内容正文:
2025-2026学年度第一学期
九年级数学质检练习(一)
(范围:第21章至22章第2节 时间:120分钟满分:120分)
一、单选题(每小题3分,共30分)
1. 若是一元二次方程的一个解,则方程的另一个解为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.根据根与系数的关系即可求解.
【详解】解:设方程的另一个根为,
则,
∴.
故选:A.
2. 方程(x+1)(x-2)=x+1的解是( )
A. 2 B. 3 C. -1,2 D. -1,3
【答案】D
【解析】
【分析】先移项得到(x+1)(x-2)-(x+1)=0,然后利用提公因式因式分解,再化为两个一元一次方程,解方程即可.
【详解】(x+1)(x-2)-(x+1)=0,
∴(x+1)(x-2-1)=0,即(x+1)(x-3)=0,
∴x+1=0,或x-3=0,
∴x1=-1,x2=3.
故选D
3. 将抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析:∵抛物线向右平移1个单位长度,∴平移后解析式为:,∴再向上平移1个单位长度所得抛物线解析式为:.故选C.
考点:二次函数图象与几何变换.
4. 在一次新年聚会中,小朋友们互相赠送礼物,全部小朋友共互赠了件礼物,若假设参加聚会小朋友的人数为人,则根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意,设参加聚会小朋友的人数为人,则每人送出件礼物,共送件礼物,列出方程,即可.
【详解】设参加聚会小朋友的人数为人,则每人送出件礼物,共送件礼物
∴.
故选:A.
【点睛】本题考查一元二次方程知识,解题的关键是理解题意,找到等量关系,列出方程.
5. 由二次函数可知( )
A. 其图象的开口向下
B. 其图象的对称轴为直线
C. 其最小值为2
D. 当时,y随x的增大而减小
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质;根据判断开口,根据解析式得出顶点坐标,进而得出对称轴为直线,最小值为,根据开口方向和对称轴判断D选项,即可求解.
【详解】解:∵,
∴,顶点坐标为,对称轴为直线
A. 其图象的开口向上,故该选项不正确,不符合题意;
B. 其图象的对称轴为直线,故该选项正确,符合题意;
C. 其最小值为,故该选项不正确,不符合题意;
D. 当时,y随x的增大而增大,故该选项不正确,不符合题意;
故选:B.
6. 若函数y=(3﹣m)﹣x+1是二次函数,则m的值为( )
A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的定义来求解,注意二次项的系数与次数.
【详解】根据二次函数的定义,可知 m2-7=2 ,且 3-m≠0 ,解得 m=-3 ,所以选择B.
故答案为B
【点睛】本题考查了二次函数的定义,注意二次项的系数不能为0.
7. 已知 是方程 的根,则代数式 的值为( )
A. B. 2 021 C. D. 2 022
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根,由题意可知,m是方程的根,因此.将代数式中的用该等式替换,即可化简求值.
【详解】解:∵m是方程的根,
∴,
∴.
∴
故选C.
8. 一小球被抛出后,距离地面的高度h (米)和飞行时间t (秒)满足下面函数关系式:h=﹣6(t﹣2)2+7,则小球距离地面的最大高度是( )
A. 2米 B. 5米 C. 6米 D. 7米
【答案】D
【解析】
【分析】首先理解题意,先把实际问题转化成数学问题后,知道解此题就是求出的顶点坐标即可.
【详解】高度h和飞行时间t 满足函数关系式:,
当时,小球距离地面高度最大,
米,
故选D.
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的应用,解题关键是把实际问题转化成数学问题,利用二次函数的性质就能求出结果.
9. 已知抛物线的顶点在x轴上,则b的值一定是( )
A. 1 B. 2 C. D. 2或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数一般式化为顶点式.先配方得:,再根据题意得,即可求得b的值.
【详解】解:配方得:,
由题意知,,
解得:,
故选:D.
10. 如图是二次函数(,,是常数,)图象的一部分,与x轴的交点在点和之间,顶点为对于下列结论:①;②;③;④当时,;⑤若方程有四个根,则这四个根的和为.其中正确的是( )
A. ①②⑤ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③⑤
【答案】A
【解析】
【分析】根据对称轴判断①,根据抛物线与轴的另一个交点在和之间,得出当时,,即可判断②,根据当时,,即可判断③,根据函数图象即可判断④,根据抛物线与直线的交点关于对称即可求解.
【详解】解:∵抛物线的对称轴为直线,
∴,即,
∴,故①正确;
∵抛物线与x轴交点在点和之间,对称轴为直线,
∴抛物线与轴的另一个交点在和之间,
∴当时,,即,故②正确;
∵抛物线与x轴的交点在点和之间,
∴当时,
又
∴
∴,故③错误
根据函数图象可知,当时,的值有正有负,故④错误,
∵抛物线与直线的交点关于对称,
设的两根为,根据对称性可得,则,
同理的两根和为,
∴若方程有四个根,
这四个根的和为.故⑤正确
故选:A.
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质,掌握二次函数图象的性质是解题的关键.
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.
11. 某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(100﹣x)件,商场计划要赚600元,则可列方程为_____.
【答案】(x﹣30)(100﹣x)=600.
【解析】
【分析】直接利用每件利润×销量=600,进而得出等式求出答案.
【详解】解:∵若以每件x元出售,可卖出(100﹣x)件,
∴商场计划要赚600元,可列方程为:(x﹣30)(100﹣x)=600.
故答案为:(x﹣30)(100﹣x)=600.
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,正确表示出每件利润是解题关键.
12. 抛物线开口向下,且经过原点,则________.
【答案】
【解析】
【分析】把原点(0,0)代入y=(k+1)x2+k2﹣9,可求k,再根据开口方向的要求检验.
【详解】把原点(0,0)代入y=(k+1)x2+k2﹣9中,得:k2﹣9=0
解得:k=±3.
又因为开口向下,即k+1<0,k<﹣1,所以k=﹣3.
故答案为﹣3.
【点睛】主要考查了二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系.要求掌握二次函数图象的性质,并会利用性质得出系数之间的数量关系进行解题.
13. 飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t﹣.在飞机着陆滑行中,最后4s滑行的距离是_____m.
【答案】24
【解析】
【分析】先利用二次函数的性质求出飞机滑行20s停止,此时滑行距离为600m,然后再将t=20-4=16代入求得16s时滑行的距离,即可求出最后4s滑行的距离.
【详解】y=60t﹣=(t-20)2+600,即飞机着陆后滑行20s时停止,滑行距离为600m,
当t=20-4=16时,y=576,
600-576=24,
即最后4s滑行的距离是24m,
故答案为24.
【点睛】本题考查二次函数的应用,解题的关键是理解题意,熟练应用二次函数的性质解决问题.
14. 已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3,当﹣2≤x≤2时,对应的函数值y的取值范围为________.
【答案】-5≤y≤4
【解析】
【详解】解:y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4.
∵x=﹣1时,y=4,x=2时,y=﹣4﹣4+3=﹣5,
∴当﹣2≤x≤2时,﹣5≤y≤4.
故答案为﹣5≤y≤4.
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,解题的关键是得出二次函数顶点坐标.
15. 如图,分别过点Pi(i,0)(i=1、2、…、n)作x轴的垂线,交 的图象于点Ai,交直线于点Bi.则=_____.
【答案】 .
【解析】
【分析】根据Ai的纵坐标与Bi纵坐标的绝对值之和为AiBi的长,分别表示出所求式子的各项,拆项后抵消即可得到结果.
【详解】根据题意得:AiBi=x2−(−x)=x(x+1),
∴==),
∴++…+=2(1−+−+…+−)=.
故答案为:.
【点睛】此题考查了二次函数综合题,属于规律型试题,找出题中的规律是解本题的关键.
三、解答题(一):本大题共3小题,每小题7分,共21分.
16. 选择适当的方法解方程:
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)原方程没有实数根
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程,熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键.
(1)利用公式法解方程即可;
(2)利用公式法解方程即可.
【小问1详解】
解:由得,,,
∴,
∴,
∴,;
【小问2详解】
解:由得,
∴,
∴原方程没有实数根.
17. 为执行“两免一补”政策,某地区2015年投入教育经费2500万元,2017年投入3600万元.
(1)求这两年投入教育经费的年平均增长百分率是多少?
(2)预计2018年投入的教育经费是多少?
【答案】(1)20%;(2)2018年投入的教育经费是4320万元.
【解析】
【分析】(1)设这两年投入教育经费的年平均增长百分率是x,根据2015年及2017年投入的资金数,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论;
(2)根据2018年投入的教育经费=2017年投入的教育经费×(1+增长率),即可求出结论.
【详解】解:(1)设这两年投入教育经费的年平均增长百分率是x,
依题意,得:2500(1+x)2=3600,
解得:x1=0.2=20%,x2=﹣1.2(舍去).
答:这两年投入教育经费的年平均增长百分率是20%.
(2)3600×(1+20%)=4320(万元).
答:2018年投入的教育经费是4320万元.
【点睛】本题考查一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
18. 已知:二次函数的图象经过点.
(1)求b的值;
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴;
【答案】(1)
(2),
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式,求二次函数的对称轴和顶点坐标,解题的关键在于能够熟练掌握求二次函数解析式的方法.
(1)直接把点代入到二次函数解析式中进行求解即可;
(2)根据(1)所求把二次函数化成顶点式进行求解即可.
【小问1详解】
解:∵二次函数的图象经过点,
∴,
∴;
【小问2详解】
∵,
∴二次函数解析式为,
∴二次函数的顶点坐标为,对称轴为直线.
四、解答题(二):本大题共3小题,每小题9分,共27分.
19. 如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知点A(﹣1,0),点C(0,2)
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)若D是抛物线位于第一象限上的动点,求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标.
【答案】(1) 抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+2;(2)4;D(2,3).
【解析】
【分析】(1)把A与C坐标代入抛物线解析式求出b与c的值,确定出解析式即可;
(2)连接OD,设出D坐标,四边形OCDB的面积等于三角形OCD面积+三角形OBD面积,表示出三角形BCD面积S与m的二次函数解析式,求出最大面积及D坐标即可.
【详解】(1)将点A(﹣1,0),点C(0,2)纵、横坐标分别代入y=﹣x2+bx+c得:
,
解得:,
则抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+2;
(2)连接OD,则有B(4,0),设D(m,﹣m2+m+2),
∵S四边形OCDB=S△OCD+S△OBD=×2m+×4(﹣m2+m+2)=﹣m2+4m+4,
∴S△BCD=S四边形OCDB﹣S△OBC=﹣m2+4m+4﹣×4×2=﹣m2+4m=﹣(m﹣2)2+4,
当m=2时,S△BCD取得最大值4,
此时yD=﹣×4+×2+2=3,即D(2,3).
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点,以及待定系数法求二次函数解析式,熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键.
20. 人民商场销售某种商品,统计发现:每件盈利元时,平均每天可销售件.经调查发现,该商品每降价元,商场平均每天可多售出 件.
假如现在库存量太大,部门经理想尽快减少库存,又想销售该商品日盈利达到元,请你帮忙思考,该降价多少?
假如部门经理想销售该商品日盈利达到最大,请你帮忙思考,又该如何降价?
【答案】(1)降价20元可使销售利润达到1750元;(2)当x=15时 日盈利达到最大,为1800元.
【解析】
【分析】(1)设每件应降价x元,则每件盈利元,每天可以售出30+2x,所以此时商场平均每天要盈利(30+2x)元,根据商场平均每天要盈利1750元,为等量关系列出方程求解即可.(2)设商场平均每天盈利y元,由(1)可知商场平均每天盈利y元与每件应降价x元之间的函数关系为:y=(30+2x),用“配方法”求出该函数的最大值,并求出降价多少.
【详解】(1)设每件降价x元,则每天可以售出(30+2x)件.
根据题意得:(45-x)(30+2x)=1750,
解得x1=10,x2=20.
因为要减少库存,所以x=20.
答:降价20元可使销售利润达到1750元.
设商场平均每天盈利元,则商场平均每天盈利元与每件应降价元之间的函数关系为:
.
∴当时 日盈利达到最大,为元.
【点睛】此题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用,关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解,另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值.
21. 已知一个二次函数图象的顶点是,且与y轴的交点的纵坐标为4.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)当取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?
(3)把该二次函数图象向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,请直接写出平移后的二次函数的表达式: .
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
【分析】(1)设顶点式y=a(x-2)2-4,然后把(0,4)代入求出a即可得到这个二次函数解析式;
(2)根据二次函数性质求解;
(3)根据平移规律直接写出结果即可.
【详解】(1)设抛物线解析式为,
把(0,4)代入得,
解得:,
所以这个二次函数解析式为;
(2)抛物线的对称轴为直线,抛物线开口向上,
所以当时,y的值随值的增大而增大;
(3)∵把该二次函数图象向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,
∴
故答案为.
【点晴】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式:一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的性质.
五、解答题(三):本大题共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分.
22. 如图,已知抛物线过点 , ,且它的对称轴为直线,是抛物线对称轴上的一点,且点在第一象限.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当的面积为15时,求点的坐标;
(3)在(2)的条件下,是抛物线上的动点,当的值最大时,求点的坐标及的最大值.
【答案】(1)抛物线的解析式为;
(2)点 的坐标为;
(3)点 的坐标为, 的最大值为.
【解析】
【分析】本题考查二次函数与几何综合,一次函数,三角形三边的关系,解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质.
(1)根据对称轴可得交点坐标,用待定系数法,代入点的坐标,即可得抛物线的解析式;
(2)用点的坐标表示线段长度,结合三角形的面积,即可得点的坐标;
(3)由三角形三边的关系可得点在直线上,用待定系数法可得直线的解析式,与抛物线的解析式联立,可得点的坐标,由点的坐标求线段长度,即可得的最大值.
【小问1详解】
解:∵抛物线过点 , ,且它的对称轴为直线 ,
∴抛物线与 轴的另一个交点的坐标为 .
设抛物线的解析式为,把 代入,得 ,解得 ,
∴,
答:抛物线的解析式为.
【小问2详解】
设点的坐标为 ,直线的解析式为,
将代入,得,解得,
∴直线的解析式为;
如图,设直线与抛物线的对称轴交于点,则点的坐标为 ,
∴,,
,,
解得,,
∴,
答:点的坐标为.
【小问3详解】
解:设直线 的解析式为,
把,代入,
得,
解得,
∴直线 的解析式为,
如图,当的值最大时,点,,在同一条直线上,
∵是抛物线上的动点,
∴ ,
解得, 或(舍去),
∴,
此时,,
答:点的坐标为,的最大值为.
23. 国家为支持大学生创业,提供小额无息贷款,学生王芳享受政策无息贷款元用来代理品牌服装的销售.已知该品牌服装进价每件元,日销售(件)与销售价 (元/件)之间的关系如图所示(实线),每天付员工的工资每人每天元,每天应支付其它费用元.
求日销售(件)与销售价 (元/件)之间的函数关系式;
若暂不考虑还贷,当某天的销售价为元/件时,收支恰好平衡(收入支出),求该店员工人数;
若该店只有名员工,则该店至少需要多少天才能还清贷款,此时,每件服装的价格应定为多少元?
【答案】(1)y=;(2)3;(3)该店至少需要200天才能还清贷款,此时,每件服装的价格应定为55元.
【解析】
【分析】(1)根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)根据收入等于支出,可得一元一次方程,根据解一元一次方程,可得答案;
(3)分类讨论40≤x≤58,或58≤x≤71,找出两种情况下定价为多少时,每日收入最高,再由(收入﹣支出)×天数≥债务,即可得出结论.
【详解】(1)当40≤x≤58时,设y与x的函数解析式为y=k1x+b1,由图象可得:
,解得:,∴y=﹣2x+140;
当58<x≤71时,设y与x的函数解析式为y=k2x+b2,由图象得:
,解得:,∴y=﹣x+82.
综上所述:y=.
(2)设人数为a,当x=48时,y=﹣2×48+140=44,则(48﹣40)×44=106+82a,解得:a=3.
答:该店员工人数为3.
(3)令每日的收入为S元,则有:
当40≤x≤58时,S=(x﹣40)(﹣2x+140)=﹣2(x﹣55)2+450,故当x=55时,S取得最大值450;
当58<x≤71时,S=(x﹣40)(﹣x+82)=﹣(x﹣61)2+441,故当x=61时,S取得最大值441.
综上可知:当x=55时,S取得最大值450.
设需要b天,该店还清所有债务,则:
(450﹣106﹣82×2)b≥36000,解得:b≥200.
故该店至少需要200天才能还清贷款,此时,每件服装的价格应定为55元.
【点睛】本题考查了二次函数的应用,利用待定系数法求函数解析式,一次方程的应用,解题的关键是根据图象分类讨论.本题属于中档题,难度不大运算量不小,该题的难点在于(3)中极值的求取,结合(1)的关系式得出每日收入的二次函数,转化为顶点式寻找极值.
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2025-2026学年度第一学期
九年级数学质检练习(一)
(范围:第21章至22章第2节 时间:120分钟满分:120分)
一、单选题(每小题3分,共30分)
1. 若是一元二次方程的一个解,则方程的另一个解为( )
A. B. C. D.
2. 方程(x+1)(x-2)=x+1的解是( )
A. 2 B. 3 C. -1,2 D. -1,3
3. 将抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为( )
A. B.
C. D.
4. 在一次新年聚会中,小朋友们互相赠送礼物,全部小朋友共互赠了件礼物,若假设参加聚会小朋友的人数为人,则根据题意可列方程为( )
A. B.
C D.
5. 由二次函数可知( )
A. 其图象的开口向下
B. 其图象对称轴为直线
C. 其最小值为2
D. 当时,y随x的增大而减小
6. 若函数y=(3﹣m)﹣x+1是二次函数,则m的值为( )
A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 9
7. 已知 是方程 的根,则代数式 的值为( )
A. B. 2 021 C. D. 2 022
8. 一小球被抛出后,距离地面的高度h (米)和飞行时间t (秒)满足下面函数关系式:h=﹣6(t﹣2)2+7,则小球距离地面的最大高度是( )
A. 2米 B. 5米 C. 6米 D. 7米
9. 已知抛物线的顶点在x轴上,则b的值一定是( )
A. 1 B. 2 C. D. 2或
10. 如图是二次函数(,,是常数,)图象的一部分,与x轴的交点在点和之间,顶点为对于下列结论:①;②;③;④当时,;⑤若方程有四个根,则这四个根的和为.其中正确的是( )
A. ①②⑤ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③⑤
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.
11. 某种商品每件进价为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(100﹣x)件,商场计划要赚600元,则可列方程为_____.
12. 抛物线开口向下,且经过原点,则________.
13. 飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t﹣.在飞机着陆滑行中,最后4s滑行的距离是_____m.
14. 已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3,当﹣2≤x≤2时,对应的函数值y的取值范围为________.
15. 如图,分别过点Pi(i,0)(i=1、2、…、n)作x轴的垂线,交 的图象于点Ai,交直线于点Bi.则=_____.
三、解答题(一):本大题共3小题,每小题7分,共21分.
16. 选择适当的方法解方程:
(1)
(2)
17. 为执行“两免一补”政策,某地区2015年投入教育经费2500万元,2017年投入3600万元.
(1)求这两年投入教育经费年平均增长百分率是多少?
(2)预计2018年投入的教育经费是多少?
18. 已知:二次函数的图象经过点.
(1)求b的值;
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴;
四、解答题(二):本大题共3小题,每小题9分,共27分.
19. 如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知点A(﹣1,0),点C(0,2)
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)若D是抛物线位于第一象限上的动点,求△BCD面积的最大值及此时点D的坐标.
20. 人民商场销售某种商品,统计发现:每件盈利元时,平均每天可销售件.经调查发现,该商品每降价元,商场平均每天可多售出 件.
假如现在库存量太大,部门经理想尽快减少库存,又想销售该商品日盈利达到元,请你帮忙思考,该降价多少?
假如部门经理想销售该商品日盈利达到最大,请你帮忙思考,又该如何降价?
21. 已知一个二次函数图象的顶点是,且与y轴的交点的纵坐标为4.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)当取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?
(3)把该二次函数图象向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,请直接写出平移后的二次函数的表达式: .
五、解答题(三):本大题共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分.
22. 如图,已知抛物线过点 , ,且它的对称轴为直线,是抛物线对称轴上的一点,且点在第一象限.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当的面积为15时,求点的坐标;
(3)在(2)的条件下,是抛物线上的动点,当的值最大时,求点的坐标及的最大值.
23. 国家为支持大学生创业,提供小额无息贷款,学生王芳享受政策无息贷款元用来代理品牌服装的销售.已知该品牌服装进价每件元,日销售(件)与销售价 (元/件)之间的关系如图所示(实线),每天付员工的工资每人每天元,每天应支付其它费用元.
求日销售(件)与销售价 (元/件)之间的函数关系式;
若暂不考虑还贷,当某天的销售价为元/件时,收支恰好平衡(收入支出),求该店员工人数;
若该店只有名员工,则该店至少需要多少天才能还清贷款,此时,每件服装的价格应定为多少元?
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