． ①此时对角线是四边形的“白银线”吗?请说明理由； ②若，求的值． （3）如图3，在（2）的条件下，若，在边上取一点E，使，过点E作交于点F，得到，连接、，在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期初三第一次学情反馈 数学问卷 一、单选题（共10题每题3分共30分） 1. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的运算，比值，解题的关键掌握分式运算的简便算法． 将所求表达式拆分为已知比值的差形式，直接代入计算． 【详解】解：∵ ， 且， ∴ ， 故选：C． 2. 若是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，将代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理方程的解的概念及应用． 【详解】解：把代入方程得， ，解得：， 故选：． 3. 用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（　　） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先将方程中常数项移至等号右边，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方，即可求出． 【详解】解：， 移项得，， 配方得，， 即， ∴， 故选：B． 4. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 5. 方程的解的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式的意义，计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：方程化为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6. 如图，某小区有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，绿地的面积之和为．两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为，则可以列关于x的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用平移的性质得出长和宽是解题关键． 利用平移的性质，进而表示出长与宽，进而得出答案． 【详解】解：设人行通道的宽度为x米，根据题意可得： ， 故选：C． 7. 根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．根据表中数据可得：和时，代数式的值一个小于，一个大于，从而可判断当的某个值时，代数式的值为． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个解的取值范围为：， 故选：B． 8. 如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个面积为的四边形，当时，则纸条的宽度是（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解决此题的关键是判断出四边形是菱形；先根据等宽得到菱形，再根据菱形的性质和等腰直角三角形的性质得到菱形的边长和边长上高的关系，进而得到答案； 【详解】解：作于点E，作于点M， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：, ∵ ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， ∵菱形的面积是， ∴， ∴（舍负）； 故选：A． 9. 一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（ ）． A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例． 由裁出的矩形的宽与长的比与矩形的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，． 由，得， 即． ∴． 开平方，得（舍去）， 故选：A． 10. 如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点O，利用菱形性质和，可得、是等边三角形，从而得到、是含有的直角三角形，进而求出、，最后在中利用勾股定理求解. 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 一元二次方程化为一般形式是：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式直接求出即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式是， 故答案为：． 12. 菱形的周长是20，一条对角线的长为6，则它的面积为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】先画出图形，根据菱形的性质可得，DO＝3，根据勾股定理可求得AO的长，从而得到AC的长，再根据菱形的面积公式即可求得结果． 【详解】解：如图： 由题意得， ∵菱形ABCD ∴，AC⊥BD ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握对角线互相垂直且平分，菱形的四条边相等；同时熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半． 13. 如图所示，把沿平移到的位置，它们重合部分的面积是面积的，若，则此三角形移动的距离是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以推出△DEF∽△GAE，结合它们的面积比，即可推出对应边的比，即可推出DA的长度． 【详解】解：如图， ∵把△DEF沿DE边平移到△ABC的位置， ∴AC∥DF， ∴△DEF∽△GAE， ∵S△DEF：S△GAE=2， ∴DE：AE=， ∵， ∴ ∴AE=， ∴DA=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平移的性质、相似三角形的判定和性质，关键在于求证△DEF∽△GAE，推出AE的长度． 14. 已知是一元二次方程的一个实数根，则代数式的值为___． 【答案】4 【解析】 【分析】根据方程的解的定义把代入一元二次方程，得到，然后将其整体代入所求的代数式进行求值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．注意解题中的整体代入思想的应用． 15. 如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为_______cm． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据题意得出，，根据平行线的性质得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意可知：，，，，，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为： 三、解答题（一）（共3题每题7分共21分） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的各种方法．先将原方程整理成一般式，然后利用配方法解方程即可． 【详解】解：， 整理成一般式为：， ∴， ∴， 解得， ∴． 17. 如图，． （1）直接填空；的值为______，的值为______； （2）若，求和的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）中的结论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短多少． 【答案】的长需要缩短 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，设与交于点O，于交于点，由菱形的性质得，，，在中由勾股定理可求出，则得出，在中由勾股定理可求出，则求出，然后再求出结果即可． 【详解】解：设与交于点O，于交于点，如下图所示： 依题意得：四边形，四边形均为菱形，且，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， 即的长需要缩短． 四、解答题（二）（共3题每题9分共27分） 19. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）     （1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； 【小问2详解】 解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 20. 如图，在中，对角线和相交于点，，，． （1）求证：是菱形； （2）延长至点，连接交于点，若．求的值． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形，，， ，， ， ， 是直角三角形，且， ， 是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定以及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，则，即可得出结论； （2）过点作，交于点，则，得，由菱形的性质得，，再证，得，然后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于点， 则， ， 由（1）可知，是菱形， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 21. 综合与实践 中国陶瓷美名远扬，请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案? 素材1 某商店以固定的进价购进一批龙泉青瓷茶杯，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每只龙泉青瓷茶杯的进价． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元? 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，现商店计划定价为160元，并保证日销售利润不低于3030元，请问方案是否可行，如可行，请设计方案并完成表格．如不可行，请说明理由． 销售单价（元） 的值 日捐款总额（元） 160 【答案】任务1：每只龙泉青瓷茶杯的进价120元； 任务2：该日每只茶杯的售价为150元； 任务3：方案可行，每售出一只茶杯就捐款2元，日捐款总额为160元． 填表如下： 销售单价（元） 的值 日捐款总额（元） 160 2 160 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找准等量关系列出方程和不等式是解题的关键． 任务1：先求出当时y的值，设每只龙泉青瓷茶杯的进价元，根据“当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元”列出一元一次方程，解方程即可； 任务2：根据“某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元”，列出一元二次方程，解方程取合适的值即可； 任务3：先求出当时y的值，再根据“日销售利润不低于3030元”列出关于的一元一次不等式，解不等式得的取值范围，取符合题意的值即可得方案． 【详解】解：任务1：当时，， 设每只龙泉青瓷茶杯的进价元， 根据题意得， 解得， 答：每只龙泉青瓷茶杯的进价120元； 任务2：根据题意得，，即， 整理方程得，， 解得或（不合题意舍去）， 答：该日每只茶杯的售价为150元； 任务3：当时，， 根据题意得， 解得， 又∵且m为整数， ∴时满足条件， 当时，日捐款总额为（元）， 即方案可行，每售出一只茶杯就捐款2元，日捐款总额为160元． 填表如下： 销售单价（元） 的值 日捐款总额（元） 160 2 160 五、解答题（三）（共2题22题13分23期14分共27分） 22. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． （3）已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3），， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，勾股定理的应用． （1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出可知方程总有实数根． （2）根据根与系数的关系得，再由勾股定理得到，即可解得k的值，利用取舍k的值，即可得到的周长． （3）依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设是方程①和方程②的一个相同的实根，可得：．设是方程③和方程④的一个相同的实根，可得，可得．再进一步求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ， ， 无论k为任意实数值方程，总有实数根． 【小问2详解】 解：∵斜边长，另两边长b，c恰好是方程的两个根， ∴， ∵b、c为直角边，斜边长， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ， 舍去， ∴， ∴的周长， 【小问3详解】 解：依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④． 设是方程①和方程②的一个相同的实根，则，两方程相减， 解得：． 设是方程③和方程④的一个相同的实根，则，两方程相减， ∴解得， ∴． 又方程①的两根之积等于1， ∴也是方程①的根，则． 又， 两方程相减，得． 若，则方程①无实根， ∴， ∴． ∴， ∴， 由④得：． 又， 解得：，． 23. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“白银线”． （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“白银线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点D，请你在图1中找出满足条件的点D，并画出这个四边形．保留画图痕迹（找出1个即可）； （2）如图2，在四边形中，，，对角线平分． ①此时对角线是四边形的“白银线”吗?请说明理由； ②若，求的值． （3）如图3，在（2）的条件下，若，在边上取一点E，使，过点E作交于点F，得到，连接、，在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①是四边形的“白银线”，理由见解析；②160 （3）或 【解析】 【分析】1）在格点中先运用勾股定理求出、、，再分情况求出或，然后根据或的长作图； （2）①先判断出，再证明即可得出结论；②根据，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求出的值； （3）先由得出，，再分两种情况，①延长交于点H，易得，再求出，再根据相似三角形的性质列比例式，即可求出；②设交于点G，易得，再求出，再根据相似三角形的性质列比例式，即可求出． 【小问1详解】 解：满足条件的点D，如图1即为所求（画出1个即可）； 由题意得：，，，， ∵四边形是以为“白银线”的四边形； ①当时，或， ∴或， ∴或， ∴或； 故点、即为所求（画出1个即可） ②当时，或， ∴或， ∴或， 解得：或， 故点、即为所求（画出1个即可）； 【小问2详解】 解：①是四边形的“白银线”；理由如下： ∵，对角线平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴对角线是四边形的“白银线”； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵，由（2）可知为等腰直角三角形，， ∴， ∵，， ∴，且， ∴， ∴，， 分以下两种情况： 第一种情况，如图3，延长交于点H， 由题意得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 第二种情况，如图4，设交于点G， 由题意得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了几何图形的旋转变换、相似三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点、会用分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $