精品解析：江苏省徐州市睢宁县第一次联考2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度上学期九年级数学第一次独立作业 满分：140分，时间：90分钟 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根是（ ） A. B. 6 C. D. 4. 平面内，已知的半径为，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在上 B. 点P在内 C. 点P在外 D. 不能确定 5. 一元二次方程 的根的情况是（  ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 6. 如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长．2023年某地区人工智能核心产业规模为50亿元，2025年达到72亿元．设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在半径为的扇形中，正方形的顶点A，B，D在半径上，顶点在弧上，．则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共32分） 9. 一元二次方程的根为______． 10. 若是一元二次方程的一个根，则b的值为_____． 11. 用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为______． 12. 若是方程的解，则式子的值为_____． 13. 已知方程的解是，，则方程的解是______． 14. 底面半径为的圆锥的侧面积是，则圆锥的母线长是______． 15. 如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，则的长的最小值是______． 16. 如图，是的直径，点，在上，，，垂足分别为点．若，则的长为___________． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，A、B、C、D是上的四点，．求证：． 19. 已知是关于x的一元二次方程． （1）若是该方程的一个根，求k的值； （2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根． 20. 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长为米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙．若要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ 21. 如图，以的边为直径作⊙，点在⊙上，点在线段的延长线上，， （1）求证：直线是⊙的切线； （2）若直径，求图中阴影部分的面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点是上的三点，，，． （1）直接写出M的坐标，M（_____，_____）． （2）的半径长为___________． （3）连接，若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径长为___________． 23. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． （1）当_______时，的长度等于（直接填结果）； （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 24. 如图，在中，． （1）尺规作图：作，使得圆心O在边上，过点B且与边相切于点D，交于点E（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求的半径． 25. 如图，为的外接圆，是直径， ，，点是上的动点，且点、分别位于的两侧． （1）求的半径； （2）连接，，当时，求四边形的面积； （3）连接，，当四边形面积最大值，求的长； （4）连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期九年级数学第一次独立作业 满分：140分，时间：90分钟 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长． 【详解】解：圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，解题的关键是掌握“圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长”． 2. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，只含有一个未知数且未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程，据此判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、是一元一次方程，该选项不合题意； 、是代数式，不是方程，该选项不合题意； 、是一元二次方程，该选项符合题意； 、含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 3. 一元二次方程的根是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键，利用直接开方法解方程即可． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 4. 平面内，已知的半径为，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在上 B. 点P在内 C. 点P在外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断点与圆的位置关系，比较点到圆心的距离与圆的半径的大小关系进行判断即可． 【详解】解：∵的半径为，， ∴点P在外； 故选C． 5. 一元二次方程 的根的情况是（  ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根，熟练掌握此知识点是解决问题的关键． 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，求出一元二次方程的判别式，确定有两个相等的实数根即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， 一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：B． 6. 如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知这两个定理的用法是正确解答此题的关键． 根据垂径定理得出的长，根据勾股定理得，即可求解． 【详解】解：的直径垂直弦于点E，且，， ， 在中，， ， 故答案为：B． 7. 近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长．2023年某地区人工智能核心产业规模为50亿元，2025年达到72亿元．设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，关键是找准数量关系．设年平均增长率为x．2023年到2025年连续增长两年，由题可列方程． 【详解】解：设年平均增长率为x．2023年到2025年连续增长两年，由题意可得： ． 故选：B 8. 如图，在半径为的扇形中，正方形的顶点A，B，D在半径上，顶点在弧上，．则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、圆的基本概念、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，利用平行线的性质得到，得出，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 正方形， ，，， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：，（舍去负值）， 正方形的边长为． 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共32分） 9. 一元二次方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：移项得， 提取公因式得， 即或， 解得，． 10. 若是一元二次方程的一个根，则b的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入一元二次方程得，然后解关于b的方程即可． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得， ∴． 故答案为：4． 11. 用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了配方法的运用，掌握一元二次方程配方法的计算是解题的关键． 找到一次项系数，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：14 ． 12. 若是方程的解，则式子的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义以及求代数式的值，整体代入思想是解题的关键．把代入方程得到的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】将代入方程得， 则． 故答案为：． 13. 已知方程的解是，，则方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，深刻理解换元法的思想是解题的关键． 依据题意可知，方程的解为或，进一步求解即可得出答案． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，， 故答案为：，． 14. 底面半径为的圆锥的侧面积是，则圆锥的母线长是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥的母线长，圆锥的侧面积底面圆的周长母线长=底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：设圆锥的母线长为，则， 解得， 故答案为：． 15. 如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，则的长的最小值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】先由折叠可知，则可得点在以为圆心，以的长为半径的圆上，然后结合已知条件求出、、的长度，最后求出的长的最小值． 【详解】解：由折叠可知， ∴点在以为圆心，以的长为半径的圆上，如图，连接，交圆于点，此时的长取最小值， ∵，，点为的中点， ∴，， 故答案为：8． 【点睛】本题考查矩形中的折叠问题，以及构造圆解决线段最值问题．熟练掌握折叠的性质，以及到定点等于定长的点在以定点为圆心，定长为半径的圆上，是解题的关键． 16. 如图，是的直径，点，在上，，，垂足分别为点．若，则的长为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用垂径定理得出，，证明，得出，假设半径为，则，，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设半径为，则，， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：9． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先对右边式子提一个公因子3，再移项，最后进行提公因式进行求解即可得出答案； （2）运用配方法进行求解可得． 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 解得，． 18. 如图，A、B、C、D是上的四点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，从而得到，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴． 19. 已知是关于x的一元二次方程． （1）若是该方程的一个根，求k的值； （2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根． 【答案】（1） （2） 证明：∵ ， ∴无论k取任何实数，方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念以及根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的取值范围是解决本题的关键． （1）将代入方程中即可求解k的值； （2）通过计算方程的根的判别式并判断其取值范围，当根的判别式时，方程有两个不等的实数根；当根的判别式时，方程有两个相等的实数根；当根的判别式时，方程没有实数根，由此即可证明． 【小问1详解】 解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程可得， 整理可得，解得； 【小问2详解】 略 20. 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长为米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙．若要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ 【答案】鸡场的长是米，宽为米． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．设鸡场的宽为x米，根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设鸡场的宽为x米，根据题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，（舍去）， ∴鸡场的长15米，宽10米． 21. 如图，以的边为直径作⊙，点在⊙上，点在线段的延长线上，， （1）求证：直线是⊙的切线； （2）若直径，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）连接，则得出，可求得，可得出结论； （2）可利用的面积扇形的面积求得阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ， ， ， ， 即是⊙的切线； （2）解：， ， 在中，，， ，， 所以， 因为， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查圆的切线的问题，关键在于第二问中阴影部分面积的计算，根据三角形的面积减去扇形的面积即可. 22. 如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点是上的三点，，，． （1）直接写出M的坐标，M（_____，_____）． （2）的半径长为___________． （3）连接，若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径长为___________． 【答案】（1）， （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了圆心的确定、勾股定理、弧长公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先确定圆心是线段和垂直平分线的交点，再根据网格即可求解坐标； （2）结合勾股定理计算即可得解； （3）先判断出为直角三角形，即，再利用弧长公式得出弧的长为，由此即可得解． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴由勾股定理可得：， 故的半径长为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵的半径长为， ∴， ∵, ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴弧的长为， ∴该圆锥的底面圆半径为， 故答案为：． 23. 如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． （1）当_______时，的长度等于（直接填结果）； （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程解决问题． （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒， ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； 故答案为：． 【小问2详解】 由题意得：， 的面积等于， ， ， ， 或（舍去）， 当时，使得的面积等于． 24. 如图，在中，． （1）尺规作图：作，使得圆心O在边上，过点B且与边相切于点D，交于点E（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求的半径． 【答案】（1）图见解析 （2）的半径为6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，作出正确的图是解决本题的关键． （1）作的平分线，交于点，过点作于点，交于点，以点为圆心，为半径画圆，交于点，则即为所求，利用圆的有关性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，设，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵与相切， ∴， ∴， 设， ∴． 在中， ∵， ∴， 解得， ∴的半径为6． 25. 如图，为的外接圆，是直径， ，，点是上的动点，且点、分别位于的两侧． （1）求的半径； （2）连接，，当时，求四边形的面积； （3）连接，，当四边形面积最大值，求的长； （4）连接，设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，直接写出的最大值． 【答案】（1） （2） （3）； （4）存在， 【解析】 【分析】（1）结合直径所对的圆周角是90度，得，利用勾股定理求出即可． （2）连接，，证明，，可得，即可求得，进而根据四边形的面积，即可求解； （3）根据（2）可得当取得最大值时，取得最大值，得出，，根据勾股定理分别求得，即可求解； （4）如图中，连接，．证明，推出点的运动轨迹以为直径的，连接，，求出，的值，根据，可得结论． 【小问1详解】 解：是直径， ， ，， ， ∴ 的半径为． 【小问2详解】 解：如图，连接，，，过点作于点 ，， ， ， ∵ ， ， 是等边三角形， ， ． ∵ ∴ ∴， ∴四边形的面积 ； 【小问3详解】 由（2）可得四边形的面积， ∴当取得最大值时，取得最大值， 如图所示，当是半径时，此时重合，取得最大值，连接，过点作于点， 由（2）可得，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：线段存在最大值； 如图，连接，． ， ， 点的运动轨迹以为直径的， 连接，，可知 是等边三角形，， ， ， ， 的最大值为． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点的运动轨迹． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $