精品解析：四川省广安友谊中学2025-2026学年八年级上学期10月测试数学试卷

四川省广安友谊中学（平安校区）2025-2026学年度上期 初2024级第一次质量检测试题 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷（1～6页）和答题卡两部分． 2．试题卷选择题每小题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．试题卷非选择题答在答题卡上．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号涂写在答题卡上． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题 1. 中国古典建筑中有着丰富多彩的装饰纹样，以下四个纹样中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 椅子是一种日常生活家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形稳定性”的是（ ） A. B. C. D. 3. 图中的两个三角形全等，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等腰三角形的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. 13 B. 17 C. 22 D. 17或22 5. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的一个外角等于两个内角的和 B. 两角及一边分别相等的两三角形全等 C. 等腰三角形是轴对称图形；底边中线是它的对称轴 D. 成轴对称的两个图形中，对应点的所连线段被对称轴垂直平分 6. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 7. 下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ） A. 邻补角互补 B. 若，则 C. 全等三角形的对应边相等 D. 若，则 8. 如图，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，连结AO，则图中共有全等的三角形的对数为（　　） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 60 D. 45 10. 如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若等腰三角形的一个角为，则顶角为______． 12. 若一个三角形两边长分别为，则第三边长的取值范围是___________． 13. 如图，在中，D是边上一点，，，，则的度数为___________． 14. 已知，在中，，，，则______． 15. 如图，C，F为线段上两点，，，则添加一个条件：①；②；③；④．能用“”判定的是___________．（填序号） 16. 如图，将长方形沿折叠，使点A落在上的点F处，若，则___________． 17. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点E，连接，．若的周长为8，，则的长为___________． 三、解答题 18. 在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，， （1）画出关于x轴对称的，直接写出，两点的坐标：___________； （2）在y轴上有一点D，使得和最小，请画出点D的位置（保留画图痕迹）． 19. 如图，在中，．过点A作的平行线交的平分线于点D，连接． （1）求证：为等腰三角形． （2）若，求的度数． 20. 如图，的边和的边共线，并且，和交于G点，，．求证：． 21. 如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）求∠BPD的度数． B卷 四、填空题 22. 如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，则___________． 23. 如图，已知，P是射线上的一动点，则当___________．时，为等腰三角形． 24. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为_____．   25. 如图，在直角三角形中，，点沿自点向点运动（点与点，不重合），作于点，的延长线于点，在点的运动过程中，（ ） A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 不变 D. 无法确定 五、逻辑推理题 26. 如图在△ABC中，AB=AC，且D、E、F分别为AB、BC、AC边上的点，BE=CF、BD=EC，M是DF的中点，求证：EM⊥DF． 27. 如图，E是的平分线上一点，，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若 (1)求证: 是等边三角形: (2)若EF=5，求线段OE的长， 28. 如图，在中，，，，、相交于点O，且． （1）与的数量关系是___________； （2）试说明：； （3）点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请在备用图中画出大致示意图，并直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省广安友谊中学（平安校区）2025-2026学年度上期 初2024级第一次质量检测试题 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷（1～6页）和答题卡两部分． 2．试题卷选择题每小题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．试题卷非选择题答在答题卡上．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号涂写在答题卡上． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题 1. 中国古典建筑中有着丰富多彩的装饰纹样，以下四个纹样中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A. 选项中的图形是轴对称图形，故不符合题意； B. 选项中的图形是轴对称图形，故不符合题意； C. 选项中的图形是轴对称图形，故不符合题意； D. 选项中的图形不是轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 椅子是一种日常生活家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形稳定性”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形稳定性逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，A选项椅子的设计中利用了“三角形稳定性”， 故选：A． 3. 图中的两个三角形全等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度计算出边a和边c的夹角，再根据全等三角形对应角相等，即可求解． 【详解】解：在第一个图中，边b对应的角为：， 由图中的两个三角形全等，根据对应角相等可知． 故选：C． 4. 已知等腰三角形的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. 13 B. 17 C. 22 D. 17或22 【答案】C 【解析】 【分析】由于等腰三角形的底和腰长不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】分为两种情况： ①当三角形的三边是4，4，9时， ∵4+4＜9， ∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形； ②当三角形的三边是4，9，9时， 此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+9+9=22． 故选C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的一个外角等于两个内角的和 B. 两角及一边分别相等的两三角形全等 C. 等腰三角形是轴对称图形；底边中线是它的对称轴 D. 成轴对称的两个图形中，对应点的所连线段被对称轴垂直平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，根据三角形外角性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质逐一分析即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故选项不符合题意； B、两角及夹边对应相等或两角及其中一角的对边分别相等的两三角形全等，故选项不符合题意； C、等腰三角形是轴对称图形，底边中线所在直线是它的对称轴，故选项不符合题意； D、成轴对称的两个图形中，对应点的所连线段被对称轴垂直平分，正确，故选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 7. 下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ） A. 邻补角互补 B. 若，则 C. 全等三角形的对应边相等 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题，逆命题，判断命题的真假，正确理解真假命题的依据是解题的关键．先根据所学命题，逆命题的定义，再通过逻辑推理或反例验证逆命题的真假． 【详解】解：A选项的逆命题：互补的角是邻补角．是假命题，如平行线中的同旁内角互补但不相邻，故此选项不符合题意； B选项的逆命题：若，则．是假命题，如，但，故此选项不符合题意； C选项的逆命题：对应边相等的三角形全等．是真命题，故此选项符合题意； D选项的逆命题：若，则．是假命题，如时，，但，故此选项不符合题意． 故选：C ． 8. 如图，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，连结AO，则图中共有全等的三角形的对数为（　　） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件，利用AAS可知，然后再利用HL、ASA即可判断． 【详解】解：∵AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E， ∴∠ADB=∠AEC=90°， 在△ADB和△AEC中， ， ∴(AAS)， ∴AE=AD，∠B=∠C ∴BE=CD， ∵， ∴在Rt△AOE和Rt△AOD中， ， ∴(HL)， ∴∠OAC=∠OAB， 在△AOC和△AOB中， ， ∴(ASA)， 在△AOC和△AOB中， ， ∴(ASA)． 综上：共有4对全等三角形． 故选C． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要从已知条件开始结合全等的判定方法逐一验证，由易到难，不重不漏． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 60 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】由作图步骤可知AP为的角平分线，作于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，所以. 【详解】解：如图，作于点E 由作图步骤可知AP为的角平分线 ，点P为AP上一点 . 故选：D 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得△ABD的高是求面积的关键. 10. 如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了网格，全等三角形的判定与性质，连接，证明，得到，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由网格可得：， 在和， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 11. 若等腰三角形的一个角为，则顶角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分顶角为和底角为两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①顶角为； ②当底角为时，顶角的度数为； 故答案为：或． 12. 若一个三角形两边长分别为，则第三边长的取值范围是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系即可得． 【详解】解∶由三角形的三边关系得∶， 即， 故答案为：． 13. 如图，在中，D是边上一点，，，，则的度数为___________． 【答案】##48度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，设，由三角形外角的性质可得出，在中，利用三角形内角和定理可求出的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设， 则， 在中，， 即， 解得， ， 故答案为：． 14. 已知，在中，，，，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】过点B作于点D，根据直角直角三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：过点B作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：16． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 15. 如图，C，F为线段上两点，，，则添加一个条件：①；②；③；④．能用“”判定的是___________．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断． 【详解】解：∵， ∴． ①∵，，∴，符合题意； ②∵，，，∴，不符合题意； ③∵，∴，∴，∵，∴，符合题意； ④∵，，∴，符合题意． 故答案为：①③④． 16. 如图，将长方形沿折叠，使点A落在上的点F处，若，则___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称、矩形的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称、矩形的性质． 根据轴对称和矩形性质，得，结合，经计算即可得到答案． 【详解】由题意可知和关于直线对称， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点E，连接，．若的周长为8，，则的长为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，，可得，，根据的周长为8，可得，进而可得答案． 【详解】解：直线为线段的垂直平分线，， ∴，． ∵的周长为8， ∴， ∴． 故答案为：5． 三、解答题 18. 在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，， （1）画出关于x轴对称的，直接写出，两点的坐标：___________； （2）在y轴上有一点D，使得和最小，请画出点D的位置（保留画图痕迹）． 【答案】（1）如图所示； （2）点即为所求： 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的最短路径问题、轴对称图形与坐标等知识，熟练掌握相关知识，数形结合是解题的关键． （1）先根据题意，画出图形，再根据图形即可写出，两点的坐标； （2）作点关于y轴的对称点，连接与y轴相交于点，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作点关于y轴的对称点，连接与y轴相交于点，由两点之间线段最短可知和最小，所以点即为所求． 19. 如图，在中，．过点A作的平行线交的平分线于点D，连接． （1）求证：为等腰三角形． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 为的平分线， ， ，即为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理； （1）根据角平分线定义和平行线的性质证明，得到，然后等量代换求出即可； （2）根据，同旁内角互补，求出，由，可得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， 20. 如图，的边和的边共线，并且，和交于G点，，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． 根据，得到，根据得到，根据全等三角形的判定定理即可推出． 【详解】略 21. 如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）求∠BPD的度数． 【答案】（1） 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°， 又∵AE＝CD， ∴△ABE≌△CAD（SAS）； （2）∠BPD＝60° 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠BAC＝∠C，再依据SAS即可判定三角形全等； （2）根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠CAD，再利用外角性质即可得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得△ABE≌△CAD， ∴∠ABE＝∠CAD， ∴∠BPD＝∠BAD＋∠ABE＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝60°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各性质及判定定理是解题的关键． B卷 四、填空题 22. 如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，则___________． 【答案】##230度 【解析】 【分析】本题考查了外角的性质，三角形的内角和定理，熟练运用外角的性质是解题的关键；根据外角的性质再结合三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：如图， ，， ， 故答案为：． 23. 如图，已知，P是射线上的一动点，则当___________．时，为等腰三角形． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．分三种情况：①时；②时；③时． 【详解】解：分三种情况： ①时， 则； ②时， 则， ∴； ③时， 则； 综上所述，若为等腰三角形，则的度数为或或． 故答案为：或或． 24. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为_____．   【答案】9． 【解析】 【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】连接AD，MA． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC， ∴MC+DM＝MA+DM≥AD， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9． 故答案为9． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题.能根据轴对称的性质得出AM=MC，并由此得出MC+DM=MA+DM≥AD是解决此题的关键. 25. 如图，在直角三角形中，，点沿自点向点运动（点与点，不重合），作于点，的延长线于点，在点的运动过程中，（ ） A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 不变 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，能根据高表示出三角形的面积进行判断是解题的关键．根据点沿自点向点运动时，会减小，而的面积不变，由面积公式可得的值逐渐增大． 【详解】解：于点，的延长线于点， ， ∵点沿自点向点运动时，会减小，而的面积不变， 的值逐渐变大， 故选：B． 五、逻辑推理题 26. 如图在△ABC中，AB=AC，且D、E、F分别为AB、BC、AC边上的点，BE=CF、BD=EC，M是DF的中点，求证：EM⊥DF． 【答案】 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△DBE和△ECF中， ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE=EF， ∵M是DF的中点， ∴EM⊥DF. 【解析】 【分析】先根据已知条件证明△DBE≌△ECF，得到DE=EF，再根据三线合一得出结论. 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是证明△DBE≌△ECF. 27. 如图，E是的平分线上一点，，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若 (1)求证: 是等边三角形: (2)若EF=5，求线段OE的长， 【答案】 （1）证明：∵点E是的平分线上一点，，垂足分别是C、D， ， 在与中，， ， ， ， 是等边三角形； （2）20. 【解析】 【分析】(1) 根据角平分线的性质得出DE= CE，然后根据HL证得，得出，由，证得是等边三角形； (2)根据三线合一的性质得出，进而证得，然后根据30°的直角三角形的性质即可求得OE的长. 【详解】(1)略 (2)是等边三角形，OF是的平分线， ， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，30°的直角三角形的性质等，熟练掌握性质和定理是解题的关键. 28. 如图，在中，，，，、相交于点O，且． （1）与的数量关系是___________； （2）试说明：； （3）点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请在备用图中画出大致示意图，并直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （3）存在，或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论的思想以及利用参数构建方程解决问题成为解题的关键． （1）三角形内角和定理以及外角的性质即可解答； （2）根据证明三角形全等即可； （3）分两种情形：①当Q在边上时，如图2，，②当Q在的延长线上时，如图3，，分别构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在． ∵， ∴． ①如图2中，当时， ∵， ∴． ∴， ∴， 解得：； ②如图3中，当时， ∵， ∴． ∴， ∴， 解得：． 综上所述，或时，与全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $