精品解析：海南省万宁市北京师范大学万宁实验学校2025-2026学年八年级上学期第一次测试数学试题

2025-2026学年度第一学期第一次月考八年级数学试卷 考试时间：100分钟满分：120分 一、选择题（每小题3分，总共36分） 1. 以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 2，4，7 B. 3，3，6 C. 5，8，2 D. 6，6，1 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行逐项进行分析即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故不符合题意； B、，不能组成三角形，故不符合题意； C、，不能组成三角形，故不符合题意； D、，能组成三角形，故符合题意； 故选：D． 2. 用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系. 三条边均不相等的三角形是不等边三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；根据概念就可找到它们之间的关系. 【详解】解：根据各类三角形的概念可知，B可以表示它们彼此之间的包含关系.   故选：B ． 3. 在下列各图中，正确画出△ABC的边BC上的高的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形高线的定义，即可求解． 【详解】解：由题可得，过点A作BC的垂线段，垂足为D，则AD是△ABC的边BC上的高， 所以C选项符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 4. 下列图形中有稳定性的是（ ） A. 直角三角形 B. 平行四边形 C. 长方形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，直接由三角形具有稳定性进行作答即可． 【详解】解：∵三角形具有稳定性， ∴下列图形中有稳定性的是直角三角形 故选：A 5. 根据下列已知条件，不能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的判定条件（确定唯一三角形的依据），解题的关键是掌握“、、、、可确定唯一三角形，而$SSA$（两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形”这一核心规则． 先明确每个选项给出的条件类型（角与边的位置关系）；再根据三角形判定定理判断：若条件为、、、或直角三角形的，则能画出唯一三角形；若为，则不能；最后筛选出符合“不能画出唯一三角形”的选项． 【详解】解：根据三角形判定定理、、、、可确定唯一三角形，不能）分析各选项： A、已知，，，其中是与的夹边，符合判定，能画出唯一，此选项不符合题意； B、已知，，，其中是的对边，是的邻边，符合条件，无法确定唯一，此选项符合题意； C、已知，，，其中是与的夹角，符合判定，能画出唯一，此选项不符合题意； D、已知，，，其中是斜边，是直角边，符合判定，能画出唯一，此选项不符合题意． 故选：B． 6. 如图，，则可推出（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，结合题意，根据全等三角形的判定定理进行分析，即可解题． 【详解】解：，， ， 故选：B． 7. 如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 8. 如图，，点在边上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 9. 在中，由下列条件不能判定为直角三角形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理．根据三角形内角和定理对四个选项依次判断即可． 【详解】解：A选项：∵，∠A+∠B+∠C=180°， ∴． ∴． ∴为直角三角形． 故A选项不符合题意． B选项：∵， ∴． ∴为直角三角形． 故B选项不符合题意． C选项：由，无法判断为直角三角形． 例如：，符合条件，但不是直角三角形， 故C选项符合题意． D选项：∵，∠A+∠B+∠C=180°， ∴． ∴为直角三角形． 故D选项不符合题意． 故选：C． 10. 如图，在中，点D在边的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线，限定工具作图，角的和差；根据图中尺规作图得平分，再结合角的和差计算即可． 【详解】解：根据图中尺规作图得， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 11. 如图，在中，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为（　　） A. B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质（中点分三角形为面积相等的两部分）、点到直线的最短距离（垂线段）及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用中点性质得出的面积，再通过面积公式直接求点D到的垂线段长度． 由D是中点，得利用的面积公式（以为底，点D到的距离为高），列方程求解得该距离；此距离即为的最小值． 【详解】的最小值为点D到边的垂线段长度（垂线段最短）． ∵是边上的中线， ∴D为中点， ∴与的面积相等（等底同高），且均为面积的一半． 已知，则． 又∵，（h为点D到的距离）， 即，解得：， ∴的最小值为． 故选：A． 12. 如图，一张四边形纸片，，，，连接，点在边上，把△BDE沿直线BE对折，使点落在线段上的点处，连接．若点，．①；②；③；④，其中正确的结论共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由AB∥CD，得∠ABE＝∠BED，根据把△BDE沿直线BE对折，使点D落在线段BC上的点F处，得∠BED＝∠AEB，即可判断①正确；由S△ACE＝S△BCE，得S△ACE﹣S△CEF＝S△BCE﹣S△CEF，即可判断②正确；由∠CAE＝∠ABF，AB＝AE，根据AAS可判断③正确；假设BE＝CE，则∠ECB＝∠EBC，可推得BDBC，可判断④不正确； 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠ABE＝∠BED， ∵把△BDE沿直线BE对折，使点D落在线段BC上的点F处， ∴∠BED＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠AEB，故①正确； ∵，， ∴∠ACD=∠D=90°， ∵， ∴∠BAC=90°， ∴四边形ABDC是矩形， ∴AC＝BD， ∴CE•ACCE•BD，即S△ACE＝S△BCE， ∴S△ACE﹣S△CEF＝S△BCE﹣S△CEF， ∴S△BEF＝S△ACF，故②正确； ∵BD⊥CD，把△BDE沿直线BE对折，使点D落在线段BC上的点F处， ∴∠BFE＝∠D＝90°， ∴∠ABF＝90°﹣∠FAB， ∵四边形ABDC是矩形， ∴∠CAE＝90°﹣∠FAB， ∴∠CAE＝∠ABF， ∵∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， 在△ACE和△BFA中， ， ∴△ACE≌△BFA（AAS），故③正确； 若BE＝CE，则∠ECB＝∠EBC， 而∠ECB＝∠ABC，∠EBC＝∠EBD， ∴∠ABC＝∠EBC＝∠EBD， ∵∠ABC+∠EBC+∠EBD＝90°， ∴∠ABC＝∠EBC＝∠EBD＝30°， ∴BDBC，但根据已知不能得到BDBC，故④不正确； ∴正确的有①②③， 故选：C 【点睛】本题考查翻折变换，涉及三角形全等的判定与性质、三角形面积、翻折的性质等知识，解题的关键是掌握翻折性质，证明△ACE≌△BFA． 二、填空题（每小题3分，总共12分） 13. 一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是___________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可解答． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为4、7、x， ∴，即． 故答案为：． 14. 在中，，的外角为，________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的定义，熟练掌握三角形外角的定义和三角形的内角和为是解题的关键．先根据邻补角的定义求出的值，再根据三角形的内角和定理求出的值即可． 【详解】解：∵的外角为， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，中，，两锐角的平分线，交于点F．的度数为______． 【答案】##135度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，角平分线的定义，先根据，求出，因为两锐角的平分线，交于点F．则，再根据三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵中，， ∴ ∵两锐角的平分线，交于点F． ∴ ∴ 在中，， 故答案为： 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 过点作轴于点，轴于点，通过点的坐标利用“”证明，再结合全等三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：过点作轴于点，轴于点， ，， ， ， 点在第一象限， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题：（共6题，总共72分） 17. 如图，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形全等的判定定理及性质定理并正确应用是解题的关键． 根据题意可得，进而可证明，则可以运用证明，则可以得到． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 18. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点F，，求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义， 由高线可得，由三角形的内角和可求得，从而可求得，再利用角平分线的定义可得，再次利用三角形的内角和即可求的度数． 【详解】解：∵是高， ∴. ∵， ∴，， ∴. ∵是的平分线， ∴， ∴． 19. （1）已知是的三边长，化简：； （2）一个等腰三角形的周长为，一边长为，求另两边的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，绝对值性质，等腰三角形定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据三角形三边关系得到，，再结合绝对值性质进行化简求解，即可解题； （2）根据等腰三角形定义，分两种情况当为腰时，当为底边时，结合三角形三边关系分析求解，即可解题． 【详解】解：（1）是的三边长， ， ，即， ； （2）等腰三角形的周长为，一边长为， 当为腰时，， 此时三角形三边分别为， ， 这样的三边不能构成三角形，舍去； 当为底边时，， 此时三角形三边分别为， ， 这样的三边能构成三角形， 即等腰三角形另外两边的长分别为． 20. 下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务． 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题 问题提出 墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？ 项目图纸 解决过程 ①标记测试直杆的底端点D，测量OD的长度．②找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到∠DCO＝∠ABO；④记下直杆与地面的夹角∠ABO； 项目数据 …… 任务： （1）由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是（ ） A. ②→③→①→④ B. ③→④→①→② C. ①→②→④→③ D. ②→④→③→① （2）线段______的长度，即为点A的高度； （3）请你说明他们作法的正确性． 【答案】（1）D （2）； （3） 由（2）知，在和中， ， ∴， ∴． 即测量的长度，就等于的长度，即点A的高度． 【解析】 【分析】（1）根据“使直杆斜靠在墙上，顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO，而后使直杆顶端缓慢下滑，直到∠DCO＝∠ABO，标记直杆的底端点D，测量OD的长度”的顺序，从新排列“解决过程”，即得； （2）根据判定和全等，得到； （3）根据判定的合理性说明他们作法的正确性． 【小问1详解】 正确的顺序应是： ②找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合； ④记下直杆与地面的夹角∠ABO； ③使直杆顶端缓慢下滑，直到∠DCO＝∠ABO； ①标记测试直杆的底端点D，测量OD的长度． 故选：D 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∴； 故答案为：OD； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了实践操作题——利用全等三角形原理测长度，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的方法． 21. 如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，连接与交于点F，G为外一点，满足，，连接． （1）求证：； （2）若平分，求证：． 【答案】（1） 证明：如图， ∵， ∴， 即． 在和中， ∵， ∴≌（）； （2） 证明：∵≌， ∴，． ∵，平分， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴≌（）． ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）由可得出，从而可证； （2）由（1）的结论可得，，再由及平分易得，从而可得≌，则易得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是本题的关键． 22. 如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． （1）求； （2）求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； （3）当t取何值时，与全等． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，以及全等三角形的判定与性质，需熟练掌握分类讨论思想，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据角平分线的性质可得，在由三角形面积公式计算即可； （2）根据三角形面积公式得到，再根据点E和点G的运动速度可表示，，由此可证明； （3）先证明，在分类讨论点M在线段上，点M在线段延长线上两种情况由此求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∵动点E以的速度从A点向F点运动， 且动点G以的速度从C点向A点运动， 又∵当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动， ∴，． ∴， ∴， ∴在运动过程中，不管t取何值，都有； 【小问3详解】 解：∵在与中， ， ∴， ∴， ∵点E以的速度从A点向F点运动， 且动点G以的速度从C点向A点运动， 又∵当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，运动时间为t， ∴，． ∴， ∴， ①当M在线段上时，， 当时，与全等， ∴， 解得； ②当M在线段延长线上时，， 当时，与全等， ∴， 解得：， ∴当或时，与全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第一次月考八年级数学试卷 考试时间：100分钟满分：120分 一、选择题（每小题3分，总共36分） 1. 以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 2，4，7 B. 3，3，6 C. 5，8，2 D. 6，6，1 2. 用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列各图中，正确画出△ABC的边BC上的高的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列图形中有稳定性的是（ ） A. 直角三角形 B. 平行四边形 C. 长方形 D. 正方形 5. 根据下列已知条件，不能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 如图，，则可推出（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，点在边上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，由下列条件不能判定为直角三角形的是( ) A. B. C. D. 10. 如图，在中，点D在边的延长线上，根据图中尺规作图的痕迹，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为（　　） A. B. C. 5 D. 6 12. 如图，一张四边形纸片，，，，连接，点在边上，把△BDE沿直线BE对折，使点落在线段上的点处，连接．若点，．①；②；③；④，其中正确的结论共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，总共12分） 13. 一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是___________ ． 14. 在中，，的外角为，________． 15. 如图，中，，两锐角的平分线，交于点F．的度数为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于________． 三、解答题：（共6题，总共72分） 17. 如图，，求证：． 18. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点F，，求和的度数． 19. （1）已知是的三边长，化简：； （2）一个等腰三角形的周长为，一边长为，求另两边的长． 20. 下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务． 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题 问题提出 墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？ 项目图纸 解决过程 ①标记测试直杆的底端点D，测量OD的长度．②找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到∠DCO＝∠ABO；④记下直杆与地面的夹角∠ABO； 项目数据 …… 任务： （1）由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是（ ） A. ②→③→①→④ B. ③→④→①→② C. ①→②→④→③ D. ②→④→③→① （2）线段______的长度，即为点A的高度； （3）请你说明他们作法的正确性． 21. 如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，连接与交于点F，G为外一点，满足，，连接． （1）求证：； （2）若平分，求证：． 22. 如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． （1）求； （2）求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； （3）当t取何值时，与全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $